人教版八年级数学上册三角形的高、中线与角平分线
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初中数学试卷
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11-2 三角形的高、中线与角平分线 人教八上
一、学习目标 了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念
掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法，通过观察认识到三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点；
了解三角形的高、中线和角平分线的性质，并能应用它来解决实际问题．
二、知识回顾 1．三角形按边分怎么分？按角分怎么分？
三角形按三个内角的大小分类如下：
直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形
三角形按边的相等关系分类如下：
不等边三角形三角形底边和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形 2．下列长度的三条线段能否组成三角形？
（1）3，6，8；（2）1，2，3；（3）6，8，2
（1）可以，（2）（3）不可以．
三、新知讲解 1．三角形的高
定义 从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高线，简称三角形的高
符号语言 ∵AD是△ABC的BC边上的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
图示
2．三角形的中线
定义 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线
符号语言 ∵ AD是△ABC的BC边上的中线.
∴ BD=CD=12BC.
图示
3．三角形的角平分线
定义 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线
符号语言 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线. ∴∠1=∠2=12∠BAC
图示
四、典例探究
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1．三角形的高
【例1】如图，已知△ABC和△EFD，在图中分别画出这两个三角形的三条高．
总结：
1．一个三角形有三条高，它们都是线段，它们的位置由三角形的形状来决定：
（1）当三角形为锐角三角形时，三条高都在三角形内部；
（2）当三角形为直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；
（3）当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形的外部，一条高在三角形内部．
2．三角形的三条高（或所在直线）相交于一点，这个点叫做三角形的垂心，它可能在三角形的内部（锐角三角形）、外部（钝角三角形）或顶点处（直角三角形）．
练1．如图，AD⊥BE于D，以AD为高的三角形有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
练2．（2013春•水富县校级期中）如图：
（1）在△ABC中，BC边上的高是 ．
（2）在△AEC中，AE边上的高是 ．
（3）在△FEC中，EC边上的高是 ．
（4）若AB=CD=2cm，AE=3cm，则S△AEC= cm2，CE= cm．
2．三角形的中线
【例2】如图所示，已知AD，AE分别是△ABC和△ADC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长差．
总结：
1．一个三角形有三条中线，它们都是线段，都在三角形的内部；
2．三角形的三条中线相交于三角形内一点，这个点叫做三角形的重心；
3．三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形（等底同高）．
练3．已知AD、AE分别是△ABC的中线和高，△ABD的周长比△ACD的周长大3cm，且AB=7cm．
（1）求AC的长；
（2）求△ABD与△ACD的面积关系．
3．三角形的角平分线
【例3】如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若∠BAC=100°，则∠ADE= °． 总结： 1．三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线；
2．三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，这个点叫做三角形的内心．
练4．如图，AD是△ABC的角平分线，则∠ =∠ =∠ ；CE是△ABC的中线，则 =
= ；BF是△ABC的高，则BF AC或∠ =∠ =90°．
五、课后小测 一、选择题
1．（2014秋•肥东县期末）在如图中，正确画出AC边上高的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知BD是△ABC的中线，AB=4，AC=3，BD=5，则△ABD的周长为（ ）
A．12 B．10.5 C．10 D．8.5
3．（2014秋•岑溪市期中）如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，则下列说法错误的是（ ） A．AE=AC B．AB=2BF C．BD=DC D．AD=CF
4．如图，△ABC中，BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB，连接AM，已知∠MBC=25°，∠MCA=30°，则∠MAB的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
5．（2014秋•莱城区校级月考）如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD边AD上的中线；
③CH是△ACD边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2013春•盐都区校级期中）如果AD、AE、AF分别是△ABC的中线、高和角平分线，且有一条在△ABC的外部，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
二、填空题
7．（2014秋•潜江校级期中）如图： （1）在△ABC中，BC边上的高是 ；
（2）在△AEC中，AE边上的高是 ；
（3）在△FEC中，EC边上的高是 ．
8．（2014秋•岳池县月考）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为 cm．
三、解答题
9．（2013秋•白云区校级月考）任作一个锐角三形，直角三角，钝角三角形，分别作出它们的三条高．
10．（2014秋•镇康县校级期中）如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．
（1）试说明CD是△ABC的高；
（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．
11．如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？
12．如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线． 典例探究答案：
【例1】如图，已知△ABC和△EFD，在图中分别画出这两个三角形的三条高．
分析：根据三角形的高的定义：从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高，可分别作出每条边上的高．
解答：解：△ABC和△EFD的高如图所示．
点评：本题考查了三角形的高线的定义，熟记概念是解题的关键．
练1．如图，AD⊥BE于D，以AD为高的三角形有（ ）个． （1）作出△ABD的边BD上的高．
（2）若△ABC的面积为10，求△ADC的面积．
（3）若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．
13．如图，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线且∠DBC=∠ECB=31°．求∠ABC和∠ACB的度数，它们相等吗？（写出简单过程）
A．3 B．4 C．5 D．6
分析：由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
解答：解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故选：D．
点评：此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
练2．（2013春•水富县校级期中）如图：
（1）在△ABC中，BC边上的高是 ．
（2）在△AEC中，AE边上的高是 ．
（3）在△FEC中，EC边上的高是 FE ．
（4）若AB=CD=2cm，AE=3cm，则S△AEC= cm2，CE= cm．
分析：（1）（2）（3）三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段；
（4）在△AEC中，要看作AE是底，CD是AE上的高，由面积公式计算，也可把CE看作底，AB是高，故也可求得CE的长．
解答：解：（1）在△ABC中，BC边上的高是AB；
（2）在△AEC中，AE边上的高是CD；
（3）在△FEC中，EC边上的高是FE；
（4）∵AE=3cm，CD=2cm，
∴S△AEC=AE•CD=3cm2， ∵S△AEC=AB•CE=3cm2，
∴CE=3cm．
故S△AEC=3cm2，CE=3cm．
点评：本题考查了三角形高线的概念及直角三角形的面积公式．
【例2】如图所示，已知AD，AE分别是△ABC和△ADC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
分析：（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；
（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；
（3）由于AE是中线，那么BE=CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长=AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长=AC﹣AB，易求其值．
解答：解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴AB•AC=BC•AD，
∴AD===4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；
（2）∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴S△ABC=AB•AC=×6×8=24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴BE•AD=EC•AD，即S△ABE=S△AEC，
∴S△ABE=S△ABC=12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
