数学物理方程第一章总结

第一章 数学物理方程概述

1第一章 数学物理方程概述

数学物理方程，其定义是研究反映物理规律的数学方程。由于一般的物理量基本都具有

多个变量()

tzyx,,,

，因此，它所满足的微分方程属于偏微分方程。本章的目的，归纳出几

个常见物理问题对应的数学物理方程。

§1.1 常见数学物理方程的导出

1.1.1 常见的几个偏微分方程

波动方程：数学上称双曲型方程，表现为场的波动性。

()

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎨⎧

+∇=

∂∂∇=

∂∂

tzyxfua

tuua

tu

,,,22

2222

22

热传导方程或扩散方程：数学上称抛物型方程，表现为不可逆的输运过程。

()

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎨⎧

+∇=

∂∂∇=

∂∂

tzyxfua

tuua

tu

,,,2222

拉普拉斯（Laplace）方程和泊松方程：数学上称椭圆型方程，表现为场的稳定分布。

()

⎪

⎩⎪

⎨⎧

−=∇=∇

zyxuu

,,0

22

ρ

其中，算符

zyxe

ze

ye

xˆˆˆ

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

=∇

，∇⋅∇=∇=Δ2

称为拉普拉斯算子。直角坐标系下，

()

xxu

xu

xu=

∂∂

=∇

22

2

一维

yyxxuu

yu

xu

yxu+=

∂∂

+

∂∂

=∇

22

22

2

),(

二维

()

zzyyxxuuu

zu

yu

xu

zyxu++=

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

=∇

22

22

22

2

,,

三维 第一章 数学物理方程概述

21.1.2 常见数学物理方程的导出

一、波动方程的导出

1、弦的横振动

如图1所示，一根拉紧的弦在平衡位置（x

轴）附近做横向微小振动()

1<

。已知

弦的线密度为ρ

，作用于弦单位长度的外力为()

txF,

，方向垂直x

轴，弦上的张力为T

，

()

txu,

表示弦上x

点在时刻t

的距离平衡位置的垂直位移。推导弦横向振动所满足的方程。

图1 弦的横振动

将弦上任意一小段()

xxxΔ+,

作为研究对象，由牛顿第二定律，小弦纵向和横向的运动

方程分别为

⎪

⎩⎪

⎨⎧

∂∂

⋅Δ=Δ+−=

22

11222211

sinsincoscos

tu

llFTTTT

ραααα

由于弦的振动幅度比较小（α

浙江理工大学数学系

第一章：偏微分方程的基本概念

偏微分方程的一般形式：2211(,,,,,,)0nuuuFxuxxxLL

其中12(,,...,)nxxxx是自变量，12()(,,...,)nuxuxxx是未知函数

偏微分方程的分类：线性PDE和非线性PDE，其中非线性PDE又分为半线性PDE，拟线性PDE和完全非线性PDE。

二阶线性PDE的分类（两个自变量情形）：

2221112222220uuuuuaaaabcuxxyyxy （一般形式 记为 PDE（1））

目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类

(,)(,)xyxy 非奇异 0xyxy

根据复合求导公式最终可得到：

2221112222220uuuuuAAAABCu其中：

2211111222121112222222111222()2()()()2()AaaaxxyyAaaaxxxyxyyyAaaaxxyy

考虑22111222()2()0zzzzaaaxxyy如果能找到两个相互独立的解

(,)zxy (,)zxy

那么就做变换(,)(,)xyxy 从而有11220AA

在这里要用到下面两个引理：

引理1：假设(,)zxy是方程22111222()2()0zzzzaaaxxyy (1)的特解，则关主部 系式(,)xyC是常微分方程：22111222()2()0adyadxdyadx （2）的一般积分。

引理2：假设(,)xyC是常微分方程（2）的一般积分，则函数(,)zxy是（1）的特解。

第一章

§1 方程的导出。定解条件

1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(txu满足方程

xuExtuxt

其中为杆的密度，E为杨氏模量。

证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与xx。现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：

),();,(txxuxxtxux

其相对伸长等于

),()],([)],([txxuxxtxuxtxxuxxx

令0x，取极限得在点x的相对伸长为xu),(tx。由虎克定律，张力),(txT等于

),()(),(txuxEtxTx

其中)(xE是在点x的杨氏模量。

设杆的横截面面积为),(xS则作用在杆段),(xxx两端的力分别为

xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()();,().,(txx

于是得运动方程

ttuxxsx)()(xESutx),(xxxxxESuxx|)(|)(

利用微分中值定理，消去x，再令0x得

ttuxsx)()(xxESu()

若)(xs常量，则得

22)(tux=))((xuxEx 即得所证。

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在lxx,0两点则相应的边界条件为

.0),(,0),0(tlutu

(2)若lx为自由端，则杆在lx的张力xuxEtlT)(),(|lx等于零，因此相应的边界条件为

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文案大全 第一章． 波动方程

§1 方程的导出。定解条件

1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的力服从虎克定律，试证明),(txu满足方程

xuExtuxt

其中为杆的密度，E为氏模量。

证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与xx。现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：

),();,(txxuxxtxux

其相对伸长等于 ),()],([)],([txxuxxtxuxtxxuxxx

令0x，取极限得在点x的相对伸长为xu),(tx。由虎克定律，力),(txT等于

),()(),(txuxEtxTx

其中)(xE是在点x的氏模量。

设杆的横截面面积为),(xS则作用在杆段),(xxx两端的力分别为

xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()();,().,(txx

于是得运动方程 ttuxxsx)()(xESutx),(xxxxxESuxx|)(|)(

利用微分中值定理，消去x，再令0x得

ttuxsx)()(xxESu()

若)(xs常量，则得 实用标准文档

文案大全 22)(tux=))((xuxEx

即得所证。

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在lxx,0两点则相应的边界条件为

.0),(,0),0(tlutu

(2)若lx为自由端，则杆在lx的力xuxEtlT)(),(|lx等于零，因此相应的边界条件为 xu|lx=0