分式方程的概念及解法

知识梳理：知识点1 分式方程的概念及解法1.分式方程的概念;分母中含有 的方程叫做分式方程 【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程根本依据】2.分式方程的解法步骤(1)去分母：给方程两边都乘以________，把它化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)________．3.增根(无解）：在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。

因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。

【名师提醒：分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不能省略】提分必练：1.分式方程3x ＝2x －1的解是( )A ．x ＝－3B ．x ＝－35C ．x ＝3D ．无解2.若分式方程x x －1－m 1－x＝2有增根，则这个增根是________．m=___________。

3.解分式方程2x －1＋x ＋21－x＝3知识点 2 分式方程的应用(高频考点) 1．列分式方程解应用题的六个步骤 (1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；(3)列：根据等量关系，列出方程； (4)解：求出所列方程的解； (5)检：双检验．A .检验是否是分式方程的解； B ．检验是否符合实际问题； (6)答：写出答案． 2．常见关系 分式方程的应用题主要涉及工作量问题，行程问题等常见的公式及数量关系. 知识点3 一元二次方程的概念 1. 概念：只含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____的________方程叫一元二次方程．2.一般形式是：_______________________． ____________________________________。

【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a ≠o 这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并且一般首项为正】知识点4 一元二次方程的解法 直接开平方法：这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如ax 2=b 或(x ＋m)2＝n(n>0)的方程. 配方法：1、化二次项系数为 即方程两边都 二次项的系数。

分式方程的概念，解法知识要点梳理要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。

要点诠释：1．分式方程的三个重要特征：①是方程;②含有分母；③分母里含有未知量。

2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程,如：关于的方程和都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程.要点二：分式方程的解法1。

解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解.2．解分式方程的一般方法和步骤(1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

（2)解这个整式方程。

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。

注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。

3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时,无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.规律方法指导1．一般地，解分式方程时,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．经典例题透析：类型一：分式方程的定义1、下列各式中,是分式方程的是（）A．B．C．D．举一反三:【变式】方程中,x为未知量,a，b为已知数，且，则这个方程是( ）A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程类型二：分式方程解的概念2、请选择一组的值,写出一个关于的形如的分式方程,使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________。

分式方程的解法及应用一、目标与策略爭抡明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：分式方程的概念以及解法；分式方程产生增根的原因；分式方程的应用题。

重点难点：重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象岀数量关系.难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析.学习策略：经历“实际问题一一分式方程一一整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养数学的应用意识。

二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾一一复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？*答：含有的叫做方程.使方程两边相等的............... …的值，叫做方程的解.（二）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质•用式子表示是:A A M A A M（其中M是不等于0的整式）（三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或 ................... （除数不能为0），所得的结果仍是等式。

（四）解下列方程：（1）9—3x= 5x+ 5;（2）y y 12 y 22 5I --知识要点一一预习和课堂学习■认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。

请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。

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要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是_______________ ;②含有 ____________ ;③分母里含（2 ）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有__________________ （不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是__________________ ，不含有未知数的方程是 _方程，女口：关于X的方程1 2 x和—卫7都是_____________ 方程，而关于X的x x 2 2x 1方程Lx 2 x和x 1d都是_______________________ 方程。

分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．注： 解分式方程必须检验，验根时把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。

步骤：（1）去分母（两边同时乘以最简公分母）（2）去括号（3）移项（一般般含未知数的项移到左边，常数项移到右边） （4）合并同类项（5）系数化一（两边同时除以未知数的系数） （6）检验（将所求的未知数的值代入最简公分母） （7）做结论3.确定最简公分母的方法(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 4.分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．例题讲解：1. 已知关于x 的方程81=+x mx 的解为41=x ,则m =_________ 2. 已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数，求a 的取值范围为___________3. 若分式 的值为零，则 的值为________.4. 某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修x 米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了 天．5. 若方程322x mx x-=--无解，则m =______. 解下列分式方程：14143=-+--x x x 212423=---x x xa a 1+222334a a a a ----144222=-++-x x x . 013132=--+--xx x.231-=x xx()()31112x x x x -=--+已知：关于x 的方程xx x a --=-+3431无解，求a 的值。

分式方程意义及解法1．解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程2．解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根(即分母为0)。

所以，必须验根。

产生增根的原因：当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．检验根的方法：（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。

（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。

必须舍去。

用去分母法解分式方程的一般步骤：(i)去分母，将分式方程转化为整式方程；(ii)解所得的整式方程；(iii)验根做答例5：解方程：。

分析：本题方程中分母含有未知数x，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程，首先要将各个分母能因式分解的多项式先做因式分解，再找最简公分母。

解：将原方程变形：去分母：方程两边同乘以2(x+3)得： 4+3(x+3)=7,移项：3x=7-4-9合并同类项：3x=-6系数化为1：x=-2检验：把x=-2代入原方程左边==2+=，右边==，∵左边=右边，∴x=-2是原方程的解。

随堂练习：1、解方程：13)1(2522-=--x x x x2、解方程：。

(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程．用换元法解分式方程的一般步骤：(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；(iv)检验做答．注意：(1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。

第6讲分式方程模块一：分式方程及其解法知识精讲1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．例题解析例1．（1）下列方程中，是分式方程的为（ ）A ．12x -=B 1=C 10-=D 1=【答案】C【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．【详解】A. 是整式方程，故选项错误；B. 是整式方程，故选项错误；分母中含有未知数x ，所以是分式方程，故选项正确；D. 是整式方程，故选项错误.故选C.【点睛】此题考查分式方程的判定，掌握分式方程的定义是解题的关键.（2）在3253x +=；11(1)(1)432x x ++-=；21x -=；2371x x x ++=-；1(37)x x-中，分式方程有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★【答案】B【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）（2）两个方程分 母中不含未知数，（5）不是方程，（3）（4）满足定义，故选B ．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．例2．（1）用换元法解分式方程251x x +21x x+-+1=0，如果设21x x +=y ，那么原方程可以化为（ ）A ．2+y y -5=0B ．2y -5y+1=0C ．25y y 10++=D ．25y 10y +-=【答案】D【分析】直接把21xx +换成y ，整理即可．【详解】解：设21xy x =+，则原方程化为1510y y -+=，去分母得，25y 10y +-=，故选：D ．【点睛】本题考查的是换元法解分式方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．（2）.用换元法解方程221165380x x x x æöæö+++-=ç÷ç÷èøèø，设1y x x =+，则方程变为()A ．265380y y +-=B ．265400y y +-=C ．265260y y +-=D ．265500y y +-=【难度】★【答案】D【解析】1y x x =+，则有22221122x x y x x æö+=+-=-ç÷èø，原方程即为()2625380y y -+-=，展开整理即为265500y y +-=，故选D ．【总结】考查分式方程中换元法的应用，注意含有未知数部分的恒等变形转化．例3.分式方程2227381x x x x x +=+--的最简公分母是____________．【难度】★【答案】3x x -．【解析】分式方程中三个分母位置上分别为2x x +，2x x -，21x -，分解因式的结果分别为()1x x +，()1x x -，()()11x x +-，由此可得方程的最简公分母为()()311x x x x x +-=-．【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．例4.直接写出下列分式方程的根：（1）11211x x x -=---：_________________；（2）11111x x x -=---：_________________；（3）2121x x -=-：_________________；（4）2111x x -=-：_________________．【难度】★【答案】（1）2x =；（2）无解；（3）无解；（4）0x =．【解析】（1）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得2x =， 检验得2x =是原分式方程的根；（2）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得1x =，检验得1x =为方程的增根， 即方程无解；（3）约分得12x +=，解得1x =，检验得1x =为方程的增根，即方程无解；（4）约分得11x +=，解得0x =，检验得0x =是原分式方程的根．【总结】考查根据等式的性质求解简单的分式方程，注意求解结果是否是增根．例5.解方程：（1）3363142x x -=-+；（2）43252x xx x =++；（3）23312222x x x x x ++=--+-．【难度】★★【答案】（1）123x =，29x =-；（2）10x =，267x =-；（3）无解．【解析】（1）方程两边同乘()()43123x x -+，得()()()()42312831x x x x +--+=-，整理得2325180x x +-=，解得123x =，29x =-，经检验，123x =，29x =-都是原方程的根；（2）方程两边同乘()()3252x x ++，得()()52432x x x x +=+，整理得2760x x +=，解得：10x =，267x =-，经检验，10x =，267x =-都是原方程的根；（3）方程两边同乘()()212x x +-，得()()()63221x x x ++-=+，整理得220x x --=，解得：11x =-，22x =，经检验，11x =-，22x =都是原方程的增根，即原方程无解．例6.解方程：（1）2213211x x x x -=+--； （2）24221422x x x x =++--+；（3）23211214124x x x x++=+--．【难度】★★【答案】（1）13x =-；（2）6x =；（3）54x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()221213x x x x +=-+-，整理得23210x x --=， 解得：113x =-，21x =，经检验，21x =是原方程的增根，即原方程的根为13x =-；（2）方程两边同乘24x -，得()()2442222x x x x =--++-，整理得24120x x --=，解得：16x =，22x =-，经检验，22x =-是原方程的增根，即原方程的根为6x =；（3）两边同乘()2241x -，得()()()2621421241x x x x -+-+=-，整理得281450x x -+=，解得：112x =，254x =，经检验，112x =是原方程的增根，即原方程的根为54x =．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．例7.已知关于x 的方程22312x m x x x +-=-+-有增根，求m 的值．【难度】★★【答案】12m =或3m =．【解析】分式方程两边同乘22x x +-，得()223x m +=-，分式方程有增根，由220x x +-=，解得：11x =，22x =-，即为原分式方程的增根，代入相应整式方程得39m -=或30m -=，解得12m =或3m =．【总结】考查分式方程的增根，代入相应的整式方程可使得方程成立且使得分式分母为0的未知数的值．例8.已知关于x 的方程7155x m xx x--=---无解，求m 的值．【难度】★★【答案】3m =．【解析】分式方程两边同乘5x -，得()75x x m x -=---，整理解得：2x m =+，因为原分式方程无解，则相应解应为分式方程的增根，即得25x m =+=，解得3m =．【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根．例9.已知关于x 的方程301a xx +-=+的根是负数，求a 的取值范围．【难度】★★【答案】3a <且1a ≠．【解析】分式方程两边同乘1x +，得()310a x x +-+=，整理解得：32a x -=，方程的根是 负数，则有302a x -=<，得3a <，同时分式方程的根不能为相应增根，即312a x -=≠-， 得1a ≠，由此即得3a <且1a ≠．【总结】考查分式方程的解满足条件的求解，注意方程的解不能为相应的增根．例10.解方程：（1）2220383x x x x+-=+；（2）2191502x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø．【难度】★★【答案】（1）15x =-，22x =，31x =-，42x =-；（2）11x =，22x =，312x =．【解析】（1）令23x x a +=，原方程即为208a a-=，两边同乘a 整理得28200a a --=，解得：110a =，22a =-；由2310x x +=，解得：15x =-，22x =；由232x x +=-，解得：11x =-，22x =-；经检验，15x =-，22x =，31x =-，42x =-都是原方程的根；（2）令1x a x +=，原方程即为29502a a -+=，解得12a =，252a =；由12x x+=，整理得2210x x -+=，解得：121x x ==；由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =；经检验，11x =，22x =，312x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解具有特殊形式的分式方程，注意对方法的总结．例11.解方程：（1）225(16(1)1711x x x x +++=++）；（2）2216104()933x x x x+=-．【难度】★★【答案】（1）1x =2x =（2）13x =，23x =，32x =-，46x =．【解析】（1）令211x a x +=+，原方程即为6517a a +=，两边同乘a 整理得251760a a -+=，解得：125a =，23a =；由21215x x +=+，整理得25230x x -+=，方程无解；由2131x x +=+，整理得2320x x --=，解得：1x 2x =经检验，1x =2x = （2）令43x a x -=，则有2222164889333x x a x x æö+=-+=+ç÷èø，原方程即为281033a a +=，整理得231080a a -+=，解得：12a =，243a =；由423x x-=，整理得26120x x --=，解得：13x =，23x =；由4433x x -=，整理得24120x x --=，解得：12x =-，26x =；经检验，13x =+23x =-，32x =-，46x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．例12.解方程组：（1）413538x y x y x y x y ì+=ï+-ïíï-=ï+-î；（2）132013251x y x y ì+=ï-ïíï-=-ï-î．【难度】★★【答案】（1）01x y =ìí=î；（2）565x y =ìïí=ïî．【解析】（1）令1a x y =+，1b x y =-，原方程组即为43538a b a b +=ìí-=î，解得：11a b =ìí=-î，由此可得11x y =+，11x y =--，由此得11x y x y +=ìí-=-î，解得：01x y =ìí=î，经检验，01x y =ìí=î是原分式方程的根；（2）令11a y =-，原方程组即为320235x a x a +=ìí-=-î，解得：55x a =ìí=î，由此可得：151y =-， 解得：65y =， ∴565x y =ìïí=ïî， 经检验，565x y =ìïí=ïî是原分式方程的根．【总结】考查利用换元法求分式方程组的解，注意解完之后要检验．例13.解方程组：（1）253489156x x x x +=+++++；（2）11212736x x x x x x ++-=-++++．【难度】★★【答案】（1）16x =，2334x =-；（2）92x =-．【解析】（1）对分式方程移项通分得()()()()()()()()21538495681569x x x x x x x x +-++-+=++++，展开即得2266231201554x x x x x x -+-+=++++，由此即得60x -+=或22231201554x x x x ++=++，解得：16x =，2334x =-， 经检验，16x =，2334x =-都是原分式方程的根； （2）对分式方程变形得1111112736x x x x --=--++++，由此得11112736x x x x +=+++++，两边分别通分即得222929914918x x x x x x ++=++++， 两边分母不同，则必有290x +=，解得92x =-，经检验，92x =-是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．例14.解方程：226205x x +-=+．【难度】★★【答案】11x =，21x =-．【解析】令25x a +=，则有25x a =-，原方程即为6520a a+--=，两边同乘a 整理，得2760a a -+=，解得：11a =，26a =；由251x +=，方程无解； 由256x +=，解得：11x =，21x =-；经检验，11x =，21x =-都是原方程的根．【总结】考查用换元法解分式方程，注意取值范围和增根．例15.a 为何值时，关于x 的方程211a a x +=+无解?【难度】★★【答案】12a =-或0a =．【解析】分式方程两边同乘1x +，得：()211a a x +=+，展开移项得1ax a =+，当0a =时，方程无解； 当0a ≠时，1a x a +=，方程无解，即得11a x a+==-，解得12a =-；综上，12a =-或0a =．【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根，注意考虑未知项系数为0的情况．例16.已知关于x 的方程222022x x x k x x x x-+++=--只有一个解，求k 的值及这个解．【难度】★★★【答案】72k =-时，1212x x ==或4k =-时，1x =或8k =-时，1x =-．【解析】方程两边同乘22x x -，得()22220x x x k +-++=，展开整理得：22240x x k -++=，分式方程可能产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行 分类讨论：①当整式方程有两相等实数根时，()()224240k ∆=--⨯+=，解得：72k =-，此时方程为212202x x -+=，解得：1212x x ==，此时分式方程只有一个解，符合题意；②当整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有40k +=，解得：4k =-，此时方程为2220x x -=，解得：10x =，21x =，此时分式方程只有一个解1x =，符合题意；③当整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有2222240k ⨯-⨯++=，解得：8k =-，此时方程为22240x x --=，解得：12x =，21x =-，此时分式方程只有一个解1x =-，符合题意； 综上，72k =-或4k =-或8k =-．【总结】考查分式方程只有一个解的情况，方程为二次方程时，注意包含方程有一个根为分式方程的增根的情形．例17.解关于x 的方程：22112(3()1x x x x+-+= 【难度】★★★【答案】12x =，212x =．【解析】令1x a x +=，则有22221122x x a x x æö+=+-=-ç÷èø，原方程即为()22231a a --=，展开整理得22350a a --=，解得：11a =-，252a =；由11x x+=-，整理得210x x ++=，方程无解；由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得：12x =，212x =； 经检验，12x =，212x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程，注意解完之后进行检验．例18.解关于x 的方程()()450b x a xa b b x a x+-=-+≠+-．【难度】★★★【答案】12a b x -=，245a bx -=．【解析】令a x kb x -=+，原方程即为45k k=-，两边同乘k 整理，得2540k k -+=，解得：11k =，24k =； 由1a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：2a bx -=；由4a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：45a bx -=；经检验，12a b x -=，245a bx -=都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．例19.已知方程22222(1)21()x ax a a x a +-++=+有实数根，求实数a 的取值范围．【难度】★★★【答案】1122a -≤≤且0a ≠．【解析】展开得()()22222222121x ax a ax a a x a +--+++=+，根据等式性质移项得()()222220x ax a ax x a +-+=+，即为()20x a x a x a ⎡⎤+-=⎢⎥+⎣⎦，由此得()0xa x a x a+-=+， 移项得()2a x a x +=，展开整理得()223210ax a x a +-+=，当0a =时，方程有实数根0x =是分式方程的增根，应舍去；当0a ≠时，方程为一元二次方程，此时根据韦达定理可得2122112a x x a a a-+=-=-，可知1x 、2x 不可能同时为a -，分式方程有实数根，则相应的整式方程应满足()2232214410a a a a ∆=--⋅=-+≥，得1122a -≤≤；综上，实数a 的取值范围为：1122a -≤≤且0a ≠．【总结】考查分式方程有实数根的情形，对分式方程整理变形满足相应的条件即可．模块二分式方程应用题知识精讲1、列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”（1）利用题目中的关键语句寻找相等关系；（2）利用公式、定理寻找相等关系；（3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．例题解析例1.要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为x天的方程是（）．A．2213xx x-+=+B．233x x=+C．2213xx x++=+D．213xx x+=+【难度】★【答案】D【解析】设工作总量为“1”，则甲工作量+乙工作量=1，根据工作总量=工作效率×工作天数，乙工作天数为x天，由此可知选D．【总结】考查工程问题中的单位“1”，注意分清对应的工作效率和工作时间．例2.某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工x个零件，那么下列根据题意列出的方程中，错误的是（）A．8030080615x x-+=-B．30080615x-=-C．80(6)8030015xx-+=-D．8015300806xx-=--【难度】★【答案】B 【解析】略【总结】考查根据题意列方程的应用，根据工作量和工作效率、工作时间之间的相互关系进行列方程的应用．例3.甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天完成．两队单独工作各需多少天完成?【难度】★★【答案】甲单独需10天完成，乙单独需15天完成．【解析】设甲单独需用x天完成，则乙单独需用()5x+天完成，依题意可得11615x xæö+=ç÷+èø，整理得27300x x--=，解得：13x=-，210x=，经检验，13x=-，210x=都是原方程的根，但13x=-不合题意应舍去，即得10x=，即甲单独需10天完成，乙单独需10515+=天完成．【总结】考查工程问题中的列方程解应用题，把工作总量当作单位“1”解题．例4.登山比赛时，小明上山时的速度为a米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和下山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?【难度】★★【答案】2aba b+．【解析】设小明上山的路程为sm，则整个过程中小明总行程为2sm，根据平均速度=总行程÷总时间，即得平均速度22s abvs s a ba b==++．【总结】考查平均速度的求取，平均速度==总行程÷总时间，与行程远近无关，注意平均速度的求法．例5.甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B地比乙到A地早27分钟，求两人的速度各是多少?【难度】★★★【答案】甲速度为5/km h，乙速度为4/km h．【解析】设甲速度为/xkm h，则乙速度为()9/x km h-，927min20h=，依题意可得999920x x-=-，整理得2311800x x+-=，解得：136x=-，25x=，经检验，136x=-，25x=都是原方程的根，但136x=-不合题意应舍去，即得5x=，即甲速度为5/km h，乙速度为954/km h-=．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解．例6.甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、乙两车的速度各是多少?【难度】★★★【答案】甲速度为80/km h，乙速度为60/km h．【解析】设甲车xh到达B地，60min1h=，120min3h=，依题意可得24024030113xx-=+-，整理得232330x x+-=，解得1113x=-，23x=，经检验，111 3x=-，23x=都是原方程的根，但111 3x=-不合题意应舍去，即得3x=，可得甲速度为24080/3km h=，乙速度为24060/31km h=+．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解，注意本题中用时间作设速度列式解题更方便．例7.某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?【难度】★★★【答案】3万套．【解析】设改进操作方案后每月能生产x 万套衣服，则改进之前每月生产()1x -万套，依题意可得413451x x -+=-，整理得251890x x -+=，解得：135x =，23x =，经检验，135x =，23x =都是原方程的根，但135x =不合题意应舍去，即得：3x =，即改进操作方案后每月能生产3万套衣服．【总结】考查工作总量问题，一个条件作设一个条件列式进行求解．随堂检测1.已知方程：（1）2412x x -=-；（2）221x x =-；（3）11x x x æö-=ç÷èø；（43x -=，其中是分式方程的有_____________．【难度】★【答案】（1）、（2）、（3）．【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）、（2）、（3）满足 条件，（4）方程中不含有分式，故答案为（1）、（2）、（3）．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．2.当x 取何值时，分式方程1112x x x +=--的最简公分母的值等于0?【难度】★【答案】1x =或2x =．【解析】分式方程的最简公分母为()()12x x --，最简公分母值为0，即()()120x x --=，解得：1x =或2x =．【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．3.分式方程22228(2)331112x x x x x x +-+=-+，如果设2221x xy x +=-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为 ．【难度】★【答案】281130y y -+=．【解析】2221x x y x +=-，则有22112x x x y-=+，原方程即为3811y y +=，整理化作关于y 的整式方 程即为281130y y -+=．【总结】考查利用换元法对复杂形式的分式方程进行转化，注意最终要化成整式方程的形式．4.解方程：（1）26531111x x x x =++--+；（2）22161242x x x x +-=--+； （3）243455121760x x x x x x --+=---+．【难度】★★【答案】（1）9x =；（2）5x =-；（3）12x =，29x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()()2615131x x x x =--++-，整理得2890x x --=，解得：11x =-，29x =，经检验，11x =-是原方程的增根，即原方程的根为9x =；（2）方程两边同乘24x -，得()22162x x +-=-，整理得23100x x +-=，解得：12x =，25x =-，经检验，12x =是原方程的增根，即原方程的根为5x =-；（3）两边同乘21760x x -+，得()()()4123545x x x x ----=-，整理得211180x x -+=，解得“”12x =，29x =，经检验，12x =，29x =都是原方程的根．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．5.解方程：221313x x x x ++=+．【难度】★★【答案】11x =，21x =+．【解析】令1x a x =+，原方程即为2133a a +=，整理即为231060a a -+=，解得：1a =2a =由1x x =+，解得：1x =；由1x x =+，解得：1x =+经检验11x =，21x =【总结】考查利用换元法解分式方程．6.解方程组311332412463324x y x y x y y x ì+=ï+-ïíï-=ï+-î【难度】★★【答案】1011711x y ì=ïïíï=ïî．【解析】令132a x y =+，14b x y =-，原方程组即为13312463a b a b ì+=ïíï+=î，解得：1413a b ì=ïïíï=ïî，由此可得113241143x y x y ì=ï+ïíï=ï-î， 去分母得32443x y x y +=ìí-=î，解得：1011711x y ì=ïïíï=ïî，经检验，1011711x y ì=ïïíï=ïî是原分式方程的根．【总结】考查用换元法解有特殊形式的分式方程组，注意验根．7.若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，求m 的值．【难度】★★【答案】2m =-或1m =．【解析】方程两边同乘2x x +，得()()22211x m x -+=+，展开整理得2220x x m ---=，分式方程产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行分类 讨论：①整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有20m --=，解得：2m =-；②整式方程有一根为分式方程增根1x =-时，此时有()()212120m --⨯---=，解得：1m =；综上，2m =-或1m =．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程有一个根为分式方程的增根．8.甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度．【难度】★★【答案】75/km h ．【解析】设火车原来的速度为/xkm h ，依题意可得400400245x x -=+，整理得24590000x x +-=，解得：1120x =-，275x =，经检验，1120x =-，275x =都是原方程的根，但1120x =-不合题意应舍去，即得75x =，即可得火车原来速度为75/km h ．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解．9.某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积．【难度】★★★【答案】原计划平均每年绿化面积40万亩．【解析】设原计划平均每年的绿化面积为x 万亩，则新计划每年()20x +万亩，依题意可得()200120%200120x x ⨯+-=+，整理得26040000x x +-=，解得：1100x =-，240x =，经检验，1100x =-，240x =都是原方程的根，但1100x =-不合题意应舍去，即得40x =，即原计划平均每年的绿化面积为40万亩．【总结】考查工作量的问题，根据相应的等量关系式列方程求解．10.解方程：221114(4)12()12433x x x -=-++．【难度】★★★【答案】11x =+，21x =，33x =+，43x =【解析】方程两边同乘12展开得22364881616x x x x-+=--+，根据等式的性质移项变形得2668120x x x x æöæö---+=ç÷ç÷èøèø，因式分解得：66260x x x x æöæö----=ç÷ç÷èøèø，由此可得620x x --=或660x x --=；由620x x--=，整理得2260x x --=，解得：11x =+21x =-；由660x x --=，整理得2660x x --=，解得：13x =+23x =经检验，11x =21x =-33x =43x =-都是原方程的根．【总结】考查用整体思想先对分式方程变形，然后求解分式方程的根，注意对方法的总结．11.解方程：596841922119968x x x x x x x x ----+=+----．【难度】★★★【答案】12314x =．【解析】对分式方程变形得1155514219968x x x x -++=++-----，根据等式的性质可变形得115519986x x x x -=-----，两边分别通分即得221010281711448x x x x =-+-+，由此可得22281711448x x x x -+=-+， 解得：12314x =，经检验，12314x =是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．12.已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a ．【难度】★★★【答案】32a =-或2a =-．【解析】方程两边同乘232x x -+，得()2122x a x a -+-=+，展开整理得()134a x a +=+，当10a +≠，即1a ≠-时，得341a x a +=+，分式方程可能产生增根，由此进行分类讨论：①整式方程根为分式方程增根1x =时，此时有3411a a +=+，解得32a =-；②整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有3421a a +=+，解得2a =-；综上，32a =-或2a =-．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程根为分式方程的增根．13.已知：关于x 的方程227()72120a a x x a x x+--++=只有一个实数根，求a ．【难度】★★★【答案】94a =或4a =．【解析】整理原方程得27120a a x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，因式分解得340a a x x x x æöæö+-+-=ç÷ç÷èøèø，由此可得30a x x +-=或40a x x +-=，分别整理得：230x x a -+=和240x x a -+=，两方程根的判别式分别为194a ∆=-，2164a ∆=-．因为方程仅有一实数根，所以940a -=或1640a -=，解得：94a =或4a =．【总结】考查分式方程的根与对应整式方程的根相结合的问题，根据实际题目进行问题的分析转化，解决问题．。

八年级数学上册分式方程式概念定义及解题方法整理一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。

在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。

因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。

三、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.知识点一分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

典例变式练习点评：利用分式的性质进行化简时必须注意所乘的（或所除的）整式不为零。

知识点二分式方程定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程。

整根：使最简公分母为0的根叫做分式方程的整根。

检验分式方程解的方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解释原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

分式方程的解的步骤：（1）去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

（产生增根的过程）（2）解整式方程，得到整式方程的解。

（3）检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

分式方程与分式不等式分式方程与分式不等式是高中数学中的重要内容，它们在代数方程与不等式的研究中起着重要的作用。

本文将介绍分式方程与分式不等式的基本概念、解法以及应用。

一、分式方程分式方程是一个含有分式的方程，它的解是使得方程两边的分式取相同值的数。

分式方程的基本形式为：$\frac{P(x)}{Q(x)}=c$其中，P(x)和Q(x)为多项式，c为常数。

解分式方程的关键是求出使得方程成立的x值。

解分式方程的步骤如下：1. 将分式方程中的所有分式转化为通分形式，即找到它们的最小公倍数，并将各个分式乘以使分母相同的因子。

2. 化简方程，合并同类项。

3. 将方程转化为多项式方程，通过去分母的操作，可以用等式的形式表示。

4. 求解多项式方程，得到方程的解。

需要注意的是，解分式方程时，要注意验证所得的解是否满足原始方程。

二、分式不等式分式不等式是一个含有分式的不等式，它的解是使得不等式成立的x值。

分式不等式的基本形式为：$\frac{P(x)}{Q(x)}>a$或$\frac{P(x)}{Q(x)}<a$其中，P(x)和Q(x)为多项式，a为常数。

解分式不等式的关键是求出使得不等式成立的x值所在的区间。

解分式不等式的步骤如下：1. 将分式不等式中的所有分式转化为通分形式，方法与解分式方程类似。

2. 化简不等式，合并同类项。

3. 将不等式转化为多项式不等式。

4. 求解多项式不等式，得到x所在的区间。

需要注意的是，解分式不等式时，要注意分母的正负情况，以及不等式中的临界点。

三、应用举例分式方程与分式不等式在实际问题中有着广泛的应用。

下面分别举例说明。

例1：企业利润分配某企业盈利纳入员工利益分享计划，根据企业盈利比例，公司将利润的30%分配给员工。

其中，员工A分得的利润为整个利润的1/4，员工B分得的利润是员工A分得利润的2/3。

求员工A和员工B分得的利润。

解：设整个利润为x，员工A分得的利润为$\frac{1}{4}$ *$\frac{3}{10}$ * x = $\frac{3}{40}$ * x员工B分得的利润为$\frac{2}{3}$ * $\frac{3}{40}$ * x =$\frac{1}{20}$ * x所以，员工A和员工B分得的利润分别为$\frac{3}{40}$x和$\frac{1}{20}$x。

分式的方程引言分式的方程是指含有分式表达式的方程，即方程中包含有形如a/b的表达式，其中a和b为多项式。

解分式方程是高中数学中的一个重要内容，也是学习代数方程的基础。

本文将详细讨论分式的方程的概念、性质以及解题方法。

分式的概念分式是两个多项式相除的结果，通常写成a/b的形式，其中a和b分别为多项式。

分式中有两个重要的概念：分子和分母。

分子是除号上方的多项式，分母是除号下方的多项式。

分式的值可以通过将分子除以分母来计算。

分式的性质1.分式可以化简：当分子和分母有公因式时，可以进行约分，化简分式，使其形式更简单。

2.分式可以相加相减：当分母相同的时候，可以直接对分子进行加减运算得到结果，分母保持不变。

3.分式可以相乘相除：将两个分式相乘时，将分子乘以分子，分母乘以分母；将一个分式除以另一个分式时，将分子乘以除数的倒数，分母乘以除数。

4.分式的倒数：将分式的分子与分母互换位置得到分式的倒数，倒数的值等于原分式的倒数。

分式方程的定义分式方程是一个等式，其中至少有一个变量出现在分式的分子或分母中。

分式方程的解是使得方程两边相等的变量的值。

一次分式方程的解法对于一次分式方程，可以使用以下方法进行解题： 1. 清除分母：将分式方程两边的分母消去，得到一个代数方程。

2. 收集同类项：将方程中的同类项进行整理，使方程变得更简洁。

3. 求解代数方程：解代数方程得到变量的值。

4. 检验解的合法性：将解代入原方程中，检验等式是否成立。

高次分式方程的解法对于高次的分式方程，可以使用以下方法进行解题： 1. 清除所有分母：将所有分母消去，得到一个高次方程。

2. 求解高次方程：可以使用因式分解、配方法等等进行求解。

3. 检验解的合法性：将解代入原方程中，检验等式是否成立。

分式方程的应用分式方程在实际问题中有广泛的应用，特别是在物理、化学等领域中。

以下是一些常见的应用场景： 1. 比例问题：分式方程可以用来描述一种比例关系。

分式方程知识总结一、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。

例如15x =，3233x x x =+--，523x x +=-都是分式方程。

分式方程和整式方程的最大区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数），分母中不含有未知数的方程叫做整式方程。

练习：下列方程都是关于x 的方程，其中是分式方程的有 。

（只填序号） ①52x =；②313x =-；③152x x =-；④2x n x m m n +--=；⑤2m n m n x m -+-= 答案：②、③、⑤。

二、分式方程的解法解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程，然后通过求整式方程，将整式方程的解代入最简公分母中，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解就是分式方程的根，否则这个解就不是原分式方程的根，原分式方程无解。

例题1、解方程32222x x x x-=--- 方程两边同时乘以2x -，约去分母得322(2)x x x -=---解这个整式方程得1x =检验：当1x =时，20x -≠。

所以1x =是原方程的解。

三、增根将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，约去分母，有时就可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常被称为增根。

所以解分式方程一定要进行检验。

①增根产生的原因：对原分式方程的根来说，它必须使分式方程中各个分式分母的值不能为0，当所得到的整式方程的解使原分式方程中至少一个分式的分母为0（这个分母实际上是去分母时最简公分母的一个因式），那么最简公分母的值为0，即相当于在分式方程两边都乘以了0，不符合等式性质的要求，所以这个整式方程的解不适合原来的分式方程，它就是增根。

②分式方程验根的方法：分式方程验根的方法有两种：一是将整式方程的解代入到去分母时方程两边所乘以的最简公分母中，如果这个最简公分母的值为0，它就是原分式方程的增根，舍去，反之就是原分式方程的根；二是将整式方程的解代入到原分式方程左右两边，看看两边的值是否相等。

初中数学知识归纳分式方程的解法初中数学知识归纳：分式方程的解法在初中数学学习中，分式方程是一个重要的知识点。

解决分式方程的问题，需要了解并掌握一些基本的解法和技巧。

本文将对初中数学中分式方程的解法进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

一、分式方程的定义分式方程是指方程中存在有分数形式的未知数。

一般形式为：分子是未知数的有理式，分母不含未知数或者含有未知数的有理式。

例如：2/x + 3/x^2 = 1/x二、分式方程的基本解法1. 消去分母法有些分式方程的难点在于方程中含有未知数的分母，导致方程难以求解。

在这种情况下，我们可以利用消去分母的方法化简方程。

具体步骤如下：（1）找到分母的最小公倍数。

（2）将方程两边同乘以最小公倍数，以消去分母。

举例说明：对于方程 2/x + 3/(x+1) = 5/x(x+1)，我们可以采用以下步骤来解方程：（1）最小公倍数为 x(x+1)。

（2）两边同乘以 x(x+1)，得到 2x(x+1) + 3x = 5。

（3）化简方程 2x^2 + 2x + 3x = 5。

（4）整理方程得到 2x^2 + 5x - 5 = 0。

（5）利用因式分解或配方法求解上述方程，得到 x 的值。

2. 分离变量法对于分式方程中含有多个分式的情况，我们可以借助分离变量的方法将方程转化为更简单的形式。

具体步骤如下：（1）将方程中的分式分离，分别移至方程两边。

（2）通过移项的方式将方程变为等式。

（3）对方程两边进行合并和化简。

（4）解出未知数。

举例说明：对于方程 1/(x-3) + 1/(x+3) = 2/(x-1)，我们可以采用以下步骤来解方程：（1）方程中存在三个分式，我们将分式分离得到：1/(x-3) + 1/(x+3) - 2/(x-1) = 0。

（2）通过移项得到 (x+3)(x-1)+ (x-3)(x-1) - 2(x-3)(x+3) = 0。

（3）整理方程得到 (x^2+2x-3) + (x^2-4) - 2(x^2-9) = 0。

分式方程的解法与技巧知识精讲
一、分式方程定义
分式方程就是把一个式子分解为两部分，分别是分母和分子，然后在
分母和分子上共享一些变量，最后用特定的方法求解出来。

二、求解方法
1、归约法
首先将分式方程中的分子和分母都归约成最简形式，以减少其中的因子。

随后，将归约好的分式方程化简为最简形式，再从最简形式中提取出解。

2、对式子求倒数法
当分式方程的分子和分母都是一元二次方程的时候，就可以将分子和
分母分别求其倒数，然后将其相乘，即可得出原分式方程的解。

3、先分析分式方程构成的结构
在分析分式方程之前，首先要分析分式方程构成的结构，将其分为分母、分子和共同项三部分，通过分析其构成结构，以有效地求解分式方程。

4、使用代数法
代数法是指将分式方程的分子和分母分别乘以同一个数，使得分子和
分母均变为有理数，然后求解原分式方程。

三、技巧
1、把共同项提出来
在解决分式方程的过程中，可以将原来的分式方程中的共同项提出来，以便于更好地求解。

2、多次化简
在处理分式方程的过程中，会有很多步骤，而每一步都有可能出现一
些错误，所以可以多次化简，以确保求解结果的正确性。

3、分析分母和分子
在解决分式方程的过程中。

分式方程的认识与解法一、分式方程的定义分式方程是指在方程中含有未知数的分式表达式的方程。

其一般形式可以表示为：分子和分母都含有未知数的代数式的方程。

二、分式方程的解法1. 清除分母当分式方程中存在分母时，我们首先要通过求通分的方式将分母消去，以便更方便地求解方程。

举例说明：解方程：$\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}=1$首先，我们可以将方程两边的分式的分母进行通分，得到：$\frac{x-1}{x(x-1)}+\frac{2x}{x(x-1)}=\frac{x(x-1)}{x(x-1)}$化简后得到：$x-1+2x=x(x-1)$接着，按照一般方程的求解方法，将方程化简为一般的多项式方程：$3x-1=x^2-x$整理后得到：$x^2-4x+1=0$然后，我们可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解多项式方程，得到方程的解：$x_1=2+\sqrt{3}$$x_2=2-\sqrt{3}$2. 分式方程的整理和化简有时，分式方程可能非常复杂，我们需要对方程进行整理和化简，以便更方便地进行后续的求解。

举例说明：解方程：$\frac{x^2+1}{x-2}-1=\frac{3x+4}{x-2}$首先，我们可以对方程进行整理和化简，得到：$\frac{x^2+1-x+2}{x-2}=\frac{3x+4}{x-2}$化简后得到：$\frac{x^2-x+3}{x-2}=\frac{3x+4}{x-2}$接着，我们可以将方程两边的分式进行合并，得到：$x^2-x+3=3x+4$化简后得到：$x^2-4x+1=0$然后，我们可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解多项式方程，得到方程的解：$x_1=2+\sqrt{3}$$x_2=2-\sqrt{3}$3. 分式方程的检验在求得分式方程的解后，我们还需要将解代入方程进行验证，以确认解的可行性。

举例说明：解方程：$\frac{x-2}{2x+3}=\frac{x+1}{3x-1}$假设解为$x=1$，我们将解代入方程中进行检验：$\frac{1-2}{2(1)+3}=\frac{1+1}{3(1)-1}$计算结果为：$\frac{-1}{5}=\frac{2}{2}$显然，左右两边不相等，所以$x=1$不是方程的解。

分式方程及其应用一、分式方程的基本解法：1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．可化为一元一次方程的分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：（1）增根能使最简公分母等于0；（2）增根是去分母后所得整式方程的根．3．解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0 ，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．【例1】解下列分式方程：（1）131x x+=-（2）31244xx x-+=--（3）21122xx x=---（4）11222xx x-=---（5）212xx x+=+（6）2216124xx x--=+-【例2】（1）若关于x 的方程1233mx x=+--有增根，则m =________．（2）解关于x 的方程2224222x a a x x+-=--会产生增根，则a 的值是________．（3）若关于x 的分式方程11044a xx x---=--无解，则a 的值为________．（4）若关于x 的分式方程2111m x x+=--的解为整数，则m 的取值范围是________．（5）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =________．二、巧解分式方程： 【例3】（1）111141086x x x x +=+---- （2）2263503x x x x-++=-（3）()()()()()1111111220212022x x x x x x x +++=------…（4）方程222313x x x x-+=-中，如设23y x x =-，原方程可化为整式方程：________．【拓1】观察下列方程及其解的特征：①12x x+=的解为121x x ==； ②152x x +=的解为12x =，212x =；③1103x x +=的解为13x =，213x =；…… 解答下列问题： ①请猜想：方程1265x x +=的解为________； ②请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为1x a =，21x a=（0a ≠）； ③上题中的结论可以证明是正确的，请用该结论来解方程：315132x x x x -+=-．【拓2】24111181111x x x x +++=-+++．三、分式方程的应用：【例4】（20宝应模拟）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是（ ） A ．600060001520x x -=+ B ．600060001520x x -=+ C ．600060002015x x -=- D ．600060002015x x-=-【拓3】某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（ ） A ．()16040018120%x x +=+ B ．()16040016018120%x x -+=+ C ．1604001601820%x x -+= D ．()40040016018120%x x-+=+【例5】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度行驶，一小时后加速为原来的1.5倍，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小 时的平均速度．【拓4】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独 完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队 先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超 过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？四、真题演练：1．（21扬州三模）若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．3或42．（19仪征期中）定义：如果一个关于x 的分式方程a b x=的解等于1a b -，我们就说这个方程叫差解方程．比如：243x =就是个差解方程．如果关于x 的分式方程2mm x =-是一个差解方程，那么m 的值是（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-3．（20邗江月考）扬州轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是（ ） A ．30301.50.5x x +=B ．30301.50.5x x -= C ．30300.5 1.5x x +=D ．30300.5 1.5x x-=4．（21高邮期末）如果关于x 的不等式组521113()22m x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程28122my y y --=--有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和是（ ） A ．13 B ．15 C ．20 D ．225．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（21邗江期末）关于x 的方程1122m x x-=--有增根，则m 的值为________．7．（19宝应月考）若关于x 的分式方程21011m x x -=-+无解，则m =________．8．（18高邮期中）已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是________．9．（19江都期中）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是________．10．（20广陵期中）要使方程121x x a=--有正数解，则a 的取值范围是________．11．（21仪征期末）若关于x 的分式方程12221(2)(1)x x x ax x x x --+-=-+-+的解为负数，则a 的取值范围是________．12．（19邗江月考）对于非零实数a 、b ，规定21a ab b a⊗=-．若(21)1x x ⊗-=，则x 的值为________．13．（20仪征期中）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定{in }m h a b 、表示a 、b 中较小的数的一半，如min 2{}31h =、，那么方程22{i }m n h x x xx=-+、的解为________．14．（20仪征期中）定义运算“※”： , , aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若52x =※，则x 的值为________．15．（20仪征期中）若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++--+++++，则a 的值是________．16．（2021·扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问：原先每天生产多少万剂疫苗？17．（20邗江月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？18．（21邗江期末）对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为0，则x a =或x b =．因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程abx a b x+=+的两个解分别为1x a =，2x b =．利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程px q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =________，q =________；（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+两个解分别为1x ，2x （12x x <）．求12223x x -的值．19．（21高邮期末）八年级学生去距学校12km 的珠湖小镇游玩，一部分学生骑自行车先走，其余学生20min 后乘汽车出发，结果他们同时到达、已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．（1）求骑车学生的速度；（2）游玩中八（4）班班主任为增强班级凝聚力决定让全班学生在户外拓展区参加一次户外拓展活动，班主任根据该项目收费标准支付了1575元，请根据该项目收费信息确定全班人数．户外拓展收费标准：人数 收费 不超过30人 人均收费50元超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于40元20．（2020·扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单：商品 进价（元/件）数量（件）总金额（元）甲7200 乙3200李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．。

分式方程知识点总结♂一般来说，分式方程可以写成形如$\frac{M(x)}{N(x)} = P(x)$的形式，其中$M(x)$、$N(x)$和$P(x)$分别是$x$的多项式。

分式方程的解是满足方程的$x$的值，即找出使等式成立的$x$的值。

下面我们就来总结一下关于分式方程的一些知识点。

一、分式的定义和性质1. 分式是指形如$\frac{m}{n}$的数，其中$m$和$n$是整数，$n$不等于0。

分式可以表示数的比值，包括有理数和实数。

2. 分式的性质：分式有一些基本的性质，比如分式的加减乘除法原则，以及分式的化简和通分规则等。

这些性质是处理分式方程时必须掌握的基础知识。

二、分式方程的基本概念1. 分式方程的定义：分式方程是指方程中含有分式的方程，通常以$\frac{M(x)}{N(x)} = P(x)$的形式出现，其中$M(x)$、$N(x)$和$P(x)$分别是$x$的多项式。

2. 分式方程的解：分式方程的解是指满足方程的$x$的值，即找出使等式成立的$x$的值。

对于分式方程，解的求解方法通常需要进行化简、通分、消元等操作。

三、分式方程的解法1. 分式方程的解法一般分为以下几种方法：（1）通分法：将分式方程中的分母进行通分，使得方程中的分母相同，从而化简方程。

（2）消元法：通过消去分式方程中的分母，将分式方程化简为一般的代数方程，然后求解。

（3）换元法：通过引入新的未知数或代换，将分式方程化简为一般的代数方程，然后求解。

2. 在实际问题中，分式方程的解法可能会涉及到不同的数学方法和技巧，需要根据具体的问题进行分析和处理。

四、分式方程的应用1. 分式方程在代数学、数学分析、几何学等领域具有广泛的应用。

它常常用于描述各种物理、经济、工程等实际问题中的关系和规律。

2. 在解决实际问题时，我们可以将实际问题转化为分式方程，利用代数运算和方程的解法来求解问题，从而得到问题的答案。

五、分式方程的教学与学习1. 在教学中，分式方程应该与分数、代数方程等知识紧密结合，引导学生深入理解分式方程的概念和性质，掌握分式方程的基本解法。