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2.2椭圆定义、标准方程及简单的几何性质1.掌握常见的距离： （1）焦点到相应顶点的距离c a F A A F -==2211；c a F A A F +==2121.（2）焦准距：焦点到相应准线的距离，用P 表示，则.22cb c c a P =-= （3）通径：过焦点且垂直长轴的弦称为椭圆的通径，通径长为.2221a b H H =2.注意两个特殊三角形（1）焦点三角形：椭圆上一点),(y x P 与两焦点21,F F 构成的三角形12PF F △的面积：122tan2PF F S b θ=△（12F PF θ∠=，b 为短半轴长）,周长为)(2c a +.(2)特征三角形：椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成的直角三角形的边长满足.222c b a +=3．参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩应用：求最值.椭圆有“四线”（两条对称轴、两条准线），“六点”（两个焦点，四个顶点），“两形”（中心，焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形）.要注意它们之间的位置关系（如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等）及相互间的距离.一、 椭圆及其标准方程例1、(1)椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =( )A.23 B.3C.27 D.4(2) 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则=ON ( ) A.2 B.4 C.6 D.23（巩固练习）设椭圆14922=+yx 的两焦点12F F ，，P 为椭圆上一点，则21PF PF ⋅的最大值是 ．例2、若方程22123x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，k 的取值范围是 变式：（1）若方程22123x y k k +=--表示椭圆，k 的取值范围是 （2）若方程22123x y k k+=---表示焦点在y 轴上的椭圆，k 的取值范围是 例3、根据下列条件求椭圆的标准方程： (1)已知ABC ∆三边CA AB 、、B C 的长成等差数列，且CAAB >，点C 、B 的坐标)0,1(),0,1(-，求点A 的轨迹方程;(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1（6，1）、P 2（-3，-2），求椭圆的方程； （3）经过点)6,2(M ，且与椭圆455922=+y x 具有共同的焦点.（巩固练习）过点)2,3(-，且与椭圆369422=+y x有相同的焦点的椭圆方程是( )A.1101522=+y x B. 110022522=+y x C.1151022=+y x D.122510022=+y x 【规律方法总结】1.运用椭圆定义解题：“回到定义中去”是一个很重要的思想方法； 2.求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法、代入法（相关点法）等. 三、课时作业1.动点M 到1F (0,－2), 2F (0,2)是距离的和为4的两定点，则M 点的轨迹是( )A.椭圆B.直线C.线段D.圆（变式）设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P (x ，y )满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a (a ＞0)，则动点P 的轨迹是( )A.椭圆B.线段C.椭圆或线段或不存在D.不存在 2.方程2222)2()2(y x y x ++++-=10,化简的结果是( )A.1162522=+y x B. 1212522=+y x C.142522=+y x D.1212522=+x y 3.已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为( ) A. 3->k且21-≠k B. 23<<-k 且21-≠k C. 2>k D. 3-<k4.椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m 的值等于( ) A.5或3 B.5 C.8 D.165. 椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于( ) A.－1 B.1 C.5D. －56.如果方程2ky x22=+表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A. （0，+∞）B. （0，2）C. （1，+∞）D. （0，1）7.设M (－5,0)，N (5,0)，△MNP 的周长为36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程( )A.)0(11692522≠=+x y x B. )0(116914422≠=+x y x C.)0(12516922≠=+y y x D.)0(114416922≠=+y y x 8.已知椭圆)0(1x 2222>>=+b a by a ，F 1、F 2是它的焦点，AB 是过F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 ． （巩固练习）已知12F F ，为椭圆221259x y+=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．9.已知椭圆的焦距是2，且焦距是椭圆上一点到两焦点的等差中项，则椭圆的标准方程为_____________.10.已知P 为椭圆1204522=+y x 上的点，12F F ，为左右焦点，，21PF PF ⊥ (1)求21PF F S ∆；(2)求P 点坐标.（巩固练习）已知椭圆13422=+y x 的焦点为21F F 、，点P 在椭圆上，且02160=∠PF F ，则21PF F S ∆= ．11. (1)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程；(2)一动圆与圆22430x y x +++=外切，同时与圆224600x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.12. 设1F ,2F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P, 1F ,2F 是一个直角三角形的三个顶点且12PF PF >,求12PF PF 的值.【小结与反思】二、 椭圆的简单几何性质例1、分别求出椭圆9x 2＋25y 2＝225和9x 2＋y 2＝81的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； (2)长轴长等于20，离心率53； ⑶焦点在x 轴上，焦距等于4，并且过点P （3，62-）.例3、如图所示， “神舟”载人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面200km ，远地点B距地面350km ，已知地球的半径6371R km =．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例4、(1)设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被点（0,2b）分成3:5的两段，则此椭圆的离心率为( ) 1716.A 17174.B 54.C 552.D (2)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，A （a,0）,B(0,b)是两个顶点，如果F 到直线AB的距离为7b ,则椭圆的离心率为( ) A.777- B.777+ C.21 D.54(3),,,)0(1212222P F F b a by a x 若椭圆上存在一点的两焦点为设椭圆>>=+.,021的范围求椭圆离心率使e PF PF =⋅ 【规律方法总结】有关离心率的计算:根据已知条件列出含a,b,c 的等式（a,b,c 次数相同），若方程中存在b,则利用b 2=a 2-c 2消去b ，进而转化为关于离心率的方程后再求解e. 三、课时作业1. “0m n >>”是“方程221mxny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. 在下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是( ) A.x 2＝y B.x 2＋2xy ＋y ＝0 C.x 2－4y 2＝5x D.9x 2＋y 2＝4 3.椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )A.21 B.2 C.41D.44.椭圆122=+my x的离心率为23，则m 的值为( ) A. 2或21B. 2 C. 41或4 D.415. 已知F 1，F 2为椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率 e=23，则椭圆的方程为( )A.13422=+y xB.131622=+y xC.1121622=+y xD.141622=+y x 6.已知椭圆221169x y +=左右两焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴距离为( ) A.95 B.3 C.77 D.947.椭圆221123x y +=的焦点为12F F ，，点P 在椭圆上．如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的( ) A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍8. 椭圆的一个顶点为)0,2(A ，其长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程 . 9.若椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离恰等于该椭圆的焦距，则该椭圆的离心率为_____.10.椭圆22194x y +=的焦点为12F F ，，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时点P 的横坐标的 取值范围是_____.11.如图，F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一点，PF ⊥x 轴，OP//AB ，求椭圆的离心率e.12.椭圆12222=+by a x (a>b>0)的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，且此焦点和长轴上较近的端点距离为6234-，求此椭圆方程.【小结与反思】三、椭圆第二定义及其他性质 例1.点),(M y x 与定点)0,(F c 的距离和它到定直线ca x 2:=的距离的比是常数),0(>>c a ac求点M 的轨迹.例2.椭圆12222=+by a x 任一点),(M 00y x 和左，右焦点1F ，2F 的连线叫焦半径，求证：01M ex a F +=，02M ex a F -=.【规律方法总结】焦半经公式在解题中的作用应引起我们的注意 例3.已知F 是椭圆459522=+y x 左焦点，点M 是此椭圆上的动点， A(1,1) 是一定点.⑴求|MA|+23|MF|的最小值，并求取得最小值时点M 的坐标； ⑵求|MA|+|MF|的最大值和最小值.三、课时作业 1.方程2)1()1(222++=-+-y x y x 的曲线是( )A.椭圆B.直线C.线段D.圆2.点P 与定点F （4，0）的距离和它到定直线425=x 的距离之比是4：5，则点P 的轨迹方程是( )A.125922=+y x B.192522=+y x C.132522=+y x D.15922=+y x 3.椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为( )A.23B.33C.36D.664. 椭圆13610022=+y x 上的P 点到它的左准线的距离是10，到它的右焦点的距离是( ) A.15 B.12 C.10 D.8 5.设椭圆22221(1)1x ym m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为( )A.6B.2C.126.已知F 1，F 2为椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率 e=23，则椭圆的方程为( )A.13422=+y xB.131622=+y xC.1121622=+y xD.141622=+y x 7.过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )A.2B.3C.12 D.138.椭圆1222=+y x的准线方程为 .9．若椭圆19422=++y m x的一条准线方程为29-=y ，则m 的值为 .10. 已知椭圆198x 22=++y k 的离心率21=e ，则=k . 11. 椭圆13422=+y x 的左、右焦点1F 、2F ，P 是椭圆上一点，若213PF PF =，则P 点到左准线的距离是 .12.设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+，则OM = .13.已知点)5,0(A 是椭圆1499822=+y x 内一定点，P 是这椭圆上的点，要使|PA|的值最大，P 的坐标应是 ，|PA|的最大值等于 ．14.已知P 是椭圆22221x ya b+=()0a b >>上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则此椭圆的方程 . 15.求下列椭圆的标准方程（1）两准线间的距离为5，焦距为（2）和椭圆2212420x y +=共准线，且离心率为12.16.已知定点A （-2，3），F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM|+2|MF|取得最小值.17.已知椭圆13610022=+y x 上有一点P 到其左右焦点距离之比为1：3，求P 点到两准线的距离及P 点的坐标．。
时培养学生自主学习和动手探究的能力.使学生真正成为课堂的主人。
()学习方法：自主探索与合作交流采用以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生积极参与、共同交流与协作为主体，在教师的引导下，学生“跳一跳” 就能摘得果实，同时对于学生的发言，给予肯定与表扬，激发学生学习数学的兴趣。
()教学手段多媒体辅助教学()学具一条光滑的无弹性细绳，两颗图钉，一块纸板.四、教学过程设计本着教师是学生学习的组织者，引导者，合作者的教学理念，使学生的学习过程成为在教师的引导下的“再创造”过程，本节课设计以下环节：(一)创设情境，引出新知由多媒体演示用平面截圆锥形成的曲线及现实生产生活活中的多幅椭圆的图片及太阳系中行星的和科学技术领域中人造地球卫星的运行轨道引入。
()合作交流，发现新知提出思考：如何定义椭圆呢？教师指出：为探究椭圆的定义，先回顾圆的定义，问：如何用手中长度略大于2a的细绳画出半径为a的圆呢？学生用准备好的简易教具动手操作画圆，之后教师课件演示。
之后教师引导一：若把一个定点变为两个定点，转化为动点到两个定点的距离等于定长，动点M的轨迹是怎样的曲线呢？学生利用手中细线配合同桌共同完成，不难得到椭圆。
之后教师课件演示椭圆的生成过程。
学生边观察，边思考边提出问题。
提出问题引导二：“在画图的过程中，哪些量发生了变化，哪些量没有变？”让学生根据自己的实验，观察回答：“两定点间的距离没变，绳子的长度没变，点在运动。
"再问：“你们能根据刚才画椭圆的过程，类比圆的定义，归纳概括出椭圆的定义吗? ”先让学生独立思考一分钟，然后同桌交流，再进行全班交流，逐步完善，概括出椭圆的定义，同是教师给出定义的符号表示。
椭圆的定义：平面上到两个定点F1.F2的距离之和为固定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.引导学生对定义中的关键词进行分析理解注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：(1)必须在平面内；(2)两个定点---两点间距离确定；(3)绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定教师提出问题引导三：如果改变常数2a的范围，轨迹会发生什么变化呢？教师让学生相互讨论，鼓励学生大胆阐述自己的结论，并运用课件进行演示，归纳出结论，从而突破第一个难点。
1. 一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何几何性质 椭圆椭圆 双曲线双曲线 抛物线抛物线定义定义 1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹轨迹 1．到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1） 2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 图形图形方程 标准方程方程 12222=+b y a x (b a >>0) 12222=-by a x (a>0,b>0) y 2=2px 参数方程 为离心角）参数q q q (sin cos îíì==b y a x 为离心角）参数q q q (tan sec îíì==b y a x îíì=y pt x 22(t 为参数) 范围范围 ─a £x £a ，─b £y £b |x| ³ a，y ÎR x ³0 中心中心 原点O （0，0） 原点O （0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴x 轴，y 轴；轴； 长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴 焦点焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0) )0,2(p F 焦距 2c （c=22b a -） 2c （c=22b a +）离心率 )10(<<=e a c e )1(>=e a c ee=1 准线准线x=c a 2± x=ca 2±2p x -=渐近线y=±abx 焦半径 ex a r ±= )(a ex r ±±=2px r += 通径通径a b 22 a b 22 2p 焦参数焦参数ca 2ca 2P (1))0(12222>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c=22b a -. (2))0(12222>>=+b a a y b x ,焦点:F 1(0,-c),F 2(0,c),其中以标准方程)0(12222>>=+b a by a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b;②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);③顶点A(a,0),A′(A(a,0),A′(--a,0),B(0,b),B′(0,a,0),B(0,b),B′(0,-b);-b);长轴|AA′|=2a,短轴|BB′|=2b;④离心率:e=ac,0<e<1;⑤准线x=±ca 2;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点. 二、基本训练1．设一动点P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为3，则动点P的轨迹方程是的轨迹方程是 （ ）()A 22132x y += ()B 22132x y -=()C 22(1)132x y ++=()D 22123x y +=2．与曲线)9(192522<=-+-k ky k x 之间具有的等量关系之间具有的等量关系（ ）()A 有相等的长、短轴有相等的长、短轴 ()B 有相等的焦距有相等的焦距()C 有相等的离心率有相等的离心率()D 有相同的准线有相同的准线3．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都坐标上，且过点(3,0)A ，则椭圆的方程是圆的方程是 ，1.椭圆的定义: 第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于的距离之和等于常数常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准椭圆的标准方程方程: c=22b a -. 3.椭圆的参数方程:îíì==q qsin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的是椭圆上任意一点的离心率离心率). 4.椭圆的几何性质:曲线192522=+y x ．4．底面．底面直径直径为12cm 的圆柱被与底面成30的平面所截，的平面所截，截口是一个椭圆，这个椭圆的长截口是一个椭圆，这个椭圆的长y xOF 1F 2P αβyO x1lF 2 F 1 A 2 A 1 PMl短轴长短轴长 221(0)x y a b a b +,+=>>，P 为椭圆上除长轴端点外的任一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，（1）若a =Ð21F PF ，21PF F b Ð=，求证：离心率2cos2cosb a ba -+=e ；（2）若q 221=ÐPF F ，求证：21PF F D 的面积为2t a n b q ×．例4设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，且椭圆上存在点P ，使得直线1PF 与直线2PF 垂直．（1）求实数m 的取值范围；（2）设l 是相应于焦点2F 的准线，直线2PF 与l 相交于点Q ，若22||23||QF PF =-，求直线2PF 的方程．程．，离心率 ．5．已知．已知椭圆椭圆22=>>的离心率为35，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向逆时针方向旋转旋转2p后，所得新椭圆的一条准线后，所得新椭圆的一条准线方程方程是163y =，则原来的椭，则原来的椭圆方程圆方程是 ；新椭圆方程是；新椭圆方程是 ． 三、例题分析 例1(05浙江) ．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的轴的交点交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭求椭圆的方程圆的方程；(Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 1上的动点，使∠F 1PF 2最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．例2设A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．例3．已知椭圆22221(0)x y a b a bïîïíì³<<+)4(2)40(442b bbb ；(B) ïîïíì³<<+)2(2)20(442b bbb ；(C) 442+b ；(D) 2b2. P A 3316 ()B )32(4- ()C )32(16+ ()D 163．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若F 到AB A 777- ()B 777+ ()C 12()D 454．（05天津卷）从集合{1,2,3…，11}例5（05上海）点A 、B 分别是分别是椭圆椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ^。
《椭圆及其标准方程》说课稿---人教A版高中数学选修2-1第二章2.2.1一、教材分析(一) 教学内容"椭圆及其标准方程"是人教A版高中数学选修2-1第二章内容，分三课时完成. 第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路. 现在说第一课时.(二) 教材的地位和作用本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线. 椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一.(三) 教学目标[确定依据] 根据上述教学内容的地位和作用，结合大纲，确定了以下目标：1. 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导.2. 过程与方法目标：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.3. 情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，同时培养学生运动、变化和对立统一的观点. 以“神舟五号”飞船运动轨迹的演示，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，并让学生受到爱国主义思想的教育，使之逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值.(四) 教学的重点难点的确立和解决[确定依据] 教学大纲学生情况1. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程[解决方法] 为了突出重点，让学生动手实践，自主探索，通过画图揭示椭圆上的点所要满足的条件，由此得出定义，推出方程.2. 教学难点：椭圆标准方程的推导[解决方法] 为了突破此难点，关键是抓住 "怎样建立坐标系" 并把实际问题数学化即建模和 "怎样简化方程" 两个环节来进行方程的推导.二、学情分析通过前面的学习，学生已具备一定的分析与归纳能力. 初步掌握了解析几何的基本思想与方法，但是学生对坐标法解决几何问题掌握不够，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍. 在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要，故本节采取缺什么补什么的办法来补充这些知识.三、教法和学法(一) 教法：根据以上的分析及本节课的内容和学生的认知水平，采用在教师指导下的学生探究发现教学法.通过这样的教法可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃. 同时培养了学生自主学习，动手探究的能力.(二) 学法：自主探究，合作交流"授人以鱼，不如授人以渔." 教给学生如何学习是教师的职责，因此在本节课的教学中，教会学生动手尝试、仔细观察、开动脑筋、分析讨论，最后抽象出概念，推出方程. 这样有利于学生发挥学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.(三) 教学手段：多媒体辅助教学.通过动态演示，集声、文、图象于一体，有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量. 四、教学过程及设计意图(一) 创设情景，提出课题本节课的开始由多媒体演示“神舟五号”飞船绕地球旋转运行的画面，并描绘出运行轨迹图.[问一] 2003年10月15日，中国“神舟五号”飞船试验成功，实现了中国人的千年飞天梦. 请问：“神舟五号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形？[设置依据] 让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值，明白生活实践中有很多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力，并体现了爱国主义思想的渗透.此时老师可以指出，在天体运行的轨道中，除椭圆外，还有抛物线、双曲线等. 再运用多媒体演示一个平面截圆锥的各种情形，向学生介绍“"圆锥曲线”这个名称的来历，并让学生举出实际生产、生活中有关椭圆的例子.[设置依据] 使学生对圆锥曲线有初步的感性认识，同时对本章要学习的内容产生兴趣，培养学生对立统一的观点. 教师也可以很自然的引出课题.(二) 自主探究，形成概念[问二] 曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹. 椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？[设置依据] “思维从疑问开始”，由于学生熟知“到定点距离等于定长的点的轨迹是圆”，通过创设情景，激发了学生的求知欲，使学生急于想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，但现有知识又无从回答，形成认知冲突，使学生进入愤悱状态.此时教师引导：要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的画法（几何特征）. 于是让学生拿出课前准备好的一块纸板，一段细绳，两枚图钉，按课本上介绍的方法，同桌间相互磋商、动手绘图，教师巡视，并抽已完成的两位同学在黑板上用准备好的工具演示，使学生尝试到成功的喜悦. 教师进一步启发引导学生讨论，得出“到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆”时，马上提出第三个问，让学生回答.[问三]1. 在纸板上作图说明了什么？2. 在绳长 (设为 2 a）不变的条件下，改变两个图钉之间的距离（设为2 c），画出的椭圆有何变化？3. 当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？4.当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？教师让学生再一次动手实践，相互讨论交流，然后抽学生代表发表意见，同时教师运用多媒体进行配合说明，可以得出：当 2 a > 2 c时，是椭圆，并且当两定点间的距离越小，椭圆越圆，特别地当两点重合时，是圆，两定点间的距离越大，椭圆越扁；当 2 a= 2 c时是线段；当 2 a < 2 c时，无轨迹.[设置依据] 按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、分析，启发学生认识新的概念，这有利于学生对概念的全面理解，同时培养了学生从量变到质变的辨证思维.在上述基础上，定义的形成已是水到渠成了，于是教师让学生自己概括椭圆定义.定义平面内与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数（大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.在归纳定义时，再次强调定义要满足三个条件：①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于 |F1F2 |.(三) 师生互动，导出方程给出椭圆的定义后，教师即可指出：由椭圆定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究. 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述，然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质.[问四]1. 求曲线方程的一般步骤是什么？2. 建立坐标系的一般原则有哪些？学生围绕两问，思考，讨论可得：求曲线方程的一般步骤——建系设点、写出点集、列出方程、化简方程、证明（可省略）. 建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.[设置依据] 让学生明确思维的目的，通过复习旧知，为下一步学习搭桥铺路.[问五] 怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？通过前面知识的回忆，学生思考、相互交流，很容易选定下列建立坐标系的方案.1. 建系设点：以两定点F1、F2的连线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立坐标系，如图1设M ( x, y) 为椭圆上任意一点，|F1F2 | = 2 c(c>0) ，则有F1（－c, 0）、F2(c,0). 又设M与F1和F2的距离的和等于常数 2 a ( a > 0 ) .[设置依据] 因为正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，故设计目的是为了着重培养学生这方面的能力.2. 写出点集：让学生利用两点的距离公式，根据椭圆定义列出：P = { M | |MF| + |MF2 | = 2 a } .1到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时教师可以指出:为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.4. 化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，教师可采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法——将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.教师引导学生化简，得到 (a2－c2 ) x2 + a2y 2 = a2 (a2－c2 ) . 指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要，5. 证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，此步可以省略. 如有特殊情况，应给出说明.另外步骤2也可省略，直接列出曲线的方程.[设置依据] 再一次体现解析几何的基本思想，即用代数方法研究几何问题.在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑，故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练.[问六] 如果焦点F1、F2在y轴上，并且点O 与线段F1F2 的中点重合，a、b、c的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？[设置依据] 该问的设置，一方面是为了得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性. 调动了学生学习的主动性和积极性，通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力.为了让学生加深对椭圆的两种标准方程的理解，下面举例，巩固练习.1.指出在下列方程中，哪些是椭圆的标准方程？哪些是椭圆的方程？（让学生思考、抢答）2.比较椭圆的两种标准方程，填表. （学生讨论回答，教师板书）[设置依据] 使学生进一步理解方程，掌握方程的本质特征，揭示规律，充分展示数形结合的和谐美、统一美，同时为解决例题做铺垫.(四) 初步运用，强化理解例题1. 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明a2，b2和焦点坐标.图3[设置依据] 数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该例题使学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程，使知识内化为智能，并在解题过程中感受"数形结合" 思想的优越性.(五) 自我评价，反馈调节[设置依据] 变换练习方式，可增强新异感，调动学生的积极性，同时使学生获得的知识信息及时得到巩固，纳入长时记忆系统.(六) 知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善）1. 椭圆的定义（注意定义中的三个条件）2. 椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）3. 解析几何的基本思想[设置依据]通过小结，使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.(七) 布置作业，巩固提高（学有余力的学生全做，其余学生不做探究题）1. 课本习题 8. 1 第 1 （2）、4 题2. 课后探究题：[设置依据] 一方面为了巩固知识，形成技能，培养学生周密的思维能力，发现教学中的遗漏和不足；另一方面，分层要求，有利各种层次的学生获得最佳发展，充分培养了学生的自主学习能力和探究性学习习惯.(八) 板书设计（附后）[设置依据] 勾勒出全教材的主线，呈现完整的知识结构体系并突出重点，用彩色增加信息的强度，便于掌握.五、教学评价本节课围绕“层层设问自主探索发现规律归纳总结”这一主线展开，对教材内容进行了优化组合，在教学过程中，学生通过观看动画，动手实践，自己总结出椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力. 同时在进行推导椭圆的标准方程的过程中，提高了利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力. 在整节课中，教师作为引导者，利用“神舟五号”运行轨迹的演示，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索，勇于创新，提高学生参与数学活动的兴趣和积极性，树立了学好数学的自信，养成独立思考习惯.但在本节课中，根据学生能力的高低因人施教尤为重要. 学生是否具有问题意识，是否善于发现和提出问题. 在解决问题中，能否既独立思考又与他人交流与合作，能否对解决问题的方案进行质疑、调整和完善. 鉴于此，在设计本教案时，应增加教案的弹性设计，设置不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程. 与此同时，教师应不失时机地鼓励、肯定和表扬学生，调动课堂学习氛围，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想，实践新的教育理念.教学设计说明1.教学指导思想以新课程的教学理念为指导，转变教的行为，做到“用教材教，而不是教教材”；改变学习方式，以学生发展为本，充分体现素质教育的重点：培养学生的创新精神和实践能力.2.教学过程的设计本节内容教学安排与一般设想不同. 如一般设想是“重结论，轻过程”，常常直接给出定义，尽快得出两种标准方程，举例示范，使学生课外能学会使用方程解答课本习题. 而本节课不仅重视结论，也重视知识的形成过程，围绕“层层设问自主探索发现规律归纳总结”这一主线展开，对教材内容进行了优化组合. 在教学过程中，教师作为引导者、参与者、合作者，努力引导学生动手、探索、分析，亲身经历知识形成的过程. 运用多媒体演示“神舟五号”飞船围绕地球的运行轨迹，形象地给出椭圆；通过让学生自己动手做图，“定性”地画出椭圆；再通过方程“定量”地描述出椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形成概念，推出方程. 在整个教学过程中渗透了方程、转化、数形结合等数学思想.3.重视对能力的培养在教学过程中通过学生动手实践、自主探索，培养其分析、交流、抽象概括及数学表达的能力. 在推导椭圆的标准方程过程中，提高学生利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.4.重视辨证唯物主义和历史唯物主义观点的培养本节课通过“神舟五号”飞船运动轨迹的演示，通过介绍“圆锥曲线”名称的来历，通过问三的设置，培养了学生运动变化、量变到质变、相互联系、相互转化、对立统一的观点，并使学生受到了爱国主义思想的教育，增强了学生的数学素质.5.弹性化设计教案根据学情不同，学生能力的高低，以及学生的特点和兴趣，设置不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程.。
2.6.1曲线与方程求曲线的轨迹方程（第一课时）一、教学目标：1、理解曲线的方程和方程的曲线．2、掌握求曲线方程的方法直接法和代入法3、通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．二、教学重点、难点：求曲线的方程．三、教学方法：启发引导法，讨论法．四、教学过程：引入：曲线C ：符合某种条件的点的集合（或点的轨迹），这从形状上描述，由点和坐标建立对应关系动点),(y x ，定点),(b a ，这样可以从方程0),(=y x f 数的角度研究曲线。
如：1、一三象限的角平分线C 与22y x =（曲线上找不到不满足这个方程的点，称纯粹性）2、单位圆C 与方程21x y -=（满足方程的解的点都在曲线C 上，称完备性）同时满足1、2称C 与0),(=y x f 等同的，曲线称为方程的曲线，方程为曲线的方程（一）新授1、研究方程的曲线2、如何求曲线的方程，三种方法：定义法，直接法，代入法。
3、直接法求点的轨迹步骤：建系设点→满足条件→列出方程→化简→证明，通常第三和五部可省略，但要注意有无遗漏增生一些点，常见的ABC ∆中三点不共线，直线点斜式要满足斜率存在等。
（二）实例例1：《名师》P32例1例2：方程01)1(=--+x y x 所表示的曲线例3求)7,3(),1,1(B A --的中垂线的方程（课本P35例2）例4A 为定点，线段C B ,在定直线l 上滑动，已知3=BC ，求A B C ∆的外心的轨迹方程（《名师》P33变式2）例5过点)4,2(P 作两条互相垂直的直线交y x ,轴于B A ,两点，设M 为线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程。
（直接法）例6点)0,3(A 为单位圆外一点，P 为圆上任意一点，若AP 的中点为M ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程。
（代入法、定义法）五、总结及作业：这节课我们学习了曲线的方程和方程的曲线，且学会定义法、直接法、代入法求轨迹方程，要注意纯粹性和完备性。
《椭圆及其标准方程》教学设计第一课时一、内容和内容解析（一）内容椭圆及其标准方程（二）内容解析解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学》（人民教育出版社，课程教材研究所和中学数学课程教材研究开发中心编著）A版选修2-1第二章第二节《椭圆及其标准方程》第一课时。
在选修2-1第二章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。
由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。
本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。
因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想。
二、学生学情分析这节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念以及用坐标法研究几何问题的方法有了一些了解和认识，基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线的第一课，具有巩固旧知、熟练方法、拓展新知的承上启下作用，可为研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。
三、目标和目标解析（一）目标1.理解椭圆的定义；2.理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；3.掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
（二）目标解析1．经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力；通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风；充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识；2.巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程；重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣；通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美；3.对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识。
《椭圆的几何性质》说课稿一、 教材分析：（一）教材的地位、作用：研究椭圆的几何性质是解析几何基本思想的具体体现，也是对用代数方法研究直线的某些性质的一种平行发展，当然也是为即将研究双曲线、抛物线的几何性质奠定基础。
考虑到对椭圆的性质有较多的拓展，本节内容我把它分成两课时完成，第一课时主要解决范围、对称性、顶点等问题，第二课时完成椭圆的离心率和椭圆性质的简单综合运用教学，将难点分散，学生更容易掌握所学的知识和方法。
(二) 教学目标：★知识与技能：初步理解椭圆的几何性质。
★过程与方法：利用类比、联想等方法，让学生迅速获得椭圆的几何性质的意义。
★情感、态度与价值观：培养学生思维品质，激发学生学习数学的热情。
（三）教学重点、难点：1、教学重点分析：知识点的学习自然是教学重点，但为了向学生呈现一种与他们的已有观念有广泛联系的知识结构，向学生提供有价值的数学知识，还要着眼于椭圆几何性质知识结构的建立，进一步加深对解析几何基本思想的理解。
2、教学难点分析：本节课的第一个难点是：椭圆几何性质在整个平面解析几何中的地位以及它的知识构成成分。
突破这个难点，学生将获得良好的数学知识结构，有利于后继的双曲线、抛物线的学习。
本节课的第二个难点是：如不等式法、三角代换法、对称性、顶点的研究方法等方法的引入及合理运用。
需要设计相关的问题，调动学生已有的知识，与新知识建立非人为的实质性联系，迅速激活学生的思维，从而达到突破难点和解决问题的目的。
二、教法、学法分析：教法：采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式，用几何画板设计课间辅助教学；学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流等形式。
三、教学流程：四、教学过程分析：（一）创设情境，恰当引入：（约2分钟）解析几何基本思想，是解析几何知识结构的核心，主导着解析几何知识的发生和发展 "必修2模块，我们在直角坐标中，建立了直线的方程，并且用代数的方法研究了直线的一些简单的几何性质，如：两直线的平行、垂直；点到直线的距离等等。
2.2.1双曲线的标准方程【教学目标】:1.知识与技能掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.2.过程与方法教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.3.情感、态度与价值观通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用【教学难点】: 双曲线标准方程的推导【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教具】：多媒体、实物投影仪【教学过程】:一.情境设置(1)复习提问：(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？(2)探究新知:(1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。
(2)设问：①|MF1|与|MF2|哪个大？②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？（请学生回答：应小于|F1F2| 且大于零，当常数等于|F1F2| 时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数大于|F1F2| 时，无轨迹）二.理论建构1.双曲线的定义引导学生概括出双曲线的定义：定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
（投影）概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”2.双曲线的标准方程现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）（1）建系取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。
