高二数学夹角的计算

高二数学夹角的计算

夹角的计算

$$学法指导$$

本小节主要包括三个部分的知识:直线间的夹角;平面间的夹角;直线与平面间的夹角、在学习时要注意的问题有:(1)直线间的夹角:直线间夹角的范围就是0,2(2)求平面间的夹角时求平面的法向量就是解题的关键、(3)求直线与平面间的夹角时用的就是直线的方向向量与平面的法向量所成的夹角,此角与直线与平面所成角互余、 用向量作工具来研究空间的夹角问题时,重要的就是明确直线的方向向量、平面的法向量以及它们之间的关系、

$$知识精要$$

知识点1: 直线间的夹角

1、两直线的夹角

当两条直线1l与2l共面时,我们把两条直线交角中,范围在0,2内的角叫做两直线的夹角

2、 异面直线的夹角:

当两条直线1l与2l就是异面直线时,在直线1l上任取一点A作AB∥2l,我们把直线1l与直线AB的夹角叫做异面直线1l与2l的夹角

3、(重点)空间两直线的夹角与它们方向向量的夹角的关系:

已知直线1l与2l的方向向量分别为1sur, 2sr,

当0<12,ssrr<2时,直线1l与2l的夹角等于12,ssrr;当2<12,ssrr时,直线1l与2l的夹角等于－12,ssrr、

注:确定直线的方向向量就是解决两直线夹角的关键、

知识点2 (重难点) 平面间的夹角

1、 平面间的夹角:

在两个平面所成的二面角的平面角中,称范围在0,2内的角为这两个平面的夹角、

注:平面间的夹角与平面的二面角不就是同一概念、

2、 (重点)求两平面间的二面角的向量求法

方法一:在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量,则这两个向量所成的角或其补角即为所求的二面角的大小;

注:要特别关注两个向量的方向

方法二:设1nur,2nuur分别就是两个面的法向量,则向量1nur与2nuur的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小、

注:通过向量法求出二面角有利于求两平面的夹角、

3、 (难点)两平面的夹角与两平面法向量所成的角的关系、 高二数学夹角的计算

平面1与2的法向量为1nur与2nuur,为两个平面所成二面角的平面角,与12,nnuruur的关系:

(1) 当012,nnuruur2时,=12,nnuruur;

(2) (2)当2<12,nnuruur时,=－12,nnuruur

知识点3 (重难点) 直线与平面间的夹角、

1、直线与平面的夹角

平面外一条直线与她在该平面内的投影的夹角叫做该直线与此平面的夹角、

注:直线与平面间的夹角的范围为0,2

2直线与平面的夹角的计算方法

（1） 在平面内作出直线的投影,找到直线与平面的夹角,通过解三角形求出、

（2） 利用直线的方向向量与平面的法向量所成的角求直线与平面的夹角、

3、 (难点)直线的方向向量与平面的法向量的夹角与平面间的夹角的关系:

一直线的方向向量为sr,一平面的法向量为nr,则此直线与该平面的夹角与,snrr的关系为=,2snrr、

$$知识深化$$

知识点1: 直线间的夹角

两直线的夹角就是指两条直线相交构成的四个角中不超过2的角,由于异面直线既不相交也不平行,因此通过平移的方式使两异面直线相交然后定义其夹角,故空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定。运用向量法求异面直线的夹角就就是在异面直线上取方向向量,运用公式121212cos,ssssssuruururuururuur,求出两向量的夹角、

注:用向量的夹角公式求异面直线所成角时要注意其范围。

知识点2:平面间的夹角

注:用向量法求二面角的大小时要注意向量的夹角与二面角就是否相等、

知识点3:直线与平面间的夹角

在求直线与平面所成的角时,可以先求出直线及其射影对应的方向向量,再利用向量的内积求出直线与平面所成的角,或利用直线l的方向向量sr与平面的法向量nr求得

$$高考链接$$

1(2009年福建省理科)如图,在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中,EF、分别为11AD与1CC的中点.

(1)求证:EF∥平面1ACD; 高二数学夹角的计算

(2)求异面直线EF与AB所成的角的余弦值;

(3)在棱1BB上就是否存在一点P,使得二面角PACP的大小为30o?若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由.

解析:本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识;考查空间想像能力、推理论证能力与探索问题、解决问题的能力,利用空间向量将线面角与二面角将几何问题转化为代数问题解决.

答案:

解:如图分别以1,,DADCDD所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz,

由已知得0,0,0D、2,0,0A、2,2,0B、0,2,0C、12,2,2B、10,0,2D1,0,2E、、0,2,1F.

(1)取1AD中点G,则1,0,1G,

1,2,1CGuuur,又1,2,1EFuuur,

由EFCGuuuruuur,

∴EFuuur与CGuuur共线.从而EF∥CG,

∵CG平面1ACD, EF平面1ACD,∴EF∥平面1ACD.

(2)∵0,2,0ABuuur, 高二数学夹角的计算

46cos,3||||26EFABEFABEFABuuuruuuruuuruuuruuuruuur,

∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为36.

(3)假设满足条件的点P存在,可设点2,2,Pt(02t),平面ACP的一个法向量为,,nxyzr,

则0,0.nACnAPruuurruuur ∵0,2,APtuuur 2,2,0ACuuur,∴220,20,xyytz

取2(1,1,)ntr.

易知平面ABC的一个法向量1(0,0,2)BBuuur,

依题意知, 1,30BBnouuurr或150o,

∴124||3cos,2422tBBNtuuuruur,即22434(2)4tt,解得6.3t

∵6(0,2]3,∴在棱1BB上存在一点P,当BP的长为63时,二面角PACB的大小为30o、

2(2008安徽卷)

如图,在四棱锥OABCD中,底面ABCD四边长为1的菱形,4ABC,

OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点,N为BC的中点

(Ⅰ)证明:直线MNOCD平面‖; 高二数学夹角的计算

(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小;

(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。

解析:本题考查线面平行,异面直线所成角即点到平面的距离,在用向量解决时注意异面直线所成角的范围、

答案:

方法一(综合法)

(1)取OB中点E,连接ME,NE

∵MECD，‖AB,AB‖∴MECD‖又∵NEOC‖∴MNEOCD平面平面‖

∴MNOCD平面‖

(2)∵CD‖AB ∴MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)

作,APCDP于连接MP

∵OA平面ABCD∴CDMP

∵4ADP∴22DP=

222MDMAAD,1cos2DPMDPMD1cos2DPMDPMD

∴1cos2DPMDPMD3MDCMDP

所以 AB与MD所成角的大小为3

(3)∵AB平面‖OCD∴点A与点B到平面OCD的距离相等,连接OP,过点A作

AQOP 于点Q,

∵,APCDOACD∴CDOAP平面∴AQCD

又 ∵AQOP∴AQOCD平面,线段AQ的长就就是点A到平面OCD的距离

∵22OPODDP222OAADDP1324122, 22APDP

∴OAAPAQOPg22223322g,所以点B到平面OCD的距离为23

方法二(向量法)

作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为,,xyz轴建立坐标系高二数学夹角的计算

22222(0,0,0),(1,0,0),(0,,0),(,,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,,0)22244ABPDOMN,

(1)22222(1,,1),(0,,2),(,,2)44222MNOPODuuuuruuuruuur

设平面OCD的法向量为(,,)nxyz,则0,nOPruuur0nODruuur

即 2202222022yzxyz

取2z,解得(0,4,2)nr

∵MNnuuuurr22(1,,1)(0,4,2)044

∴MNOCD平面‖

(2)设AB与MD所成的角为,∵(1,0,0)ABuuur22(,,1)22MDuuuur

∴ cosABMDABMDuuuruuuurguuuruuuur12 , AB与MD所成角的大小为3

(3)设点B到平面OCD的距离为d,则d为OBuuur在向量(0,4,2)nr上的投影的绝对值,

由 (1,0,2)OBuuur, 得23OBndnuuurrr、所以点B到平面OCD的距离为23