《一元二次方程》单元目标分析

第八章一元二次方程8．1 一元二次方程（1）【学习目标】1、知识与技能：理解一元二次方程的定义，会判断满足一元二次方程的条件。

2、能力培养：能根据具体情景应用知识。

3、情感与态度：体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。

【学习重点】1、一元二次方程的定义；2、一元二次方程的一般形式。

【学习过程】一、前置准备：1．单项式和多项式统称为整式．2．含有未知数的等式叫做方程．3．计算：(x＋2)2＝x2＋4x＋4；(x－3)2＝x2－6x＋9．4．计算：(5－2x)(8－2x)＝4x2－26x＋40．二、自学探究：理解一元二次方程的概念，并会把一元二次方程化为一般形式。

自学教材，回答：（1）如果设未铺地毯区域的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为 m，宽为为 m.根据题意，可得方程（2）试再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：；如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、、，根据题意可得方程：（3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙 m，梯子顶端距地面的垂直距离为 m，根据题意，可得方程：三、合作交流：观察上述三个方程，它们的共同点为：①；②；这样的方程叫做。

其中我们把称为一元二次方程的一般形式，ax2，bx，c分别称为、、，a、b分别称为、。

1、分别把上述三个方程化为ax2+bx+c=0的形式，并说明每个方程的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）（2）（3）四、典例分析：1、下列方程哪些是一元二次方程?（1）(1)7x2－6x＝0 （2）2x2+－5xy＋6y＝0（3）13122-+x x ＝0 （4）22y =0 （5）x 2+2x-3=0五、能力提升：1、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

一元二次方程单元分析教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．。

一元二次方程教材分析新墩中心学校一、本章内容分析本章主要介绍了一元二次方程及有关概念,一元二次方程的解法,运用一元二次方程分析和解决实际问题。

其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。

方程是科学研究中重要的数学思维方法，也是后续内容学习的基础和工具。

本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时也为二次函数的学习做准备数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固.二.课时安排：2.1花边有多宽2课时2.2匹配法3学时2.3公式法2学时2.4分解系数法2学时2.5为什么0.6182学时复习与反思2学时3。

本章知识结构图4单元内容分析2.1花边有多宽本节分为两类。

从实际问题出发，引入并总结了一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式,给出一元二次方程根的概念。

1.教学目标：（1）通过实际问题理解一元二次方程的定义和一般形式；(2)会将一个整式方程化为一元二次方程的一般形式，并能指给出了二次项及其系数、一次项及其系数和常数项。

教学重点:一元二次方程及有关概念的理解.教学难点：准确地将其转化为一元二次方程2的通式。

学习方法指导：一元二次方程的定义,书中以未知数的个数和次数为标准,用文字叙述形式给出的.-1-理解一元二次方程的定义关键注意三点：整式、一个未知数、最高次号码是2。

对一元二次方程理解时，一定注意“a≠0”这一条件。

当将一个方程转化为一般形式时，理解一元线性方程的变形方法是：除法母---去括号---移项---合并同类项。

注：①当a为负值时，通常会将其转换为正数；②多给出b=0或c=0或b、c同时为0的例子。

如：x2=0,x2-1=0,2x2-x=0.能够用“引入检验”的方法判断一元二次方程的根。

⒊易错点：1）判断方程是否为一元二次方程时，忽略二次项，系数不为“0”如：下列关于x的方程中，是一元二次方程的有--------①ax2+bx+c=0②x2+3／x-5=0③2x2-x-3=0④x2-2+x3=02)注意本小节在学习概念时，注意联系实际，加深对概念的理解与应用，避免就概念理解概念。

一元二次方程单元整体目标分析教材分析：一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）,运用一元二次方程分析和解决实际问题。

其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。

方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备. 数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固。

学情分析：九年级的学生，在讲本节课之前，已经系统的学习了一元一次方程及相关概念，学习了整式、分式和二次根式，从知识结构上看他们已经具备了继续探究一元二次方程的基础。

这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有一定的提高。

但是通过近一阶段的教学，也发现很多问题：解一元一次方程、整式乘法、移项、去分母、去括号、分解因式、合并同类项、乘法公式的应用都还存在一问题，在章张知识的教学中，要加强学生计算能力的培养，巩固以前所学的知识。

教学目标：1.能够根据具体问题中的数量关系，列出方程（一元二次方程），体会方程（一元二次方程）是刻画现实世界数量关系的有效模型。

2.经历估计方程（一元二次方程）的解的过程。

3.理解配方法，能够用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。

4.会用一元二次方程的跟的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等。

5.能够根据具体问题的实际意义，检验一元二次方程的解是否合理。

教学措施：（1）注重联系实际，体现建模思想，发展应用意识。

（2）重视相关知识的联系，突出解方程的基本策略。

（3）培养学生发现问题、分析和解决问题的能力。

一元二次方程大单元教学设计一元二次方程大单元教学设计一元二次方程作为中学数学的重点内容之一，不仅是进一步学习高等数学的基础，也是考研、高考等重要考试常见的考点。

而这一章节的教学设计，至关重要，决定了学生对该知识点的掌握程度。

下面，本文将从教学目标、教学内容、教学方法、教学评价等方面，谈谈如何进行一元二次方程大单元的教学设计。

一、教学目标1. 知识目标：掌握一元二次方程的基本概念、解法及其应用；2. 技能目标：通过学习，提高学生的计算能力和运用能力，掌握解题技巧；3. 情感目标：通过教师的引导，培养学生的思维能力、创新能力和问题解决能力。

二、教学内容1. 一元二次方程的概念及基本性质；2. 解一元二次方程的方法：配方法、公式法以及因式分解法；3. 应用基础知识解决实际问题；4. 应用题：通过题目，提高学生对解一元二次方程的灵活运用能力；5. 考点突破：重点解析高考、中考等考试中常出现的一元二次方程题型。

三、教学方法1. 讲授法：通过黑板讲解、视频播放等方式，全面讲解一元二次方程的概念、解法以及应用；2. 互动探究法：通过课堂互动，让学生发散思维，解决问题；3. 工具法：使用配方法表格、公式图片、题目解析等多种工具，帮助学生更好地理解和记忆知识点；4. 实践探究法：通过大量的应用题和限时模拟考试，让学生在实践中灵活运用所学知识。

四、教学评价1. 课堂成绩：考察学生对知识点的掌握程度；2. 期末考试成绩：考察学生对整章内容的掌握程度；3. 课外作业成绩：考察学生对知识点的掌握程度以及解题技巧；4. 互动表现：考察学生思维能力、创新能力和问题解决能力；5. 课程反思：教师和学生共同参与，从而改进教学设计方案，提高教学效果。

五、总结教学一元二次方程是高中数学教学的重要一环，在教学中，要注重培养学生的问题解决能力和创新能力。

通过合理的教学设计，加深学生对知识点的理解与掌握，提高学生的应用能力和出题水平。

希望本文的教学设计方案能对教师们在教学中提供一定的参考，更好地推动教学工作。

《一元二次方程》章节目标分析一、本章教学目标：1．根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会一元二次方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型。

2．会用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解方程的过程中体会转化等数学思想。

3．会用一元二次方程解决简单的实际问题，检验结果是否符合实际意义。

二、本章总体把握１、结合教材，面向全体，把握好教学要求从内容上看，教材目前只是突出最重要的基础知识和最基本的技能。

例如，在讨论一元二次方程的解法时，要求学生理解配方法，会用配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程，应避免繁琐的计算。

“一元二次方程根与系数的关系”只作为选学内容要求，但可以适当补充练习。

２、突出算理，强化解一元二次方程的基本策略以及解法中的关键步骤，渗透转化的思想方法。

一元二次方程与一元一次方程相比，它的特殊性是未知数的次数是２，因此将面临的新问题转化为熟悉的问题是解决此问题的基本思路。

我们先解决形如ax2=b的方程，然后提出如何解形如（x+a）2=b的方程，最后引出“降次”这一解一元二次方程的基本策略，使“降次”很自然很合理的融入学生的思维。

在学习因式分解法时，先引入x(x-1)=0，突出方程的特征分析：一边为０，一边为两个一次因式相乘；再根据“如果A*B=0,那么Ａ＝０或Ｂ＝０”得到两个一元一次方程。

这样既突出了一元二次方程解法上的特点及其算理，又反映了一元二次方程与一元一次方程在解法上的内在联系。

教学时，应为学生提供能主动地思考探究交流的内容，引导学生积极地思考与探究，使学生认识到降次的合理性。

在讨论一元二次方程的各种具体解法时，我们应把重点放在分析方程的形式特征上，使学生理解各种解法及算理，体会降次转化在解方程时的作用，培养学生思维的深刻性和灵活性，转化是一种重要的思想方法，在本章中，反映转化思想方法的内容十分广泛。

如配方法，把方程化为（x+a）2=b的形式，体现了数学形式的转化，公式法直接利用公式把方程中的“未知”转化为“已知”，直接开平方法、分解因式法通过“降次”，把一元二次方程转化为两个一元一次方程等。

九年级数学《一元二次方程》教案（5篇）元二次方程教案篇一教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。

重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。

教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。

活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:（1)图象与x轴的交点的坐标为A（，），B(，）（2）当x=时，函数值y=0。

（3）求方程x2-x-6=0的解。

（4）方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳（1）你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。

（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。

三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。

(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1（1）当m为何值时，图象与x轴有两个交点（2）当m为何值时，图象与x轴有一个交点？（3）当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1、如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。

（1）请写出方程ax2+bx+c=0的根（2）列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4,0)，且适合这个图象。

《一元二次方程》单元教材分析一. 教学内容：复习目标：（辅导时各位老师要学生掌握的点，每节课可以视情况巩固两点）⑴了解一元二次方程的有关概念．⑵能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、•因式分解法解一元二次方程． ⑶会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．⑷知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有关问题．⑸能运用一元二次方程解决简单的实际问题．⑹了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．二. 基础知识回顾1. 方程中只含有_______•个未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_____ __（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．例如：一元二次方程7x －3＝2x 2化成一般形式是________•其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________．2. 解一元二次方程的一般解法有⑴_________；⑵________；⑶•_________；•⑷•求根公式法，•求根公式是______________．3. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根． 例如：不解方程，判断下列方程根的情况：⑴x （5x ＋21）＝20 ⑵x 2＋9＝6x ⑶x 2－3x ＝－54. 设一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝_______，x 1·x 2＝______． 例如：方程x 2＋3x －11＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________；x 1·x 2＝_______．5. 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝•_______，•x 1·x 2＝________．三. 重点讲解1. 了解一元二次方程的概念，对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个（强调是三个）特点，即①是整式方程（重点强调）；②化简后只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．2. 解一元二次方程时，应根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．（通过教材课后习题的演练，可以很明显的发现利用十字相乘法解方程时二次项系数时常不是一，而有些学生十字相乘法中对于二次项系数不为一的题目会无所适从，不妨多加练习，但厦门近三年的中考中没有出现过类似的题目）3 .一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式正反都成立．利用其可以⑴不解方程判定方程根的情况（有根，有两个根，有两个不同的根分别代表⊿的取值范围）； ⑵根据参系数的性质确定根的范围（有两正根，两负根，一根正一根负，只有一个根大于某常数）； 针对只有一个根大于某一常数的题型举例如下：⑶解与根有关的证明题（判断三角形的形状，某一恒等式证明）．举例如下：4. 一元二次方程根与系数的应用很多：⑴已知方程的一根，不解方程求另一根及参系数；⑵已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；⑶已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．5. 能够列出一元二次方程解应用题．能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程．6. 本章解题思想总结：⑴转化思想转化思想是初中数学最常见的一种思想方法．运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．⑵从特殊到一般的思想从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．（对于理解力好的学生，可以要求其掌握公式法的求根公式的由来，以及怎样用两根推导根与系数的关系）⑶分类讨论的思想一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想（在目前单元测试的压轴性题目中出现的频率较高）． 举例如下：四. 易错点点拨易错点1：对一元二次方程的定义的理解．判断一个方程是否一元二次方程，关键是将整式方程化简后只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，特别地，当二次项的系数用字母表示时，二次项系数不为零不能漏掉（虽简单，但极易被学生忽略）．易错点2：一元二次方程的一般形式．在确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时，一定要将一元二次方程化为一般形式（注意同类项的合并与等号右边不为零的情况）．易错点3：关于解一元二次方程时的易错点．⑴是在解形如“2x x =”这样的方程时，千万不能在方程左右两边都除以x ，从而造成方程丢根（告知学生原因，即当x=0时，两边是不能同时除以0的，无意义）；⑵用配方法时，当二次项的系数不为1时，应将二次项系数化为1，再将方程左边配成完全平方式； ⑶利用公式法求一元二次方程的解时，要先判断24b ac -必须非负才能求解；举例如下：⑷利用因式分解法求一元二次方程的解时，方程右边一定要变为0．易错点4：在用一元二次方程解决有关实际问题时，注意运用转化思想，如图形问题中，如何通过平移，旋转等变换把不规则的图形转化为规则的图形．另外，对于增长率问题，要把握基础数与总数的关系．特别地，一元二次方程的两个解，一定要会判断检验其是否符合实际意义（两个解并非必须有一个是增根，二者都合适的情况也是存在的）．【典型例题】考点1：一元二次方程的概念及一般形式相关知识：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx ＋c ＝0（a 、b 、c 为常数，•a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．复习策略：准确理解一元二次方程的定义，一元二次方程首先是整式方程，然后是经过化简后能得到一元二次方程的一般形式的方程才是一元二次方程．例1. ⑴下列方程是关于x 的一元二次方程的是 （ ） A. 23(1)2(1)x x +=+ B. 21120x x +-=C. 20ax bx c ++=D. 2221x x x +=-⑵方程215x x -=的一次项的系数是 ．【评注】概念性的问题关键是抓住概念的本质．一元二次方程必须符合三个条件：①是整式方程；②化简后只含一个未知数；③未知数的最高次数为2．考点2：一元二次方程的解相关知识：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，或叫做一元二次方程的根．复习策略：要判断一个值是否是一元二次方程的解，只要将这个值代入一元二次方程，看看方程左右两边是否相等即可．相等，则是方程的解；反之，则不是．例2. 如果关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，求m 的值．【评注】已知方程的解确定方程中的待定系数的值，是逆向思维的运用，有时将方程的解代入方程中，可能还会出现含两个待定系数的方程，这时要注意整体思想方法的运用．考点3：了解方程并判定方程根的情况相关知识：一元二次方程根的判别：⑴当24b ac ->0时，方程有两个不相等的实数根；⑵当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根；⑶当24b ac -<0时，方程没有实数根．反之也成立．复习策略：要掌握一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程判别根的情况；②根据方程解的情况确定系数的取值范围；③求解与根有关的综合题．例3. ⑴（2007巴中市）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根⑵（2007安徽泸州）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A. m <lB. m >－1C. m >lD. m <－1考点4：解一元二次方程相关知识：我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法．而解一元二次方程的关键是判断方程的特点，选择最佳解题方法，其基本思想是“ 降次”，把二次转化为一次．这四种方法各有千秋，在解一元二次方程时可根据方程的特点，选用最佳解法．复习策略：灵活选用一元二次方程的解法，可从以下几点考虑：⑴对于形如x 2＝a （a ≥0）或（mx －n ）2＝a （m ≠0， a ≥0）的方程，可根据平方根的意义，用直接开平方的方法求解．⑵如果一元二次方程缺少常数项，或方程的右边为0，左边很容易分解因式，可考虑用因式分解法． ⑶当一元二次方程的二次项系数为1，一次项的系数是偶数时，可考虑使用配方法．⑷如果用以上几种方法都不易求解时，可考虑用公式法求解．例4. 解下列方程：⑴（x ＋1）2＝12⑵（2x ＋1）（3x －1）＝1 ⑶2x （x ＋2）＋1＝0⑷16－x 2－4x ＝0 ⑸3（x －2）2＝x （x －2）由以上解析可以这样来总结：解一元二次方程，首先要把原方程变形为一般形式，然后计算b 2－4ac ，最后考虑用何种方法求解．如果b 2－4ac 是完全平方数，则用因式分解法，如果b 2－4ac 不是完全平方数且大于零，则用公式法，配方法实际是公式法的推导过程，因此，除题目要求，一般不用配方法．例5. 解方程：⑴（2007北京）解方程：2410x x +-=．⑵（2007浙江嘉兴）解方程：x 2＋3＝3（x ＋1）．考点5：根据根与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值相关知识： 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为已知数，a ≠0，240b ac -≥）的两个实数根为12,x x ，则a c x x ,ab x x 2121=-=+．即：一元二次方程两个根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的商的相反数；两个根的积等于常数项除以二次项系数的商．复习策略：根与系数的关系存在的前提是：①a ≠0，即方程一定是一元二次方程；②b 2－4ac ≥0，即方程一定有实数根．根据新课标的要求，在课改实验区的中考试题中，运用一元二次方程根与系数的关系的考题主要是求与方程的根有关的代数式的值的题型．例6. ⑴（2007山东淄博）若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且满足2121x x x x =+．则k 的值为（ ）（A ）－1或34 （B ）－1 （C ）34 （D ）不存在⑵（2007四川德阳）阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系：12b x x a +=-，a c x x 21=．根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为______ 【评注】不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求两个代数式的值关键是把所给的代数式经过恒等变形，化为含12x x +，21x x ⋅的形式，然后把12x x +，21x x ⋅的值代入，即可求出所求代数式的值．常见的代数式变形有：①222121212()2x x x x x x +=+- ②12121211x x x x x x ++= ③212122221212()211()x x x x x x x x +-+= ④ 22112121212()2x x x x x x x x x x +-+=⑤12x x -= 考点6： 一元二次方程的应用相关知识：应用一元二次方程解决实际问题的步骤：在日常生活实践中，许多问题都可以通过建立一元二次方程这个模型来进行求解，然后回到实际问题中去进行解释和检验．首先要把实际问题加以分析，抽象成数学问题，然后用数学知识去解决它．应用一元二次方程解决实际问题的步骤可归结为：“设、找、列、解、验、答”：⑴设：是指设未知数，可分为直接设和间接设．所谓直接设，就是指问什么设什么；在直接设未知数比较难列出方程或者列出的方程比较复杂时，可考虑间接设未知数．⑵找：是指读懂题目，审清题意，明确已知条件和未知条件，找出它们之间的等量关系．⑶列：就是指根据等量关系列出方程．⑷解：就是求出所列方程的解．⑸验：分为两步．一是检验解出的数值是否是方程的解，二是检验方程的解是否符合实际情况． ⑹答：就是书写答案，一定要遵循“问什么答什么，怎么问就怎么答”的原则．以上几个步骤中，审题是基础，找出等量关系是解决问题的关键，能否恰当设元直接影响着列方程和解方程的难易，所以要根据不同的具体情况把握好解题的每一步．复习策略：1. 一元二次方程解应用题应注意：⑴写未知数时必须写清单位，用对单位；列方程时，方程两边必须单位一致；答必须写清单位． ⑵注意语言和代数式的转化，要把用语言给出的条件用代数式表示出来．2. 常见的应用题：⑴几何图形的面积问题：这类问题的面积公式是等量关系，如果图形不规则，应分割或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程．⑵平均增长（降低）率问题：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新的数据，解这类问题需牢记公式2(1)a x b +=或2(1)a x b -=，其中a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长或降低率，b 表示后来得到的数据，“＋”表示增长，“－”表示降低．[方法·规律]：⑴解此类问题所列的方程，一般用直接开平方法求解．⑵增长率不能为负数，降低率不能大于1．⑶营销问题：解决此类问题首先要清楚几个名称的意义，如成本价、售价、标价、打折、利润、利润率等以及它们之间的等量关系．[梳理·总结]：此类问题常见的等量关系是：“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品的利润×销售数量，100⨯售价－进价利润率＝％进价”例7.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取2≈1.41）例8. 一块矩形耕地大小尺寸如图1，如果修筑同样宽的两条“之”字形的道路，如图1所示，余下的部分作为耕地．要使耕地的面积为540m 2，道路的宽应是多少？分析：在面积问题中有一些计算题，如采用平移的方法适当改变图形的形状，可以给解决问题带来意想不到的美妙效果．此题如不采用“平移法”，很难人手．若把“之”字道路平移一下位置，变为图2，则此题即可迎刃而解．图1 图2考点7：一元二次方程中考阅读理解题例析与一元二次方程相关的阅读理解问题，是近几年的一种新题型，由于这类问题有助于培养学生的阅读理解能力、创新意识，而备受大家的关注，现略举几例与同学们共赏析．例9. （2006年福建晋江市）阅读下面的例题：解方程：x 2—|x|—2＝0解：（1）当x ≥0时，原方程化为x 2—x —2＝0，解得：x 1＝2，x 2＝—1（不合题意，舍去）．（2）当x <0时，原方程化为x 2＋x —2＝0，解得：x 1＝1（不合题意，舍去），x 2＝—2∴原方程的根是x 1＝2，x 2＝—2．请参照例题解方程x 2—|x —3|—3＝0，则此方程的根是 ．例10. （2006年广东茂名市）先阅读，再填空解题：（1）方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝－3，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝－12；（2）方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32；（3）方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ．则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ；根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、21x x ⋅与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．分析：本题首先请同学们阅读两个一元二次方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系，再通过第3个方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系特点，归纳猜想出一元二次方程的两个根与系数的关系．【中考再现】【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1、（2007巴中市）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根2、（2007安徽泸州）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A. m<lB. m>－1C. m>lD. m<－13、（2007四川内江）用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A. 2(2)2x -= B. 2(2)2x += C. 2(2)2x -=- D. 2(2)6x -=4、（2007四川成都）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A. x 2＋4＝0B. 4x 2－4x ＋1＝0C. x 2＋x ＋3＝0D. x 2＋2x －1＝05、（2007湖南岳阳）某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）A. 200（1＋a%）2＝148B. 200（1－a%）2＝148C. 200（1－2a%）＝148D. 200（1－a 2%）＝1486、（2007安徽芜湖）已知关于x 的一元二次方程22x m x -=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A. m ＞－1B. m ＜－2C. m ≥0D. m ＜07、（2007湖北武汉）如果2是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是（ ）A. 2B. －2C. 4D. －4二、填空题1、（2007重庆）已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x2、（2007四川眉山）关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝______；c ＝______.3、（2007浙江温州）方程220x x -=的解是 .4、（2007湖南怀化）已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =5、（2007四川成都）已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，那么代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值为＿＿＿＿．6、（2007江苏淮安）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。

一元二次方程大单元整体备课一、课标分析“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。

本章的具体要求：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；了解一元二次的根与系数的关系；能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性。

二、教材分析本单元属于“数与代数”中方程与不等式的内容，是鲁教版八年级下册第八章，也是初中学段“数与代数”研究的重要内容之一.本单元共包括7节，具体内容包括一元二次方程，用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用.这些内容既是对代数式、一元一次方程、二元一次方程组和可以化为一元一次方程的分式方程、因式分解、实数、二次根式的巩固、加深和发展，又是今后学习二次函数的基础.因此，本单元内容在学生的数学学习中具有承上启下的重要地位，同时，本单元内容也是解决物理等其他学科问题的重要工具。

单元数学要素六年级上册第三章整式及其加减中的代数式六年级上册第四章一元一次方程七年级上册第四章实数七年级下册第七章二元一次方程组八年级上册第一章因式分解八年级下册第七章二次根式九年级上册第三章二次函数三、教材的呈现方式本章在呈现方式上：1、通过丰富的实例，如“地毯四周有多宽”“梯子的底端滑动多少米”等问题，建立一元二次方程，让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，从中体会方程的模型思想。

2、在第二至四节探索方程解法的过程中，并未单纯地进行解方程的训练，而是适当设计一些应用题，并在三种解法之后又安排了有关的应用内容。

3、三、学习目标1.经历从具体情境中抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.2.理解一元二次方程及其相关概念，理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。

数学九年级上册《一元二次方程》单元目标纲要目标确定的依据1、课程标准相关要求：（1）以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念；（2）根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握配方法、直接开平法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法；（3）会用一元二次方程的根的判别式判别方程是否有实根以及根据根的情况确定字母的值或者范围；（4）会用一元二次方程的根与系数之间的关系求未知字母和一些代数式的值；（5）经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。

2、教材分析：（1）本章的主要内容：（a）一元二次方程的有关概念；（b）一元二次方程的解法，根的判别式及根与系数的关系；（c）实际问题与一元二次方程。

（2）本章知识结构图：3、学情分析：(1)重视一元二次方程与实际的联系，再次体现数学建模思想。

方程是刻画现实世界的有效数学模型，因而方程教学关注方程的建模过程。

教科书的第1节就是想通过多种实际问题的分析，经历模型化的过程，并在此基础上抽象出数学概念。

当然，在教学中除教科书第1节、第5节提供了大量的实际问题外，教师还应根据学生生活实际和认知水平，创设更为丰富、贴近学生的现实情景，并引导学生分析其中的数量关系，建立方程模型。

在经历多次这样的数学活动，使学生感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模思想，增强学生学习数学的兴趣和应用意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。

(2)本章为学生提供了许多活动，教学中应让学生进行充分的探索和交流如在一元二次方程解法的教学中，教师不要采用先示范，然后让学生模仿的方法，而应通过恰当的引导，鼓励学生先独立探索解法，并相互交流。

在一元二次方程应用的教学中，应鼓励与提倡解决问题策略的多样化，学生的解法只要合理，就给以肯定，不必拘泥于教科书的解法。

(3)注重数学思想方法的渗透数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，这样的抽象是一个逐步深入的过程.方程是含有未知数的等式，它们表达了数量之间的相等关系。

一元二次方程教案一元二次方程数学教学教案8篇元二次方程教案篇一一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？九年级数学《一元二次方程》教案篇二教学目标知识与技能目标1、构建本章的部分知识框图。