Oldroyd粘弹性流体缝隙流问题的解析解

Oldroyd-B流体的解耦有限元算法周少玲;侯磊【摘要】建立了求解稳态Oldroyd-B流体模型的有限元算法.为了降低该流体模型的耦合性和有限元方程的求解规模,考虑将Oldroyd-B流体模型解耦为Stokes 方程和本构方程.对于Stokes问题,使用加权最小二乘有限元方法求解;而对于含有对流项的本构方程,则采用具有较好数值稳定性的流线迎风Petrov-Galerkin(SUPG)方法求解.针对本构方程的非线性特点,利用迭代算法将其进行线性化处理.分析了解耦有限元解的先验误差估计.通过粘弹性Oldroy-B流体在管道内的流动问题,验证了算法的有效性和收敛性.【期刊名称】《中北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)004【总页数】7页(P323-328,334)【关键词】Oldroyd-B流体;解耦算法;最小二乘有限元方法;SUPG方法【作者】周少玲;侯磊【作者单位】上海大学理学院,上海200444;河北工程大学理学院,河北邯郸056038;上海大学理学院,上海200444【正文语种】中文【中图分类】O357.1近几十年来，随着科学技术的发展，非牛顿流体的相关研究已经取得了巨大的进步，尤其在化工、石油、医药等领域. 非牛顿流体的数值模拟始于20世纪70年代[1]，虽然有许多算法已经应用于实际问题，但是依然有很多困难需要解决. 例如随着We数的增大，本构方程的对流占优性和非线性耦合性会逐渐增强. 因此，需要建立有效稳定的算法处理非线性项和数值解的振荡问题[2].最小二乘有限元算法已被广泛应用于粘弹性流体的数值求解[3-6]. 不同于混合有限元方法，其变分问题是通过极小化由所有方程残量构成的二次泛函得到的. 最小二乘有限元方法具有许多理论和计算上的优势，例如有限元空间无需满足LBB条件，并且离散化后的线性方程组总是对称正定的. Bochev和Gunzburger[7]将最小二乘法用于求解Stokes方程，证明了数值解的收敛性. Chen等人[8-9]分别使用加权最小二乘有限元方法求解Carreau流体和Giesekus流体.Oldroyd-B流体运动方程是一类典型的非牛顿流体运动模型，常用来描述聚合物流体、生物流体和悬浊液等的流动现象[10-11]. 在形式上， Oldroyd-B 流体运动方程可以看成是Navier-Stokes方程的一个扰动问题. 由于其本构方程的双曲特性，需要用稳定的算法处理对流项，例如可以考虑流线迎风Petrov-Galerkin(SUPG)方法[12]和Discontinuous Galerkin(DG)方法[13].本文旨在建立求解Oldroyd-B流体模型的有限元算法. 考虑将整个系统解耦成两个子系统，分别使用加权最小二乘有限元算法和SUPG方法求解Stokes方程和本构方程. 利用迭代算法将问题线性化，并分析算法误差.设Ω是R2内的有界区域，Γ为其Lipschitz连续边界. 记Wm,p(Ω)为通常的Sobolev空间，其范数为‖·‖m,p. 当p=2时，Wm,p(Ω)简记为Hm(Ω)，相应的范数为‖·‖m. 显然，H0(Ω)=L2(Ω)，其范数和内积分别为‖·‖和(·,·). 考虑如下稳态的不可压缩Oldroyd流体式中：u和p分别为流体的速度和压强；T为额外应力张量；τ为粘弹应力张量；f为体积力； D(u)=(u+uT)/2 为应变率张量；非负常数λ和α分别为We数和粘度比. 这里且-1≤a≤1. 当a=1时，称为Oldroyd-B流体. 将问题(1)解耦成两个子问题和定义未知量u,p,T和τ的解空间分别为并记X=V×Q×S. 下面将分别采用最小二乘有限元方法和SUPG算法求解上述Stokes问题和本构方程.本节考虑问题(2)的有限元解法. 假设Ω为多边形区域， Th是其上的正则三角剖分，三角单元记为K. 设hK为K的直径，记hK. 定义有限元空间其中， Pl(K)表示定义在K上次数不超过l的多项式函数空间，且记Xh=Vh×Qh×Sh. 定义问题(2)的加权最小二乘泛函为这里非负权重L用来增强数值解的质量守恒性[14]. Stokes问题的最小二乘有限元解(uh,ph,Th)∈Xh定义为由变分原理可得，最小二乘有限元解(uh,ph,Th)需满足下面的Euler-Lagrange方程其中类似于文献[13]中的证明，可得引理 1 如果(u,p,T)是(2)的解，则最小二乘有限元解(uh,ph,Th)满足式中：τh是本构方程(3)的有限元解.本节将使用SUPG算法处理本构方程中的对流项. 引入下面的线性算子当u=v时，算子简记为B(u,τ,σ). 利用分步积分公式，可得令u=v，τ=σ，由式(7)和式(8)，可得B(u,τ,τ)=h‖(u·)τ‖2. 引入检验函数σu=σ+λh(u·)σ，并定义范数‖‖σ‖2+‖λh1/2(u·)σ‖2. 将本构方程(3)与检验函数做内积得定义粘弹应力张量τ的有限元空间为∑h={σ∈Σ;σ|K∈Pl(Ω),∀K∈Th}. 显然有限元解τh满足假设Oldroy-B流体的准确解(u,p,T,τ)足够光滑，即且有则有下面的误差估计成立.定理 1 若τ为本构方程(3)的准确解，τh为满足方程(9)的有限元解. 假设uh,τh∈L∞(Ω)，且如果λ足够小，则有其中，.证明设为τ在有限元空间Σh上的正交投影，即则有下面的误差估计成立[15]显然，准确解τ满足将式(9)减去式(14)，可得令得考虑式(15)等号左边，若h<1，则另外故式(15)等号左边满足下面考虑式(15)等号右边各项. 第一项满足利用式(8)和(13)，得到式(15)等号右端的第三项满足类似地，有式(15)等号右端的最后一项满足由式(17)～(21)得，等式(15)的右端满足综上可得当λ足够小时，有证毕.由式(6)和式(12)，解耦算法的有限元解满足下面的误差估计式.定理 2 设(u,p,T,τ)∈V×Q×S×Σ是问题(1)的准确解，如果α和λ足够小，并且uh,τh∈L∞(Ω)，则有限元解(uh,ph,Th,τh)满足本节对粘弹性Oldroyd-B流体在管道内的流动进行数值模拟，计算区域如图1(a)所示(其中x轴为管道的对称轴).假设速度u=[u1,u2]T、压强p和粘弹应力τ具有以下真解[13]模型(1)右端由真解确定. 选取如下边值条件[13]将区域Ω=[0,1]×[0,1]剖分成一致的三角单元(见图1(b))，计算中分别取m=8,12,18,24. 所有未知量均采用分片连续线性多项式进行插值，使用下面的解耦迭代算法计算：1) 由前一次的迭代得到，使用加权最小二乘法求解2) 利用SUPG算法求解式中：由1)求得. 迭代算法的程序流程图如图 2 所示.为了验证算法的收敛性，取流体模型(1)中的参数a=1，α=1/9，λ=0.25. 设定迭代初值=0，迭代终止准则为‖)‖<10-3，最大迭代次数为150. 对于参数L，当L取值较大时，会使得线性方程组的条件数变大；当L取值较小时，不能保证数值解的质量守恒性，故取L=10. 图 3，图 4 给出了使用4种不同网格，解耦有限元算法在x=0.5处的计算结果(u1和τ11).本文研究了流变学中Oldroy-B流体模型的数值求解问题. 考虑到Oldroy-B流体的非线性性，将模型解耦成两个子问题，并利用迭代算法对其进行线性化处理. 对于Stokes问题使用加权最小二乘法求解，并使用SUPG算法消除本构方程中对流项对于数值解的影响. 分析了解耦算法的误差. 通过一算例验证了本文算法的收敛性，且数值解未出现振荡现象，说明算法具有较好的稳定性.。

第三章非线性粘弹流体的本构方程1．本构方程概念本构方程（constitutive equation），又称状态方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。

不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。

两种。

唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学、高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程的研究结果，直接给出描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率间的关系。

以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。

分子论方法，重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动性的影响。

采用热力学和统计力学方法，将宏观流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联系起来。

为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。

根据研究对象不同，象性方法和分子论方法虽然出发点不同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。

目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。

同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。

从形式上分，速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。

积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹性。

积分又分为单重积分或多重积分。

判断一个本构方程的优劣主要考察：1）方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。

2）一个好的理论，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预言至今未知，但可能发生的事实。

3）有承前启后的功能。

例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。

FLUENT在粘弹性流体流动数值模拟中的应用共3篇FLUENT在粘弹性流体流动数值模拟中的应用1FLUENT在粘弹性流体流动数值模拟中的应用粘弹性流体是指既具有粘性又具有弹性的流体，在许多工程和科学领域中有着重要的应用。

然而，由于其复杂的流动性质和非线性行为，研究粘弹性流体的流动行为一直是一个具有挑战性的课题。

为了更好地理解和掌握粘弹性流体的运动特性，数值模拟成为了一种重要的手段。

FLUENT作为流体力学领域中广泛应用的商业软件，也可以被应用于粘弹性流体的流动数值模拟中。

FLUENT可以实现不同类型的粘弹性流体的数值模拟，包括线性黏弹性流体、非线性黏弹性流体、Coleman-Noll弹性体等。

其中，到目前为止，非线性黏弹性流体的数值模拟是最具挑战性的任务之一。

FLUENT在非线性黏弹性流体的数值模拟中采用了双物质模型和假设平衡法。

双物质模型是基于两种不同的流体模型，并在它们之间建立一个转换区域。

对于粘弹性流体，FLUENT采用了一种称为自由液体法(Free Surface Tracking)的方法来模拟转换区域。

这种方法可以将粘性流体转换到弹性流体，从而更好地考虑流体的非线性行为。

此外，FLUENT采用了假设平衡法(HB)来处理粘弹性流体的数值模拟。

HB法是一种通过利用流体力学方程中的守恒律和耗散定律分析流体特性的方法，其能够保持物理量的局部平衡状态。

FLUENT在粘弹性流体流动数值模拟中的应用具有很高的准确性和可靠性。

例如，在输送高浓度聚合物溶液的管道中，流体黏度随着浓度的增加而增大，从而进一步造成热失控和管道堵塞的现象。

FLUENT可以模拟出这种流体的粘弹性特性，并对传输过程中的温度和应力场进行计算。

此外，FLUENT还可以模拟其他粘弹性流体的流动，如液晶、生物流体、纳米颗粒悬浮体等。

然而，FLUENT在粘弹性流体流动数值模拟中还有一些限制。

首先，由于粘弹性流体的非线性特性，模拟结果可能会受到模型参数的影响。