高三数学二轮复习-专题四第三讲-空间向量与立体几何课件

第一部分 一 13(文)

一、选择题

1．(2015·东北三校二模)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( )

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

[答案] B

[解析] 当l、m是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足A的条件，故A错误；对于C，过l作平面与平面α相交于直线l1，则l∥l1，在α内作直线m与l1相交，满足C的条件，但l与m不平行，故C错误；对于D，设平面α∥β，在β内取两条相交的直线l、m，满足D的条件，故D错误；对于B，由线面垂直的性质定理知B正确．

2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

[答案] C

[解析] 若α、β换成直线a、b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题，故选C.

3．(2015·重庆文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A.13＋2π B.13π6

C.7π3 D.5π2

[答案] B

[解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2；半圆锥的底面半径为1，高也为1，故其体积为π×12×2＋16×π×12×1＝13π6；故选B.

4.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论不成立的是( )

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

1 3.2.2 空间线面关系的判定

1．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(重点)

2．向量法证明空间平行与垂直．(重点、难点)

3．向量法证明线面平行．(易错点)

[基础²初探]

教材整理 向量法判定线面关系

阅读教材P101例1以上的部分，完成下列问题．

设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表：

平行 垂直

l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2

l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1

α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2

1．判断(正确的打“√”，错误的打“³”)

(1)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )

(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) 2 (3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.( )

(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )

【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)³

2．设直线l1的方向向量为a＝(3,1，－2)，l2的方向向量为b＝(－1,3,0)，则直线l1与l2的位置关系是________．

【解析】 ∵a²b＝(3,1，－2)²(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.

【答案】 垂直

3．若直线l的方向向量为a＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n＝(2，－4，－6)，则直线l与平面α的位置关系是________．

【解析】 ∵n＝－2a，∴n∥a，又n是平面α的法向量，所以l⊥α.

【答案】 垂直

4．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n1＝12，3，－1，n2＝－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________. 【导学号：09390083】

第3讲 空间向量与立体几何

自主学习导引

真题感悟

1．(2012·陕西)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为

A.55 B.53

C.255 D.35

解析 利用向量法求解．

不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.

可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，

∴BC1→＝(0,2，－1)，AB1→＝(－2,2,1)，

∴cos〈BC1→，AB1→〉＝BC1→·AB1→|BC1→||AB1→|＝4－15×9＝15＝55＞0.

∴BC1→与AB1→的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，

∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为55.

答案 A

2．(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABCA′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

(1)证明：MN∥平面A′ACC′；

(2)若二面角A′MNC为直二面角，求λ的值．

解析 (1)证明 证法一 连接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABCA′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.

证法二 取A′B′的中点P，连接MP，NP.而M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′.

(2)以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA′为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．

设AA′＝1，则AB＝AC＝λ，于是A(0,0,0)，B(λ，0,0)，C(0，λ，0)，A′(0,0,1)，B′(λ，0,1)，C′(0，λ，1)，所以Mλ2，0，12，Nλ2，λ2，1.

学必求其心得，业必贵于专精

第三章 空间向量与立体几何

一、空间向量的概念与运算

1．在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

2．向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向．

3．向量AB的大小称为向量的模（或长度），记作AB．

4．模（长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．

5．与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a．

6．方向相同且模相等的向量称为相等向量．

7．求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形OACB，则以O起点的对角线OC就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．

8．求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O,作OAa，OBb，则BAab．

9．实数与空间向量a的乘积a是一个向量,称为向量学必求其心得，业必贵于专精

的数乘运算．当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是a的长度的倍．

10．设，为实数，a,b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．

分配律:abab;结合律：aa．

11．如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

12．向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，(0)bb，ab的充要条件是存在实数,使ab．

13．平行于同一个平面的向量称为共面向量．

14．向量共面定理:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x，y，使APxAByAC；或对空间任一定点O，有OPOAxAByAC;或若四点P，A，B，C共面,则1OPxOAyOBzOCxyz．