人教版高中数学必修第二册8.2椭圆的几何性质教案

高中数学椭圆的性质教案
教学目标：
1. 理解椭圆的基本概念
2. 掌握椭圆的标准方程
3. 熟练运用椭圆的性质进行问题解答
教学重点：
1. 椭圆的定义及数学性质
2. 椭圆的标准方程
3. 椭圆的焦点、长短轴、离心率等性质
教学难点：
1. 椭圆的属性与其他几何图形的比较
2. 椭圆的运用问题解决
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过提问引导学生回顾圆的性质，并引入椭圆的概念，让学生猜测椭圆与圆的异同点。

二、讲解（15分钟）
1. 讲解椭圆的定义及性质，介绍椭圆的标准方程及主要属性。

2. 通过示意图讲解椭圆的焦点、长短轴、离心率等概念。

三、练习（20分钟）
1. 完成课堂练习，巩固椭圆的基本算法。

2. 组织学生进行小组讨论，解决椭圆相关问题。

四、拓展（10分钟）
探讨椭圆在实际生活中的应用，如卫星轨道、天文测量等。

五、作业布置（5分钟）
布置课后作业，要求学生继续复习椭圆相关知识，并尝试解决相关问题。

教学反思：
在教学过程中，要注重引导学生思考，让他们通过实际问题解决来理解椭圆的性质和应用。

同时，要注重椭圆与其他几何图形的比较，帮助学生更好地理解椭圆的特点。

椭圆【考点透视】 一、考纲指要1．熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．2．考查椭圆的离心率，直线的方程，平面向量的坐标表示，方程思想等数学思想方法和综合解题能力. 二、命题落点圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要考查直线方程,平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力. 【典例精析】例1：已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线． （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值．解析:（1）设椭圆方程为22221(0),(,0)x y a b F c a b +=>>,则直线AB 的方程y x c =-代入22221x ya b +=,化简得22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=．令1122(,),(,)A x yB x y ,则22222222212122,a c a c a bx x x x a b a b -+==++．由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB+=++=-+与a 共线,得 12123()()0y y x x +++=,又1122,y x c y x c=-=-，12121233(2)()0,2cx x c x x x x ∴+-++=∴+=．即222232a c c a b=+,所以223a b = ，2263a c a b ∴=-=， 故离心率63c e a ==．（2）由（１）知223a b =,所以椭圆22221x ya b +=可化为22233x y b += 设(,)OM x y =,由已知得1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，1212,.x x x y y y λμλμ=+⎧⎪∴⎨=+⎪⎩ (,)M x y 在椭圆上,2221212()3()3x x y y b λμλμ∴+++=，即222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y bλμλμ+++++= ①由（1）知222212331,,222x x c a c b c+===， 222222212121212123,833()()a c ab x xc a bx x y y x x x c x c -∴==+∴+=+--2121222243()3393220.x x x x c cc c c =-++=-+=又222222112233,33x y b x y b+=+=代入①，得221λμ+=．故22μλ+为定值,定值为1 ．例2：如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥． （1）求点P 的坐标；的距离等于MB，（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值． 解析:（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0）x设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x FP y x AP y x -=+=则， 由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==>（2）直线AP 的方程是.063=+-y x设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ，于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+m m m m 解得又椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d ，有,15)29(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d由于.15,29,66取得最小值时当d x x =∴≤≤-例3：（2005·福建）已知方向向量为)3,1(=v 的直线l 过点（32,0-）和椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上. （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C于点M 、N ，满足4OM ON ⋅=∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m 由.解析:（1）直线:l y =- ①过原点垂直l 的直线方程为xy 33-=， ②解①②得.23=x ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32322=⨯=∴c a∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③（2）设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k,13612,131222212221+-=⋅+-=+∴k k x x k k x x,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212++=+-⋅-+-+=-++=k k k k k k kx x x x kMN点O 到直线MN 的距离21|2|k k d +=．,cot 634MON ON OM ∠=⋅ 即||||cos 0,OM ON MON ⋅∠=≠||.632,634sin ||||⋅∴=∴=∠⋅∴∆d MN S MON ON OM OMN 即).13(6341||6422+=+k k k 整理得.33,312±=∴=k k 当直线m 垂直x 轴时，也满足632=∆OMN S .故直线m 的方程为,33233+=x y或,33233--=x y 或.2-=x经检验上述直线均满足0≠⋅ON OM .所以所求直线方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x【常见误区】解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点. 【基础演练】1．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m= （ ）A ．3B ．23C ．38D ．322．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-3． 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A ．22B ．212 C ．22 D 214．点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．31C ．22D ．215．已知B A ),0,21(-是圆221:()4(2F x y F-+=为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .6．如图所示, 底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30的平面所截， 其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为 ．7． 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是 )0,(1c F -、)0,(2c F ，Q 是椭圆外的动点，满足a Q F 2||1=，点Ｐ是线段Q F 1与该椭圆的交点，点Ｔ在线段Q F 2上，并且满足0||,022≠=⋅TF TF PT ．（1）设x 为点Ｐ的横坐标，证明 x a c a P F +=||1；（2）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；（3）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△21MF F 的面积2b S =．若存在，求∠21MF F 的正切值；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆C ：22a x ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l ：y ＝ex ＋a 与x轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .（1）证明：λ＝1－e2；（2）若43=λ，△PF1F2的周长为6，写出椭圆C 的方程；（3）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.ＱyxO1F 2F P9． 设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.。

《椭圆的几何性质》教学设计
全日制普通高中数学人教版第二册（上）第八章第二节
《椭圆的简单几何性质》是人教版8.2内容。

本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上。

通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质，通过本节课的学习让学生了解、掌握椭圆的几何性质，初步体会利用曲线方程来研究其性质的方法，同时也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫。

2、教学目标：
（1）通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形。

（2）通过知识的形成培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力，和运用数形结合思想解决实际问题的能力。

培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识。

3、教学重点和难点：
重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。

难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭圆的扁圆程度的给出过程。

4、教法分析：
本节课以启发、探究式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、及练习法等教学方法。

在椭圆简单几何性质的教学过程中，让学生发现性质，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。

5、学法分析：
在具体的问题情境下，引导学生采用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习，充分发挥其主体的积极作用，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动中充分体验探索的快乐，发挥潜能，使知识和能力得到深化
6教学过程
思路设计。

高中数学椭圆定义讲解教案
一、教学目标：
1. 理解椭圆的定义；
2. 掌握椭圆的性质；
3. 能够应用椭圆解决实际问题。

二、教学重点：
椭圆的定义与性质。

三、教学难点：
如何确定椭圆的方程。

四、教学过程：
1. 引入：通过让学生观察椭圆的形状，引出椭圆的定义。

2. 概念讲解：讲解椭圆的定义，即平面上到两个固定点的距离之和等于定值的点的集合称
为椭圆。

3. 性质讲解：讲解椭圆的性质，如焦点、长轴、短轴等。

4. 示例分析：通过实例讲解如何确定椭圆的方程，以及如何应用椭圆解决实际问题。

5. 练习巩固：让学生做一些练习题，巩固所学知识。

6. 拓展延伸：让学生思考椭圆在现实生活中的应用，如椭圆形的运动轨迹等。

五、课堂总结：
椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于定值的点的集合，具有特定的性质和方程形式。

通过本节课的学习，我们对椭圆有了更深入的了解，能够解决相关问题。

六、作业布置：
布置相关练习题，巩固所学知识。

七、教学反思：
本节课通过引入、讲解、示例分析等环节，达到了教学目标。

但是在课堂练习环节的设置
上可以更具体一些，以加深学生对椭圆的理解。

高中数学椭圆教案教案需要明确教学目标，确保学生能够掌握椭圆的基本概念，包括其标准方程和图形特征。

通过教学活动，学生应能够推导出椭圆的焦点和准线的性质，并能够解决一些与椭圆相关的实际问题。

教学内容的设计要围绕椭圆的定义展开。

可以从简单的几何形状出发，引导学生观察不同圆的压缩变形过程，自然过渡到椭圆的概念。

通过动态演示或实物操作，让学生直观感受到椭圆的形成过程。

在讲解椭圆的标准方程时，教案应包含对椭圆中心、长轴、短轴、焦点等基本元素的介绍。

教师可以通过图像辅助，展示不同位置和大小的椭圆，帮助学生形成清晰的视觉印象。

为了加深学生对椭圆性质的理解，教案中应设计一些探究活动。

例如，让学生动手测量椭圆的长轴和短轴，寻找焦点的位置，并通过实际计算验证椭圆的几何性质。

可以设置一些实验性的学习任务，如利用绘图软件绘制椭圆，或者使用物理方法模拟椭圆的反射和折射现象。

在教学方法上，教案鼓励采用启发式和探究式的教学方式。

通过提问和讨论，激发学生的好奇心和探索欲，引导他们自主发现问题并寻求解决方案。

同时，教师应根据学生的学习情况适时给予指导和帮助。

评价与反馈环节也是教案的重要组成部分。

教案建议通过作业、小测验和课堂表现等多种方式对学生的学习效果进行评估。

及时的反馈可以帮助学生了解自己的学习进度，同时也为教师提供了调整教学策略的依据。

教案还应该包含一些拓展内容，如椭圆在天文学、工程学和其他科学领域的应用案例。

这些实际应用的介绍不仅能够增加学生对数学学科的兴趣，还能够帮助他们认识到数学知识在现实世界中的重要性。

这份高中数学椭圆教案范本旨在通过直观的教学活动和深入的探究学习，帮助学生全面而深刻地理解椭圆的知识。

通过这样的教学设计，我们期望学生不仅能够掌握椭圆的数学理论，还能够将所学知识应用于实际问题，培养他们的综合运用能力和创新思维。

§8.2.5 椭圆的简单几何性质一、教学目标：1.掌握与椭圆有关问题的证明基本思路，熟练运用椭圆的几何性质有关问题.2.进一步完善对椭圆的认识，掌握坐标法，了解存在性问题的处理方法.3.培养学生对数学问题的理解能力、论证能力.二、教学重点与难点：重点：与椭圆有关的问题的证明.难点：有关证题思想和方法的形成.三、教学内容：（一）复习1.椭圆有关的定义及有关概念.2.椭圆的方程形成及有关性质.3.研究椭圆问题的有关思想方法.（二）新课1.例题分析：（1）已知椭圆12222=+by a x （a>b>0），A 、B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直 平分与x 轴相交与点P （x 0,0）.求证：ab a x a b a 22022-<<--（92高考）（2）设P 是椭圆上的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，e 是椭圆的离心率. ①若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，求证：tan ee +-=⋅112tan 2βα②若|PF 1|-|PF 2|=2m （m>0），求证: ∠F 1PF 2=arccos 222222ma ab m --+（3）已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上，且右焦点到直线 x-y-22=0的距离为3，若有斜率为k 的直线L 与椭圆交于不同的两点 M 、N ，且满足|AM|=|AN|.问这样的直线是否存在？若存在，求出k 的范围， 若不存在，说明理由.3.作业：1.已知P 是椭圆12222=+by a x （a>b>0）上的点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，且 ∠F 1PF 2=θ，求证：ΔF 1PF 2的面积为 2tan 2θb2.已知椭圆12222=+by a x （a>b>0）的一条准线为x=1，弦AB 的倾斜角为4π，M 为AB 的中点，直线AB 与OM 的夹角为α（O 为原点） ①当tan α=2时，求椭圆的方程②当2<tan α<3时，证明: 2132<<b3.设A （x 1,y 1）为椭圆x 2+2y 2=2上的一点，过点A 作一条直线斜率为112y x -的 直线L ，又设d 为原点到直线L 的距离，r 1、r 2分别为点A 到椭圆两焦点的距离. 求证：d r r ⋅⋅21为常数.4.已知椭圆上三点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）、C （x 3,y 3）和焦点F （4，0）的距离依 次成等差数列.①求x 1+x 2；②求证线段AC 的垂直平分线过定点，并求出此定点的坐标.。

《8.2椭圆的简单几何性质》教学设计人教版高中《数学第二册（上）》第八章《8.2椭圆的简单几何性质》玉林市育才中学黄明一、教学目标设计1、认知目标：通过椭圆图形的研究和标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用。

2、能力目标：利用软件设计并制作一些相关椭圆性质动画，结合观察思考探究、协作交流讨论、动手实践操作，培养学生分析资料、提取信息、发现问题和解决问题的能力。

培养学生运用数形结合的思想，进一步掌握利用方程研究曲线的基本方法，通过与椭圆几何性质的对比来提高学生联想、类比、归纳的能力，解决一些实际问题。

3、情感目标进一步理解并掌握代数知识在解析几何运算中的作用，提高解方程组和计算能力，通过“数”研究“形”，说明“数”与“形”存在矛盾的统一体中，通过“数”的变化研究“形”的本质。

帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。

二、教学内容及重点、难点分析1、教学内容：学习椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；2、重点：椭圆的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．)3、难点：从图形、方程的不同角度研究曲线的几何性质的方法。

(解决办法：制作课件动画，形象、直观地展示椭圆性质的动画。

) 4．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)三、教学对象分析：本课的学习对象为高二年文科班的学生，他们经过近一年多的高中学习，已经有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，基本的计算机操作较为熟练。

作为高二年文科班的学生普遍存在着数学科基础知识较为薄弱，对数学学习有一定的困难。

在课堂上的主体作用的体现不是太充分，但是他们能意识到自己的不足，对数学课的学习兴趣高，积极性强。

高二年文科班的学生在学习交往上表现为个别化学习，课堂上较为依赖老师的引导。

椭圆的简单几何性质1●教学目标１．掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率； ２．掌握椭圆标准方程中a 、b 、c 关系； ３．能根据条件利用工具画出椭圆． ●教学重点：椭圆的几何性质●教学难点：椭圆离心率与椭圆关系 ●教学方法：学导式●教具准备：幻灯片、三角板 ●教学过程： Ⅰ、复习回顾：师：前几节课，我们学习椭圆的定义、椭圆的标准方程，并且熟悉了它们的应用，这一节课我们利用椭圆的标准方程)0(12222 b a by a x =+来研究椭圆的几何性质． Ⅱ、讲授新课： １．范围：椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里．原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x ,y ）都适合不等式,1,12222≤≤by a x即2222,b y a x ≤≤,∴b y a x ≤≤, 2．对称性：椭圆关于y 轴、x 轴和原点都对称．原因：在椭圆标准方程里，以-x 代x ，或以-y 代y ，或以-x ，-y 分别代x 、y ，方程都不变．３．顶点：椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫椭圆的顶点． 其中Ａ１（-a ,0）,A 2(a ,0)是椭圆与x 轴的两个交点；Ｂ１（０，－b ）,B 1(0,b )是椭圆与y 轴的两个交点．线段Ａ１Ａ２、Ｂ１Ｂ２分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长．４．离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =，叫做椭圆的离心率． 说明①因为,0 c a 所以10 e ．②e 越接近１，则c 越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于０，c 越接近于０，从而b 越接近于a ，这时椭圆就接近于圆；③当且仅当a =b 时，c =0，这时两焦点重合，图形变为圆． 师：对于上述性质要求学生熟练掌握，并能由此推出焦点在y 轴的椭圆标准方程的几何性质（要求学生自己归纳），并能根据椭圆方程得到相应性质．例１ 求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．解：把已知方程化成标准方程,1452222=+y x 这里a =５,b =4,所以31625=-=c ．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a =10和2b =8，离心率53==a c e ，两个焦点分别是Ｆ１（－３，０）和Ｆ２（３，０），椭圆的四个顶点是Ａ１（－５，０），Ａ２（５，０），Ｂ１（０，－４）和Ｂ２（０，４）．将已知方程变形为22554x y -±=，根据22554x y -=在０5≤≤x 范围算出几个点坐标：先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆． 说明：①本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．②根据椭圆的几何性质，用下面方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．Ⅲ、课堂练习课本Ｐ１０２练习１，２，３． ●课堂小结师：通过本节学习，要求大家熟练掌握椭圆的几何性质，并能根据标准方程求出椭圆的焦点、顶点、离心率．●课后作业：习题８．２１，２，３●板书设计。

椭圆的几何性质教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引导学生观察生活中的椭圆形状实例，如地球、柠檬等。

引导学生通过实际操作，用两个固定点（焦点）和一条连接这两个点的线段（半长轴）来定义椭圆。

强调椭圆的两个焦点在横轴上，且两个焦点的距离等于椭圆的长轴长度。

1.2 椭圆的标准方程引导学生推导椭圆的标准方程。

引导学生通过实际操作，用两个焦点和两个顶点来确定椭圆的方程。

强调椭圆的标准方程为\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。

第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴长度。

强调椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，其长度等于椭圆的半长轴的两倍。

2.2 椭圆的短轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的短轴长度。

强调椭圆的短轴是垂直于长轴的线段，其长度等于椭圆的半短轴的两倍。

2.3 椭圆的焦距引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的焦距长度。

强调椭圆的焦距是两个焦点之间的距离，其长度等于椭圆的长轴长度减去短轴长度。

第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式引导学生推导椭圆的面积公式。

强调椭圆的面积公式为\( A = \pi ab \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。

3.2 椭圆的面积计算引导学生通过实际操作，计算给定椭圆的长轴和短轴长度，计算其面积。

强调椭圆的面积是椭圆内部所有点构成的区域的大小。

第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义引导学生通过实际操作，观察椭圆的离心率与长轴、短轴的关系。

强调椭圆的离心率是焦距与长轴之间的比值，其公式为\( e = \frac{c}{a} \)，其中\( c \) 是焦距的长度，\( a \) 是半长轴的长度。

4.2 椭圆的离心率性质引导学生通过实际操作，观察和记录不同椭圆的离心率性质。

椭圆的简单几何性质课堂设计理念：授人于鱼不如授人于渔。

通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位。

教学目标：（1）知识与技能：掌握椭圆的X围、对称性、顶点，掌握ca,b,ba,,几何意义以及c 的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。

（2）过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。

（3）情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。

教学重点、难点：重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。

难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。

通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点。

教学策略与学法指导：教学策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案。

学法指导：通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。

高中数学椭圆教案备课记录课程名称：高中数学椭圆
教学目标：
1. 了解椭圆的定义和性质；
2. 掌握椭圆的标准方程和参数方程；
3. 熟练运用椭圆的相关公式解决问题。

教学重点：
1. 椭圆的定义和性质；
2. 椭圆的标准方程和参数方程。

教学难点：
1. 参数方程的理解和运用；
2. 椭圆的性质的灵活运用。

教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 让学生回顾椭圆的定义，并简单介绍椭圆的性质。

二、授课（30分钟）
1. 讲解椭圆的标准方程和参数方程的推导和特点；
2. 演示如何将椭圆的标准方程转化为参数方程；
3. 确认学生的理解，并进行相关练习。

三、练习（15分钟）
1. 布置椭圆相关的练习题，让学生在课堂上解答；
2. 监督学生的答题过程，及时纠正错误。

四、总结（5分钟）
1. 总结椭圆的重点知识和难点，强化学生的记忆；
2. 鼓励学生多加练习，巩固所学知识。

教学反思：
1. 本节课的难点主要集中在参数方程的理解和应用上，需要多加强化；
2. 下节课可以增加一些实际问题的运用，提升学生的综合能力。

《椭圆的简单几何性质》教学设计一、复习回顾，新知导入这节课我们继续研究有关椭圆的相关知识，在进入本节课的知识之前，我们先复习一下上节课的知识。

【设计意图】引导学生用所学研究新知，重视基础 提出问题：椭圆192522=+y x 的图象怎么画？ 【设计意图】引导学生重视数形结合学生活动：学生自主完成图象，找学生板演，并让学生们解释如何作图，从学生的答案中寻找椭圆的范围、对称性等直观性质。

二、探究问题，观察发现从哪几方面研究研究椭圆的几何性质呢?学生纷纷讨论之后老师确定从椭圆的对称性、顶点、范围、离心率来探究。

探究一：椭圆的范围通过刚才作图，学生们得到了椭圆的范围。

教师引导学生动手动脑，将具体实例抽象成数学图形，数学问题，在平面直角坐标系内来研究。

【设计意图】利用“椭圆的顶点.ppt ”课件展示，使学生直观感性认识椭圆范围所在区域。

学生得出：椭圆位于直线b±=,所围成的矩形内。

=x±ya问题1：如何从数的角度（也就是方程）来验证我们刚才从直观（也就是形）得来的结论呢？【设计意图】体验用代数的方法研究几何问题过程，体会数形结合思想。

学生可能有如下方法:探究二：椭圆的对称性问题2：从图形上看，你能找到椭圆对称轴和对称中心么？【设计意图】让学生直观感知，更深入认识椭圆的对称性。

得出结论：椭圆具有对称性。

①椭圆是轴对称图形，它关于x轴和y轴对称；②实物演示：椭圆绕中心旋转180后与原椭圆重合——椭圆也是中心对称图形，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

问题3：从方程看如何判断椭圆的对称性？【设计意图】经历几何问题代数化的过程，感受解析几何研究问题的思路和方法。

学生讨论：设)P，则P点关于x轴、y轴和坐标原点的对称点x(y,分别是)x-x--、，若曲线关于x轴对称，则P点关于x轴对-、yyx,,()(y,()称点也在曲线上，即)x-满足方程。

同理可以推出另外两种情况。

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本公司热忱欢迎广大一线教师加入我们的作者队伍。

有意者请登录高考资源网()版权所有，盗用必究！8．2椭圆的简单几何性质（3）一、教学目标知识目标：.1、能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；2．能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题；能力目标：掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法；培养学生观察能力，概括能力；提高学生画图能力；提高学生分析问题与解决问题的能力德育目标：体会数学形式的简洁美,增强爱国主义观念二、教材分析1．重点：焦半径公式的的推导及应用2．难点：焦半径公式的的推导,应用问题中坐标系的建立.三、活动设计讲授法，类比法,归纳法四、教学过程：（一）复习引入：图形相同点长轴长短轴长离心率不同点方程焦点 、 、 顶点、、、、准线(二)讲授新知1、 椭圆的焦半径公式：设),(00y x M 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的一点,1r 和2r 分别是点M 与点)0,(1c F -,)0,(2c F 的距离.那么（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率推导方法一： 202021)(y c x MF ++=，202022)(y c x MF +-=022214cx MF MF =-∴，a MF MF 221=+Θ又⎪⎩⎪⎨⎧=+=-∴2221021a MF MF x a c MF MF ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=∴002001ex a x a ca MF ex a x a c a MF即（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=推导方法二：,||11e MF r =e MF r =||22⇒00211)(||ex a x cae MF e r +=+==， 00222)(||ex a x ca e MF e r -=-==同理有焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF（ 其中21F F 分别是椭圆的下上焦点）注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加 (三)讲解范例例1 如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)2F 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km ，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一直线上，设地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km)．解：建立如图所示直角坐标系，使点A 、B 、2F 在x 轴上，则 c a -＝|OA|－|O 2F |＝|2F A|＝6371＋439＝6810c a +＝|OB|＋|O 2F |＝|2F B|＝6371＋2384＝8755解得a ＝7782.5，c ＝972.5772287556810))((22≈⨯=-+=-=c a c a c a b .卫星运行的轨道方程为1772277832222=+y x 例2 椭圆)0( 12222>>=+b a by a x ，其上一点P(3,y )到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程解：由椭圆的焦半径公式，得⎩⎨⎧=-=+5.335.63e a e a ，解得21,5==e a ，从而有 4,25222=-==c a b c 所求椭圆方程为17542522=+y x（四）课堂练习：1．P 为椭圆192522=+y x 上的点，且P 与21,F F 的连线互相垂直，求P 解：由题意，得+-20)545(x 20)545(x +＝641625720⨯=⇒x ，16812=y ⇒P 的坐标为)49,475(，)49,475(-，)49,475(--，)49,475(- 2．椭圆192522=+y x 上不同三点),(),59,4(),,(2211y x C B y x A 与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证821=+x x证明：由题意，得 ++)545(1x )545(2x +＝2)4545(⨯+⇒821=+x x 3．设P 是以0为中心的椭圆上任意一点，2F 为右焦点，求证：以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切证明：设椭圆方程为12222=+by a x ,(0>>b a )，焦半径P F 2是圆1O 的直径，则由11222222OO PF PF a PF a ==-=-知，两圆半径之差等于圆心距，所以，以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切（五）小结 ：焦半径公式的推导方法及形式；实际问题中坐标系的建立应使问题易求解（六）课后作业：1．若椭圆两焦点为 ， ，在椭圆上，且 的最大面积是12，则椭圆方程是_______________．F 2F 1PO 1A 2A 1xOy2．已知是椭圆的一个焦点，是过其中心的一条弦，记，则面积的最大值是（）A． B． C．D．3．已知是椭圆上的任意一点，以过的一条焦半径为直径作圆，以椭圆长轴为直径作圆，则圆与圆的位置关系是（）A．内切 B．内含 C．相交 D．相离4．设是椭圆上的任一点，求点到椭圆两焦点、距离之积的最大值与最大值，并求取得最大值与最小值时点的坐标．答案：1． 2.D 3．A4．设则，∵∴当即或时，最大，最大值为．当即或时，最小，最小值为．8.2 椭圆的简单几何性质（3）1．知识要点2．椭圆的焦半径公式3．例题分析例1例2练习小结。

（六）教学设计椭圆的简单几何性质（2）教学设计一、基本情况1.面向对象：高二学生2.学科：数学3.课题：椭圆的几何性质4.课时：2课时5.课前准备：（1）学生回顾本节内容，熟悉椭圆的范围、对称性和顶点，离心率等性质（2）教师准备课件。

二、教材分析《椭圆的几何性质》是人教版2-1的内容。

本节课是在学生学习了椭圆的定义和标准方程的基础上，由椭圆方程出发研究椭圆的几何性质。

这是学生第一次利用方程研究曲线的几何性质，要注意对研究结果的掌握，更要重视对研究方法的学习。

本节课使学生感受“数”和“形”的对立统一，是研究双曲线和抛物线几何性质的基础，起着承上启下的作用。

三、教学目标知识目标1.通过对椭圆标准方程的讨论，让学生掌握椭圆的几何性质。

2.领会椭圆几何性质的内涵，并会运用它们解决一些简单问题。

3.通过对方程的讨论，让学生领悟解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。

能力目标1.培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。

2.渗透数形结合、类比等数学思想。

3.强化学生的参与意识，培养学生的合作精神。

情感目标1.通过自主探究、交流合作，使学生体验探究的过程，从中体会学习的愉悦，激发学生的学习积极性。

2.通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育。

3.通过感受椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生良好的思维品质，激发学生对美好事物的追求。

四、教学重点与难点重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点等简单几何性质。

难点：利用椭圆的标准方程探究椭圆的几何性质。

五、学法、教法与教学用具1.学法：(1)自主探究+合作学习：教师设置问题，鼓励学生从椭圆的标准方程出发，自主探究，合作交流，发现数学规律和问题解决的途径，使学生经历知识形成的过程。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出掌握不足的内容以及存在的差距。

2.教法：本节课采用自主探究、合作交流相结合的教学方法，运用多媒体教学手段，通过设置问题，让学生在独立思考的基础上合作交流，加强知识发生过程的教学。

椭圆的几何性质一、教学目标(一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．(三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．二、教材分析1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．)2．难点：椭圆离心率的概念的理解．(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．)3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．四、教学过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？2．椭圆的标准方程是什么？学生口述，教师板书．(二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．1．X围即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取X围以外的点．2．对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的〞呢？事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．3．顶点只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．教师还需指出：(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；这时，教师可以小结以下：由椭圆的X围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．4．离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义．先分析椭圆的离心率e的取值X围：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．(三)应用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1．例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆．由此例不难归纳出椭圆的第二定义．(四)椭圆的第二定义1．定义平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．2．说明这时还要讲清e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比．(五)小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置学生最后小结以下表格：五、布置作业1．求以下椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．2．我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面266Km，远地点距地面1826Km，求这颗卫星的轨道方程．3．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．的方程．作业答案：4．顶点(0，2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：六、板书设计。

一、说课稿基本信息1. 说课科目：《椭圆的几何性质》2. 说课年级：高中数学3. 说课时长：45分钟二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握椭圆的基本几何性质，包括椭圆的定义、标准方程、焦点、直径、离心率等。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索椭圆的几何性质，培养学生的抽象思维能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受数学的美。

三、教学内容1. 椭圆的定义与标准方程2. 椭圆的焦点与直径3. 椭圆的离心率4. 椭圆的性质与应用四、教学过程1. 导入：通过展示生活中的椭圆现象，如地球、月球绕太阳的运动等，引导学生关注椭圆，激发学生的学习兴趣。

2. 新课导入：介绍椭圆的定义与标准方程，引导学生理解椭圆的基本概念。

3. 课堂讲解：讲解椭圆的焦点与直径、离心率等性质，通过示例让学生理解并掌握这些性质。

4. 练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。

5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，使学生形成系统化的知识结构。

五、教学策略与方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生自主探索椭圆的几何性质。

2. 运用多媒体课件辅助教学，使抽象的椭圆概念形象化、直观化。

3. 采用分组讨论、合作交流的方式，培养学生的团队合作精神。

4. 注重个体差异，给予学生个性化的指导与关爱，使每个学生都能在课堂上得到锻炼与提高。

六、课后作业设计1. 请学生完成教材后的相关练习题，巩固对椭圆几何性质的理解。

2. 布置一些拓展性的作业，如研究椭圆在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

七、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 作业评价：检查学生作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的掌握程度。

3. 课后访谈：与学生进行交流，了解学生对椭圆几何性质的理解程度及在学习过程中遇到的问题。