人教版八年级数学上册三角形的高、中线、角平分线

1 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线

【教学目标】

1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念.

2.准确区分三角形的高、中线与角平分线.

3.能够独立完成与三角形的高、中线和角平分线有关的计算.

【重点难点】

重点：1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念.

2.能利用三角形的高、中线和角平分线的性质进行简单计算.

难点：1.能用自己的语言说出三角形的高、中线与角平分线的概念.

2.熟练运用三角形的高、中线和角平分线的性质进行有关计算.

┃教学过程设计┃

教学过程 设计意图

一、创设情境，导入新课

问题1：数一数，图中共有多少个三角形？请将它们全部用符号表示出来.

学生回答：图中共有5个三角形.

它们分别是：△ABC，△ABD，△ACD，△ADE，△CDE. 通过对已学知识的回忆来巩固基础知识，并借此引入新课.

2 问题2：利用△ABC的一条边长为4cm，面积是24cm2这两个条件，你能得出什么结论？

学生回答：能够得出△ABC的高是12cm.

二、师生互动，探究新知

1.通过作图探索三角形的高

学生画出三角形所有的高，并观察这些高的特点.

问题1：根据画高的过程说明什么叫三角形的高？

学生讨论回答，教师完善并归纳.

问题2：在这些三角形中你能画出几条高？它们有什么相同点和不同点？

学生回答：每个三角形都能画出三条高.

相同点：三角形的三条高交于同一点.

不同点：锐角三角形的高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角的顶点，钝角三角形的高交于三角形外一点.

问题3：如图所示，如果AD是△ABC的高，你能得到哪些结论？

学生回答，教师引导总结.

2.类比探索三角形的高的过程探索三角形的中线 通过经历画三角形的高的过程，使学生在头脑中留下清晰形象，并能结合这些具体形象叙述高的定义.三角形的高的概念在书中并没有具体给出，所以在授课时要留给学生充足的时间进行思考和讨论，教师需要强调：三角形的高是一条线段.问题3是要将三角形的高用符号语言表示出来，这也是为以后学习证明打基础.

初中数学 三角形的中线、高线、角平分线

精讲精练

【考点精讲】

三角形的

重要线段 定义 图形 表示法 说明

三角形

的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。 1. AD是△ABC的BC边上的高线。

2. AD⊥BC于D。

3. ∠ADB=∠ADC=90°。 三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。

三角形

的中线 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。 1. AD是△ABC的BC边上的中线。

2. BD=DC=12BC。

三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。三角形的重心在三角形的内部。

三角形的

角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点与交点之间的线段。 1. AD是△ABC的∠BAC的平分线。

2. ∠1=∠2=12∠BAC。 三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的内心。

三角形的内心在三角形的内部。

【典例精析】

例题1 如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC的高BE，其中画对的是_______。

甲 乙 丙 丁

思路导航：根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，对各图形作出判断。

答案：丁

点评：这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：一是过哪个点；二是垂直于哪条边。这道题是过B点，垂直于AC边。

例题2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是______。

思路导航：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。

答案：设等腰三角形的腰长是xcm，底边是ycm。根据题意，得：

11.1 与三角形有关的线段（2）

一、选择题：

1.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC具有性质( )

A.是边BB′上的中线 B.是边BB′上的高

C.是∠BAB′的角平分线 D.以上三种性质合一

B'CBAEDCBAFEDCBA

(1) (2) (3)

2.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是( )

A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线

C.AD=DC,BD=EC D.∠C的对边是DE 3.如图3所示,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC=4cm2,则S阴影等于( )

A.2cm2 B.1cm2 C.12cm2 D.14cm2

4.在△ABC,∠A=90°,角平分线AE、中线AD、高AH的大小关系为( )

A.AH

5.在△ABC中,D是BC上的点,且BD:DC=2:1,S△ACD=12,那么S△ABC等于( )

A.30 B.36 C.72 D.24

二、填空题:

1.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度.

2.等腰三角形的高线、角平分线、中线的总条数为________.

3.在△ABC中,∠B=80°,∠C=40°,AD,AE分别是△ABC的高线和角平分线, 则∠DAE的度数为_________.

4.三角形的三条中线交于一点,这一点在_______, 三角形的三条角平分线交于一点,这一点在__________,三角形的三条高线所在直线交于一点,这一点在_____.

三、解答题

1 第二讲：三角形的高线、中线、角平分线

一）、学前准备

1、三角形按边分可分为什么？按角分可分为什么？

2、下列长度的三个线段能否组成三角形？

（1）3，6，8 （2）1，2，3 （3）6，8，2

【基础知识】

一、三角形中的主要线段

1、三角形的角平分线。

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

ABDC12

表示法：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线。

（2）∠1＝∠2＝12∠BAC

【注意】：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④可以用量角器画三角形的角平分线。

2.三角形的中线（如图2）

三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。。

2 ABDC

表示法：（1）AD是△ABC的BC上的中线；（2）BD＝DC＝12BC

【注意】：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成面积相等的两个三角形。

3、三角形的高线

从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

ABDC

表示法：（1）AD是△ABC的BC上的高。（2）AD⊥BC于D。（3）∠ADB＝∠ADC＝90°。

【注意】：①三角形的高是线段；②锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点。

1、作出下列三角形三边上的高：

A

C B A

C B

3 【练习】：

1.如图，D，E分别为△ABC的边AB，BC的中点，则下列说法中不正确的是（ ）

A. DE是△BCD的中线 B. ∠B的对角线是DE

C. CD是△ABC的中线 D. AD=DB，BE=EC