分式方程的解法

分式方程的解法多年的教学，总结了一下分式方程的解法，供大家参考，希望对大家有所帮助。

方法1：计算法例 解方程 32223=-++x x x 解：移项，得()()()()是原方程的根时，检验：当计算，得4,022440164022164-032223=≠-+===+-=-++=--++x x x x x x x x x x x x原理：分式的值为0，分子为0，分母不为0.方法是把所有的项集中于方程左边，右边为0 ，从而利用分式的值为0求出未知数。

方法2：分式相等法例 解方程 32223=-++x x x 解：原方程化为()()()()()()()()()()()()416412344322322232222322222322=-=--=+--+=++--+-+=-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x经检验，x=4是原方程的解。

原理：两分式相等，分母相等，分子也相等。

方法3：等式性质法例 解方程 32223=-++x x x 解：方程两边同乘()()22-+x x 得()()()()4164123443223222322=-=--=+--+=++-x x x x x x x x x x经检验，x=4是原方程的解。

原理：利用等式性质，去分母化为整式方程。

方法2结合方法3，降低去分母的难度。

方法4：比例式法例 解方程 415+=x x解：两外项的乘积等于两內项的乘积 ()55554154-==-+=+=x x x x x x经检验，x=-5是原方程的解。

分式方程的几种解法分式方程是初中数学教材重点内容之一，它是一元二次方程的应用和深化，同时又是列分式方程解应用题及解分式方程组的基础，所以分式方程有承上启下的作用，至关重要，它的解法很多，这里略谈一二。

一、 去分母法方法导析：它是分式方程的基本解法，即：方程两边同乘以各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，解出这个整式方程，最后把所得结果代入最简公分母中检验，便得分式方程的根。

例1：解方程：4121235222---=++-x x x x x 解：方程两边同乘以)2)(2)(1(-++x x x 去分母得：)1(4)2)(1()2)(52(+-++=--x x x x x整理得：01282=+-x x 解之得：6,221==x x检验：把2=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它等于0，所以2=x 不是原方程的根。

把6=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它不等于0，所以6=x 是原方程的根。

∴原方程的根为6=x 。

二、 换元法方法导析：根据方程特点用另一字母代替方程中的未知项式，得到一个关于这一字母的新方程，再进行解方程，其宗旨是换得的方程较原方程简单。

例2：解方程：21333322=-+-x x x x 解，设a x x =-32，则ax x 13332⨯=-，原方程变形为： 2133=+a a 去分母，得：061322=+-a a 解之得：61=a 212=a当6=a ，即632=-x x ，去分母，整理得0362=--x x 323±=∴x 当21=a ，即2132=-x x ，去分母，整理得0622=--x x 23,221-==∴x x 检验，把323+=x ，323-=x ，2=x ， 23-=x 分别代入原方程分母中其计算结果都不为0，所以他们都是原方程的根。

∴原方程的根是323±=∴x ，2=x ， 23-=x 三、 通分法方法导析：根据方程特点，原方程式适当变形后，两边进行通分，再结合分式性质解题。

分式方程意义及解法1．解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程2．解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根(即分母为0)。

所以，必须验根。

产生增根的原因：当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．检验根的方法：（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。

（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。

必须舍去。

用去分母法解分式方程的一般步骤：(i)去分母，将分式方程转化为整式方程；(ii)解所得的整式方程；(iii)验根做答例5：解方程：。

分析：本题方程中分母含有未知数x，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程，首先要将各个分母能因式分解的多项式先做因式分解，再找最简公分母。

解：将原方程变形：去分母：方程两边同乘以2(x+3)得： 4+3(x+3)=7,移项：3x=7-4-9合并同类项：3x=-6系数化为1：x=-2检验：把x=-2代入原方程左边==2+=，右边==，∵左边=右边，∴x=-2是原方程的解。

随堂练习：1、解方程：13)1(2522-=--x x x x2、解方程：。

(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程．用换元法解分式方程的一般步骤：(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；(iv)检验做答．注意：(1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。

1．一般‎法所谓一般‎法，就是先‎去分母，将‎分式方程转‎化为一个整‎式方程。

然‎后解这个整‎式方程。

解‎原方程就‎是方程两边‎同乘以（x‎＋3）（x‎－3），约‎去分母，得‎4（x－3‎）＋x（x‎＋3）=x‎2－9－2‎x。

2．换‎元法换元法‎就是恰当地‎利用换元，‎将复杂的分‎式简单化。

‎分析本方‎程若去分母‎，则原方程‎会变成高次‎方程，很难‎求出方程的‎解设x2‎＋x=y，‎原方程可变‎形为解这个‎方程，得y‎1=－2，‎y2=1。

‎当y=－2‎时，x2＋‎x=－2。

‎∵Δ＜0，‎∴该方程无‎实根；当y‎=1时，x‎2＋x=1‎，∴经检‎验，是原‎方程的根，‎所以原方程‎的根是。

‎3．分组结‎合法就是把‎分式方程中‎各项适当结‎合，再利用‎因式分解法‎或换元法来‎简化解答过‎程。

4．拆‎项法拆项法‎就是根据分‎式方程的特‎点，将组成‎分式方程的‎各项或部分‎项拆项，然‎后将同分母‎的项合并使‎原方程简化‎。

特别值得‎指出的是，‎用此法解分‎式方程很少‎有增根现象‎。

例4 解‎方程解将‎方程两边拆‎项，得即x‎=－3是原‎方程的根。

‎5．因式分‎解法因式分‎解法就是将‎分式方程中‎的各分式或‎部分分式的‎分子、分母‎分解因式，‎从而简化解‎题过程。

解‎将各分式‎的分子、分‎母分解因式‎，得∵x－‎1≠0，∴‎两边同乘以‎x－1，得‎检验知，它‎们都是原方‎程的根。

所‎以，原方程‎的根为x1‎=－1，x‎2=0。

6‎．配方法配‎方法就是先‎把分式方程‎中的常数项‎移到方程的‎左边，再把‎左边配成一‎个完全平方‎式，进而可‎以用直接开‎平方法求解‎。

∴x2±‎6x＋5=‎0，解这个‎方程，得x‎=±5，或‎x=±1。

‎检验知，它‎们都是原方‎程的根。

所‎以，原方程‎的根是x1‎=5，x2‎=－5，x‎3=1，x‎4=－1。

‎7．应用比‎例定理上述‎例5，除了‎用因式分解‎法外，还可‎以应用合比‎和等比定理‎来解。

分式方程与分式不等式的解法在代数学中，我们经常会遇到涉及到分式方程和分式不等式的问题。

了解如何解决这些问题，对于解决各种数学难题至关重要。

本文将介绍分式方程和分式不等式的解法，并提供几个例子来帮助读者更好地理解。

一、分式方程的解法分式方程是指带有分式的等式。

一般来说，我们需要找到能够使方程两边相等的未知数值。

下面我们将介绍两种常见的分式方程解法。

1. 通分法通分法是解决分式方程的常用方法。

当方程两边的分母相同时，我们可以通过扩展分子来消去分母，从而得到一个简单的等式。

例如，考虑以下分式方程：$\frac{x}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{6}$我们可以通过通分消去分母，将方程转化为：$3x + \frac{3}{2} = \frac{5}{6}$然后，我们再进一步化简等式，最终求解出未知数的值。

2. 方程转化法在一些情况下，我们可以通过将分式方程转化为普通方程来求解。

例如，考虑以下分式方程：$\frac{x-1}{3} = \frac{x+2}{4}$我们可以通过将分式的等式两边进行交叉乘法，得到：$4(x-1) = 3(x+2)$然后，我们展开并整理等式，再次求解未知数的值。

二、分式不等式的解法分式不等式是指带有分式的不等式，例如 $\frac{x}{2} > 3$。

解决分式不等式的关键是找到使不等式成立的未知数范围。

下面我们将介绍两种常见的分式不等式解法。

1. 分数法分数法是解决分式不等式的一种常见方法，它可以通过一些数学性质来找到不等式的解。

例如，考虑以下分式不等式：$\frac{x+1}{2} \leq 3$我们可以通过将不等式的等价形式转化为：$x+1 \leq 6$然后，我们进一步化简等式，最终求解出未知数的范围。

2. 区间法区间法是一种几何方法，可以直观地找到分式不等式的解。

例如，考虑以下分式不等式：$\frac{x-2}{x+1} > 0$我们可以通过将不等式的等价形式转化为：$\frac{(x-2)(x+1)}{(\lvert x+1 \rvert)(x+1)} > 0$然后，我们可以考虑$x+1$的正负情况以及$(x-2)(x+1)$的正负情况，从而得到未知数的范围。

分式方程知识讲解分式方程是一种包含分数的方程，其中未知数出现在分数中的分子或分母中。

解分式方程的关键是通过消除分母，将方程转化为一个整式方程，并找到未知数的解。

一般来说，分式方程的解可以分为两种情况：分母不为0的情况和分母为0的情况。

对于分母不为0的情况，我们可以通过消除分母，将方程转化为一个整式方程来求解。

以下是一些常见的分式方程的解法：1.一次分式方程：形如a/x+b=c的方程。

这类方程可以通过先将方程两边都乘以x，然后移项化简得到解。

2.二次分式方程：形如a/(x^2)+b/x+c=d的方程。

这类方程可以通过将方程两边都乘以x^2，然后移项化简得到一个二次方程，进而求解。

3.分式方程组：包含多个分式方程的方程组。

解决这类方程组的关键是通过消去未知数的分母，将方程组转化为一个整式方程组，并求解。

对于分母为0的情况，我们需要特殊处理。

一般地，当分母为0时，方程无解或者方程的解为未知数的取值范围。

在解分式方程时，我们需要遵守以下一些基本规则：1.分式方程的等式两边都要乘以一个非零的数，以保持方程的等价性。

2.消去分式方程的分母时，要确保不会出现除以0的情况。

3.当两个方程的等式两边都乘以相同的非零数时，等式仍然成立。

下面我们通过一些具体的例子来进一步讲解分式方程的解法。

例1：求解分式方程2/x+3=5解法：将方程两边都乘以x，得到2+3x=5x。

将变量项移到一边，常数项移到另一边，得到3x-5x=-2、合并同类项，得到-2x=-2、再将方程两边都除以-2，得到x=1、所以方程的解为x=1例2：求解分式方程1/(x+1)+1/x=1/2解法：首先将方程两边的分式相加，得到(x+1+x)/(x(x+1))=1/2、化简得到2x+1=x(x+1)。

将方程转化为二次方程形式，得到x^2+x-1=0。

利用求根公式，我们可以解得x=(-1±√5)/2、所以方程的解为x=(-1+√5)/2或x=(-1-√5)/2例3：求解分式方程组1/x+1/y=1/2，x-y=1解法：将第一个方程移项，得到1/x-1/2=-1/y。

初中数学分式方程的解法
分式方程是指含有分式未知数的方程。

在初中数学中，分式方程的解法主要有以下步骤：
1. 去分母：将分式方程转化为整式方程。

为了去分母，需要找到一个公共的分母，将方程中的所有分式都转化为整式。

这个过程可能需要多次尝试，找到合适的公共分母。

2. 去括号：将整式方程中的括号去掉，得到一个简单的整式方程。

3. 移项：将整式方程中的未知数项移到一边，常数项移到另一边，使方程变为标准的形如ax+b=0的形式。

4. 求解：根据求根公式，求出整式方程的解。

这个解就是原分式方程的解。

5. 检验：将求得的解代入原分式方程，检验是否满足原方程。

如果满足，那么这个解就是正确的；否则，需要重新求解。

需要注意，解分式方程时，要遵循去分母、去括号、移项、求解和检验的步骤。

此外，在解题过程中，要注意分式方程中分母不能为0的情况，以及解的合理性。

总之，初中数学中的分式方程解法主要是通过去分母、去括号、移项、求解和检验等步骤，将分式方程转化为整式方程，然后求解得到原方程的解。

熟练掌握这些解法与步骤，可以帮助学生更好地解决分式方程问题。

初中数学知识归纳分式方程的解法初中数学知识归纳：分式方程的解法在初中数学学习中，分式方程是一个重要的知识点。

解决分式方程的问题，需要了解并掌握一些基本的解法和技巧。

本文将对初中数学中分式方程的解法进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

一、分式方程的定义分式方程是指方程中存在有分数形式的未知数。

一般形式为：分子是未知数的有理式，分母不含未知数或者含有未知数的有理式。

例如：2/x + 3/x^2 = 1/x二、分式方程的基本解法1. 消去分母法有些分式方程的难点在于方程中含有未知数的分母，导致方程难以求解。

在这种情况下，我们可以利用消去分母的方法化简方程。

具体步骤如下：（1）找到分母的最小公倍数。

（2）将方程两边同乘以最小公倍数，以消去分母。

举例说明：对于方程 2/x + 3/(x+1) = 5/x(x+1)，我们可以采用以下步骤来解方程：（1）最小公倍数为 x(x+1)。

（2）两边同乘以 x(x+1)，得到 2x(x+1) + 3x = 5。

（3）化简方程 2x^2 + 2x + 3x = 5。

（4）整理方程得到 2x^2 + 5x - 5 = 0。

（5）利用因式分解或配方法求解上述方程，得到 x 的值。

2. 分离变量法对于分式方程中含有多个分式的情况，我们可以借助分离变量的方法将方程转化为更简单的形式。

具体步骤如下：（1）将方程中的分式分离，分别移至方程两边。

（2）通过移项的方式将方程变为等式。

（3）对方程两边进行合并和化简。

（4）解出未知数。

举例说明：对于方程 1/(x-3) + 1/(x+3) = 2/(x-1)，我们可以采用以下步骤来解方程：（1）方程中存在三个分式，我们将分式分离得到：1/(x-3) + 1/(x+3) - 2/(x-1) = 0。

（2）通过移项得到 (x+3)(x-1)+ (x-3)(x-1) - 2(x-3)(x+3) = 0。

（3）整理方程得到 (x^2+2x-3) + (x^2-4) - 2(x^2-9) = 0。