《直线与圆》常见考点及题型分析

《直线与圆》常见考点及题型分析

陕西省麟游县中学（721599） 韩红军

1.热点透析

解析几何涉及直线与圆和圆锥曲线两部分内容，是衔接初等数学和高等数学的纽带，是运用“数”研究“形”。（1）近几年高考的热点：第一部分是直线的方程。需要掌握直线的倾斜角和斜率，直线方程的几种形式（如点斜式、两点式和一般式等），两直线位置关系（平行、垂直）的判定和应用。第二部分是圆的方程。需要掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，与圆有关的最值问题、弦长问题、轨迹问题等。第三部分是直线和圆、圆与圆的位置关系。需要掌握直线与圆、圆与圆的位置关系中基本量的计算。（2）近几年常考的题型：主要是一道选择题或填空题，单独出解答题的概率不大，然而有可能作为解答题的背景或渗透在解答题的第（1）问中。

2.热点题型分类精讲

题型一：求直线的倾斜角或斜率

例1.（2014，安徽）过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )

A.0，π6 B.0，π3 C.0，π6 D.0，π3

解析：易知直线l的斜率存在，所以可设l：y＋1＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－1＝0.因为直线l圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l的距离|3k－1|1＋k2≤1，即k2－3k≤0，解得0≤k≤3，故直线l的倾斜角的取值范围是0，π3.故选D．

评注：直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.

题型二：求直线的方程

例2.（2014，福建）已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )

A．x＋y－2＝0 B．x－y＝2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0

解析：由直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋m＝0.又直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心(0，3)，则m＝3，所以直线l的方程为x－y＋3＝0，故选D.

评注：若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.

题型三：求圆的方程

例3.（2014，陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．

解析：由圆C的圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，得圆C的圆心为(0，1)．又因为圆C的半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.

例4.（2014，山东）圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________．

解析：因为圆心在直线x－2y＝0上，所以可设圆心坐标为(2b，b)．又圆C与y轴的正半轴相切，所以b>0，圆的半径是2b.由勾股定理可得b2＋(3)2＝4b2，解得b＝±1.又因为b>0，所以b＝1，所以圆C的圆心坐标为(2，1)，半径是2，所以圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4.

评注：求圆的方程的两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

题型四：直线与圆的位置关系

例5.（2014，江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．

解析：由题意可得，圆心为(2，－1)，r＝2，圆心到直线的距离d＝|2－2－3|12＋22＝35 5，所以弦长为2r2－d2＝2 4－95＝25 55 .

例6.（2014，浙江）已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )

A．－2 B．－4 C．－6 D．－8

解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，r2＝2－a，则圆心(－1，1)到直线x＋y＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2.由22＋(2)2＝2－a，得a＝－4, 故选B.

例7.（2014，湖北）直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.

解析：依题意得，圆心O到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a|2＝|b|2＝1×sin 45°，得 |a|＝|b|＝1.故a2＋b2＝2.

例8.（2014，全国）直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．

解：根据题意，OA⊥PA，OA＝2，OP＝10，所以PA＝OP2－OA2＝2 2，所以tan∠OPA＝OAPA＝22 2＝12，故tan∠APB＝2tan∠OPA1－tan2∠OPA＝43，即l1与l2的夹角的正切值等于43.

评注：解决圆与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，要用平面几何中有关圆的性质，养成勤画图的良好习惯.

题型五：圆与圆的位置关系

例9.（2014，湖南）若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )

A．21 B．19 C．9 D．－11

解析：依题意可得C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|＝33＋42＝5.又r1＝1，r2＝25－m，由r1＋r2＝25－m＋1＝5，解得m＝9. 故选 C．

题型六：求轨迹的方程

例10.（2014，全国新课标卷Ⅰ）已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点． (1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)．由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－13，故l的方程为y＝－13x＋83.又|OM|＝|OP|＝2 2，O到直线l的距离为4105，故|PM|＝4105，所以△POM的面积为165.

评注：解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.

题型七：最值问题

例11.（2014，北京）已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )

A．7 B．6 C．5 D．4

解析：由图可知，圆C上存在点P使∠APB＝90°，即圆C与以AB为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤m≤32＋42＋1，即4≤m≤6.故选B．

例12.（2014，四川）设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是( )

A．[5，2 5 ] B．[10，2 5 ] C．[10，4 5 ] D．[25，4 5 ]

解析：由题意可知，定点A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P(x，y)落在以AB为直径的圆周上，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，即|PA|＋|PB|≥|AB|＝10.又|PA|＋|PB|＝（|PA|＋|PB|）2＝|PA|2＋2|PA||PB|＋|PB|2≤2（|PA|2＋|PB|2）＝2

5，所以|PA|＋|PB|∈[10，2 5]，故选B.

例13.（2013，江西师大附中）已知P是直线0843yx上的动点，PAPB、是圆012222yxyx的切线，AB、是切点， C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是( )

A．2 B．2 C．22 D．4

解析：由题意，圆012222yxyx的圆心是C（1，1），半径为1，PA=PB。易知四边形PACB面积＝1()2PAPBPA,故PA最小时，四边形PACB面积最小。由于2||||1PAPC,故PC最小时，PA最小。此时CP垂直直线0843yx，2348|||3,||||1225PCPAPC∴ 四边形PACB面积的最小值是22.

例14.（2014，江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝43.

(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

解：(1)如图所示， 以O为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60), C(170，0)，直线 BC 的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－43.又因为 AB⊥BC,

所以直线AB的斜率kAB＝34.设点 B 的坐标为(a，b)，则kBC＝b－0a－170＝－43， kAB＝b－60a－0＝34，解得a＝80, b＝120，所以BC＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC的长是150

m.

(2)设保护区的边界圆M的半径为r m, OM＝d m (0≤d≤60)．由条件知， 直线BC的方程为y＝－43(x－170)，即4x＋3y－680＝0.由于圆M与直线BC相切， 故点 M(0, d)到直线BC的距离是r，即r＝|3d － 680|42＋32＝680－3d5.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以r－d≥80，r－（60－d）≥80，即680－3d5－d≥80，680 － 3d5－（60－d）≥80，解得10≤d≤35.故当d＝10时， r ＝680 － 3d5最大， 即圆面积最大，所以当OM＝10 m时， 圆形保护区的面积最大．

评注：解决最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解.与圆有关的最值问题的求法：(1)圆O外一点A到圆上一点的距离的最小值为|AO|－r，最大值为|AO|＋r；(2)求ax＋by(其中(x，y)为圆上点)的取值范围转化为直线与圆的位置关系；(3)求ax＋bycx＋dy(其中(x，y)为圆上点)的最值，可转化为求直线的斜率；(4)求(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．