56初中数学八年级上册 分式方程的解法及应用(提高)知识讲解

分式方程是中学数学的重要内容，它是求解方程的一类特殊方法。

因此，分式方程的知识点有以下几方面：
一、分式方程的概念
分式方程是指用一个分式的方式表示方程的一种方法，它是一种由分式组成的等式，它的左右两端都是分式，从而把求根的问题转换成分式的比较，并设法确定方程的根。

二、求解分式方程的步骤
1.将分式方程中的项相同的分式化简，并且把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。

2.将分式方程中间，求解未知数的方法就是将分式的左右两端乘以分母，使之成为整式，然后使整式等于0，再解出未知数。

3.有时会出现分式方程中的未知数不能解出的情况，此时可以将此分式方程化为一元一次不等式来求解。

三、分式方程的应用
分式方程在解决一些实际问题时有着重要作用，如求解收益、组成比例、比较等。

由此可见，掌握分式方程的方法对解决实际问题有着重要意义。

四、注意事项
1.求解分式方程时需要注意把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。

2.使用分式方程时，要注意看清题干的字眼，要分清求解的是方程还是不等式，然后采取不同的方法
3.求解分式方程时还要注意确保所求解的方程或不等式有解。

4.分式方程的解可以使用数学软件得出。

分式方程的解法与应用分式方程是含有至少一个分式的方程，其解法与整式方程有一定的区别。

本文将介绍分式方程的解法及其应用。

一、分式方程的解法解分式方程的关键在于将方程化简为整式方程，以下是常见的几种解法：1. 通分法：当分式方程中含有多个分母时，可以通过通分的方式将其转化为整式方程。

首先找到所有分母的公倍数，然后将方程两边都乘以公倍数，从而得到一个整式方程。

最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。

2. 消去法：当分式方程中存在相同的因式时，可以通过消去的方式将其化简为整式方程。

首先找出方程中的公因式，然后将其约去，从而得到一个整式方程。

最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。

3. 倒数法：当分式方程中含有一个分式的倒数时，可以通过倒数的方式将其转化为整式方程。

首先将方程两边的分式取倒数，然后将其化简为整式方程。

最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。

二、分式方程的应用分式方程在实际问题中具有广泛的应用，以下是几个常见的例子：1. 比例问题：比例问题通常可以表示为分式方程。

例如，某商品的原价为x元，打折后的价格为x/2元，求折扣后的价格是多少。

可以建立分式方程x/2 = 折扣后的价格，然后通过解方程求得折扣后的价格。

2. 水箱问题：水箱问题中常涉及到进水速度、出水速度等概念，可以通过分式方程求解。

例如，一个水箱的进水口每小时进水1/3箱，出水口每小时排水1/4箱，求水箱在多长时间内装满。

可以建立分式方程1/3 - 1/4 =水箱装满的时间，然后通过解方程求得水箱装满的时间。

3. 工作效率问题：工作效率问题中常涉及到多个人或物共同工作时的效率关系，可以通过分式方程求解。

例如，甲、乙两人共同完成一项任务需要5小时，如果甲的效率是乙的2倍，那么甲独自完成此任务需要多长时间。

可以建立分式方程1/甲的效率 - 1/乙的效率 = 5，然后通过解方程求得甲独自完成任务的时间。

总之，分式方程的解法与整式方程有一定的区别，可以通过通分法、消去法、倒数法等方式来解决。

30 v 30 v
所得整式方程的解就是①的解，而②
x
1 5
10 x2 25
去分
母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
注意：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根， 这种根叫做原方程的增根（即使最简公分母为0的根）， 应舍去，此时，原方程无解。
问题1
在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根：那么是不是就不要这样 的解呢？采用什么样的方法补救？
解方程
2 3 x3 x
解：方程两边同乘x(x-3)得，
2x=3(x-3)
解得x=9
例1
检验:当x=9时，x(x-3)≠0
所以x=9是原方程的解
4 12 x2 2x x x 2
解：方程两边同乘x(x-2)得
4+x-2=2x
例2
解得x=2 当x=2时，x(x-2)=0,因此x=2不是原方程的解，
故原方程无解。
5 x2
x
1 x2
x
0
解：方程两边同乘x(x+1)(x-1)得
例3
5（x-1）-(x-1)=0 解得x=1.5
检验：当x=1.5时，x(x+1)(x-1)≠0
所以x=1.5是原方程的解
归纳： 解分式方程的一般步骤如下：
（三）、课堂检测（10分钟）
(1) （2）
（3）、当m为何值时，方程 会产生增根？
顺流航行90千米所用的时间为 90 小时，逆流航行60
千米所用的时间为
60 30 v
小时。30 v
根据量间的关系列出方程： 90 60
30 v 30 v
思考:这个方程和我们以前所见过的方程 有什么不同？
1分式
方程 的意

分式方程的解法与技巧知识精讲
一、分式方程定义
分式方程就是把一个式子分解为两部分，分别是分母和分子，然后在
分母和分子上共享一些变量，最后用特定的方法求解出来。

二、求解方法
1、归约法
首先将分式方程中的分子和分母都归约成最简形式，以减少其中的因子。

随后，将归约好的分式方程化简为最简形式，再从最简形式中提取出解。

2、对式子求倒数法
当分式方程的分子和分母都是一元二次方程的时候，就可以将分子和
分母分别求其倒数，然后将其相乘，即可得出原分式方程的解。

3、先分析分式方程构成的结构
在分析分式方程之前，首先要分析分式方程构成的结构，将其分为分母、分子和共同项三部分，通过分析其构成结构，以有效地求解分式方程。

4、使用代数法
代数法是指将分式方程的分子和分母分别乘以同一个数，使得分子和
分母均变为有理数，然后求解原分式方程。

三、技巧
1、把共同项提出来
在解决分式方程的过程中，可以将原来的分式方程中的共同项提出来，以便于更好地求解。

2、多次化简
在处理分式方程的过程中，会有很多步骤，而每一步都有可能出现一
些错误，所以可以多次化简，以确保求解结果的正确性。

3、分析分母和分子
在解决分式方程的过程中。

人教版八年级上册数学《分式方程》（优质说课稿）一. 教材分析人教版八年级上册数学《分式方程》这一章节，是在学生已经掌握了分式的概念、性质、运算的基础上进行教学的。

本章主要让学生了解分式方程的定义、解法以及应用。

分式方程是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础。

通过学习本章，学生可以培养解决实际问题的能力，提高逻辑思维和运算能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对分式的概念和性质有一定的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往会因为对分式方程的理解不深而遇到困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生深入理解分式方程的内涵，提高解题能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握分式方程的定义、解法，能熟练运用分式方程解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作探讨，培养学生解决数学问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和团队协作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：分式方程的定义、解法以及应用。

2.教学难点：分式方程在实际问题中的运用，以及解分式方程的技巧。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作探讨、教师引导的教学方法，让学生在探究中掌握知识。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合数学软件和网络资源，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实际问题，引导学生进入分式方程的学习。

2.自主学习：让学生自主探究分式方程的定义、解法，总结解题规律。

3.合作探讨：学生分组讨论，分享解题心得，教师巡回指导。

4.课堂讲解：教师针对学生的讨论情况进行讲解，重点讲解分式方程的解法和解题技巧。

5.巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和反馈。

6.拓展应用：让学生运用分式方程解决实际问题，提高学生的应用能力。

7.课堂小结：教师引导学生总结本节课所学内容，加深对分式方程的理解。

一、基本概念
1.分式：分子和分母都是多项式的数叫做分式。

2.分式方程：含有一个或多个未知数的分式等式叫做分式方程。

二、分式方程的解
1.分式方程的解：使得方程两边分式等价的数叫做分式方程的解。

2.适合分式方程的解：使得分式方程的任意代入都可以使分式方程成立的解叫做适合分式方程的解。

三、分式方程的解的判定
1.分式方程的解的判定方法：将找到的解代入方程，若等式两边可以变成同一个数，则该解为分式方程的解。

2.分式方程的解的验证方法：将方程两边合并，并对两边进行化简，最后验证等式是否成立。

四、分式方程的解的性质
1.分式方程的根的性质：若一个数是分式方程的根，则这个数的相反数也是该方程的根。

2.分式方程的根的性质的应用：利用分式方程的根的性质，可以通过已知根推出其他根。

五、分式方程的解的求解
1.解分式方程的一般步骤：先合并同类项，再化简，最后通过代数运算求解未知数。

2.解分式方程的具体方法：可以通过交叉相乘、通分和消分的方法来解决不同类型的分式方程。

六、分式方程的应用
1.代入法解分式方程：利用推导和分项代入法，将问题转化为分式方程，然后再用分式方程的解来解决问题。

2.混合运算解分式方程：先利用等式性质将分子展开，再通过合并同类项化简，最后求解分式方程得到解。

总结：。

分式方程的解法与应用分式方程是指方程中含有分式的方程，通常形式为分子中含有未知数的方程。

解决分式方程问题的关键是找到其中的未知数的值，使等式成立。

本文将介绍常见的分式方程解法以及其在实际问题中的应用。

一、基本解法1. 消去分母将分数方程中的分母通过乘以最小公倍数或通分的方法消去，从而得到一个等式。

然后继续将未知数移到方程的一边，常数移到另一边，最终求得未知数的值。

2. 通分并整理将分式方程的分子进行通分，并整理为一个等式。

然后通过移项和整理，将未知数移到一边，常数移到另一边，继而求解未知数的值。

3. 求最小公倍数对于一些特殊的分式方程，我们可以先求出方程中分母的最小公倍数，然后将方程中的所有分式统一化。

接着，将分母消去，得到一个整式方程，进而解决。

二、分式方程的应用1. 比例问题分式方程经常用于解决比例相关的问题。

比如，A车和B车以不同的速度驶向一个目的地，已知A车比B车快1小时到达目的地，而A 车比B车慢1小时赶上B车。

求A车和B车单独行驶到达目的地所需的时间。

通过建立分式方程可得到两车的速度比，从而解决问题。

2. 涉及水池、容器等物理问题假设有一个水池，一根管子可以独立进行排水，另一根管子可以独立进行注水。

已知两根管子独立工作时分别需要6小时和8小时将水池排干或注满。

求填满一半的水池所需的时间。

通过建立分式方程可得到两根管子的工作效率，进而解决问题。

3. 财务问题分式方程在解决财务问题时也具有重要应用。

例如，某人通过两种不同的投资方式投资了一笔钱，两种方式的年利率分别为4%和6%。

已知一年后获得的总收益为800元。

求该人分别投资了多少钱。

通过建立分式方程可得到两种投资的金额比例，从而解决问题。

4. 混合液体问题当涉及到两种不同浓度的液体混合时，我们可以利用分式方程解决问题。

例如，混合含有30%盐的溶液和50%盐的溶液，已知混合后的溶液含有40%盐。

求两种溶液的混合比例。

通过建立分式方程可得到两种溶液的体积比例，进而解决问题。

⼋年级数学上分式⽅程的解法（简单易学）分式⽅程的解法
1．分式⽅程的概念
分母中含有未知数的有理⽅程叫做分式⽅程．
2．解分式⽅程的基本思想⽅法
分式⽅程转换为整式⽅程
3．解分式⽅程时可能产⽣增根，因此求得的结果必须检验
去分母法解分式⽅程的具体做法是：把⽅程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后
将⽅程两边同乘以最简公分母，将分式⽅程化成整式⽅程．注意去分母时，不要漏乘；最后还
要注意解分式⽅程必须把⽅程的根代⼊最简公分母验根，特别注意：使最简公分母为零的根是
增根，须舍去，使最简公分母不为零的根才是原⽅程的解。

《分式方程》知识全解课标要求1.会解一元一次分式方程（方程中的分式不超过两个）2.能根据具体问题中的数量关系，列出上述类型的方程，并进一步体会这类重要的刻画现实世界的数学模型的作用．知识结构1. 分式方程概念，和产生增根的原因．2. 分式方程的解法3.列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题．内容解析（1）分式方程的概念：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程（2）分式方程的解法： ①能化简的先化简．②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程③解整式方程；④)验根．（3）分式方程的应用: 以工程问题为例，能将此类问题中的相等关系用分式方程表示；建立数学模型，会解含字母系数的分式方程．重点难点本节的重点是：分式方程的概念,，解分式方程和列分式方程解应用题．教学重点的解决方法：分式方程是一种有效描述现实世界的模型，把分式方程转化为整式方程来解分式方程，把未知化已知，从而渗透数学转化思想．本节内容的难点是：分式方程产生增根的原因和列分式方程解应用题教学难点的解决方法：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成功体验．教法导引（1）注重渗透化归思想，实际问题紧紧扣住等量关系解分式方程注意转化的思想，而实际问题由于背景的多变性，其数量关系也是动态多变，难以把握，只能以不变应万变，紧紧扣住“等量关系”这一主线，有意识的培养学生对例题、习题的阅读理解能力．教给学生一些避免产生增根的方法,例：解方程： 22+-x x - 4162-x = 1 解：移项，得22+-x x - )2)(2(16-+x x - 1 = 0整理，得 )2)(2()2(4-+-x x x = 0 ① 化简，得24+x = 0 ② 因为 24+x ≠ 0 所以 原方程无解．（2）注重启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法与应用，避免负迁移．．．．．分式方程的解法理论中，我们一直采用了在分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法．这种方法充分体现了转化思想的理论精髓，而转化思想恰好是整个方程解法理论的核心思想，使各种方程（组）最终转化为一元一次方程，让人们看到一个和谐统一的体系，生动的数学展现于眼前．不过这种变形不属于方程的同解变形原理，它的恶果之一是产生增根的现象．增根并不是方程的根，它跟随非同解变形进来之后，还要用检验的方式把它清除出去，这是一种迂回的，有点费力的处理方法．是一个容易引发讨论和思考的知识点．分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法，在实践中经常对分式的四则运算产生强烈的负迁移．．．，如化简2222x y x y x y x y+-+++时经常有学生这样运算：22222x y x y x y x y x x y x y+-+=++-=++这肯定是受分式方程解法的影响所致，而且有时这种影响极其顽固，很难改正．分式的四则运算不能支持分式方程的解决，分式方程的解决又影响分式的四则运算，这种内耗和对抗大大削弱了分式理论的和谐性．学法建议分式方程的重点是解分式方程和列分式方程解应用题，难点是分式方程产生增根的原因和列分式方程解决实际问题．因而在学习中应注意：(1)分母中含有字母的方程不一定是分式方程，当且仅当字母中有未知数时，才是分式方程，如解关于x 的方程：13x a +=，22m n x m n n-=-等都是整式方程，究其原因在于限定未知数是x ，则字母a 、 m 、 n 是已知数，不满足分式方程定义． （通过观察，从中感知分式方程的特征）(2)严格遵循解分式方程的步骤：化、解、验．在解分式方程应用题时，切不可忘记检验．(3)认真审题，可借助表格、图表来分析题意，找出适合题意的相等关系，建立方程． 例：为改善居住环境，小康村拟在村后荒山上种植720棵树，由于共青团员的支持，实际每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x 棵，根据题意得方程______ __．题目设原计划每天种植x 棵，那么可用来列方程的相等关系是实际比原计划提前4天完成任务．由题意，原计划植树720x 天，而实际每天植树(20)x +棵，实际植树天数为72020x +天，所以根据相等关系可列方程720720420x x -=+． （易错点是：已知量不会用未知数表示，找不到等量关系）(4)进行一题多解、一题多问及一题多变的训练，提高思维的敏捷性、解题方法的灵活性．(5)类比整式方程的解法和应用，使所学知识系统化，进而形成技能、技巧，巩固双基． 例 解方程：x 5 = 27-x 解：移项，得 x 5 －27-x = 0 通分，得)2(7)2(5---x x x x = 0 整理，得 )2()5(2-+x x x = 0 ① 分子取0，得 x + 5 = 0 ②即 x = -5说明：从①式到②式是此解法的关键．①式中，如分子与分母没有含未知数的公因式，那就能够做到分子取0时保证分母不得0；然后根据分式值为0的条件，把分式．．等于0的式子改写为分子．．等于0的式子，即完成了分式方程向整式方程的转化，而且符合方程的同解变形原理的精神，不会有增根或丢根的现象发生．。

八上数学分式方程分式方程在数学中是一个重要的概念，它是由分式表达式组成的等式。

八年级上册数学课程中，我们学习了分式方程的基本概念、解法和应用。

本文将围绕八上数学分式方程展开，介绍分式方程的概念、解法和一些常见的应用。

首先，我们来了解一下分式方程的基本概念。

分式方程是由分式表达式组成的等式，其中分式表达式可以是一个分数或一个分数的代数式。

例如，下面是一些分式方程的例子：1. 2/x = 1/32. (x+1)/2 = 3/43. (2x-1)/(x+3) = 4/5解分式方程的关键是找到使等式成立的未知数的值。

我们通过一系列的运算和化简来解决分式方程。

接下来，我们将介绍一些常见的解分式方程的方法。

一种解分式方程的常见方法是交叉相乘法。

该方法适用于分式方程中分式表达式的分母相等的情况。

我们可以通过将分式方程的两边的分式表达式的分子相乘，分母相乘，来解方程。

例如，对于分式方程2/x = 1/3，我们可以将其转化为2*3 =x*1，得到6 = x，从而解出未知数x的值为6。

另一种解分式方程的方法是通分法。

该方法适用于分式方程中分式表达式的分母不相等的情况。

我们可以通过将分式方程的两边的分式表达式的分母相乘，来解方程。

例如，对于分式方程(2x-1)/(x+3) = 4/5，我们可以通过将等式两边的分式表达式的分母相乘，得到5(2x-1) = 4(x+3)。

然后，我们可以将方程进行展开和化简，最终解出未知数x的值。

解分式方程的方法还包括整理式子和化简式子的方法。

这些方法需要我们对分式方程进行适当的整理和化简，从而得到简化的方程，进一步解出未知数的值。

例如，对于分式方程(x+1)/2 = 3/4，我们可以通过将方程两边的分式表达式的分母相等，得到4(x+1) = 2*3。

然后，我们可以将方程进行展开和化简，最终解出未知数x的值。

分式方程在实际生活中有着广泛的应用。

例如，我们可以通过分式方程来解决关于比例的问题。

1/2x=2/x+3对角相乘4x=x+33x=3x=1分式方程要检验经检验, x=1是方程的解x/(x+1)=2x/(3x+3)+1两边乘3(x+1)3x=2x+(3x+3)3x=5x+32x=-3x=-3/2分式方程要检验经检验, x=-3/2是方程的解2/x-1=4/x^2-1两边乘(x+1)(x-1)2(x+1)=42x+2=42x=2x=1分式方程要检验经检验, x=1使分母为0, 是增根, 舍去所以原方程无解5/x^2+x - 1/x^2-x=0两边乘x(x+1)(x-1)5(x-1)-(x+1)=05x-5-x-1=04x=6x=3/2分式方程要检验经检验, x=3/2是方程的解5x/(3x-4)=1/(4-3x)-2乘3x-45x=-1-2(3x-4)=-1-6x+811x=7x=7/11分式方程要检验经检验x=7/11是方程的解1/(x+2) + 1/(x+7) = 1/(x+3) + 1/(x+6)通分(x+7+x+2)/(x+2)(x+7)=(x+6+x+3)/(x+3)(x+6)(2x+9)/(x^2-9x+14)-(2x+9)/(x^2+9x+18)=0(2x+9)[1/(x^2-9x+14)-1/(x^2+9x+18)]=0因为x^2-9x+14不等于x^2+9x+18所以1/(x^2-9x+14)-1/(x^2+9x+18)不等于0所以2x+9=0x=-9/2分式方程要检验经检验x=-9/2是方程的解7/(x^2+x)+1/(x^2-x)=6/(x^2-1)两边同乘x(x+1)(x-1)7(x-1)+(x+1)=6x8x-6=6x2x=6x=3分式方程要检验经检验, x=3是方程的解化简求值。

[X-1-（8/X+1）]/[X+3/X+1] 其中X=3-根号2 [X-1-（8/X+1）]/[(X+3)/(X+1)]={[(X-1)(X+1)-8]/(X+1)}/[(X+3)/(X+1)]=(X^2-9)/(X+3)=(X+3)(X-3)/(X+3)=X-3=-根号28/(4x^2-1)+(2x+3)/(1-2x)=18/(4x^2-1)-(2x+3)/(2x-1)=18/(4x^2-1)-(2x+3)(2x+1)/(2x-1)(2x+1)=1[8-(2x+3)(2x+1)]/(4x^2-1)=18-(4x^2+8x+3)=(4x^2-1)8x^2+8x-6=04x^2+4x-3=0(2x+3)(2x-1)=0x1=-3/2x2=1/2代入检验, x=1/2使得分母1-2x和4x^2-1=0。

分式方程的解法及应用（提高）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程1、（2016春•闵行区期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ）A ．21xx -= B 1223x -=-+C ．22112x x x x +-=+D 2112x x +=- 【答案】B ．【解析】解：A 、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；B 、该方程属于无理方程，故本选项正确；C 、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；D 、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；故选B ．【总结升华】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．类型二、解复杂分式方程的技巧2、解方程：1310414351x x x x -=-----． 【答案与解析】解：方程的左右两边分别通分， 得3131(4)(3)(5)(1)x x x x x x ++=----， ∴31310(4)(3)(5)(1)x x x x x x ++-=----， ∴ 11(31)0(4)(3)(5)(1)x x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥----⎣⎦， ∴ 310x +=，或110(4)(3)(5)(1)x x x x -=----， 由310x +=，解得13x =-， 由110(4)(3)(5)(1)x x x x -=----，解得7x =． 经检验：13x =-，7x =是原方程的根.【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘(4)(3)(5)(1)x x x x ----，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解．举一反三： 【变式】解方程11114756x x x x +=+++++． 【答案】 解：移项得11114567x x x x -=-++++， 两边同时通分得(5)(4)(7)(6)(4)(5)(6)(7)x x x x x x x x +-++-+=++++， 即11(4)(5)(6)(7)x x x x =++++， 因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等．所以(4)(5)(6)(7)x x x x ++=++，229201342x x x x ++=++，2292013420x x x x ++---=，4220x --=，∴ 112x =-． 检验：当112x =-时，(4)(5)(6)(7)0x x x x ++++≠． ∴ 112x =-是原方程的根． 类型三、分式方程的增根【高清课堂 分式方程的解法及应用 例3】3、（1）若分式方程223242mx x x x +=--+有增根，求m 值； （2）若分式方程2221151k k x x x x x---=---有增根1x =-，求k 的值． 【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则(2)(2)0x x -+=，即2x =或2x =-，然后把2x =±代入由分式方程转化得的整式方程求出m 的值．（2）将分式方程转化成整式方程后，把1x =-代入解出k 的值.【答案与解析】解：（1）方程两边同乘(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x mx x ++=-．∴ (1)10m x -=-．∴ 101x m=-． 由题意知增根为2x =或2x =-，∴ 1021m =-或1021m=--． ∴ 4m =-或6m =． （2）方程两边同乘(1)(1)x x x +-，得(1)(1)(5)(1)k x x k x --+=-+．∴ 34x k =-．∴ 43k x -=． ∵ 增根为1x =-，∴ 413k -=-． ∴ 1k =． 【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值．举一反三：【变式】（2015•泰州校级一模）是否存在实数x ，使得代数式﹣与代数式1+的值相等．【答案】 解：根据题意得：﹣=1+， 去分母得：x 2﹣4x+4﹣16=x 2﹣4+4x+8，移项合并得：8x=﹣16，解得：x=﹣2，经检验x=﹣2是增根，分式方程无解，所以不存在这样的实数x ，使得代数式﹣与代数式1+的值相等． 类型四、分式方程的应用【高清课堂 分式方程的解法及应用 例3】4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来．【思路点拨】(1)题中的等量关系是甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（2）由工期不超过10天列出不等式组求出范围.【答案与解析】解：(1)设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设()20x -米．根据题意，得35025020x x =-．解得70x =． 经检验，70x =是原分式方程的解且符合题意． 故甲、乙两工程队每天分别能铺设70米和50米．(2)设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队()1000y -米． 由题意，得10,70100010,50y y ⎧≤⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩解得500≤y ≤700． 方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米．方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米．方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．所以分配方案有3种．【总结升华】本题主要考查列分式方程解应用题，考查学生分析和解决问题的能力. 举一反三：【变式】一慢车和一快车同时从A 地到B 地，A ，B 两地相距276公里，慢车的速度是快车速度的三分之二，结果快车比慢车早到达2小时，求快车，慢车的速度.【答案】解：设快车速度为x /km h ，则慢车速度为23x /km h 依题意，得276276223x x =-， 去分母，得276×2＝276×3－4x ，所以69x =，经检验知69x =是原方程的解，所以2463x =， 答：慢车、快车的速度分别为46 /km h 、69/km h ．。

八年级数学分式方程意义与解法知识讲解知识点总结
学好数学的关键就在于要适时适量地进行总结归类，接下来小编就为大家整理了这篇八年级数学分式方程意义与解法知识讲解，希望可以对大家有所帮助。

含义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

分式方程的解法：
①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂)，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。

不要忘了改变符号};
②按解整式方程的步骤(移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项，系数化为1)求出未知数的值;
③验根(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).
一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。

若解出的根是增根，则原方程无解。

如果分式本身约分了，也要代进去检验。

八年级数学分式方程意义与解法知识讲解就为大家介绍到这里了，希望大家都能养成善于总结的好习惯。

学习好资料 欢迎下载分 式知识点 :分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负整数，整数，整数指数幂的运算 大纲要求 :了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。

掌握分式的基本性质，会约分，通分。

会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。

掌握指数指数幂的运算。

考查重点与常见题型 :1． 考查整数指数幂的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中，如：下列运算正确的是（ ）-11m-n 2m-n-1-1-1（A ）-4 =1 (B) (-2) = 2 (C) (-3 ) =9 (D)(a+b) =a +b2. 考查分式的化简求值。

在中考题中， 经常出现分式的计算就或化简求值， 有关习题多为中档的解答题。

注意解答有关习题时， 要按照试题的要求， 先化简后求值，化简要认真仔细，如： 化简并求值：xx 3-y 32x+2(x-y) 2.x 2+xy+y 2+(x-y –2), 其中 x=2, y=1知识要点1．分式的有关概念设 A 、B 表示两个整式．如果 B 中含有字母，式子 A就叫做分式．B注意：分母 B 的值不能为零，否则分式没有意义分子与分母没有公因式的分式叫做 最简分式 ．如果分子分母有公因式， 要进行约分化简2、分式的基本性质A A M , A A M（M 为不等于零的整式） B B M B B M3．分式的运算( 分式的运算法则与分数的运算法则类似) ．分式加减a c ad bc( 异分母相加，先通分 ) ；bdbda cac;分式乘除b d bda c a dadb d bc;bc分式乘方( a) n a n .b b n4．零指数 a 01(a0)5．负整数指数 a p 1( a0, p为正整数 ).a pa m a n a m n ,注意：正整数幂的运算性质0),a a a( am n m n( a m ) n a mn ,( ab) n a n b n可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n 可以是 O或负整数．6．约分根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分．7．通分根据分式的基本性质， ?把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分．例 1填空题：（ 1）若分式x24的值为零，则x 的值为 ________；2x x 2（ 2）若 a， b 都是正数，且 1 －1=2,则a2ab，则 =______．a b a b b2【解答】（ 1）由 x2=4，得 x= ±2，把 x=2 代入分母，得x2－ x－ 2=4 － 2－ 2=0 ，把 x= －2?代入分母，得x2－x－ 2=4+2－ 2=4 ≠ 0，故答案为－ 2．（ 2）由整体代换法：把11=2化为b a222－b ab a b， b － a =2ab，a a b即 a2－ b2=－ 2ab，代入ab中得ab ab1，故答案为1．a2b2a2b2=2ab22例 2 选择题：（ 1）已知两个分式： A=4, B11，其中 x≠± 2，4x22x2x那么 A 与 B 的关系是（）A ．相等B ．互为倒数C．互为相反数D．A 大于 B（ 2）已知ab c ,则 2a3bc的值为（）2343a b c55C．9D．－9A ．－B．77 77【解答】（ 1） B=11x2(x2)4，x 2x2x24x24∴ A+B=0 ， A ，B 互为相反数，选C．（ 2）设a b c23=k ，则 a=2k ， b=3k ， c=4k ，4代入 2a 3bc中,可得2a3b c9k9，选C ． 3a b c3a b c7k 7a 1a 24 12例 3 先化简再求值：2 a 22a1 a2 1 ，其中 a 满足 a － a=0．a【解答】原式 =a1 (a 2)(a 2) (a 1)(a 1) =（ a － 2）（ a+1） =a 2－ a －2a 2 ( a 1)21由 a 2－ a=0 得原式 =－ 2（2011 四川南充市， 15， 6 分）先化简，再求值：2 x (x 1－ 2), 其中 x =2. x 1 x【答案】解：方法一：x 2 x ( x1 2) =1 xx 2= 11 ( x2 x 1) = x 11) (x 2xx 1)(x (x 1)(x 1)(x =(1 x) =11)(x x 1( x 1)x x 1 x 1 x x 21=x 1 2x1) ( x 1)(x 1)x2 =(x 1)(x 1)= x 1 2x (x 1)(x 1)x 1 2xx (x 1)(x 1) 1 x( x 1)(x 1)当 x =2 时，1 = 1 =-1x 1 2 1方法二：x 2x(x1 2) = x2 x ( x 1 2x ) =x 2x x1 2x = x1 x1 x 1 x x 1x( x 1)(x 1)x=x (1 x) = 1( x 1)(x 1) x 1 x 当 x =2 时，1 = 1 =-1.x 12 1例题讲解 :1. 下列运算正确的是（ ）（A ）－ 40 =1 (B) (－ 2) -1= 1 (C) (－ 3m-n ) 2=9m-n (D)(a+b)-1=a -1 +b -122．当 x=|x|-1的值为零；-----------时， 分式 (x-3)(x+1)3．当 x 取 ---------------x 2-1值时，分式 x 2+2x-3 有意义；4 A B4．已知 x 2－ 1 ＝ x － 1 ＋x ＋ 1 是恒等式，则 A ＝＿＿＿， B ＝＿＿＿。