高二数学空间的角试题答案及解析

高二数学空间的角试题答案及解析

1. 在正方体中，直线与平面所成角的大小为____________．

【答案】.

【解析】连接，，连接.由正方体的性质可得，且，所以平面，所以可得为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为，则，.在中，，从而得到答案为.

【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．

2. 如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为 。 【答案】 【解析】试题分析:把正方体的表面展开图还原成正方体，设 的中点为，连接，又，则为异面直线AB和CD所成的角，由余弦定理可得。 【考点】（1）异面直线所成角的定义；（2）平行公里；（3）余弦定理的应用。

3.

空间四边形ABCD中，M，N分别是AB和CD的中点，AD=BC=6，MN=则AD和BC所成的角是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】取线段AC的中点P.由于M,N都是中点.所以QN=3，QM=3.又因为.所以三角形MNP是直角三角形.即MP⊥PN,又因为MP∥BC, PN∥AD.所以AD⊥BC.本题主要是应用三角形的中位线的知识.含中点的题一般都的转化为中位线的知识.

【考点】1.异面直线所成的角.2.中位线定理.3.空间问题向平面问题转化.

4. 在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】在正方体中，容易得到平面，又因为平面,故得到. 【考点】异面直线所成角.

5. 在三棱锥中,是边长为2的正三角形,平面平面,,分别为的中点.

(1)证明:;

(2)求锐二面角的余弦值;

【答案】（1）见试题解析；（2）．

【解析】（1）要证线线垂直，一般可先证线面垂直，而本题中有，是等边三角形，故可以取中点为，则有，，这是等腰三角形的常用辅助线的作法；（2）关键是作出所求二面角的平面角，由已知及（1）中辅助线，可知平面，由于 是 中点，故只要取中点 ，则有 ，也即 平面 ，有了平面的垂线，二面角的平面角就容易找到了。

试题解析：(1)证明:取中点,连结,.

∵ ∴且

∴平面,又平面,∴ .

(2)设OB与C E交于点G，取OB中点为M，作MH^C E交CE于点H，连结FM，FG.

平面平面且，

,,,

从而.,是二面角的平面角.

由得,

在中,,

,

故锐二面角的余弦值为 .

【考点】（1）两直线垂直；（2）二面角． 6. 边长为a的菱形ABCD中锐角A=，现沿对角线BD折成60°的二面角，翻折后=a，则锐角A是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】取BD的中点O，连接OC、OA，则∠COA为二面角C-BD-A的平面角，即∠COA=60°,

∵|AC|= ，∴|AO|=

∵菱形ABCD中AD=a，∴∠ADB=

∴∠A=

【考点】与二面角有关的立体几何综合题．

点评：本题考查二面角的平面角，考查学生的计算能力，确定二面角的平面角是关键．

7. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱AB，DD1中点，则异面直线A1M与C1N所成的角是（ ）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，由于正方体的各个面是正方形，那么可知在正方形内，取 的中点E，则连接,则可知异面直线A1M与C1N所成的角是就是直线A1M与所成的角，在正方形内，根据相似的性质可知，A1M与垂直，故选D.

【考点】异面直线所成的角

点评：解决的关键是将直线平移到一个平面内，然后借助于平面的性质来判定，属于基础题。

8. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D的平面角为时，AE＝( )

A．1 B． C．2－ D．2－

【答案】D

【解析】以点D为原点，AD、DC、DP所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系 则P（0，0，1），C（0，2，0），设E（1，y0，0），则，设平面PEC的法向量，解得，而平面ECD的法向量，因为二面角P－EC－D的平面角为，所以，

【考点】线面垂直的性质定理；二面角。

点评：此题重点考查了利用空间向量借助平面的法向量的夹角与二面角的大小之间的关系，同时还考查了利用方程的思想解出未知的变量．

9. 已知二面角是直二面角，P为棱AB上一点，PQ、PR分别在平面、内，且，则为（ ）

A．45° B．60° C．120° D．150°

【答案】B

【解析】作于C，连接RC,则,设,则

【考点】求两线夹角

点评：本题先将题目中的角转化为三角形内角，再通过解三角形求其大小

10. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥P－ABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°．

（1）证明：∠PBC＝90°；

（2）若PB＝3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

【答案】(1)取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，

又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB平面POB，

∴BC⊥PB，即∠PBC＝90°. (2)如图，

以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，由PO＝BO＝，PB＝3，得∠POB＝120°，∴∠POz＝30°，∴P(0，－，)，则＝(－1，，0)，

＝(－1,0,0)，＝(0，，－)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则，取z＝，则n＝(0,1，)，

设直线AB与平面PBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝.

【解析】本试题主要是考查了四棱锥中线面角的求解以及线面的垂直性质定理的运用。

（1）因为取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，

又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，这样可得到结论。

（2）建立空间直角坐标系，然后设出法向量坐标，利用向量的夹角公式得到结论。

11. （本小题满分14分）如图，在三棱锥中，面面，是正三角形，

，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值；

（Ⅲ）求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值为；

（Ⅲ）异面直线与所成角的余弦值为 。

【解析】本试题主要是考查了线线的垂直和二面角的求解，以及异面直线的所成的角的求解的综合运用。

（1）先根据线面垂直的性质定理得到线线垂直的判定。

（2）要求解二面角的平面角可以运用三垂线定理作出角，或者利用空间向量表示的二面角平面角。

（3）对于异面直线的所成的角，可以通过平移法得到结论。 （Ⅰ）分别取、的中点、，连结、．

∵是正三角形，∴．

∵面⊥面，且面面，

∴平面．∵是的中位线，且平面，∴平面．

以点为原点，所在直线为轴，所

在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．设，则，

，， ，．

∴，． ……………………2分

∴．

∴，即 ． …………………5分

（Ⅱ）∵平面， ∴平面的法向量为．

设平面的法向量为，∴，．

∴，即 ．

，即 ．

∴令，则，． ∴．

．

平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值为 …………………10分

（Ⅲ）∵，，

∴．

∴异面直线与所成角的余弦值为 …………………14

12. 为正方形，平面，，则与所成角的度数为

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【解析】因为以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系，∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0） ∴PA=（1，0，-1），BD=（-1，-1，0）根据向量的夹角公式可知解的余弦值为-，那么异面直线所成的角为60°，选C.

13. 空间四边形ABCD中，若，则与所成角为( )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】取BD的中点M，连接AM，CM，因为AB=AD=BC=CD,所以

,所以,所以与所成角为.

14. 若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：以正三棱锥O-ABC的顶点O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建系，

设侧棱长为1，则A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），

侧面OAB的法向量为OC=（0，0，1），底面ABC的法向量为(,,),利用向量的夹角公式得到结论为，选B

15. 如右图所示，正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】连结AC、BD交于点O，连结OE，易得OE∥PA.∴所求角为∠BEO.

由所给条件易得OB＝，OE＝PA＝，BE＝，∴cos∠OEB＝，

∴∠OEB＝60°，选C

16. 已知长方体中，，E、F分别为和AD的中点，则异面直线、EF所成的角为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】取CD的中点G，利用三角形中位线的性质可得∠GEF或其补角即为异面直线CD1与EF所成的角．再利用勾股定理可得△EFG为等腰直角三角形，得到∠GEF=45°，从而求得异面直线CD1与EF所成的角为900,选D