高二数学空间角的计算

巧用“三射线定理”求解空间角度问题

1巧用“三射线定理”求解空间角度问题

数学组：石胜军

立体几何试卷中常遇有空间角度计算问题：求异面直线所成的角、求直线与平面所成

的角、求平面与平面所成的角等，这是学生们普遍感觉较为困难的一类问题．这类问题有

两种常用的求解方法：一是通过作图，找出并证明问题所涉及到的对应角，然后利用平面

几何知识或三角函数知识求出这一角度的值；二是通过建立空间直角坐标系，利用空间向

量的坐标运算去求角．本文不打算在这两种固定不变的思路上做文章，而是意图通过介绍

一个定理，利用数道例题，来给出用于求解空间角度问题的另外一种手段，以期能帮助激

发同学们的求异与创新思维．

1．三射线定理及其证明

从空间一点P任意引三条不共面的射线PA、PB、PC，设BPC，CPA，

APB，且二面角A—PC—B为，则．..(1)coscoscossinsincos

二面角为，则 …(2) CPBA.cossinsincoscoscos

二面角为，则…(3) CAPBcossinsincoscoscos

证明(1)式：如图1，已知PA、PB、PC是这样的三条

射 线，

不妨设BC⊥PC于C，AC⊥PC，

则ACB即为二面角A—PC—B的平面角，

∴ACB，

设PA，PB，PC，AC，BC，ABabcmn

，p

在RtBPC中，有，，cosc

bsinn

b

同理在RtCPA中，有，，cosc

asinma

而在APB中，有，222cos2abp

ab

在ACB中，有，222cos2mnpmn

∴222coscossinsincos2ccnmmnp

babamn

，2222

2cmnp

abab22222cmnp

ab

而，∴，代入上式即得22222cambn222222cabmn

高中数学-打印版

精心校对 《空间向量》的应用空间

湖南 高明生

空间向量的应用空间：

1．三种空间角的向量法计算公式：

⑴异面直线,ab所成的角：coscos,ab；

⑵直线a与平面(法向量n)所成的角：sincos,an；

⑶锐二面角：coscos,mn，其中,mn为两个面的法向量。

2.用向量法求距离的公式：

⑴异面直线,ab之间的距离：

||ABndn，其中,,,nanbAaBb。

⑵直线a与平面之间的距离：

||ABndn，其中,AaB。n是平面的法向量。

⑶两平行平面,之间的距离：

||ABndn，其中,AB。n是平面的法向量。

⑷点A到平面的距离：

||ABndn，其中B，n是平面的法向量。

⑸点A到直线a的距离：

22||||ABadABa，其中Ba，a是直线a的方向向量。

⑹两平行直线,ab之间的距离：

22||||ABadABa，其中,AaBb，a是a的方向向量。

3.用向量法证明

例题讲解：

类型一：利用空间向量求异面直线所成的角

例1． 如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、高中数学-打印版

精心校对 AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是

( )

A．515arccos B．4

C．510arccos D．2

解：以D为原点建立坐标系

)1,1,1(),1,0,1(1GFEA

01GFEA

异面直线A1E与GF所成的角是2

类型二：利用空间向量求直线与平面 (法向量n)所成的角

例2 在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD成的角．

高三数学知识点：空间角问题

下面整理了高三数学知识点：空间角问题，期望大伙儿能把觉得有用的知识点摘抄下来，在空余时刻进行复习。

一、直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

二、直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为。②平面的垂线与平面所成的角：规定为。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和那个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：一作，二证，三运算。

在作角时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

三、解题技巧

在解题时，注意挖掘题设中两个要紧信息

(1)斜线上一点到面的垂线;

(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 ③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面假如所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直;反过来，假如两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟专门貌，属句有夙性，说字惊老师。”因此看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一样学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。现在体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题6题型分类

一、空间向量研究距离问题

1．点P到直线l的距离:

已知直线l的单位方向向量为u，

A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量AP→

在直线l上的投影向量

为AQ→

＝

a，则点P到直线l

的距离为a2－

a·u

2 (如图)．

2．点P到平面α的距离:

设平面α的法向量为n，

A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为|AP→

·n|

|n|(如图)．

3．两平行直线间的距离：一条直线上任一点到另一条直线的距离.

4．直线到平面的距离：直线上任一点到这个平面的距离.

5．两平行平面间的距离：一平面上任一点到另一平面的距离．

二、空间向量研究夹角问题

1．

两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面

角称为平面α与平面β的夹角．

2．空间角的向量法解法

角的分类向量求法范围

线线角设两异面直线l

1，l

2所成的角为θ，

其方向向量分别为u，v

，

则cos θ＝|cos〈u，v

〉|＝|u·v

|

|u||v

|(

0，π

2]

线面角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的

方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos

〈u，n〉|＝|u·n|

|u||n|[

0，π

2]

面面角设平面α与平面β的夹角为θ，

平面α，

β的法向量分别为n

1，n

2，

则cosθ＝|cos〈n

1，n

2〉|＝|n

1·n

2|

|n

1||n

2|[

0，π

2]

（一）

点到直线的距离

1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤：

(1)求直线的方向向量．

(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．

(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．

2、用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:

(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;

(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;

(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.