2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版：专题突破练20 统计与统计案例

专题突破练20 统计与统计案例

1.(2019全国卷3,文17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:

甲离子残留百分比直方图

乙离子残留百分比直方图

记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.

(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

2.(2019山西吕梁4月模拟,文19)某高科技公司投入1 000万元研发某种产品,大规模投产后,在产品出库进入市场前,需做严格的质量检验.为此,从库房的产品中随机抽取200件,检测一项关键的质量指标值(记为X),由检测结果得到如下样本频率分布直方图:

(1)求这200件产品质量指标值的样本平均数 、样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);

(2)该公司规定:当X>170时,产品为正品;当X≤170时,产品为次品.公司每生产一件这种产品,若是正品,则盈利80元;若是次品,则亏损20元.

①估计这200件产品中正品、次品各有多少件;

②求公司生产一件这种产品的平均利润.

3.(2019全国卷1,文17)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:

满意 不满意

男顾客 40 10

女顾客 30 20

(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?

附:K2= -

.

P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

4.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,得到如图的频率分布直方图.

年级名次

是否近视 1~50 951~1 000

近视 41 32

不近视 9 18

(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数;

(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1~50名和951~1 000名的学生进行了调查,得到上表中数据,根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?

附:

P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

K2= -

,其中n=a+b+c+d.

5.(2019河北衡水同卷联考,文18)2014年1月25日,中共中央办公厅、国务院办公厅专门发布了《关于创新机制扎实推进农村扶贫开发工作的意见》,对我国扶贫开发工作做出战略性创新部署,提出建立精准扶贫工作机制.某乡镇根据中央文件精神,在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有473户,结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施,从2015年至2018年该乡镇每年脱贫户数见下表:

年份 2015 2016 2017 2018

年份代码x 1 2 3 4

脱贫户数y 55 69 71 85

(1)根据2015~2018年的数据,求出y关于x的线性回归方程 x+ ;

(2)利用(1)中求出的线性回归方程,试估计到2020年底该乡镇的473户贫困户能否全部脱贫.

附: -

- .

6.(2019山东德州一模,文18)改革开放以来,伴随着我国经济持续增长,户均家庭教育投入(户均家庭教育投入是指一个家庭对家庭成员教育投入的总和)也在不断提高.我国某地区2012年到2018年户均家庭教育投入(单位:千元)的数据如下表:

年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

年份代号t 1 2

3 4 5 6 7

户均家庭教育投入y 3.4 3.8 4.1 4.9 5.3 5.7 6.4

(1)求y关于t的线性回归方程;

(2)利用(1)中的回归方程,分析2012年至2018年该地区户均家庭教育投入的变化情况,并预测2019年该地区户均家庭教育投入是多少?

附: -

- .

7.(2019安徽江淮十校联考一,文19)下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额(单位:万元),其中年份代码x=年份-2013.

年份代码x 1 2 3 4

线下销售额y 95 165 230 310

(1)已知y与x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程,并预测2018年该百货零售企业的线下销售额;

(2)随着网络购物的飞速发展,有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑,某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法,随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种),其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人,能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关?

参考公式及数据: -

- .K2= -

,n=a+b+c+d.

P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

8.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:

抽取次序 1

2 3

4 5 6 7 8

零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04

抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16

零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

经计算得

xi=9.97,s=

-

- ≈0.212, - ≈18.439,

(xi- )(i-8.5)=-2.78,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.

(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).

(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在( -3s, +3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.

①从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?

②在( -3s, +3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)

附:样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数r= - -

- - . ≈0.09.

参考答案

专题突破练20 统计与统计案例

1.解 (1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,

故a=0.35.

b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.

乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00. 2.解 (1)取每个区间中点值为区间代表计算平均数为: =140×0.02+160×0.08+180×0.24+200×0.33+220×0.22+240×0.09+260×0.02=200,

方差为:s2=(-60)2×0.02+(-40)2×0.08+(-20)2×0.24+0×0.33+202×0.22+402×0.09+602×0.02=600.

(2)①由题意知,产品是正品的频率为1-(0.001+0.004)×20=0.9,

则200件产品中是正品的件数为200×0.9=180(件),是次品的件数为20件;

②由题意知,生产一件产品的平均利润为0.9×80-0.1×20=70(元).

3.解 (1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为

=0.8,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.

女顾客中对该商场服务满意的比率为

=0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.

(2)K2= -

≈4.762.

由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

4.解 (1)由题图可知,第一组有3人,第二组有7人,第三组有27人,设后四组的频数构成的等差数列的公差为d,则(27-d)+(27-2d)+(27-3d)=63,解得d=3,所以后四组频数依次为27,24,21,18,所以视力在5.0以下的频数为3+7+27+24+21=82人,故全年级视力在5.0以下的人数约为1 000×

=820(人).

(2)K2= -

≈4.110>3.841,因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.

5.解 (1)因为

=2.5,

=70,