第1页 共2页 §空间角的计算(二)
编写：周洋 审核：黄爱华
一、知识要点
1.用向量方法解决两平面所成角；
2.用向量方法处理空间角的综合问题。
二、典型例题
例1.在正方体__1111ABCDABCD中，求二面角____11ABDC的大小。
例2.已知EF、分别是正方体__1111ABCDABCD的棱BC和CD的中点，求：
⑴1AD与EF所成角的大小；
⑵1AF与平面1BEB所成角正弦值大小；
⑶二面角____11CDBB的余弦值。
三、巩固练习
1.在一个二面角的一个平面内有一点，它到棱的距离等于到另一面的距离的2倍，则这个二面角大小为 ；
2.在正方体1AC中O是底面ABCD的中心，M是1CC的中点。
⑴求证OM是平面1ABD的法向量；
⑵求二面角____1AABD的余弦值大小。
四、小结
高二数学选修2-1
教学案36
CBDAD1C1A1B1
第2页 共2页 五、作业
1.二面角的平面角与这两个平面的法向量的夹角关系是 ；
2.平面,,ab∥平面，且ab、为异面直线。若和的距离为1，则ab、之间的距离为 ；
3.在棱长为a的正方体__1111ABCDABCD中，点A到平面1ABD的距离为 ；
4.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，2,1ABAF。
⑴求二面角____ADFB的大小；
⑵试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成角为60°。
5.如图，矩形ABCD的对角线,ACBD相交于点O，4,3ABAD，沿AC把ACD折起，使二面角____1DACB为直二面角，求二面角____1DBCA的余弦值。
6.如图已知ABC和DBC所在的平面互相垂直，,120,ABBCBDCBADBC求
⑴AD与BC所成角；
⑵AD与平面BCD所成角；
高二数学（下）
2003/2/22
第1页共2页 空间角的计算
【教学内容】
掌握异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角及平面角的的概念和作图方法，并能熟练计算。
【教学重点、难点】
如何将空间角转换成平面角。
【德育目标】
培养学生辩证唯物观，事物在一定条件下可以相互转化。
【教学过程】
例1、已知二面角α－a－β，点P在二面角α－a－β内，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，PA=8，PB=5，AB=7，求二面角α－a－β的大小。
αβOPBA
注意：此题找二面角的平面角不难，但应注意证明P、B、O、A四点在一个平面内。
例2、已知正四面体ABCD中，BC的中点为E，AD的中点为F，连结AE、CF。试求：
（1）异面直线AE与CF所成的角；
（2）求CF与底面BCD所成角的正弦值。
FEDCBA 高二数学（下）
2003/2/22
第2页共2页 注意：
1、异面直线所成的角，通常是利用平行线进行平移之后转换成平面角来计算；
2、直线与平面所成的角是利用直线在平面上的射影，因此，作平面的垂线是必须的。
〖随堂练习〗
1、一直线与直二面角的两个面的所成角α、β，则α+β的取值范围是多少？
答案：0°≤α+β≤90°
2、若直线a与平面α、β所成的角相等，试讨论平面α、β的位置关系如何。
3、正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平面B1D1E与平面ABCD所成的二面角的正弦值。
【作业】
1、在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=21AB=a，将△ADC沿AC折起，使D到D’。若二面角D’―AC―B为直二面角，求二面角A―BC―D’的大小。
D'CBADCB A
2、ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值。
空间角计算专题典型题
1、三棱锥P-ABC中，PA=5，AB=3，BC=4，∠ABC=900，PA⊥面ABC，求：（1）PC与平面ABC所成角的大小的余弦值；（2）二面角P-BC-A的大小的正切值。
2、三棱锥P-ABC中，PA=6，AB=BC=AC=4，PA⊥面ABC，求：（1）PC与平面ABC所成角的大小余弦值；（2）二面角P-BC-A的大小的正切值。
3、正三棱锥P-ABC中，侧棱PA=6，底面AB=4，求：（1）PC与平面ABC所成角的大小余弦值；（2）侧面与底面所成二面角的大小的正切值。
4、四棱锥P-ABCD中，PA=6，底面ABCD是矩形，且AB=3，BC=4，PA⊥面ABCD，求：（1）PB与CD所成角的正切值；（2）PC与平面ABC所成角的大小的余弦值；（3）二面角P-BC-A的大小的正切值。
5、正四棱锥P-ABCD中，PA=6，底面BC=4，求：（1）PB与CD所成角的余弦值；（2）PC与平面ABC所成角的大小的余弦值；（3）二面角P-BC-A的大小的正切值。
ACBPACBPACBPCADBPCADBP6、正四棱锥P-ABCD中，每条棱长均为6，取棱PC的中点E，求：（1）AE与BC所成角的余弦值；（2）PB与平面BDE所成角的大小的余弦值；（3）二面角E-BD-C的大小的正切值。
7、直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面AB=3，BC=4，∠ABC=900，侧棱长为5，求：（1）A1B与B1C1所成角大小的余弦值；（2）A1C与面ABB1A1所成角大小的余弦值；（3）二面角A-BC-A1的大小的正切值。
8、直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面AB=3，BC=4，∠ABC=900，侧棱长为5，取A1C1中点D1，求：二面角A-BC-D1的大小的正切值。
9、正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面AB=3，侧棱长为5，求：（1）A1B与B1C1所成角大小的余弦值；（2）A1C与面ABB1A1所成角大小的余弦值；（3）二面角A-BC-A1的大小的正切值。
空间立体几何专题复习《空间角的计算》
学习目的：能求异面直线所成的角、直线与平面所成的角及简单的二面角的平面角大小.
一.基础知识梳理
1.写出异面直线所成的角的定义及其范围
2.写出直线与平面所成的角的定义及其范围
3.写出二面角及其平面角的定义及其范围
4.上述三种角的求法分别是怎样的？
二.经典题型
1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为 .
2.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于
3.正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1-AB-C的平面角等于 ．
4.如图，VA=VB=AC=AC=2，AB=2，BC=3，求二面角V-AB-C大小.
5.已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为 .
6.已知四面体ABCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值．
