2020届高三数学上学期第二次月考试题 文

湖南2025届高三月考试卷（二）数学（答案在最后）命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i z =+的虚部是（）A.1 B.12 C.12- D.1-【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z --====-++-，所以其虚部为12-，故C 正确.故选：C.2.已知a 是单位向量，向量b 满足3a b -= ，则b 的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OA a OB b == ，由3a b -= ，可得点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得 b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ，因为3a b -= ，即3OA OB BA -== ，即3AB = ，所以点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，又a 是单位向量，则1OA = ，故OB 最大值为134OA AB +=+= ，即 b 的最大值为4.故选：B.3.已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（）A.23- B.13- C.23 D.13【答案】D【解析】【分析】由角θ的终边，得tan 2θ=，由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上，所以tan 2θ=.所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++.故选：D.4.已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A.34a ≤ B.34a ≥ C.1a ≤ D.1a ≥【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120f x f x f x x x ->⇒- 在上单调递增，又()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩，当0x <时，()e 33xf x a =+-单调递增，当0x ≥时，()f x 单调递增，只需1330a a +-≤+，解得1a ≥.故选：D.5.如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD -的体积为83，则圆柱的表面积为（）A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB 的中点O ，由13A BCD OCD V S AB -=⋅△，可求解底面半径，即可求解.【详解】设底面圆半径为r ，由AB CD ⊥，易得BC AC BD AD ===，取AB 的中点O ，连接,OC OD ，则,AB OC AB OD ⊥⊥，又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ，所以AB ⊥平面OCD ，所以，11182423323A BCD OCD V S AB r r -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，解得=1，所以圆柱表面积为22π42π10πr r +⨯=.故选:A.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A.52+ B.5 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C 的方程为24y x =，设直线l 的方程为：1x ty =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出21x x 的值，再根据抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+，从而求出23AF BF +的最小值即可.（方法二）首先求出111AF BF+=，再利用基本不等式即可求解即可.【详解】（方法一）因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2，故2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为1,0，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，不妨设120y y >>，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，故221212144y y x x =⋅=，又B =1+2=1+1，2212p BF x x =+=+，则()()12122321312352525AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当12,23x x ==时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.（方法二）由方法一可得121x x =，则11AF BF +211111x x =+++121212211x x x x x x ++==+++，因此23AF BF +()1123AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭235AF BF BF AF =++55≥+=+，当且仅当661,123AF BF =+=+时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.7.设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()y f x =的图象与直线114y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作出图像求解交点个数即可.【详解】对R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =是=的一条对称轴，所以()ππZ 4k k ϕ+=∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.所以()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与114y x=-的图象，当3π4=-x 时，3π14f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，11113π3π4164y --=⨯(-=-<-，当5π4x =时，5π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5π14111461y =⨯-=->-，当9π4x =时，9π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11119π9π4416y =⨯-=-<，当17π4x =时，17π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111117π17π4416y =⨯-=->所以如图所示，可知=的图象与直线114y x =-的交点个数为3，故C 正确.故选：C.8.已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-，且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-，则下列说法正确的是（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g -=-D.若()()111g f -=，则()()202420242f g +=【答案】C【解析】【分析】对A ，利用赋值法令0,0x y ==即可求解；对B ，根据题中条件求出()f y x -，再利用偶函数定义即可求解；对C ，先根据题意求出()()001f g -=-，再找出()()11f x g x ---与()()f x g x ⎡⎤-⎣⎦的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D ，找出()()11f x g x -+-与()()f x g x ⎡⎤+⎣⎦的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ，()()()()()f x g y f y g x f x y -⋅=- ，令0,0x y ==，即()()()()()00000f g f g f -⋅=，解得()00f =，故A 错；对B ，根据()()()()()f x g y f y g x f x y -=-，得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-，即()()f y x f x y -=--，故()f x 为奇函数，故B 错；对C ，()()()()()g x g y f x f y g x y -=- 令0x y ==，即()()()()()00000g g f f g -=，()00f = ，()()200g g ∴=，又()00g ≠，()01g ∴=，()()001f g ∴-=-，由题知：()()f x yg x y ---()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y ⎡⎤=-⋅--⎣⎦()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦，令1y =，即()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦，()()1112f g += ，()()()()1112f xg x f x g x ⎡⎤∴---=-⎣⎦，即()(){}f xg x -是以()()001f g -=-为首项2为公比的等比数列；故()()()2024202420242024122f g -=-⨯=-，故C 正确；对D ，由题意知：()()f x yg x y -+-()()()()()()()()f xg y f y g x g x g y f x f y =-⋅+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦，令1y =，得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦，又()()111g f -=，即()()()()11f x g x f x g x -+-=+，即数列()(){}f xg x +为常数列，由上知()()001f g +=，故()()202420241f g +=，故D 错.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C ，D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据1221,21,x x -- ，1021x -的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A ，因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,⨯=A 正确；对于B ，已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =，则264s =，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2222264s =⨯2816=⨯=，故B 正确；对于C ，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；对于D ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()32f x ax bx =-+，则（）A.()f x 的值域为RB.()f x 图象的对称中心为()0,2C.当30b a ->时，()f x 在区间()1,1-内单调递减D.当0ab >时，()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ，利用函数的奇偶性判定B ，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A ：当,a b 至少一个不为0，则()f x 为三次或者一次函数，值域均为；当,a b 均为0时，值域为{}2，错误；对于B ：函数()()32g x f x ax bx =-=-满足()()3g x ax bx g x -=-+=-，可知()g x 为奇函数，其图象关于()0,0中心对称，所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的，即关于0,2中心对称，正确；对于C ：()23f x ax b '=-，当30b a ->时，取1,1a b =-=-，当33,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()()2310,f x x f x =-+>'在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，错误；对于D ：()23f x ax b '=-，当0ab >时，()230f x ax b '=-=有两个不相等的实数根，所以函数()f x 有两个极值点，正确.故选：BD.11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A.函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数B.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D.若函数()()3f x kx kx k =-∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈-【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A ，D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B ，C 举反例说明．【详解】对于A ，圆22:(1)1O x y +-=，圆心为0,1，()sin 1f x x =+的图象也过0,1，且0,1是其对称中心，所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二，所以A 正确；对于B,C ，根据题意圆22:1O x y +=，如图()331,332313,03231332331,332x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪+-≤≤=⎨⎪+<≤⎪->⎩，与圆交于点()1,0-，1,0，且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等，()f x 为圆O 的太极函数，且()f x 是偶函数，所以B ，C 错误；对于D ，因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k -=---=--=-∈R ，所以()f x 为奇函数，由()30f x kx kx =-=，得0x =或1x =±，所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0-，且过圆心()0,0，由3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2624222110k x k x k x -++-=，令2t x =，则()232222110k t k t kt -++-=，即()()222110t k t k t --+=，得1t =或22210k t k t -+=，当1t =时，1x =±，当22210k t k t -+=时，若0k =，则方程无解，合题意；若0k ≠，则()4222Δ44k k k k=-=-，若Δ0<，即204k <<时，方程无解，合题意；所以()2,2k ∈-时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k =±时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0>，即24k >时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k ∈-，所以D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =-+相切，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22y ax ax =-+相切，联立消元，得到一元二次方程，其Δ0=，即可求得a .【详解】由2ln y x x =-，则12y x'=-，则11x y ='=，曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，当0a ≠时，则212y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩，得()2110ax a x -++=，由2Δ(1)40a a =+-=，得1a =.故答案为：1.13.已知椭圆G22+22=1>>0的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c，则椭圆C 的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积，得到,a c 方程，即可得到离心率e 的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF 为椭圆通径的一半，故21b PF a =，12PF F 的面积为21122b cc PF a⋅⋅=，又由于12PF F 的内切圆的半径为3c，则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅，所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅，即()212223b c ca c a =+⋅，整理得：22230a ac c --=，两边同除以2a ，得2320e e +-=，所以23e =或1-，又椭圆的离心率()0,1e ∈，所以椭圆C 的离心率为23.故答案为：23.14.设函数()()44xf x ax x x =+>-，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min ()1)f x =+，转化为21)b +>恒成立，结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()f x b >成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4a x >>，可得40x ->，则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=-+++---2411)a ≥++=，当且仅当4x =时，等号成立，故2min ()1)f x =+，由不等式()f x b >恒成立转化为21)b >恒成立，因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个，又由()221)1)912,16==+，()221)1319,201)25+=+=，设事件A =“不等式()f x b >恒成立”，则事件A 包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()()()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()f x b >恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC 的面积为334，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3B =（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由.112333BD BC CA BA BC =+=+，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）2213x y -=（2）6【解析】【分析】（1）由222c a b =+和3e =，及点(在双曲线E 上，求出22,a b ，即可求出E 的方程；（2）设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =-=--，其中0k ≠，根据题中条件确定2133k <<，再将1l 的方程与2213x y -=联立，利用根与系数的关系，用k 表示AC ，BD 的长，再利用12ABCDS AC BD =，即可求出四边形ABCD 面积的最小值.【小问1详解】因为222c a b =+，又由题意得22243c e a ==，则有223a b =，又点(在双曲线E 上，故229213-=b b，解得221,3b a ==，故E 的方程为2213xy -=.【小问2详解】根据题意，直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=-=--，其中0k ≠，因为12,l l 均与E 的右支有两个交点，所以313,33k k >->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=.设()()1122,,,A x y C x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k---+==--，所以()222121212114AC k x k x x x x =+-=++-)22222222222311212323114113133113k k k kkk k k k k +⎛⎫---+=+-⨯+ ⎪----⎝⎭，同理)22313k BD k +=-，所以))()()()2222222223131111622313313ABCD kkk S AC BD k kkk+++==⋅⋅=⋅----.令21t k =+，所以241,,43k t t ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭，当112t =，即1k =±时，等号成立.故四边形ABCD 面积的最小值为6.17.如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，2,P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C 的夹角的余弦值为53333？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点P 为11A B 中点【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O ，由勾股定理证明OA OB ⊥，OA OC ⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面111A B C 和平面APC 的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ，如图所示，由于11124,2AB A B BB ===22OB OA ==所以22216OA OB AB +==，所以OA OB ⊥，同理OA OC ⊥.又OB OC O = ，,OB OC ⊂平面OBC ，所以OA ⊥平面OBC ，即1AA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则(()0,0,,0,A C，()()111,,0,A B C ，所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==-=，()110,B C =.设)111,0,A P A B λλ===，则1AP AA =+)[]1,0,,0,1A P λ=∈，设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ，所以)01000r t λ⎧=+=⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩，取()()1,1,1,1,,m n λλλ==+，则cos ,33m n m n m n ⋅===.整理得212870λλ+-=，即()()21670λλ-+=，所以12λ=或76λ=-（舍），故存在点P （点P 为11A B 中点时），满足题意.18.若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .【答案】（1）（i ）数列{}n a 不具有性质P ，数列{}n b 具有性质P ，理由见解析；（ii ）数列{}n S 具有性质P ，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i ）的结果；利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}n c 的通项公式，再判断是否满足条件①②.【小问1详解】（i ）因为21n a n =-单调递增，但无上限，即不存在M ，使得n a M <恒成立，所以数列不具有性质P .因为113nn b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质P .（ii ）数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S -=⋅+⋅++ ，23111121133333n n n S +-=⋅+⋅++ ，两式作差得23121111211222333333n n n n S +-=⋅+⋅+⋅++⋅- ，即1121121212223313333313n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-+-=--，所以111,3n n n S +=-<∴数列{}n S 满足条件①.(){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +⎛⎫=->∴<∴ ⎪⎝⎭为单调递增数列，满足条件②.综上，数列{}n S 具有性质P .【小问2详解】因为*0,1,,,X n n =∈N ，若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ，()1[1]nn n c d p p +==-+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n nn n n n p p p p p p p p --=-+-+-++- ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p ----=--+--+--++-- ②，2n c -=①②，即1(12)2nn p c --=.所以当102p <<时，0121p <-<，故n c 随着n 的增大而增大，且12n c <.故数列{}n c 具有性质P .19.已知函数()24e 2x f x x x-=-，()2233g x x ax a a =-+--（a ∈R 且2a <）.（1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=-是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）ℎ在(),0∞-和0,+∞上单调递增；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况，探索a 的取值范围，再证明对()1,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立；法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ，同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥，接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ-=-=-+-++，定义域为{}0xx ≠∣，所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ--==-+-'，所以()()2234e 2220x x x h x x --+=+>'.所以()h x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一：由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=-+=--≥，即1a ≤或2a ≥，所以1a ≤.下证当1a ≤时，()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x -=+=-，则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x---+-'=-==>'，所以()()224e 11x x F x x --=-'在()1,+∞单调递增，又()20F '=，所以当()1,2x ∈时，()()0,F x F x '<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,F F x x '>递单调增，所以()()20F x F ≥=，故()f x x ≥-，要证()()f x g x ≥，只需证()x g x -≥，即证()223130x a x a a -+++≥，令()()22313G x x a x a a =-+++，则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a =+-+=-+=--，若115a ≤≤，则0∆≤，所以()()223130G x x a x a a =-+++≥.若15a <，则对称轴31425a x +=<，所以()G x 在()1,+∞递增，故()()210G x G a >=≥，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.法二：由题知2224e 233x x x ax a a x--≥-+--对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ-=-+-++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.由（1）知()()224e 1223x x x x a x ϕ--=-+-'在()1,+∞递增，又()13a ϕ'=-.①若0a ≤，则()()()10,x x ϕϕϕ'>≥'在()1,+∞递增，所以()()24110e x a ϕϕ>=-+>，符合；②若0a >，则()130a ϕ=-<'，又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a a a a a a a ϕ--⎡⎤+=-=-+⎣⎦++'，令()124e(1)a m a a -=-+，则()()()14e 21a m a a h a -=-+='，则()14e 2a h a -'=-为单调递增函数，令()0h a '=得1ln2a =-，当()0,1ln2a ∈-时()()0,h a m a ''<单调递减，当()1ln2,a ∞∈-+时()()0,h a m a ''>单调递增，又()()10,00m m ='<'，所以当()0,1a ∈时，()()0,m a m a '<单调递减，当()1,a ∈+∞时，()()0,m a m a '>单调递增，所以()()10m a m ≥=，则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ-⎡⎤+'=-+≥⎣⎦+，所以(]01,1x a ∃∈+，使得()00x ϕ'=，即()0200204e 12230x x x a x ---+-=，且当()01,x x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ-==-+-++.若(]0,1a ∈，同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ-=-+-++≥，符合题意.若()1,2a ∈，因为()()()2232120a a a a ϕ=-+=--<，所以不符合题意.综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0f x >恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min 0f x >；若()0f x <⇔()max 0f x <.（3）若()()f x g x ≥恒成立，可转化为()()min max f x g x ≥（需在同一处取得最值）.。

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若12z i =+，则()1z z +⋅=（）A.24i --B.24i-+ C.62i- D.62i+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的定义求解.【详解】()()()122i 12i 244i 2i 62i z z +⋅=+-=+-+=-．故选:C .2.全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（）A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C 3.函数()2log 22xxx x f x -=+的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊点即得.【详解】易知()2log 22xxx x f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222xxxxx x x f x x f x -----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．4.在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（）A.3 B.3- C.4- D.4【答案】A 【解析】【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到AC ，DE，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =- ，()2,3DE =--，所以()()()32333AC DE ⋅=⨯-+-⨯-=.故选：A.5.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）A.3045.6gB.1565.1gC.972.9gD.296.1g【答案】C 【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g ⨯≈⨯=故选：C6.已知数列{} n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n n nn n a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A7.若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为()A.4πB.2πC.34π D.54π【答案】C 【解析】【分析】根据已知不等式得到，要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧，利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可．【详解】在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x的图象，当m ＝4π时，要使不等式恒成立，只有a＝2，当m ＞4π时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧.∴由图可知m 的最大值是34π.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（）A.()()2,04,∞-⋃+ B.()(),15,∞∞--⋃+C.()(),24,-∞-+∞ D.()()1,05,∞-⋃+【答案】D 【解析】【分析】根据()()2f x f x +=-可得()f x 关于直线1x =对称，根据()()24f f -=-可得()()240f f -==，结合函数()f x 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==，又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减，则可得函数()f x 的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()()1,05,∞-⋃+.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（）A.若a b >，则2a ba b +>> B.若0a b >>，则a b>>C.若11a b>，则0a >，0b < D.若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+【答案】ABD 【解析】【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a bb +--=>，所以2a ba b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>1=>，所以a >因为1b =>b >，即a b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =，满足11a b>，不满足0a >，0b <，故C 错误；对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==>+++，故D 正确．故选：ABD ．10.已知函数()2sin cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A.()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.函数()f x 的最小正周期为πC.函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D.函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到【答案】AB 【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图像性质逐项判断.【详解】()211cos 21πsin cos sin 2sin 2cos 2sin 22222223x f x x x x x x x x +⎛⎫=-+=--=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；对于B ，函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，所以B 正确；对于C ，由ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，得5ππ122k x =+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称轴方程为5ππ122k x =+，Z k ∈，所以C 不正确；对于D ，sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度，得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，所以D 不正确．故选：AB ．11.设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A.若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B.若数列{}n S 有最小项，则0d >C.若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D.若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【答案】BD 【解析】【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.四面体11A D MN 的体积为定值B.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C.直线MN 与平面ABCD 所成角的正切值的最小值为2D.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形【答案】ACD 【解析】【分析】求出四面体的体积判断A ；把正方体的棱分成3类，再判断各类中的一条即可判断B ；作出线面角，并求出其正切表达式判断C ；利用线线、线面平行的性质作出截面判断D.【详解】点M ，N 在棱11B C ，CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，所以四面体11A D MN 的体积11114222323N A MD V -=⨯⨯⨯⨯=恒为定值，A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是1111,,A A A B A D ，及分别与它们平行的棱，又1111,,A A A B A D 不与平面1A MN 平行，则在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面1A MN 平行，B 错误；正方体棱长为2，如图1，过M 作1MM BC ⊥于1M ，则有1MM ⊥平面ABCD ，于是MN 与平面ABCD 所成角即为1MNM ∠，于是11112tan MM MNM M N M N∠==，又1M N长度的最大值为MN 与平面ABCD所成角的正切值的最小值为2，C正确；如图2，取BC 中点M '，连接,AM MM ''，有11////MM BB AA '，且11MM BB AA '==，则四边形1AA MM '是平行四边形，有1//AM A M '，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，则1//EN A M ，即EN 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面ABCD 的交线，连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，同证1//AM A M '的方法得11//A E B F ，在棱1CC 上取点G ，使113CG CC =，连接MG 并延长交直线BC 于H ，则112CH C M CF ==，即11FH C M B M ==，而1//FH B M ，于是四边形1FHMB 是平行四边形，有11////MG B F A E ，则MG 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面11BCC B 的交线，连接NG ，则可得五边形1A MGNE 即为正方体中过1A ，M ，N 三点的截面，D 正确．故选：ABD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．【答案】2-【解析】【分析】求导，利用()13f '=求解即可.【详解】解：因为()ln f x x a x =-，所以()1a f x x'=-，又函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则()1131af '=-=，所以2a =-．故答案为：2-14.在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分AOC ∠，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．【答案】724,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意可知圆O 1=，设AOB BOC α∠=∠=，由题意可知4sin 5α=，3cos 5α=，则点C 的横坐标为271cos 212sin 25αα⨯=-=-，点C 的纵坐标为241sin 22sin cos 25ααα⨯==．故答案为：724,2525⎛⎫-⎪⎝⎭．15.已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】由题意可得()e 2e xxf x -=+，再结合基本不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()ee xx f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3ex xf x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故答案为：16.已知菱形ABCD 中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.【答案】28π【解析】【分析】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，得到120AEC ∠=︒，在AEC △中由余弦定理求出AE 的长，进一步求出AB 的长,分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，证明Rt OGE △与Rt OFE 全等，求出OE ，再推出BD OE ⊥，连接OB ，由勾股定理求出OB ，即可得出外接球的表面积.【详解】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；设AE a =，则AE CE a ==,在AEC △中2222cos120AC AE EC AE CE =+-⋅⋅︒，即2127222a a a ⎛⎫=-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得3a =，即3AE =，所以AB ==所以ABD △与BCD △是边长为的等边三角形.分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，则113EG AE ==，113EF CE ==；即EF EG =；因为ABD △与BCD △都是边长为所以点G 是ABD △的外心，点F 是BCD △的外心；记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ，所以 OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒，所以2cos 60EFOE ==︒；因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AE CE E =I ，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB，则外接球半径为OB ==所以外接球表面积为2428S ππ=⨯=.故答案为：28π【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n T ，即可证明.【小问1详解】依题意可得，当1n =时，2111122S a a a ==+，0n a >，则11a =；当2n ≥时，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，又{}n a 为正项数列，故可得11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列，所以n a n =.【小问2详解】证明：由（1）可知n a n =，所以()42222n b n n n n ==-++，()44441324352n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+22222222222222132435462112n n n n n n =-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-+---++2221312n n =+--<++，所以3n T <成立.18.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c )sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABC ABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）18【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出182b c bc ++=，结合余弦定理可求得b c +的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：因为)sin aC C =-，)sin sin B AC C =-，①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin sin sin A C A C =-，又因为A 、()0,πC ∈，sin 0C ≠sin 0A A =-<，所以tan A =，又因为()0,πA ∈，解得2π3A =.【小问2详解】解：由（1）知，2π3A =，因为ABC 内切圆半径为所以()11sin 22ABC S a b c A =++⋅△，即()82b c ++=，所以，182b c bc ++=②，由余弦定理2222π2cos3a b c bc =+-⋅得2264b c bc ++=，所以()264b c bc +-=③，联立②③，得()()22864b c b c +-++=，解得10b c +=，所以ABC 的周长为18a b c ++=.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C O = ，12BC BB ==，1AO =，160B BC ∠=︒，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得1B C ⊥平面1ABC ，从而即可证明1AB B C ⊥；（2）建立以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因为AO ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥，因为1BC BB =，四边形11BB C C 是平行四边形，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥．又因为1AO BC O ⋂=，AO ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为AB ⊂平面1ABC ，所以1AB B C ⊥．【小问2详解】解：以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，则)B，()10,1,0B ，()0,0,1A，()1C ，所以()10,1,1AB =-，)11C B =，)110,1A B AB ==-，设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则11111111100n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =，可得1y =1z =，所以(11,n =u r，设平面111B C A 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则211221112200n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取21x =，可得2y =，2z =所以(21,n =，设二面角111A B C A --的大小为θ，因为1212121,1,1cos ,7n n n n n n ⋅⋅〈〉===⋅，所以sin 7θ==，所以二面角111A B C A --的正弦值为7．20.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B点，且满足||2||AF FB =，||2AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）22132x y+=；（2）【解析】【分析】（1）由已知得b =，由||2||AF FB =且||2AB =，知||AF a ==，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）直线AF的方程为0y +-=，与椭圆联立求出3(,22B -，求出点,A B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d =，2d =y kx =与椭圆方程结合弦长公式求出CD ，求出四边形ACBD 的面积121()2S CD d d =+，整理化简利用二次函数求出最值.【详解】（1）A Q 为椭圆C上一点，b ∴=又||2||AF FB =，||2AB =可得，||AF =，即a =所以椭圆C 的标准方程是22132x y +=.（2）由（1）知(1,0)F，A ，∴直线AF的方程为0y +-=，联立221320x y y ⎧+=⎪+-=，整理得：22462(3)0x x x x -=-=，解得：1230,2x x ==，∴3(,22B -设点A，3(,22B -到直线(0)y kx k =>的距离为1d 和2d ，则1d =，2d =直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，联立22132x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得：22(32)6k x +=，解得：34x x ==34CD x ∴=-=∴设四边形ACBD 面积为S ，则121()2S CD d d =+=(0)2k =>.设)t k =++∞，则k t =-363636222S ∴==⋅⋅362=当18t =，即3t k ===+3k =时，四边形ACBD面积有最大值.【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -的体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．【答案】（1）34（2）3,1212⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）取OB 的中点N ，连接MN ，证明出//NP OC ，可得出3ONP π∠=，OPN θ∠=，然后在ONP △中利用正弦定理可求得sin θ的值；（2）计算得出四边形OCPB的面积3sin 264S πθ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，结合20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得θ的取值范围，设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，计算得出2361133sin 2324V V πθ⎛⎫==+-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.【小问1详解】解：取OB 的中点N ，连接MN ，M 为AB 的中点，则//MN OA ，MN ⊄ 平面AOC ，AO ⊂平面AOC ，则//MN 平面AOC ，由题设，当//MP 平面AOC 时，因为MP MN M ⋂=，所以，平面//MNP 平面AOC ，NP ⊂ 平面MNP ，则//NP 平面AOC ，因为NP ⊂平面OBPC ，平面OBPC 平面AOC OC =，则//NP OC ，所以，3ONP BOC ππ∠=-∠=，OPN COP θ∠=∠=，在OPN 中，由正弦定理可得sin sin3ON OP πθ=，故sin3sin 4ON OP πθ==.【小问2详解】解：四棱锥M OCPB -的体积1111323V OA S S =⋅⋅=，其中S 表示四边形OCPB 的面积，则112111sin sin sin cos sin 2232222S OP OC OP OB πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333sin 4426πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，1131sin 3664V S πθ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，可得3sin 62πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，203πθ<<，则5666πππθ<+<，故2363πππθ<+<，解得,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，由于M 是AB 的中点，则231112sin 2623V V OA S OB OC π⎛⎫==⋅-⋅ ⎪⎝⎭133333sin ,32412126πθ⎛⎛⎫=+-∈ ⎢ ⎪ ⎝⎭⎣⎦⎝⎦.22.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()Nf X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．公众号：高中试卷君【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由均值的性质及基本不等式即可证明.（2）由二项分布的概率及条件概率化简即可证明.【小问1详解】由题意可得X 满足二项分布(),X B N p ，由()()E aX b aE X b +=+知，()()N N E f X K X E pN N K K K =+=+⋅≥⎡⎤⎣⋅⎦，当且仅当1Kp K=时取等号；【小问2详解】记P P =（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），i P P =（混管中恰有i 例阳性）=()C 1K i i i K p p --，0,1,,i K = ，令()e 1xh x x =--，33210210x ---⨯<<⨯，则()e 1xh x '=-，当()3021,0x -⨯∈-时，()0h x '<，()h x 为单调递减，当()300,21x -∈⨯时，()0h x '>，()h x 为单调递增，所以()()00h x h ≥=，且()()332103210e 21010h ---⨯--⨯=--⨯-≈，()()332103210e 21010h --⨯-⨯=-⨯-≈，所以当33210210x ---⨯<<⨯，e 10x x --≈即e 1x x ≈+，两边取自然对数可得()ln 1x x ≈+，所以当4010p -<<，1020K ≤≤时，所以()()ln 11e e 1K K p Kp p Kp ---=≈≈-，则()()()()110111111111K K Kp K p Kp p P P K p P Kp p ---⎡⎤-⎣⎦==≈=--≈---．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.。

数 学(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，集合B ＝{x |2x ＋1>1}，则∁B A ＝(A)A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |2x ＋1>1}＝{x |x >－1}，∁B A ＝[3，＋∞)，故选A.2．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c <0”是“∃x 0∈R ，使f (x 0)<0”的(A) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c <0”时，函数与x 轴有两个交点，所以“∃x 0∈R ，使f (x 0)<0”成立．而“∃x 0∈R ，使f (x 0)<0”，即x 2＋bx ＋c ＜0，Δ＝b 2－4c ＞0，即b 2＞4c ，c 不一定有c ＜0.综上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c ＜0”是“∃x 0∈R ，使f (x 0)＜0”的充分不必要条件；故选A.3．设a ＝log 48，b ＝log 0.48，c ＝20.4，则(A) A ．b <c <a B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c【解析】∵b 的底数大于0小于1而真数大于1，∴b <0，∵a ＝log 48＝32，c ＝20.4<20.5＝2<32，∴a >c >b .故选A.4．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值为(B)A.355B. 2C.352 D. 5【解析】作出平面区域如图所示．∴当直线y ＝x ＋b 分别经过A ，B 时，平行线间的距离最小，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x －y －3＝0，解得A (2，1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0，解得B (1，2)， 两条平行线分别为y ＝x －1，y ＝x ＋1，即x －y －1＝0，x －y ＋1＝0. ∴平行线间的距离为d ＝|－1－1|2＝2，故选B.5．函数y ＝e |x |4x 的图象可能是(C)【解析】令y ＝f (x )＝e |x |4x ，则f (－x )＝e |－x |4（－x ）＝－e |x |4x ＝－f (x )，则函数y ＝f (x )＝e |x |4x 为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除B ；当x ＝1时，y ＝e 4，排除A ；当x →＋∞时，e |x |4x →＋∞，排除D.故选C.6．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是(A)A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.9【解析】此程序框图执行的是输入一个正整数n ，求11×2＋12×3＋…＋1n ×（n ＋1）的值S ，并输出S .S ＝11×2＋12×3＋…＋1n ×（n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝nn ＋1.令S 等于0.7，解得n ＝73不是正整数，而n 分别输入3，4，9时，可分别输出0.75，0.8，0.9.故选A.7．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(C)A ．289B ．1024C ．1225D ．1378【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝n2(n ＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项b n ＝n2，则由b n ＝n 2(n ∈N ＋)可排除D ，将A 、B 、C 选项代入a n ＝n2(n ＋1)验证知只有1225符合，故选C.8．已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两个动点，|AB →|＝4，OC →＝53OA →－23OB →.若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为(C)A ．8＋4 3B ．8－4 3C ．12D ．4【解析】因为M 是线段AB 的中点，所以OM →＝12OA →＋12OB →，从而OC →·OM →＝⎝⎛⎭⎫53OA→－23OB →·(12OA →＋12OB →)＝56OA →2－13OB →2＋12OA →·OB →，由圆的方程可知圆O 的半径为4，即|OA →|＝|OB →|＝4，又因为|AB →|＝4，所以〈OA →，OB →〉＝60°，故OA →·OB →＝8，所以OC →·OM →＝12. 9．点A 、B 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足|MA ||MB |＝2，若△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为(D)A.23B.33C.22D.32【解析】设A (－a ，0)，B (a ，0)，M (x ，y )．∵动点M 满足|MA ||MB |＝2，则（x ＋a ）2＋y 2＝2（x －a ）2＋y 2，化简得⎝⎛⎭⎫x －5a 32＋y 2＝16a 29. ∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1， ∴12×2a ×43a ＝8，12×2b ×13a ＝1，解得a ＝6，b ＝62， ∴椭圆的离心率为1－b 2a 2＝32.故选D.10．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 上一动点，则AP ＋D 1P 的最小值为(D)A ．2B.6＋22 C ．2＋ 2 D.2＋ 2【解析】把对角面A 1C 绕A 1B 旋转，使其与△AA 1B 在同一平面上，连接AD 1，则在△AA 1D 中，AD 1＝1＋1－2×1×1×cos 135°＝2＋2为所求的最小值．故选D.11．已知函数f (x )＝x 2－2ln |x |与g (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的g (x )＝(C)A ．sin ⎝⎛⎭⎫2πx －π2B ．sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2C ．sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2D ．sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2【解析】因为f (x )＝x 2－2ln |x |为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝x 2－2ln x ，则f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x ，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，所以当x <0时，f (x )min ＝f (－1)＝1，所以g (x )的最大周期是2.所以T ＝2πω＝2，ω＝π，又g (x )恰好在x ＝1和x ＝－1处取得最大值1，故φ＝－π2，故选C.12．设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数．若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是(B)A. 3B.32C.33 D ．0【解析】记点(1，f (1))为点A 1，若f (x )逆时针旋转π6后与原图象重合，则A 1绕原点逆时针旋转π6后的对应点A 2在f (x )图象上，同时有A 2绕原点逆时针旋转π6后的对应点A 3也在f (x )图象上，以此类推，则f (x )的图象上至少有以原点为圆心的一个圆周上的12等分的12个点．当f (x )取值为3时，因为OA 1与x 轴正半轴夹角为π3，其逆时针旋转π6时形成的12个散点中，由圆的对称性知，点A 1和A 9的横坐标相同，即在同一个x 处同时存在2个f (x )值，不符合函数定义，故A 项错误．同理，当f (x )＝33和0时亦不符合函数定义，故C ，D 项错误． 故f (x )的可能取值只能是32.故正确答案为B.二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．定积分⎠⎛011－（x －1）2d x ＝__π4__．【解析】⎠⎛011－（x －1）2d x 表示半径为1的四分之一圆的面积．14．在公差大于0的等差数列{a n }中，2a 7－a 13＝1，且a 1，a 3－1，a 6＋5成等比数列，则数列{(－1)n －1a n }的前21项和为__21__．【解析】公差d 大于0的等差数列{a n }中，2a 7－a 13＝1，可得2a 1＋12d －(a 1＋12d)＝1，即a 1＝1，由a 1，a 3－1，a 6＋5成等比数列，可得(a 3－1)2＝a 1(a 6＋5)，即为(1＋2d －1)2＝1＋5d ＋5，解得d ＝2(负值舍去)，则a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，n ∈N *，所以数列{(－1)n －1a n }的前21项和为a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a 19－a 20＋a 21＝1－3＋5－7＋…＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21.15．若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为__2__． 【解析】由题意可知－x 3＋6x 2－9x ＋a ＝－2在(0，＋∞)上有两解，即a ＝x 3－6x 2＋9x －2在(0，＋∞)上有两解，设g (x )＝x 3－6x 2＋9x －2，则g ′(x )＝3x 2－12x ＋9，令g ′(x )＝0得x ＝1或x ＝3.∴当0<x <1时，g ′(x )>0，当1<x <3时，g ′(x )<0，当x >3时，g ′(x )>0， ∴g (x )在(0，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝1时，g (x )取得极大值g (1)＝2，当x ＝3时，g (x )取得极小值g (3)＝－2. 作出g (x )的函数图象如图所示：∵a ＝x 3－6x 2＋9x －2在(0，＋∞)上有两解，∴a ＝2.16．点M 为棱长是22的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球O 球面上的动点，点N 为B 1C 1的中点，若满足DM ⊥BN ，则动点M 的轨迹的长度为__410π5__．【解析】如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球O 的半径R ＝2， 由题意，取BB 1的中点H ，连接CH ， 则CH ⊥NB ，DC ⊥NB ，∴NB ⊥平面DCH ， ∴动点M 的轨迹就是平面DCH 与内切球O 的交线， ∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长是22，∴O 到平面DCH 的距离为d ＝25，截面圆的半径r ＝R 2－d 2＝225， 所以动点M 的轨迹的长度为截面圆的周长2πr ＝410π5.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab . (1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解析】(1)由正弦定理，得2c －a b ＝2sin C －sin Asin B，2分 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B .即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C ).4分 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ， 因此sin Csin A ＝2.6分(2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14， b ＝2， 得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14，解得a ＝1，从而c ＝2.9分又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154.10分 因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.12分 18．(本小题满分12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：质量指标值mm < 185 185≤m < 205 m ≥205 等级三等品二等品一等品(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；(3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X 近似满足X ～N (218，140)，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【解析】(1)根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.200＋0.300＋0.260＋0.090＋0.025＝0.875，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.3分(2)由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件．再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件．故所求的概率P ＝C 32C 41C 11＋C 31C 42C 11C 84＝37.9分 (3)“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为170×0.025＋180×0.1＋190×0.2＋200×0.3＋210×0.26＋220×0.09＋230×0.025＝200.4，“质量提升月”活动后，产品质量指标值X 近似满足X ～N (218，140)，则E (X )＝218. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6.12分19．(本小题满分12分)如图，ABCD 是边长为2的正方形，平面EAD ⊥平面ABCD ，且EA ＝ED ，O 是线段AD 的中点，过E 作直线l ∥AB, F 是直线l 上一动点．(1)求证：OF ⊥BC ；(2)若直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直，求此时二面角B —OF —C 的余弦值．【解析】(1) 因为EA ＝ED ，O 是AD 中点，故EO ⊥DA ，1分 又因为平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD ∩平面ABCD ＝AD ，故EO ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥BC ；2分 因为EF ∥AB ，BC ⊥AB ，所以EF ⊥BC ， 故BC ⊥平面EOF ，3分 所以BC ⊥OF .4分(2) 设BC 的中点为M ，则有OM ⊥DA ，由(1)，EO ⊥平面ABCD ， 所以OE 、OA 、OM 两两垂直．可如图建立空间直角坐标系O －xyz .依题意设点E 的坐标为(0，0，s )，点F 的坐标为(0，t ，s )(s >0，t ∈R )，又B (1，2，0)，C (－1，2，0)，所以OF →＝(0，t ，s )，BF →＝(－1，t －2，s )，6分由(1)知OF ⊥BC ，故OF 与平面BCF 垂直，等价于OF ⊥BF ， 故OF →·BF →＝0，从而t (t －2)＋s 2＝0，即t 2－2t ＋s 2＝0， 直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直，即关于t 的方程有唯一实数解， 所以Δ＝4－4s 2＝0，解得s ＝1，此时t ＝1.8分 故点E 的坐标为(0，0，1)，点F 的坐标为(0，1，1)．因为OF ⊥平面FBC ，所以OF ⊥BF 且OF ⊥CF ，所以∠BFC 即二面角B —OF —C 的平面角.10分因为FB →＝(1，1，－1)，FC →＝(－1，1，－1)， 所以cos ∠BFC ＝FB →·FC →||FB →·||FC→＝13，即若直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直时， 二面角B —OF —C 的余弦值为13.12分20．(本小题满分12分)已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点F 为(0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO 、BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．【解析】(1)由已知可设抛物线的方程为：x 2＝2py (p >0)，则p2＝1⇒p ＝2，所以抛物线C 的方程是x 2＝4y .2分(2)设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 124，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224，所以k AO ＝x 14，k BO ＝x 24，所以直线AO 的方程是：y ＝x 14x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 14x ，y ＝x －2，∴x M ＝84－x 1，同理由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24x ，y ＝x －2，∴x N ＝84－x 2. 所以|MN |＝1＋12|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 216－4（x 1＋x 2）＋x 1x 2，①5分设AB ：y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，∴x 2－4kx －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 且|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4k 2＋1，代入①得到： |MN |＝82·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2＋116－16k －4＝82·k 2＋1|4k －3|，7分 设4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝3＋t4， ①当t >0时，|MN |＝8225＋t 2＋6t4t ＝221＋25t 2＋6t >22；9分②当t <0时，|MN |＝8225＋t 2＋6t 4t＝221＋25t 2＋6t ＝22⎝⎛⎭⎫5t ＋352＋1625≥22×45＝825，当t ＝－253时，|MN |取得最小值825，此时，k ＝－43；11分综上所述：|MN |的最小值是825.12分 21．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明： 对任意的t >0, 存在唯一的s, 使t ＝f (s )．(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t ), 证明： 当t >e 2时，有25<ln g （t ）ln t <12.【解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎫0，1e 1e ⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞f ′(x ) － 0 ＋f (x )极小值所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.2分 (2)证明：当0<x ≤1时，f (x )≤0，设t >0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)，由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增，h (1)＝－t <0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)>0.故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立.6分 (3)证明：因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s >1，从而ln g （t ）ln t ＝ln s ln f （s ）＝ln s ln （s 2ln s ）＝ln s 2ln s ＋ln ln s ＝u2u ＋ln u ，其中u ＝ln s ．7分 要使25<ln g （t ）ln t <12成立，只需0<ln u <u2，当t >e 2时，若s ＝g (t )≤e ，则由f (s )的单调性，有t ＝f (s )≤f (e)＝e 2，矛盾． 所以s >e ，即u >1，从而ln u >0成立.9分另一方面，令F (u )＝ln u －u 2，u >1.F ′(u )＝1u －12，令F ′(u )＝0，得u ＝2. 当1<u <2时，F ′(u )>0；当u >2时，F ′(u )<0. 故对u >1，F (u )≤F (2)<0，因此ln u <u2成立.11分 综上，当t >e 2时，有25<ln g （t ）ln t <12.12分(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |.【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1， 即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.2分由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2， ①将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①得y ＝x ＋2.4分 所以直线l 的斜率角为π4.5分(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)， 代入x 29＋y 2＝1并化简得5t 2＋182＋27＝0，7分Δ＝(182)2－4×5×27＝108>08分设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2.则t 1＋t 2＝－1825<0，t 1t 2＝275>0，所以t 1<0，t 2<0. 所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝1825.10分23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －3|. (1)解不等式f (x )≤x ＋1；(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝c，求证：a2a＋1＋b2b＋1≥1.【解析】(1)f(x)≤x＋1，即|x－1|＋|x－3|≤x＋1.①当x<1时，不等式可化为4－2x≤x＋1，解得x≥1，又∵x<1，∴x∈∅；②当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x＋1，解得x≥1，又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3.③当x>3时，不等式可化为2x－4≤x＋1，解得x≤5，又∵x>3，∴3<x≤5.3分综上所得，1≤x≤3，或3<x≤5，即1≤x≤5，∴原不等式的解集为[1，5].5分(2)证明：由绝对值不等式性质得，|x－1|＋|x－3|≥|(1－x)＋(x－3)|＝2，7分∴c＝2，即a＋b＝2.令a＋1＝m，b＋1＝n，则m>1，n>1，a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，a2a＋1＋b2b＋1＝（m－1）2m＋（n－1）2n＝m＋n＋1m＋1n－4＝4mn≥4⎝⎛⎭⎫m＋n22＝1，原不等式得证.10分。

湖北省襄阳四中2020届高三数学上学期9月月考试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，，则下列结论正确的是A. B. C. D. 以上均不对2.在复平面内，复数：的共轭复数应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设实数x，y满足，则的最大值为A. B. C. 2 D. 14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率．已知该年级男生女生各500名假设所有学生都参加了调查，现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为A. 8B. 12C. 16D. 245.设函数，在区间上随机取一个数x，则的概率为A. B. C. D.6.已知圆C：关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为A. 1B. 2C. 3D. 47.已知为等差数列，，，的前n项和为，则使得达到最大值的是A. 19B. 20C. 21D. 228.在直角梯形ABCD中，，，，，E是BC的中点，则A. 32B. 48C. 80D. 649.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，若函数在区间，上单调递增，则a的取值范围是A. B. C. D.10.过双曲线的左、右焦点分别作两条渐近线的平行线，所作的这4条直线所围成的四边形的周长为12a，则该双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.11.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.12.设函数，点，设，对一切都有不等式成立，则正整数：的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题）13.曲线在点处的切线方程为______．14.已知椭圆的离心率为，则______．15.已知，且，则______．16.如图，在四棱锥中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题）17.某市环保部门对该市市民进行了一次动物保护知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分满分：100分数组别男 2 3 5 15 18 12女0 5 10 15 5 10 若规定问卷得分不低于70分的市民称为“动物保护关注者”，则山图中表格可得列联表如下：非“动物保护关注者”是“动物保护关注者”合计男10 45 55女15 30 45合计25 75 100 请判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“动物保护关注者”与性别有关？若问卷得分不低于80分的人称为“动物保护达人”现在从本次调查的“动物保护达人”中利用分层抽样的方法随机抽取6名市民参与环保知识问答，再从这6名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“动物保护达人”又有女“动物保护达人”的概率．附表及公式：，其中．18.已知数列地公比为q的正项等比数列，是公差d为负数的等差数列，满足，，．求数列的公比q与数列的通项公式；求数列的前10项和．19.如图，在三棱柱中，底面ABC为正三角形，底面ABC，，点E在线段上，平面平面B.请指出点E的位置，并给出证明；若，求与平面ABE夹角的正弦值．220.过抛物线C：的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M，N两点，且．求p的值；抛物线C上一点，直线l：其中与抛物线C交于A，B两个不同的点B均与点Q不重合设直线QA，QB的斜率分别为．直线l是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由；设点T在直线l上，且满足，其中O为坐标原点．当线段最长时，求直线l的方程．21.已知函数为自然对数的底数．求函数的值域；若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围；证明：．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为常数以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为若直线l与曲线C相交于M，N两点．求曲线C的极坐标方程；记线段MN的中点为P，求的值．23.已知函数．当时，求不等式的解集；当时，若对任意实数x，都成立，求a的取值范围．4答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，集合A为自然数中3的倍数构成的集合，，集合B为自然数中6的倍数构成的集合，．．故选：B．集合A为自然数中3的倍数构成的集合，集合B为自然数中6的倍数构成的集合，由此能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集定义等基知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，，复数应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．求出，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：作出实数x，y满足的可行域，如图内部含边界，作出直线l：，平移直线l，当l过时，取得最大值1．故选：D．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最值即可．本题考查线性规划的简单应用，数形结合的应用，是基本知识的考查．4.【答案】D【解析】解：由等高条形图的女生喜欢篮球运动的频率为，男生喜欢篮球运动的频率为，从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为：．故选：D．由等高条形图的女生喜欢篮球运动的频率为，男生喜欢篮球运动的频率为，从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，利用分层抽样性质能求出抽取的男生人数．本题考查等高条形图、分层抽样的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由，得，解得；根据几何概型的概率公式可得，从区间内随机选取一个实数x，的概率为：．故选：B．求出时x的取值范围，再根据几何概型的概率公式计算即可．本题考查几何概型的概率计算问题，是基础题．6.【答案】D【解析】解：依题意可知直线过圆心，即，故．圆方程配方得，与圆心距离为1，故弦长为．故选：D．求出圆心，得到a，然后利用弦心距，半径，半弦长满足勾股定理求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．7.【答案】B【解析】解：因为为等差数列，所以，解得，又，解得，所以；由，解得，所以最大．故选：B．根据等差数列的定义与性质，求出公差d和首项，写出通项公式；由此判断前n项和的最大值是什么．本题考查了等差数列的定义与性质的应用问题，也考查了前n项和定义与应用问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：，由数量积的几何意义可得：的值为与在方向投影的乘积，又在方向的投影为，，同理，．故选：C．化简向量的数量积，利用向量的数量积的几何意义，转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．9.【答案】B【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象由，求得，可得的单调增区间为．要使得在区间单调递增，则，，所以，，即，且，故选：B．由题意利用函数的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的单调性，解不等式，6求得a的范围．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，不等式的解法，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：过右焦点与渐近线平行的一条直线方程为，令，，这四条直线所围成的四边形周长为12a，，所以渐近线方程为，故选：C．求出过右焦点与渐近线平行的一条直线方程，然后求解四边形的周长为12a，列出方程，然后求解渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.【答案】D【解析】解：，，，，，．故选：D．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】B【解析】解：由题意知：，，，，随n的增大而增大，，，即，正整数t的最小值为4．故选：B．化简数列的通项公式，利用裂项消项法求出数列的和，然后利用和判断最值，转化求解不等式即可．本题考查数列与函数综合，数列求和的应用，不等式的解法，考查计算能力，是中档题．13.【答案】【解析】解：，，，切线的方程是，即，故答案为：．对函数求导，得到函数在这一点对应的切线的斜率，利用点斜式写出直线的方程．本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，本题是一个基础题，注意本题和其他的题目有点不同，这里的导函数做出来是一个定值，这样也不影响解题．14.【答案】或【解析】解：椭圆，化为标准方程为，当时，则椭圆的离心率，解得，当时，则椭圆的离心率，解得，故答案为：或．椭圆，化为标准方程为，根据椭圆的离心率，分类讨论即可求出．本题考查了椭圆的标准方程和离心率，属于基础题．15.【答案】．【解析】解：因为，所以，解得，而，得，故，故答案为：．利用二倍角公式以及诱导公式，求出的值，得到，然后求解即可．本题考查二倍角的三角函数以及诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．16.【答案】．【解析】解：如图，在PC 上取点，使得顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，≌≌POA≌，，当时最小，为PD的中点，为PC的中点，，又顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，外接球的球心在PO上，设外接球的半径为r，则解得．故外接球的表面积为．故答案为：．将折线转化为直线外一点与直线上一点的连线段，求出侧棱的长度本题考查了直线外一点与直线上一点连线中，垂线段最短求最短距离的方法，还考查了外接球半径的求法，属于难题817.【答案】解：将列联表中的数据代入公式计算得的观测值为，所以在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为是否是“动物保护关注者”与性别有关．由题意知，利用分层抽样的方法可得男“动物保护达人”4人，女“动物保护达人”2人．设男“动物保护达人”4人分别为A，B，C，D；女“动物保护达人”2人为e，f．从中抽取两人的所有情况为：AB，AC，AD，Ae，Af，BC，BD，Be，Bf，CD，Ce，Cf，De，Df，ef共15种情况．既有男“动物保护达人”又有女“动物保护达人”的情况有：Ae，Be，Ce，De，Af，Bf，Cf，Df共8种情况．故所求的概率为．【解析】将列联表中的数据代入公式计算的观测值，对照临界值得出结论；由分层抽样法抽取样本数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．18.【答案】解：由已知，，得．又，得：或舍，，--，于是，又是公比为q的等比数列，故，所以，，含或；综上，，，．设的前n项和为；令，，得，于是，，易知，时，，，所以．【解析】利用已知条件求出数列的公差与首项，然后求解通项公式，然后求解数列的公比q．求出数列变号的项，然后求解数列的前10项和．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，考查转化首项以及计算能力．19.【答案】解：点E为线段的中点．证明如下：取AB中点为F，的中点为G，连接CF，FG，EG．所以，，所以四边形FGEC为平行四边形．所以．因为，，所以．又因为平面ABC，平面ABC，所以．又，所以平面B.所以平面，而平面，所以平面平面B.由，得．由可知，点E到平面的距离为．而的面积，等腰底边AB上的高为，记点到平面ABE的距离为h，由，得，即点到平面ABE的距离为与平而ABE夹角的正弦值．【解析】取AB中点为F，的中点为G，连接CF，FG，推导出四边形FGEC为平行四边形．从而推导出从而平面B.平面，由此推导出点E为线段的中点时，平面平面B.由，得点E到平面的距离为记点到平面ABE的距离为h，由，求出点到平面ABE的距离为，由此能求出与平而ABE夹角的正弦值．本题考查满足面面垂直的点的位置的判断与求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：抛物线的焦点为，准线方程为，设直线MN方程为，联立抛物线方程可得，故，由抛物线的定义可得，解得；由知抛物线C方程为，从而点，设，，由可得，，，且，．由，可得，即，从而，该式满足式可得，即直线l恒过定点；设动点，，，即，动点T在圆上，故T与H重合时线段最长，此时直线l：，即：．【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，设出直线MN的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，解得p；求得抛物线方程和Q的坐标，设，，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，结合直线恒过定点的求法，可得所求定点；设动点，由向量数量积的坐标表示可得T的轨迹方程，结合圆内的点和弦长最短的情况，由两直线垂直的条件化简得到所求直线方程．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，同时考查圆方程的求法，以及两直线垂直的条件，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：，，，所以，故函数在上单调递减，函数的最大值为；的最小值为，所以函数的值域为．原不等式可化为，因为恒成立，故式可化为．令，则当时， 0'/>，所以函数在上单调递增，故，所以；当时，令，得，且当时，；当时，0'/>．所以当，即时，函数，成立；当，即时，函数在上单调递减，，解得综上，．10令，则．由，故存在，使得即且当时，；当时， 0.'/>故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，故函数，因为，所以，故，．【解析】利用导数求函数的值域即可；恒成立问题转化为最值即可；构造函数可解决此问题．本题考查函数的值域的求法，恒成立问题和存在性问题与函数最值的转化．22.【答案】解：因为曲线C的参数方程为为常数，所以曲线C的普通方程为，所以曲线C的极坐标方程为；将直线l的方程代入曲线C的方程中，得，因为直线l与曲线C相交于M，N两点，设，，则，又线段MN的中点为P，所以．【解析】将曲线C的参数方程转化为普通方程，然后将普通方程转化为极坐标方程即可；将直线l代入曲线C中，得到关于的方程，设，，由根与系数的关系可得的值，再根据条件可得．本题考查了直角坐标方程，参数方程和极坐标之间的转化，考查学生的运算能力和转换能力，属中档题．23.【答案】解：当时，．因为，所以，所以，所以不等式的解集为；当时，，，则在上单调递减，在上单调递增，所以．因为对任意实数x，都成立，所以，所以，当时，同理可得，综上，a的取值范围为．【解析】将代入中，根据，去绝对值解不等式可得解集；分和求出的最小值，根据对任意实数x，都成立，可得，然后解出a的范围．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．。

第二中学2021届高三数学上学期第二次月考试题 文〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：〔此题一共12题每一小题只有一个正确答案，每一小题5分，一共60分〕 1.函数yA. [1，＋∞〕B. 〔23，＋∞〕 C. [23，1] D. 〔23，1] 【答案】D 【解析】要使函数有意义，需使12log (32)0x -≥，即032 1.x <-≤解得21.3x <≤应选D2.tan 3α=，那么222sin 2cos sin cos sin ααααα+=+( ).A. 38B.916C.1112D.79【答案】C 【解析】 【分析】分子分母同时除以2cos α，利用同角三角函数的商关系化简求值即可. 【详解】因为tan 3α=，所以2cos 0α≠，于是有2222222222sin 2cos sin 2cos 211sin cos sin sin cos sin tan tan 1tan cos cos 2ααααααααααααααα+++===+++，故此题选C.【点睛】此题考察了同角三角函数的商关系，考察了数学运算才能.6π，面积为3π，那么扇形的弧长等于〔〕 A.6πB.4π C.3π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式得到半径，再计算扇形弧长. 【详解】221122263S r r r παπ==⨯=⇒= 扇形弧长263l r ππα==⨯=故答案选C【点睛】此题考察了扇形的面积和弧长公式，解出扇形半径是解题的关键，意在考察学生的计算才能.A ，B ，C 分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A ，B 与门店C 都相距a km ，而门店A 位于门店C 的北偏50向上，门店B 位于门店C 的北偏西70方向上，那么门店A ，B 间的间隔 为〔 〕A. a km kmkmD. 2a km【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，结合图形利用正弦定理，即可求解，得到答案.【详解】如下图，依题意知CA CB a ==，5070120ACB ∠=+=，30A B ∠=∠=，由正弦定理得：sin120sin 30AB a =︒︒，那么sin120sin 30a AB km ⋅︒==︒.应选C.【点睛】此题主要考察了三角形的实际应用问题，其中解答中根据题意作出图形，合理使用正弦定理求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.5.下面四个命题：①“假设20x x -=，那么0x =或者1x =〞的逆否命题为“假设0x ≠且1x ≠，那么20x x -≠〞②“1x ＜〞是“2320x x -+＞〞的充分不必要条件③命题:p 存在0x R ∈，使得20010x x ++＜，那么p ⌝：任意x R ∈，都有210x x ++≥④假设p 且q 为假命题，那么,p q 均为假命题，其中真命题个数为〔 〕 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】对于①根据逆否命题的写法，以及或者变为且得到命题正确；② 2x ＞时，2320x x -+＞也成立；③含有量词〔任意、存在〕的命题的否认既要换量词，又要否认结论；④命题p ，q 中只要有一个为假命题，“P 且q 〞为假命题．【详解】对于①，交换条件和结论，并同时否认，而且“或者〞的否认为“且〞，故①是真命题；对于②2x ＞时，2320x x -+＞也成立，所以“1x ＜〞是“2320x x -+＞〞的充分不必要条件，故②是真命题；对于③含有量词〔任意、存在〕的命题的否认既要换量词，又要否认结论，故③是真命题； 对于④命题p ，q 中只要有一个为假命题，“P 且q 〞为假命题，因此p 或者q 有可能其中一个是真命题，故④是假命题. 应选：C ．【点睛】此题考察了命题的逆否关系，充分不必要条件的断定，含有量词的命题的否认及含有逻辑词“且〞的命题的真值情况，属于中档题．6.a ＝log 34，b ＝212-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝131log 6，那么a ，b ，c 的大小关系为〔 〕 A. a ＞b ＞c B. b ＞c ＞a C. c ＞a ＞b D. b ＞a ＞c【答案】B 【解析】 【分析】得出126133331log log 6log 4,log 62,()42-=><=，从而得到,,a b c 的大小关系，得到答案．【详解】由题意，根据对数的运算可得1261333331log log 6log 4,log 6log 92,()42-=><==，所以b c a >>，应选B ．【点睛】此题主要考察了对数的换底公式，以及对数的单调性、指数的运算的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理运算时解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．2()ln(1)1f x x x x =+-+的大致图象为〔 〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性以及特殊值进展排除即可． 【详解】由题意()01f =，排除B ，C ， 又()()2ln11f x x x x -=-++222211ln1111x xx xx x x xx x++=-+=-++-+-)()2121)1ln11x x x x x x f x -=-++=++=，那么函数()f x 是偶函数，排除D ，应选A ．【点睛】此题主要考察函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数值进展排除是解决此题的关键．31(),0()3log ,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，那么1(())5f f =〔 〕A. -5B. 5C.15D. 15-【答案】B 【解析】由题()111log 33log 53log 5531log 513111log 3335553f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭选B()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当302x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()()12log 1f x x =-，那么()()20172019f f +=〔 〕A. 1B. 2C. 1-D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，对3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变形可得()()3f x f x =-，那么函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得()()20171f f =，()()20190f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出()0f 与()1f 的值，相加即可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 满足任意的x R ∈都有3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么()()3f x f x =-，那么函数()f x 是周期为3的周期函数，()()()2017167231f f f =+⨯=，()()()201967330f f f =⨯=又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，那么()00f =，3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()12log 1f x x =-，那么()()121log 111f ⎡⎤-=--=-⎣⎦，那么()()111f f =--=；故()()()()20172019011f f f f +=+=； 应选：A ．【点睛】此题考察函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于根底题．()()cos f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的图象如下图，假设将函数()f x 的图象向右平移2π个单位，那么所得的函数解析式为〔 〕A. 2cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. 32cos 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 2cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 32cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】根据余弦函数的图象的对称性求得：2A =，根据余弦函数图象：32882T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得：T π=，利用周期公式：2T πω=，解得2ω=，根据函数的图象，8x π=时，08f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()282k k z πππ⋅+∅=+∈，由于2π∅<，解得4π∅=，那么()2cos 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，应选B.()2x 1x 2x m,x 2f x 143,x 2⎧++<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩的最小值为 1.-那么实数m 的取值范围是( )A. ()0,∞+B. [)0,∞+C. 9,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D.9,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的表达式转化求解函数的最小值，求解m 的范围即可．【详解】函数()2x 1x 2x m,x 2f x 143,x 2⎧++<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩的最小值为1-．可知：1x 2≥时，由x 431-=-，解得1x 2=， 因为xy 43=-是增函数，所以只需2y x 2x m 1=++≥-，1x 2<恒成立即可． 22y x 2x m (x 1)m 1m 1=++=++-≥-，所以m 11-≥-，可得m 0≥．应选：B ．【点睛】此题考察分段函数的应用，函数的最值的求法，属于根底题．()1322x x f x e e -=-，那么曲线()y f x =上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是〔 〕 A. (0]3π，B. 2(]23ππ，C. [)32ππ， D.[)3ππ， 【答案】C 【解析】 【分析】求出()f x '，然后再求出()f x '的值域，即得到切线斜率的取值范围，然后可得倾斜角的范围．【详解】∵13()22x xf x e e -=-，∴1311()(3)2222x x x x f x e e e e --=+=+≥⨯='，当且仅当3x x e e -=，即1ln 32x =时等号成立．∴tan α≥ 又0απ≤<， ∴32ππα≤<，即倾斜角α的取值范围是[,)32ππ． 应选C ．【点睛】此题考察导数几何意义及其应用，解题的关键是求出导函数的值域，然后根据斜率与倾斜角的关系得到所求，考察综合运用知识解决问题的才能，属于根底题．二．填空题〔一共4个小题，每一小题5分，一共20分〕3:0,0∀>≤p x x ，那么p ⌝是___________________【答案】30,0x x ∃>> 【解析】【分析】根据全称命题的否认即可求解. 【详解】因为命题3:0,0∀>≤p x x 所以命题p ⌝：30,0x x ∃>>【点睛】此题主要考察了全称命题的否认，属于根底题.f 〔x 〕＝cos 〔2x 12+π〕的图象向左平移8π个单位长度后，得到函数g 〔x 〕的图象，那么以下结论中正确的选项是_____．〔填所有正确结论的序号〕 ①g 〔x 〕的最小正周期为4π； ②g 〔x 〕在区间[0，3π]上单调递减； ③g 〔x 〕图象的一条对称轴为x 12=π； ④g 〔x 〕图象的一个对称中心为〔712π，0〕．【答案】②④． 【解析】 【分析】利用函数sin()y A wx ϕ=+的图象的变换规律求得()g x 的解析式，再利用三角函数的周期性、单调性、图象的对称性，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，将函数()cos(2)12f x x π=+的图象向左平移8π个单位长度后， 得到()cos[2()]cos(2)8123g x x x πππ=++=+的图象，那么函数()g x 的最小正周期为22ππ=，所以①错误的；当[0,]3x π∈时，2[,]33x πππ+∈，故()cos(2)3g x x π=+在区间[0,]3π单调递减， 所以②正确； 当12x π=时，()0g x =，那么12x π=不是函数的对称轴，所以③错误；当712x π=时，()0g x =，那么7(,0)12π是函数的对称中心，所以④正确； 所以结论正确的有②④.【点睛】此题主要考察了三角函数sin()y A wx ϕ=+的图象变换，以及三角函数的图象与性质的断定，其中解答熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，准确断定是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线的方程为__________．【答案】21y x =+ 【解析】(2)212,21x y x e k y x y x =+∴=∴=='-+a bad bc c d=-，假设1cos 7α=，sin sin cos cos αβαβ=，02πβα<<<，那么β=__________．【答案】3π【解析】 【分析】根据题干定义得到()sin 14αβ=-，利用同角三角函数关系得到：()13cos 14αβ-=，sin 7α=，代入式子：()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦得到结果.【详解】根据题干得到()sin sin sin cos sin cos sin cos cos αβαββααβαβ==-=- ()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦02πβα<<<，0αβ->，()13cos 14αβ-==1cos 7α=，sin α=，代入上式得到结果为：1cos 2β= .3πβ=故答案为：3π. 【点睛】此题主要考察了两角差的正弦公式的应用，以及同角三角函数关系的应用，特殊角的三角函数值的应用，难度中等.三、解答题(70分)〔1〕sin cos sin()cos 222cos()sin()πππααπααπαπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++〔2〕求sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)-︒︒+-︒-︒的值. 【答案】(1)0；(2)1. 【解析】试题分析：〔1〕根据诱导公式：奇变偶不变，符号看象限，进展化简求值〔2〕利用诱导公式将负角化正角，大角化小角，最后根据特殊角对应三角函数值求解试题解析：〔1〕原式()sin sin cos sin sin sin 0cos sin αααααααα⋅-⋅=+=-+=--〔2〕原式sin1200cos1290cos1020sin1050=-︒︒-︒︒=()()()()sin 3360120cos 3360210cos 2360300sin 2360330-⨯︒+︒⋅⨯︒+︒-⨯︒+︒⋅⨯︒+︒sin120cos210cos300sin330=-︒︒-︒︒()()()()sin 18060cos 18030cos 36060sin 36030=-︒-︒︒+︒-︒-︒︒-︒sin60cos30cos60sin30=︒︒+︒︒331112222=⨯+⨯=21()cos sin cos 2222x x x f x =--。

福建省厦门外国语中学2024届高三第二次月考试题数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =3．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 4．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ）A ．3y x =B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =5．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数()()222ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有()()12128f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,1-- B ．()2,1-- C ．(],3-∞-D ．(],2-∞-7．已知f (x )=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f (x -3)<f (9-x 2)的解集为（ ）A ．(-2,6)B ．(-6,2)C ．(-4,3)D ．(-3,4)8．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ）A ．sin sin αβ>B ．sin sin αβ<C ．cos cos αβ>D ．cos cos αβ<9．已知i 为虚数单位，若复数12i12iz +=+-，则z = A ．9i 5+ B ．1i - C ．1i +D ．i -10．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ）A ．2B ．3C ．12D ．211．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则AB =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-12．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届江西省奉新县第一中学高三上学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合A 4{|log (1)1}x x =+≤，{|21,}B x x k k Z ==-∈，则A B =（ ）A ．{}1,1,3-B ．{1,3}C ．{1,3}-D ．{1,1}-【答案】B【解析】先确定出集合A ，再进行集合的交集运算即可得到答案 【详解】由()411log x +≤可得：014x <+≤解得13x -<≤，即](13A =-， {}|21,B x x k k Z ==-∈， 则{}13A B ，⋂=故选B 【点睛】本题主要考查了对数不等式的解法，集合的交集运算，意在考查学生的运算求解能力，属于基础题。

2．复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．iD ．i -【答案】A【解析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==-- 虚部为-1， 故选A. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤 B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤 【答案】C【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ，则123891043a a a a a a ++=++=，， 由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ，故选C 4．过点作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则OAB ∆的外接圆方程是A ．22(2)(1)5x y -+-=B ．22(4)(2)20x y -+-=C ．22(2)(1)5x y +++=D ．22(4)(2)20x y +++=【答案】A 【解析】【详解】由题意知，OA ⊥PA ，BO ⊥PB ， ∴四边形AOBP 有一组对角都等于90°， ∴四边形AOBP 的四个顶点在同一个圆上，所以此圆的直径是OP ，OP 的中点为（2，1），5， ∴四边形AOBP 的外接圆的方程为22(2)(1)5x y -+-=， ∴△AOB 外接圆的方程为22(2)(1)5x y -+-=， 故选 A ．5．以下四个命题：①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”；②“2x >”是“2320x x -+≥”的充分不必要条件； ③若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；④对于命题:p x R ∃∈使得210x x ++<，则p ⌝为x R ∀∈，均有210x x ++≥.其中,真命题的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】根据四种命题的定义,我们可以判断A 的真假;根据充分不必要条件的定义,我们可以判断B 的真假;根据复合命题的真值表,我们可以判断C 的真假;根据特称命题的否定方法,我们可以判断D 的真假,进而得到答案. 【详解】命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”,故①正确；不等式2320x x -+≥，解得2x ≥或1x ≤，所以2x >⇒2320x x -+≥，2320x x -+≥⇒/2x >，“2x >”是“2320x x -+≥”的充分不必要条件. ②正确；若p q ∧为假命题，则,p q 至少有一个为假，故③错误；命题:p x R ∃∈使得210x x ++<的否定p ⌝为x R ∀∈，均有210x x ++≥.④正确 故答案选C. 【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,四种命题间的逆否关系,充分不必要条件,是对简单逻辑综合的考查,属于简单题型.6．设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，则AM NM ⋅=（ ） A ．20 B ．15C ．9D ．6【答案】C【解析】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+, NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅,6,4AB AD ==， 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=， 故选C.本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.【考点】向量运算.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）A.362π-B.364π-C.482π-D.484π-【答案】A【解析】将三视图还原为直观图，结合三视图中的数据即可求解 【详解】将三视图还原成如图所示的几何体：一个长方体（长宽高分别为6,2,4），截去两个相同的小长方体（长宽高分别为2,1,3）和半个圆柱（圆柱半径为1，高为4），则该几何体的体积为()16422213π42⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= 362π- 故选：A【点睛】本题考查三视图，长方体及圆柱体积，准确还原图形是关键，是中档题. 8．若点的坐标满足，则点的轨迹图象大致是A. B.C. D.【答案】B【解析】根据函数的定义域，可排除C 、D 选项，再根据对数函数的运算性质，可排除A 选项，得道答案. 【详解】 由题意，满足，可排除选项C 、D ；又因为，所以，即且，排除选项A ，故选B. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用对数函数的基本性质，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题错误的是 （ ）A ．异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值 B ．直线CD 和平面1BPC 平行 C ．三棱锥1D BPC -的体积为定值 D ．直线CP 和平面11ABC D 所成的角为定值 【答案】D【解析】结合条件和各知识点对四个选项逐个进行分析，即可得解. 【详解】A ，在棱长为1的正方体中1111ABCD ABCD -，点P 在线段1AD 上运动易得1CB ⊥平面11ABC D ，1C P ⊂平面11ABC D ，11CB C P ∴⊥，故这两个异面直线所成的角为定值90︒，故正确B ，直线CD 和平面11ABCD 平行，所以直线CD 和平面1BPC 平行，故正确C ，三棱锥1D BPC -的体积还等于三棱锥1P DBC -的体积，而平面1DBC 为固定平面且大小一定，1P AD ∈，而1AD 平面1BDC∴点A 到平面1DBC 的距离即为点P 到该平面的距离，∴三棱锥的体积为定值，故正确D ，由线面夹角的定义，令1BC 与1C B 的交点为O ，可得CPO ∠即为直线CP 和平面11ABC D 所成的角，当P 移动时这个角是变化的，故错误故选D 【点睛】本题考查了异面直线所成角的概念、线面平行及线面角等，三棱锥的体积的计算可以进行顶点轮换及线面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等这一结论，即等体积法的转换。

雅礼中学2019届高三月考试卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 已知命题2:,0p x R x ∀∈>，则（ ） A. 命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，为假命题B. 命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，为真命题C. 命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为假命题D. 命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为真命题2. 已知i 是虚数单位，则41()1i i+=-（ ） A. iB. i -C. 1D. —13. “上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是（ ） A.13B.16C.14D.1124. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 为BC 中点，则（AB +AC ）•（AB -DB ）的值为（ ） A. 32-B.32C. 34-D.346. 已知0x 是()112xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个零点,()()1020,,,0x x x x ∈-∞∈,则（ ） A. ()()120,0f x f x << B. ()()120,0f x f x >> C. ()()120,0f x f x ><D. ()()120,0f x f x7. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ）A. 1B. 1C. 3+D. 3-8. 函数y =||2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.9. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A.814πB. 16πC. 9πD.274π10. 若函数()sin(2))()2f x x x πθθθ=++<的图象关于点(,0)6π对称，则()f x 的单调速增区间为（ ） A. 5[,],36k k k z ππππ++∈ B. [,],63k k k z ππππ-++∈C. 7[,],1212k k k z ππππ-+-+∈ D. 5[,],1212k k k z ππππ-++∈ 11. 设函数22()()(),,()x f x x t e t x R f x b =-+-∀∈≥恒成立，则实数b 的最大值为（ ）A.B.12C. 1D. e12. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A.B.23C.2D. 1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13. 已知函数2()2()log xa f x +=，若()20f =，则a = _____.14. 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 . 15. 设ABC ∆内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且4cos ,25B b ==，则ABC ∆面积的最大值为_______.16. 已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++，且2cos3n n n b a π=⋅，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则24S =_____．三、解答题：本大題共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知函数2()sin 22sin f x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域.18. 已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形，E 是侧棱PC 上的动点PC .（1）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（2）若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．19. 二手车经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x （单位年）与销售价格y （单位：万元／辆）进行整理，得到如下数据：下面是z 关于x 的折线图.的（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，求z 关于x 的回归方程，并预测当某辆A 型号二手车使用年数为9年时售价约为多少？（,b a 小数点后保留两位有效数字） （2）基于成本考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（1）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()()()nni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑,a y bx =-,6621147.64,139,2,ln1.460.38,ln 0.7110.34i ii i i x zx z =====≈≈-∑∑.20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为1,2F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线，交椭圆E 于,A B 两点，3AB =．（1）求椭圆E 的方程； （2）过圆22127x y +=上任意一点作圆切线交椭圆E 于,M N 两点，O 为坐标原点，问：OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由. 21. 已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中实数0a >． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设定义在D 上的函数()y h x =在点()()00,P x h x 处的切线的方程为()y g x =，当0x x ≠时，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为()y h x =的“类对称点”当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由.的请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点(0,2)P ，l 和C 交于A ，B 两点，求||+||PA PB . 不等式选讲23. 已知函数()223,()213f x x a x g x x =-++=++. （1）解不等式：()5g x <； （2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．雅礼中学2019届高三月考试卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 已知命题2:,0p x R x ∀∈>，则（ ） A. 命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，假命题B. 命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，为真命题C. 命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为假命题D. 命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为真命题【答案】D 【解析】 【分析】命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【详解】命题2:,0p x R x ∀∈>，则命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为真命题的故选D【点睛】本题主要考查了命题的否定的写法，属于基础题． 2. 已知i 是虚数单位，则41()1i i+=-（ ） A. i B. i -C. 1D. —1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除法运算即可得到结果.【详解】41()1i i +-=()2441[]12i i +==， 故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.3. “上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是（ ） A.13B.16C.14D.112【答案】A 【解析】 【分析】先排好医字，共有23C 种排法，再排国字，只有一种方法. 【详解】幼童把这三张卡片进行随机排列， 基本事件总数n=23C =3，∴该幼童能将这句话排列正确的概率p=13． 故选A【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．4. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为C.2【答案】D 【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-b ax, ∴-2=-b a×4, ∴a=2b.设b=k,则∴e=c a .5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 为BC 中点，则（AB +AC ）•（AB -DB ）的值为（ ） A. 32-B.32C. 34-D.34【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到AD ，进而由线性运算及数量积运算得到结果. 【详解】∵ABC ∆是边长为1的等边三角形，D 为BC 中点，∴AD =而()()23222AB AC AB DB AD AD AD +⋅-===故选B【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.6. 已知0x 是()112xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个零点,()()1020,,,0x x x x ∈-∞∈,则（ ） A. ()()120,0f x f x << B. ()()120,0f x f x >> C. ()()120,0f x f x >< D. ()()120,0f x f x【答案】C 【解析】 【分析】已知x 0是()11()2xf x x =+的一个零点，可令h （x ）=1()2x ，g （x ）=﹣1x，画出h （x ）与g （x ）的图象，判断h （x ）与g （x ）的大小，从而进行求解；【详解】∵已知x 0是()11()2x f x x=+的一个零点，x 1∈（﹣∞，x 0），x 2∈（x 0，0），可令h （x ）=1()2x ，g （x ）=﹣1x，如下图：当0＞x ＞x 0，时g （x ）＞h （x ），h （x ）﹣g （x ）=112xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜0；当x ＜x 0时，g （x ）＜h （x ），h （x ）﹣g （x ）=112xx⎛⎫+ ⎪⎝⎭＞0； ∵x 1∈（﹣∞，x 0），x 2∈（x 0，0）， ∴f （x 1）＞0，f （x 2）＜0， 故选C ．【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．7. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ）A. 1+B. 1C. 3+D. 3-【答案】C 【解析】试题分析：由已知3122a a a =+，所以21112a q a a q =+，因为数列{}n a的各项均为正，所以1q =，2229107878783a a a q a q q a a a a ++===+++C ．考点：等差数列与等比数列的性质．8. 函数y =||2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A.814πB. 16πC. 9πD.274π【答案】A 【解析】【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，1AO =由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积10. 若函数()sin(2))()2f x x x πθθθ=++<图象关于点(,0)6π对称，则()f x 的单调速增区间为（ ）A. 5[,],36k k k z ππππ++∈ B. [,],63k k k z ππππ-++∈C. 7[,],1212k k k z ππππ-+-+∈ D. 5[,],1212k k k z ππππ-++∈ 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据图象关于点06π⎛⎫⎪⎝⎭，对称，求出θ的值，然后根据正弦函数的单调增区间求函数f （x ）的单调增区间．【详解】f （x ）=sin （2x+θ）（2x+θ）， =2sin （2x+θ+3π）， ∵图象关于点06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称， ∴2×6π+θ+3π=kπ，（k ∈Z ） ∴θ=kπ23π-，（k ∈Z ），∵|θ|＜2π，∴3πθ=，∴f （x ）=2sin （2x+23π）；由2222232k x k πππππ-+≤+≤+（k ∈Z ） 解得：71212k x k ππππ-+≤≤-+（k ∈Z ） ∴函数f （x ）的增区间为71212k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，． 故选C ．【点睛】本题考查了三角函数式的化简及三角函数的图象与性质，解题的关键是把三角函数式化成标准形式，在求θ值时要注意其范围．11. 设函数22()()(),,()x f x x t e t x R f x b =-+-∀∈≥恒成立，则实数b 的最大值为（ ）A.2B.12C. 1D. e【答案】B 【解析】 【分析】()f x 的几何意义是函数x y e =上的点(),x x e 到直线y x =上的点(),t t 的距离的平方【详解】()f x 几何意义是函数xy e =上的点(),xx e到直线y x =上的点(),t t 的距离的平方，当切点为()0,1P 时，切线的斜率为1，P 到直线y x =， ∴12b ≤． 故选B【点睛】不等式恒成立问题往往转化为函数的最值问题，本题解题的关键是理解函数式隐含的几何意义. 12. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A.B.23C.2D. 1【答案】C 【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+，可得：200023263OM y k y p y p p y p ==≤=++，当且仅当22002,y p y =时取等号，故选C ． 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件||2||PM MF =，利用向量的运算可知的200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13. 已知函数2()2()log xa f x +=，若()20f =，则a = _____.【答案】3- 【解析】 【分析】推导出f （2）=log 2（4+a ）=0，由此能求出a 的值． 【详解】∵函数f （x ）=log 2（x 2+a ），f （2）=0， ∴f （2）=log 2（4+a ）=0， 解得a=﹣3． 故答案为﹣3．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14. 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 . 【答案】12 【解析】【详解】试题分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．∵一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h ，则216213h h ⨯⨯∴=＝，2==，该六棱锥的侧面积为1622122⨯⨯⨯=． 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积15. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且4cos ,25B b ==，则ABC ∆面积的最大值为_______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用余弦定理得出ac 的最大值从而得出面积的最大值．【详解】由余弦定理可得cosB=2222a c b ac +-=2242a c ac +-=45， ∴a 2+c 2=85ac +4≥2ac ，解得ac ≤10， ∴S △ABC =12acsinB=310ac ≤3． ∴△ABC 面积的最大值是3． 故答案为3【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16. 已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++，且2cos3n n n b a π=⋅，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则24S =_____．【答案】304 【解析】 【分析】由na n+1=（n+1）a n +n （n+1），变形为11n a n ++﹣n a n =1，利用等差数列的通项公式可得：n an，可得a n ．由b n =a n cos 23n π=223n n cos π，对n 分类讨论利用三角函数的周期性即可得出． 【详解】∵()()111n n na n a n n +=+++， ∴111n n a a n n +-=+，∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差与首项都为1的等差数列． ∴()111na n n=+-⨯，可得2n a n =． ∵2πcos 3n n n b a =，∴22πcos 3n n b n =，令32n k =-，k *∈N ， 则()()()2232232π132cos 3232k k b k k --=-=--，k *∈N ， 同理可得()2311322k b k -=--，k *∈N ，()233k b k =，k *∈N ． ∴()()()22232313115323139222k k k b b b k k k k --++=----+=-，k *∈N ，则()245912883042S =⨯+++-⨯=．故答案为304【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系、三角函数的周期性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大題共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知函数2()sin 22sin f x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域.【答案】（1）π；（2）1⎡⎤-⎣⎦.【解析】 【分析】（1）由三角函数的公式化简已知函数可得f （x ）2?14x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，易得周期； （2）由x 的范围，结合不等式的性质，一步步可得值域，先求函数的单调区间，结合函数的定义域可得答案．【详解】（1）因为()()πsin21cos2214f x x x x ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． （2）π0,2x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 242x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．∴π24x ⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭．∴()f x 的值域为()1f x ⎡⎤∈-⎣⎦．【点睛】本题考查三角函数的公式的应用，涉及正弦函数的单调性以及函数值域的求解，属中档题． 18. 已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形，E 是侧棱PC 上的动点PC .（1）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（2）若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）要证平面PAC ⊥平面BDE ，转证BD ⊥平面PAC ，即证BD AC BD PC ⊥⊥，；（2）过点E 作EH PO ⊥于H ，则EH ⊥平面PBD ，故EBH ∠为BE 与平面PBD 所成的角，解三角形即可得到结果．【详解】（1）由已知PC BC ⊥，PC DC PC ⊥⇒⊥平面ABCD ， ∵BD ⊂平面ABCD BD PC ⇒⊥， 又∵BD AC ⊥，∴BD ⊥平面PAC ．因BD ⊂平面EBD ，则平面PAC ⊥平面BDE ． （2）法1：记AC 交BD 于点O ，连PO ，由（1）得平面PAC ⊥平面BDP ，且交于直线PO ， 过点E 作EH PO ⊥于H ，则EH ⊥平面PBD ， ∴EBH ∠为BE 与平面PBD 所成的角．∵EH PO OC PE ⋅=⋅，∴12EH =．∴13EH =．又BE =1sin6EBH ∠==．于是，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值是6． 法2：（等体积法）∵E PBD D PBE V V --=， ∴E 点到平面PBD 的距离为13．又BE =1sin6EBH ∠==．于是，直线BE 与平面PBD ． 【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.19. 二手车经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x （单位年）与销售价格y （单位：万元／辆）进行整理，得到如下数据：下面是z 关于x 的折线图.（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，求z 关于x 的回归方程，并预测当某辆A 型号二手车使用年数为9年时售价约为多少？（,b a 小数点后保留两位有效数字）（2）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（1）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑,a y bx =-,6621147.64,139,2,ln1.460.38,ln 0.7110.34i ii i i x zx z =====≈≈-∑∑.【答案】（1）1.46万元；（2）11. 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘估计公式计算ˆb 、ˆa ，写出z 与x 的线性回归方程，求出y 关于x 的回归方程，计算x=9时y ∧的值即可；（2）利用线性回归方程求出y ∧≥0.7118时x 的取值范围，即可得出预测结果． 【详解】（1）由题意，计算()1234567 4.56x =⨯+++++=， ()13 2.48 2.08 1.86 1.48 1.1026z =⨯+++++=，且6147.64i ii x z==∑，621139i i x ==∑，利用最小二乘估计公式计算616222147.646 4.52 6.360.36139ˆ6 4.517.5i i i i i x z nxz b x nx==--⨯⨯===-≈--⨯-∑∑， ∴20.36ˆˆ 4.5 3.62a z bx=-=+⨯=， ∴z 关于x 的线性回归方程是0.36 3.6ˆ2zx =-+， 又ln z y =，∴y 关于x 的回归方程是0.36 3.62ˆx y e -+=；令9x =，解得0.369 3.62.6ˆ14ye -⨯+=≈，即预测当某辆A 型号二手车使用年数为9年时售价约1.46万元．（2）当0.18ˆ71y≥时，0.36 3.62ln0.71180.340.7118x e e e -+-≥==， ∴0.36 3.620.34x -+≥-，解得11x ≤，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年． 【点睛】求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数ˆb：公式有两种形式，即()()()1122211ˆn n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxyb x nx x x ====∑--∑-==∑-∑-．当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求ˆb ； （3）求ˆa： ˆˆa y bx =-； （4）写出回归直线方程ˆˆˆybx a =+． 20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为1,2F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线，交椭圆E 于,A B 两点，3AB =．（1）求椭圆E 的方程； （2）过圆22127x y +=上任意一点作圆的切线交椭圆E 于,M N 两点，O 为坐标原点，问：OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）0. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及通径公式，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程； （2）对k 分类讨论，利用设而不求法即可得到OM ON ⋅为定值.【详解】（1）∵离心率为12，则12c a =．∴2234b a =．∵3AB =，∴223b a=．∴24a =，23b =．则椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）当切线斜率不存在时，取切线为x =代入椭圆方程是M，N，或M，N ．∴1207OM ON ⋅==， 同理，取切线为x =0OM ON ⋅=． 当切线斜率存在时，设切线y kxb =+，则d ==()227121b k =+． ①联立()222223484120143y kx b k x kbx b x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩． 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122212283441234kb x x kb x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩②③ ()()()()221212*********x x y y x x kx b kx b k x x x x kb b +=+++=++++， ④把①②③代入④得12120x x y y +=，0OM ON ⋅=． 综合以上，OM ON ⋅为定值0． 【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21. 已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中实数0a >． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设定义在D 上的函数()y h x =在点()()00,P x h x 处的切线的方程为()y g x =，当0x x ≠时，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为()y h x =的“类对称点”当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）①当2a =时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；②当2a >时，()f x 的单调递增区间为()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③当02a <<时，()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）f （x ）的定义域是（0，+∞），求出函数的导数，对a 分情况进行讨论，（2）当a=4时，f （x ）=x 2﹣6x+4lnx ，求出f′（x ）=2x +4x﹣6，得到令φ（x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣6x+4lnx ﹣（2x 0+04x ﹣6）（x ﹣x 0）+20x ﹣6x 0+4lnx 0，求出函数φ（x ）的导数，再通过讨论x 的范围得出结论． 【详解】（1）()f x 的定义域是()0,+∞．()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x-++-'-=-++==． ①当12a =，即2a =时，()()2210x f x x-'=≥， ∴()f x 的单调递增区间为()0,+∞． ②当12a >，即2a >时，由()0f x '>得01x <<或2a x >，由()0f x '<得12a x <<， ∴()f x 的单调递增区间为()0,1和,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ③当12a <，即02a <<时，由()0f x '>得02a x <<或1x >，由()0f x '<得12a x <<． ∴()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）当4a =时，()264ln f x x x x =-+，()426f x x x+'=-， ()()200000042664ln y g x x x x x x x x ⎛⎫==+--+-+ ⎪⎝⎭．令()()()()22000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫=-=-+-+---+- ⎪⎝⎭， 则()00x ϕ=．()()()000000044222262621x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()00022x x x x x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当00x <<()x ϕ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． ∴当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x x ϕϕ<=，从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x ϕ<-．当0x ()x ϕ002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． ∴当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x x ϕϕ>=，从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x ϕ<-．∴当()x ∈⋃+∞时，()y f x =不存在“类对称点”．当0x ()(22x x x ϕ'=， ∴()x ϕ在()0,+∞上是增函数，故()00x x x ϕ>-．所以当0x =()y f x =存在“类对称点”．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点(0,2)P ，l 和C 交于A ，B 两点，求||+||PA PB . 【答案】(1) 2219x y +=.4π.(2) ||||5PA PB +=. 【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.（2）判断点(0,2)P 在直线l 上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.【详解】（1）3cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α得2219x y +=， 即C 的普通方程为2219x y +=.由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，（*） 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入（*），化简得+2y x =， 所以直线l 的倾斜角为4π. （2）由（1），知点(0,2)P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），即222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，245271080∆=-⨯⨯=>，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则120t t +=<，122705t t =>， 所以10t <，20t <，所以()1212||||5PA PB t t t t +=+=-+=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算.不等式选讲23. 已知函数()223,()213f x x a x g x x =-++=++.（1）解不等式：()5g x <；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）{|0a a ≥或}6a ≤-. 【解析】【分析】（1）利用||x ﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x ﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f （x ）}⊆{y|y=g （x ）}，通过函数最值，列出不等式求解即可．【详解】（1）由2135x ++<，得52135x -<++<，所以8212x -<+<，解不等式得321x -<<，即3122x -<<， 所以原不等式的解集是3122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． （2）因为对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立， 所以(){}(){}y y f x y y g x =⊆=， 又()()2232233f x x a x x a x a =-++≥--+=+，()2133g x x =++≥， 所以33a +≥，解得0a ≥或6a ≤-， 的所以实数a 的取值范围是{|0a a ≥或}6a ≤-．【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用,属于中档题.。