2018年上海市虹口区高考数学一模试卷
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2018年上海市虹口区高考数学一模试卷
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为
．
2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）= ．
3．（4分）首项和公比均为的等比数列{an}，Sn是它的前n项和，则= ．
4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC= ．
5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是 ．
6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 ．
7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于 ．
8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为 ．
9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于 ．
10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则= ．
11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列Pn（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{an}的通项公式an= ．
12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为 ．
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二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（ ）
A． B．（0，π） C． D．（0，π]
14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（ ）
A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1
C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1
15．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（ ）
A．2017 B．1513 C． D．
16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．[4，6]
C． D．
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．
（1）求证：PM⊥平面ABC；
（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．
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18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．
（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；
（2）求此函数在的最大值和最小值．
19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．
（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；
（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．
20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A作l的垂线，垂足为E．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；
（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．
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21．（18分）已知无穷数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，a1=4．
（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求Sn；
（2）如果对于一切正整数n，均有an•an+1=Sn，求Sn；
（3）如果对于一切正整数n，均有an+an+1=3Sn，证明：a3n﹣1能被8整除．
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2018年上海市虹口区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为
（﹣∞，2） ．
【解答】解：要使函数有意义，可得2﹣x＞0，即x＜2．
函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为：（﹣∞，2）．
故答案为：（﹣∞，2）．
2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）= 0 ．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣1）=﹣f（1），f（0）=0，
即f（﹣1）+f（0）+f（1）=0，
故答案为：0．
3．（4分）首项和公比均为的等比数列{an}，Sn是它的前n项和，则=
1 ．
【解答】解：根据题意，等比数列{an}的首项和公比均为，
则其前n项和Sn==1﹣（）n，
则=1；
故答案为：1．
4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC= ﹣ ．
【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，
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则根据余弦定理得：cosC===﹣．
故答案为：﹣
5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是 [，] ．
【解答】解：∵z=a+bi（a，b∈R），且|z|=1，
∴，即a2+b2=1，
令a=cosθ，b=sinθ，
则ab=cosθ•sinθ=，
∴ab∈[，]．
故答案为：．
6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 18 ．
【解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，
分2种情况讨论：
①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32=9种选法，
②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32=9种选法，
则一共有9+9=18种选法；
故答案为：18
7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于 ．
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【解答】解：如图，
设三棱锥P﹣ABC的底面积为S，高为h，
∵M是AB的中点，∴，
∵N是PC的中点，∴三棱锥N﹣MBC的高为，
则，，
∴=．
故答案为：．
8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为
．
【解答】解：根据题意，抛物线y2=12x的焦点为（3，0），
若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，
则双曲线的顶点坐标为（±3，0），
则有a2=9，
则双曲线的方程为：﹣y2=1，
双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为
故答案为：
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9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于
．
【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形，
∵底边长为一个周期T=2π，高为，
∴△ABC的面积=2=，
故答案为：．
10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则= 4 ．
【解答】解：∵椭圆+的左右焦点分别为F1，F2，a=2，
过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，
△MNF2的内切圆的面积为π，
∴△MNF2内切圆半径r=1．
∴△MNF2面积S=×1×（MN+MF2+MF2）=2a=4，
故答案为：4
11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列Pn（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{an}的通项公式an= ．
【解答】解：如图所示，
∵D是BC的中点，∴=+=+，
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又=+，，
∴+=+an（+），
化为：=（1﹣an﹣an+1）+，
∵点列Pn（n∈N*）在线段AC上，
∴1﹣an﹣an+1+=1，
化为：an+1=﹣，又a1=1，
则数列{an}是等比数列，首项为1，公比为﹣．
∴an=．
故答案为：．
12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为
（0，0）或（1，0） ．
【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的零点为方程x2+2a•x+b•2x=0的根，
如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，则有f（x）=x，即x2+2a•x+b•2x=x，
方程x2+2a•x+b•2x=x的根就是函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点，
则有，解可得x=0，
即x2+2a•x+b•2x=0的1个根为x=0，分析可得b=0，
则f（x）=x2+2a•x，
解可得x1=0或x2=﹣2a，
