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专题02高分必刷题-全等三角形重难点题型分类（解析版）题型1：全等三角形的性质1．下列说法正确的是（）A．两个等边三角形一定全等B．形状相同的两个三角形全等C．面积相等的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等【解答】解：A、两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误；B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确．故选：D．2．如图，△ABC≌△DCB，△A＝80°，△DBC＝40°，则△DCA的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【解答】解：△△ABC≌△DCB，∴∠D＝△A＝80°，△ACB＝DBC＝40°，∴∠DCB＝180°﹣∠D﹣∠DBC＝60°，∴∠DCA＝△DCB﹣∠ACB＝20°，故选：A．3．如图，△ABC≌△DEF，BE＝7，AD＝3，则AB＝．【解答】解：△△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∴AB﹣AD＝DE﹣AD，即BD＝AE，∵BE＝7，AD＝3，∴BD＝AE＝＝2∴AB＝AD+DB＝3+2＝5．故答案为：5．题型2：添加一个条件，是两三角形全等4．如图，已知MB＝ND，△MBA＝△NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（）A．△M＝△N B．AM∥CN C．AB＝CD D．AM＝CN【解答】解：A、△M＝△N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；B、AM∥CN，得出△MAB＝△NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意．C、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；D、根据条件AM＝CN，MB＝ND，△MBA＝△NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故D选项符合题意；故选：D．5．如图，已知△ADB＝△CBD，下列所给条件不能证明△ABD≌△CDB的是（）A．△A＝△C B．AD＝BC C．△ABD＝△CDB D．AB＝CD【解答】解：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（AAS）∴选项A能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SAS），∴选项B能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（ASA），∴选项C能证明；选项D不能证明△ABD≌△CDB；故选：D．6．如图，已知△1＝△2，要使△ABC≌△CDA，还需要补充的条件不能是（）A．AB＝CD B．BC＝DA C．△B＝△D D．△BAC＝△DCA 【解答】解：A、根据AB＝CD和已知不能推出两三角形全等，错误，故本选项正确；B、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（SAS），正确，故本选项错误；C、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（AAS），正确，故本选项错误；D、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（AAS），正确，故本选项错误；故选：A．题型三：尺规作图的依据7．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明△A′O′B′＝△AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，故选：A．8．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，△AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．9．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选：C．题型4：角平分线的性质10．如图，在△ABC中，△C＝90°，AC＝BC，AD平分△CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（）A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm【解答】解：△AD平分△CAB，DE⊥AB，△C＝90°，∴DE＝CD，又△AC＝BC，AC＝AE，∴AC＝BC＝AE，∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，∵AB ＝6cm，∴△DBE的周长＝6cm．故选：A．11．如图，△ABC中，△C＝90°，AD是角平分线，AB＝14，S△ABD＝28，则CD的长为．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD是角平分线，∴由角平分线的性质，得DE＝CD．∵AB＝14，S△ABD＝28，∴×AB×DE＝28，即×14×DE＝28，解得DE＝4，∴CD＝4，故答案为：4．12．如图，BD是△ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝cm．【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，∵BD是△ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵AB＝18cm，BC＝12cm，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF＝DE•（AB+BC）＝36cm2，∴DE＝2.4（cm）．故答案为：2.4．题型五：全等三角形中档证明题考向1：重叠边技巧①短边相等+重叠边=长边相等②长边相等-重叠边=短边相等13．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，△A＝△D，AF＝DC．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．【解答】证明：（1）△AF＝DC，∴AF+CF＝DC+CF，∴AC＝DF，∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）△由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠BCA＝△EFD，∴BC∥EF．14．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：AB∥DE．【解答】证明：△AF＝DC，∴AF﹣FC＝DC﹣CF，即AC＝DF．在△ACB和△DFE中，∴△ACB≌△DFE（SSS），∴∠A＝△D，∴AB∥DE．考向2：重叠角技巧重叠角技巧：①小角相等+重叠角=大角相等②大角相等-重叠角=小角相等15．如图，AB＝AD，△C＝△E，△1＝△2，求证：△ABC≌△ADE．【解答】证明：△△1＝△2，∴∠1+∠EAC＝△2+∠EAC，即△BAC＝△DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．16．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且△BAC＝90°，△DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE．【解答】证明：△△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，又△△EAC ＝90°+∠CAD，△DAB＝90°+∠CAD，∴∠DAB＝△EAC，∵在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE．考向三：等角的余角相等技巧：∠1+∠2=90，∠2+∠3=90， ∠1=∠3技巧：把全等三角形中一个三角形的两个锐角分别随意标上∠1、∠2，再从第二个三角形的两个锐角中挑一个和∠1或∠2互余的角标上∠3。
专题13尺规作图知识回顾1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．2.基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．①直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度3.基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②（4）作已知角的角平分线．具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
即为角的平分线。
③连接OP，OP4.复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作。
5.设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图。
专题练习1．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．【分析】先在直线l上取点A，过A点作AD⊥l，再在直线l上截取AB＝m，然后以B点为圆心，n为半径画弧交AD于C，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AD＝AE．【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．3．如图，已知线段AC和线段a．（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．（2）当AC＝4，a＝21ABCD的面积．【分析】（1）①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．②以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC上方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC下方交于点D，连接AD，CD，AB，BC，即可得矩形ABCD．（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）①如图，直线l即为所求．②如图，矩形ABCD即为所求．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∵a＝2，∴AB＝CD＝2，∴BC＝AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×＝．4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可．（2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四边形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．5．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．（1）在图1中画一条线段垂直AB．（2）在图2中画一条线段平分AB．【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；（2【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．6．“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．（1）利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；（3）建立平面直角坐标系，设M（0，2），N（2，0），停车位P（x，y），请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P（4，﹣4）是否在停车带上．【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；（2）根据停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，可得点P1，P2，P3；（3）根据停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，得1﹣y＝，从而解决问题．【解答】解：（1）如图，线段FA的长即为所求；（2）如图，点P1，P2，P3即为所求；（3）∵停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，∴1﹣y＝，化简得y＝﹣，当x＝4时，y＝﹣4，∴点P（4，﹣4）在停车带上．7．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图③，点P，点Q即为所求．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．【分析】（1）过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．证明∠＝75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．【解答】解：（1）如图，切线AD即为所求；（2）过点O作OH⊥BC于H，连接OB，OC．∵AD是切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD ＝90°，∵∠DAB ＝75°，∴∠OAB ＝15°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝15°，∴∠BOA ＝150°，∴∠BCA ＝∠AOB ＝75°，∵∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∵OB ＝OC ＝2，∴∠BCO ＝∠CBO ＝30°，∵OH ⊥BC ，∴CH ＝BH ＝OC •cos30°＝，∴BC ＝2．9．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，分别以点A ，D 为圆心，大于21AD 的长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN AB ，AD ，AC 于点E ，O ，F ，连接DE ，DF ．（1）由作图可知，直线MN 是线段AD 的．（2）求证：四边形AEDF 是菱形．【分析】（1）根据作法得到MN 是线段AD 的垂直平分线；（2）根据垂直平分线的性质则AF ＝DF ，AE ＝DE ，进而得出DF ∥AB ，同理DE ∥AF ，于是可判断四边形AEDF 是平行四边形，加上FA ＝FD ，则可判断四边形AEDF 为菱形．【解答】（1）解：根据作法可知：MN 是线段AD 的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵MN 是AD 的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠FAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵FA＝FD，∴四边形AEDF为菱形．10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，则利用等角的余角相等得到∠A＝∠DCA，则DC＝DA，然后利用等线段代换得到△BCD的周长＝AB+BC．【解答】解：（1）如图，DH为所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．11．已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；（2）△ABC的面积＝（a+b+c）•r计算即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．12．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．【分析】（1）如图1中，连接，BD交于点O，作直线OE即可；（2）如图2中，同法作出点O，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于点R，作直线OR即可．【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；13．如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；（2）根据菱形的定义画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．14．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线OP即可；【问题联想】如图2，作线段MN的垂直平分线RT，垂足为R，在射线RT上截取RP＝RM，连接MP，NP，三角形MNP即为所求；【问题再解】方法一：构造等腰直角三角形OBE，作BC⊥OE，以O为圆心，OC为半径画弧交OB于点D，交OA于点F，弧DF即为所求．方法二：作OB的中垂线交OB于点C，然后以C为圆心，CB 长为半径画弧交OB中垂线于点D，再以O为圆心，OD长为半径画弧分别交OA、OB于点E、F．则弧EF即为所求．【解答】解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；【问题再解】如图3中，即为所求．15．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【分析】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；（2）作A点关于BC的对称点D即可；（3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△EDC满足条件．【解答】解：（1）如图1，CD为所作；（2）如图2，（3）如图3，△EDC为所作．。
专题01尺规作图•解答题(共8小题)1 • ( 2019秋？龙华区期末)如图，已知四边形ABCD，请用尺规按下列要求作图.(1)延长BC 到E,使CE = CD;(2)在平面内找到一点P,使P到A、B、C、D四点的距离之和最短.【分析】(1)延长BC到E,使CE= CD即可；(2)使点P、D、E共圆在平面内找到一点P,使P到A、B、C、D四点的距离之和最短【解答】解：(1)如图，延长BC 至U E, 使CE= CD;(2)如图，点P即为所求作的点.【点评】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是准确找到点P.2 . ( 2020?市南区校级模拟)已知△ ABC，在△ ABC中作一半圆满足以下要求:【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可画出满足要求的半圆.【解答】解：根据题意作图,0：B如图，圆O在三角形ABC内部的半圆即为所求.【点评】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握角平分线的性质.3. ( 2020?德城区一模)已知：如图，在△ ABC中，AD丄BC.求作：在AD上求作点E,使得点E到AB的距离EF等于DE .(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹. )(1)作图的依据是到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；(2)在作图的基础上，若/ ABC = 45 ° , AB丄AC, DE = 1,求CD的长.【分析】(1)作/ ABC的角平分线交AD于E,过点E作EF丄AB于F，线段EF即为所求.(2)证明△ AEF是等腰直角三角形，求出AE即可解决问题.【解答】解：(1 )如图线段EF即为所求.作图的依据是：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.故答案为：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.(2)v BE平分/边长，ED丄BC, EF丄AB,ED = EF = 1,•/ AD 丄BC ,Z ABC = 45AF = EF = 1 ,:AE=J 血尸2 十EF2="]2十]2=血,.AD = AE+DE = ：-：+1 .【点评】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.4. （2019秋？碑林区校级期末）如图，△ ABC中，AB= 6, AC= 8,点D在AB上，AD = 3，在边AC上求作一点E使得△ DAE的周长为11.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【分析】连接CD，作CD的垂直平分线，交AC于E,贝U CE = DE,依据AD = 3, AC = AE+CE = 8,即可得到△ DAE的周长为3+8= 11.【解答】解：如图所示，点E即为所求.【点评】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.5. （2019秋？包河区期末）如图，已知△ ABC .（1）画出△ ABC的高AD ;（2）尺规作出厶ABC的角平分线BE （要求保留作图痕迹，不用证明）.【分析】(1)根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图可得;(2)根据角平分线的尺规作图可得.【解答】解：(1)如图，AD即为△ ABC的高.(2)如图，BE即为△ ABC的角平分线.【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线及角平分线的尺规作图.6. ( 2017秋？聊城期中)已知：如图，直线I极其同侧两点A, B .------------------------------- I ------------------------------------- ?(1)在图1直线I上求一点P,使到A、B两点距离之和最短；(不要求尺规作图)(2)在图2直线I上求一点0,使OA= OB .(尺规作图，保留作图痕迹)【分析】(1 )直接利用对称点求最短路线方法作图即可；(2)结合线段垂直平分线的性质与作法分析得出答案.【解答】解：(1)如图1所示：点P即为所求；(2)如图1所示：点0即为所求.【点评】此题主要考查了基本作图、最短路线问题以及线段垂直平分线的性质，正确掌握相关性质是解题关键.7. ( 2017秋？滨海新区期末)如图，在△ ABC中，AB= 3, AC= 4, BC = 5, EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点.(I) PA+PB的最小值为4 ;(H)在直线EF上找一点P,使得/ APE = Z CPE，画图，并简要说明画图方法. (保留画图痕迹，不要求证明)【分析】(I)根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C,故当点P为AC与EF的交点时，AP+BP 的最小值，依据AC的长度即可得到结论.(H)先作射线BA与直线EF的交点即为点P的位置.【解答】解：(I)：EF是BC中垂线，•••点B关于直线EF的对称点为C,当点P为AC与EF的交点时，PA+PB取得最小值，最小值为FA+PC= AC = 4, 故答案为：4.(H)如图所示，延长BA交直线EF于P,连接CF,则/ APE = Z CFE .理由：••• EF是BC的垂直平分线，••• PB= PC,又••• PE 丄BC,•等腰△ PBC中，PE平分/ BPC,•••/ APE = Z CPE.【点评】本题考查基本作图、轴对称变换、最短距离问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题•凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.8. ( 2019秋？惠山区校级期中)如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB丄BD、ED丄BD，连结AC、EC .已知AB= 6, DE = 2, BD = 15,设CD = x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的值；(写出过程)(2)请问点C满足条件点C与点A和B在同一条直线上时，AC+CE的值最小；(3)根据(2)中的结论，画图并标上数据，求代数式寸/十4+V(4-X)'十1的最小值.【分析】(1)根据勾股定理用含x的代数式表示AC+CE的值即可；(2)根据两点之间线段最短可知：点C满足条件与点A、E在同一条直线上时，AC+CE的值最小;(3)根据(2)中的结论，画图并标上数据，即可求代数式D可!的最小值.【解答】解：(1 )T AB = 6, DE = 2, BD = 15,设CD = x贝U BC = 15-x,根据勾股定理，得AC+ CE =〈席祀严+) C D2+DE 2=「厂・+, /■ 11(2)根据两点之间线段最短可知：当点C与点A和点E在同一条直线上时，AC+CE的值最小; 故答案为：点C与点A和点E在同一条直线上. (3)如图所示：••• AB// DE,解得x=，贝U 4 - x=【点评】本题考查了作图-基本作图、列代数式、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是求•/ AB丄BD、ED 丄BD,AB BC1 -「CD14-x2X答：代数式讥2十4 +V(D 2十［的最小值为5.x的值.，即。
专题02 全等三角形1．全等三角形定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的周长相等，面积相等．（3）全等三角形的对应的中线、高、角平分线相等．（4）传递性：若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP．3．全等三角形的判定（1）判定方法：①依据定义．②依据判定定理．（2）判定定理①三边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SSS”）．②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SAS”）．③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“ASA”）．④两角分别相等且其中一角的对边也相等的两个三角形全等（可以简写为“AAS”）．⑤斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写为“HL”）．（3）证明思路①SASHL SASSSS→→→⎧⎪⎨⎪⎩找夹角已知两边找直角或找另一边②AASSASASAAAS→→→→→→⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边和一角边为角的一边找夹角的另一角找边的对角③ASAAAS →→⎧⎨⎩找夹边已知两角找任一角的对边（4）常用策略：添加辅助线法①连接两点的线段．②过某点做某线的平行线，帮助找到相等的角，从而构造出全等三角形．③作垂线，以出现直角、距离、高；题中若有角平分线、等腰三角形等条件时常作这样的辅助线，便于找到相等线段或便于用三线合一定理．④题中出现垂直平分线条件时，向线段两端点连线．⑤截取与某线段相等的线段，从而构造出全等三角形．4．角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．几何语言：∵OQ 平分∠AOB ，且QE ⊥OB ，QD ⊥OA ，∴QD =QE ．5．角的平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．几何语言：∵QE ⊥OB ，QD ⊥OA ，且QD =QE ，∴OQ 平分∠AOB ．6．尺规作图（1）作已知角（课本P36）．（2）作角平分线（课本P48）．（3）作线段的垂直平分线（课本P63）．（4）作已知直线的垂线（课本P62）．①过已知直线上一点作已知直线的垂线②过已知直线外一点作已知直线的垂线考点一、全等三角形的性质例1 （2020淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A. AC=DEB. ∠BAD=∠CAEC. AB=AED. ∠ABC=∠AED.【答案】B【解析】∵△ABC≌△ADE，∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE. 故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B.【名师点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．考点二、全等三角形的判定例2（2020永州）如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A. SASB. AASC. SSSD. ASA【答案】A【解析】∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）故选：A.【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．考点三、角平分线的性质例3（2020怀化）在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（）A. 3B. 32C. 2D. 6【答案】A．【解析】∵∠B=90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE=BD=3，故选：A．【名师点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．考点四、角平分线的判定例4 （2020焦作月考）已知，如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O 重合），在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P. 且AP=BP，∠APB=120°．求证：点P在∠MON的平分线上.【答案】见解析.【解析】如图，过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T，∴∠OSP=∠OTP=90°，在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，∴∠APB=∠SPT=120°∴∠APS=∠BPT，又∵∠ASP=∠BTP=90°AP=BP∴△APS≌△BPT∴PS=PT∴点P在∠MON的平分线上.【名师点睛】本题考查全等三角形的性质和角平分线的判定定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．用判定定理证明较为简单．题中角平分线的性质定理和判定定理都要用到，注意书写的规范，弄清每个定理需要的条件及得出的结论．考点五、尺规作图例5 （2020金昌）如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，且BD BA =.（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作ABC ∠的角平分线交AD 于点E ；②作线段DC 的垂直平分线交DC 于点F .（2）连接EF ，直接写出线段EF 和AC 的数量关系及位置关系.【答案】见解析.【解析】（1）①如图， BE 即为所求；②如图，线段DC 的垂直平分线交DC 于点F ，（2）∵BD=BA ，BE 平分∠ABD ，∴点E 是AD 的中点，∵点F 是CD 的中点，∴EF 是△ADC 的中位线，∴线段EF 和AC 的数量关系为：EF=12AC ， 位置关系为：EF ∥AC.【名师点睛】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识解决问题．考点六、全等三角形的判定与性质例6（2020南通）如图，在△ABC 中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ⊥l ，BF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，则AE+BF 的最大值为（ ）A.【答案】A【解析】如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC=60°，AB=2，∴BH=1，，在Rt△AHC中，∠ACB=45°，∴=，∵点B为BC中点，∴BD=CD，在△BFD与△CKD中，∠BFD=∠CKD=90°，∠BDF=∠CDK，BD=CD，∴△BFD≌△CKD（AAS）∴BD=CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，在Rt△CAN中，AN<AC，当直线l⊥AC.故选：A.【名师点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键.考点七、全等三角形的实际应用例7（2020陕西）如图所示，小明家与小华家同住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN，他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数. 于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等. 已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB=31m，BC=18m，试求商业大厦的高MN．【答案】商业大厦的高MN为80米.【解析】如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，∴∠CEF=∠BFE=90°，∵CA⊥AM，NM⊥AM，CE⊥MN，BF⊥MN，∴CE=BF，AE=AC，∵∠1=∠2，∴△BFN≌△CEM（ASA），∴NF=EM=31+18=49，EF=CB=18，∴MN=NF+EM-EF=49+59-18=80（m）答：商业大厦的高MN为80米.【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义，构造全等三角形解决问题.一、选择题1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SASC．AAS D．ASA2. （2020荆州一模）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．50°B．58°C．72°D．60°3．下列关于全等三角形的说法不正确的是（）A．全等三角形的大小相等B．两个等边三角形一定是全等三角形C．全等三角形的形状相同D．全等三角形的对应边相等4.（2020鄂州期中）如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC＝BD，BC，AD相交于点E，下列说法错误的是（）A ．AD ＝BCB ．∠DAB ＝∠CBAC ．△ACE ≌△BDED ．AC ＝CE5．如图，P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，下列结论中不正确的是（ ）A ．PE PF =B ．AE AF =C ．△APE ≌△APFD ．AP PE PF =+ 6．如图，已知AB DC AD BC BE DF =∥，∥，，则图中全等三角形的总对数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．如图，55AB DC AE DF CE BF B ===∠=︒，，，，则C ∠=（ ）A ．45°B ．55°C ．35°D ．65°8．（2020通州一模）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，FC ∥AB ，若AB ＝4，CF ＝3，则BD 的长是（ ）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．29．（2020焦作模拟）如图，BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ．若35ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）A．35︒B．40︒C．45︒D．50︒10．（2020鄂州）如图，在△AOB和△CDO中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°.连接AC，BD交于点M，连接OM. 下列结论：①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD. 其中正确是结论个数有（）个．A. 4B.3C.2D.1二、填空题11．（2020江西）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49°，则∠BAE12. （2020湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M13.如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为______．14．（2020菏泽模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC 的面积是．15．（2020武汉模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED 的面积分别为40和28，则△EDF的面积为．16.（2020齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是．（只填一个即可）三、解答题17.（2020鞍山）如图，在四边形ABC D中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF，CE=CF，求证：CB=CD．18.（2020大连）如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，BD=CE，求证：∠ADE=∠AED．19.（2020河池）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2. 求证：△ACE≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．21.（2020镇江）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1=∠B，点E、F分别在AB、BC上，EB=CD，BE=CD，BF=CA，连接EF．（1）求证：∠D=∠2；（2）若EF∥AC，∠D=78°，求∠BAC的度数．22.（2020泸州一模）如图，AB ∥CD ，AD 和BC 相交于点O ，OA ＝OD ．求证：OB ＝OC ．23.（2020荆门）如图，ABC 中，AB AC =，B ∠的平分线交AC 于D ，//AE BC 交BD 的延长线于点E ，AF AB ⊥交BE 于点F ．（1）若40BAC ∠=︒，求AFE ∠的度数；（2）若2AD DC ==，求AF 的长．24.（2020内江）如图，点C 、E 、F 、B 在同一直线上，点A 、D 在BC 的异侧，//AB CD ，AE=DF ，∠A=∠D ．（1）求证：AB=CD ；（2）若AB=CF ，∠B=40°，求D ∠的度数．25．（2020武汉模拟）如图1，点P 、Q 分别是等边△ABC 边AB 、BC 上的动点（端点除外），点P 从顶点A 、点Q 从顶点B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ 、CP 交于点M ．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则。
专题02 尺规作图与最短路径几何中，用（无刻度）的直尺和圆规作图为尺规作图.一. 五种基本作图1. 作一条线段等于已知线段2. 作一个角等于已知角3. 作已知角的平分线（理论依据：SSS）4. 过一点（直线上或外）作已知直线的垂线5. 作已知线段的垂直平分线二. 尺规综合作图1. 已知三边作三角形2. 已知两边及夹角作三角形3. 已知两角及夹边作三角形三. 最短路径1. 单动点（P为直线l上一动点，P A+PB最小）2. 双动点（B、C为直线OM，ON上的动点，△ABC周长最小）其中，∠O=90°－12∠BAC. △ABC周长为A’A’’的长.3. 造桥选址【典例解析】【例1-1】（2020·庆云县月考）某地有两条相交叉的公路，计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）【答案】见解析.【解析】解：如图所示：点P的位置就是饭馆的位置．【例1-2】（2019·舞钢市月考）小安的一张地图上有A，B，C3三个城市，地图上的C城市被墨污染了（如图），但知道∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，你能用尺规作图帮他在下图中确定C城市的具体位置吗？（不作法，保留作图痕迹）【答案】见解析.【解析】根据作一个角等于已知角的方法分别以AB为边，作∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，两个角的边的交点处就是C的位置．点C为所求的点.【变式1-1】（2020·丽水市莲都区教研室期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】A 【解析】解：①作一个角的平分线的作法正确；②作一个角等于已知角的方法正确；③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；故答案为：A ．【变式1-2】（2019·河北南宫期末）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容：如图，已知AOB ∠，求作：DEF ∠，使DEF AOB ∠=∠．作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、OB 于点P 、Q ；（2）作射线EG ，并以点E 为圆心，长为半径画弧交EG 于点D ； （3）以点D 为圆心，长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F ； （4）作，DEF ∠即为所求作的角．A ．表示点E B ．表示PQ C ．表示OQ D ．表示射线EF【答案】D【解析】作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、OB 于点P 、Q ；（2）作射线EG ，并以点E 为圆心，OP 为半径画弧交EG 于点D ；（3）以点D 为圆心，PQ 长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F ；（4）作射线EF ，∠DEF 即为所求作的角．故答案为D ．【变式1-3】（2020·山东青岛期中）如图，AB 是某条河上的一座桥，现要在河的下游点C 处再建一座与AB 平行的桥CD ，请用直尺和圆规画出CD 的方向．【答案】见解析【解析】解：如图，线段CD 即为所求．【变式1-4】（2020·广州月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB ∠∠='''的依据是（ ）A ．S ．S ．SB ．S ．A ．SC ．A ．S ．AD ．A ．A ．S【答案】A 【解析】解：由作图知OC =O ’C ’，OD =O ′D '，CD =C ′D '，∴△OCD ≌△O ′C ′D ′，∴∠A ′O ′B ′=∠AOB ，判断依据为SSS ，故答案为：A ．【例2-1】（2020·曲阜月考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC 、AB 于点M 、N ；②分别以点M 和点N 为圆心、大于12MN 的长为半径作圆弧，在∠BAC 内，两弧交于点P ；③作射线AP 交边BC 于点D ，若CD =4，AB =15，则△ABD 的面积是（ ）A ．15B ．30C ．45D ．60【答案】B 【解析】解：过D 作DE ⊥AB 于E ， AP 平分∠CAB ．∵AP 平分∠CAB ，∠C =90°，DE ⊥AB ，∴DE =DC =4，∴△ABD 的面积=12×AB ×DE =30 故答案为B ．【例2-2】（2020·广东广州月考）如图，△ABC 中，90C ∠=︒，AC =BC ．（1）用直尺和圆规作BAC ∠的平分线交BC 于点D （保留作图痕迹）（2）过点D 画△ABD 的边AB 上的高DE ，交线段AB 于点E ，若△BDE 的周长是5cm ，求AB 的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，AD 即为所作；（2）∵AD 平分∠BAC ，∠C =90°，DE ⊥AB ，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD AD CD DE=⎧⎨=⎩，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE=AC，∵AC=BC，∴BC=AE，∵△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB，∴AB=5cm．【变式2-1】（2020·山东博山二模）已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为（）A．15°B．45°C．15°或30°D．15°或45°【答案】D【解析】解：（1）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线，∴∠AOP=∠AOB=30°（2）两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC＝15°或45°，故答案为：D．【变式2-2】（2020·广东）如图，在锐角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm．（1）尺规作图：作BC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D、E（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，DE为所作；（2）∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5（cm）．【变式2-3】（2020·山东省陵城区月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB=________．【答案】125°【解析】解：由题意可得：AD平分∠CAB，∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°，∴∠CAD=∠BAD=35°，∴∠ADB=180°﹣20°﹣35°=125°．故答案为125°．【变式2-4】（2020·长春月考）如图，依据尺规作图的痕迹，计算=α∠（ ）A ．56︒B ．68︒C ．22︒D ．34︒【答案】A 【解析】解：如图所示，AE 平分∠DAC ，EF ⊥AC ，∵∠ACB =68°，∴∠DAC =68°，∵AE 平分∠DAC ，∴∠DAE =∠EAC =34°，∵EF ⊥AC ，∴∠AEF ==α∠90°-34°=56°．故答案为A .【例3】（2020·禹城市期末）如图，等边ABC 中，D 为BC 边中点，CP 是BC 的延长线．按下列要求作图并回答问题：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（1）作ACP ∠的平分线CF ；（2）作60ADE ∠=︒，且DE 交CF 于点E ；（3）在（1），（2）的条件下，可判断AD 与DE 的数量关系是__________；请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）（2）尺规作图，如下图；（3）AD =DE ，连接AE ，∵等边△ABC 中，D 为BC 边中点，∴BD =CD ，∠ADB =∠ADC =90°，∵∠B =∠ADE =60°，∴∠BAD =∠EDC =30°，∵∠ACP =120°，CE 为∠ACP 的平分线，∴∠ACE =∠ECP =60°，∴∠DEC =30°，∴CE =CD =BD ，∴△ABD ≌△ACE ，∴AE =AD ，又∵∠ADE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴AD =DE .【变式3-1】（2020·福建学业考试）如图，ABC ∆为一钝角三角形，且90BAC ∠>︒∆和等腰Rt EAC（要求：尺规作图，不写作法，保留作（1）分别以AB，AC为底向外作等腰Rt DAB图痕迹）⊥并证明．（2）已知P为BC上一动点，通过尺规作图的方式找出一点P，连接PD，PE，使得PD PE【答案】见解析.【解析】解：（1）如图所示；（2）如图所示，作线段BC的垂直平分线交BC于点P，则P点为所求．证明：延长DP使PF=PD，连接FC，EF∵P为BC中点，∴PB=PC又∵PD=PF，∠DPB=∠CPF∴△BDP≌△CFP∠AD =BD =CF ，∠PBD =∠PCF∴BD ∥CF∵AE =CE延长DG ，FC 交于点G∵BD ∥CF∴∠FGD =90°又∠AEC =90°∴∠EAG =∠ECG∴∠DAE =∠ECF又AE =CE ，AD =CF∴△AED ≌△CEF∴EF =ED∵P 为DF 中点∴DP ⊥PD【变式3-2】（2020·南京师范大学附属中学月考）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交BC 于点D ，则下列说法中：①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S =．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】解：①连接NP ，PM ，易证∠ANP∠∠AMP则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故∠正确；②∵∠C=90°，∠B=30°∠∠CAB=60°∠AD是∠BAC的平分线∠∠BAD=∠CAD=30°∠∠ADC=∠BAD+∠B=60°，故∠正确；③∵∠BAD=∠CAD=30°∠∠BAD=∠B∠AD=BD，即D在AB的垂直平分线上，故∠正确；④∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°∴AD=2CD∴BC=BD+CD=1.5AD，S△DAC=12AC·CD=14AC·AD∴S△ABC=12AC·BC=12AC·32AD=34AC·AD∴S△DAC：S△ABC=1：3，故④正确故答案为：D．【例4-1】（2020·长沙月考）在∠ABC中，∠A=50°，点O为∠ABC内一点，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N，点P为AM上一动点，点Q为AN上一动点，连接OP，OQ，PQ，当∠OPQ的周长最小时，∠POQ的度数为______度．【答案】80°【解析】解：作点O关于AC的对称点O’，作点O关于AB的对称点O’’，连结O’O’’，易知当O ’，P ，Q ，O ’’四点共线时，△OPQ 周长最小，最小值为O ’O ’’的长此时，∠A =90°－12∠POQ ∴∠POQ =180°－2∠A =80°；故答案为：80°.【例4-2】（2020·重庆期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6AB =，BD 是ABC 的角平分线，点P ，点N 分别是BD ，AC 边上的动点，点M 在BC 上，且1BM=，则PM PN +的最小值为___________．【答案】52． 【解析】解：作点M 关于BD 的对称点M ’，连接PM ’，则PM =PM ’，BM =BM ’=1，易知，当N ，P ，M ’共线时，且M ’N ⊥AC 时，PN +PM ’的最小值为线段M ’N 的长由∠A =30°，知M ’N =12AM ’=52， 故答案为：52.【变式4-1】（2020·江苏无锡二模）如图，一面镜子斜固定在地面OB 上，且60AOB ∠=︒点P 为距离地面OB 为8cm 的一个光源，光线射出经过镜面D 处反射到地面E 点，当光线经过的路径长最短为10cm 时，PD 的长为___________．【答案】4【解析】解：作点P 关于AO 的对称点P ’，当P ’E ⊥OB 时，光线经过的路径长最短，∠P ’E =10，过P 作PF ⊥P ’D 于F ，则P ’F =2，又∠AOB =60°∴∠ODE =30°，∴∠P ’DA =∠PDA =30°，∠P ’DP =60°，PD =P ’D∴△PP ’D 为等边三角形，∴P ’F =DF =2，PD =P ’D =4故答案为：4.【变式4-2】（2020·宜兴市月考）如图，P 为AOB ∠内一定点，M ，N 分别是射线,OA OB 上的点，当PMN周长最小时，80MPN ∠=︒，则AOB ∠=_________．【答案】50°【解析】解：作P 关于OA ，OB 的对称点P 1、P 2，连接OP 1，OP 2，P 1P 2．则当M ，N ，P 1、P 2共线时，△PMN 的周长最小．易知，∠AOB =90°－12∠MPN =50°. 故答案为：50°.【习题专练】1. （2020·南京月考）有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有_________________个．【答案】4【解析】解：如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个． 故答案为4．2.（2020·江阴市月考）在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，且顶点在格点上，在ABC △内部有E 、F 、G 、H 四个格点，到ABC △三个顶点距离相等的点是（ ）A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】B【解析】解：∠到∠ABC三个顶点距离相等，∠该点是三角形三边垂直平分线的交点，根据网格作AC、BC的垂直平分线，可得交点为F，故答案为：B．3.（2020·洛阳市二模）如图，在ABC中，AB＝4，AC＝9，BC＝11，分别以点A，B为圆心，大于12 AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交BC于点M；分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交BC于点N；连接AM、AN．则MAN的周长为（）A．9B．10C．11D．13【答案】C【解析】解：由作图可知，DE垂直平分线段AB，PQ垂直平分线段AC，∠MA＝MB，NA＝NC，∠∠AMN的周长＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC＝11．故答案为：C ．4.（2020·河南一模）如图，在平行四边形ABCD 中，6AB =，8AD =，120BAD ∠=︒，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点P 、Q ，作直线PQ ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，则CF 的长为_______．【答案】2.【解析】解：由题意可得，AB ⊥OP ，AE =BE =3∵BC =AD =8，∠B =60°∴∠BFE =30°，∠BEF =90°∴BF =2BE =6∴CF =8-6=2故答案为：2.5．（2020·宜兴市月考）如图，在∠ABC 中，AB ＞AC ．按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；作直线MN 交AB 于点D ；连结CD ．若AB =6，AC =4，则∠ACD 的周长为 ．【答案】10．【解析】解：易知直线MN 是线段BC 的垂直平分线，∴BD =CD ，∴BD +AD =CD +AD =AB ，∵AB =6，AC =4，∴△ADC 的周长=（CD +AD ）+AC =AB +AC =6+4=10．故答案为10．6.（2020·商城县第二中学月考）如图，已知∠AOB（1）尺规作图：作出∠AOB的角平分线OP，补充完整作图步骤，（保留作图痕迹）①____________________________分别交OA、OB于F，E两点；②____________________________，两条圆弧交于点P；③____________________________即为所求．（2）过点F作FD∥OB交OP于点D，FM⊥OD，垂足为M，求证：△FMO≌△FMD．【答案】见解析.【解析】解：(1)如下图所示：①以O点为圆心，任意长为半径作圆弧分别交OA、OB于F，E两点；②分别以E、F为圆心，大于二分之一EF长为半径作两段圆弧两条圆弧交于点P；③作射线OP，则射线OP即为所求．故答案为：以O点为圆心，任意长为半径作圆弧；分别以E、F为圆心，大于二分之一EF长为半径作两段圆弧；作射线OP，则射线OP；(2)根据题意，作出如下图所示：由(1)知，OP是∠AOB的角平分线，∴∠2=∠3，又FD∥OB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴△FMO≌△FMD．7．（2019·广东阳山期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，王师傅开车在一条公路上经过点B和点C处两次拐弯后继续前行，且前行方向和原来的方向AB相同．已知第一次的拐角为∠ABC，请借助圆规和直尺作出第二次拐弯后的拐角∠BCD．【答案】见解析．【解析】解：由题意得：AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC则∠BCD即为所求作．8．（2020·陕西清涧期末）如图，直线AB与BC相交于点B，D是直线BC上一点，请用尺规求作一点E，DE AB，且点E到B，D两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）使直线//【答案】见解析【解析】解：如图，点E即为所求．9．（2020·北京月考）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和直线l外一点A求作：直线AP，使得AP∠l作法：如图∠在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．∠连接AC，AB，延长BA到点D；∠作∠DAC的平分线AP．所以直线AP就是所求作的直线根据小星同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∠AB＝AC，∠∠ABC＝∠ACB（填推理的依据）∠∠DAC是∠ABC的外角，∠∠DAC ＝∠ABC +∠ACB （填推理的依据）∠∠DAC ＝2∠ABC∠AP 平分∠DAC ，∠∠DAC ＝2∠DAP∠∠DAP ＝∠ABC∠AP ∠l （填推理的依据）【答案】见解析．【解析】解：（1）如图所示，直线AP 即为所求．（2）证明：∠AB ＝AC ，∠∠ABC ＝∠ACB （等边对等角），∠∠DAC 是∠ABC 的外角，∠∠DAC ＝∠ABC +∠ACB （三角形外角性质），∠∠DAC ＝2∠ABC ，∠AP 平分∠DAC ，∠∠DAC ＝2∠DAP ，∠∠DAP ＝∠ABC ，∠AP ∠l （同位角相等，两直线平行），故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．10．（2020·辽宁昌图期末）已知三角形的两角及夹边，求作这个三角形（保留痕迹，不写作法） 已知：,αβ∠∠ ， 线段c ，求作ABC ∆，使,,A B AB c αβ∠=∠∠=∠=【答案】见解析．【解析】解：∠ABC为所求作11．（2020·北京期末）尺规作图之旅下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．（作图原理）在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的画×．（1）过一点作一条直线．()（2）过两点作一条直线．()（3）画一条长为3㎝的线段．()（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．()（回顾思考）还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程． 已知：∠AOB ．求作：A O B '''∠使A O B AOB '''∠=∠作法：（1）如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；（3）以点C '为圆心，____________________；（4）过点D 画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠．说理：由作法得已知：,,OC O C OD O D CD C D ''''''===求证：A O B AOB '''∠=∠证明：OC O C OD O D CD C D ''''=⎧⎪=⎨⎪=''⎩OCD O C D '''∴∆≅∆( )所以A O B AOB '''∠=∠( )（小试牛刀）请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：直线l 与直线外一点A ．求作：过点A 的直线l '，使得//l l '．（创新应用）现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．【答案】见解析．【解析】解：[作图原理]：（1）过一点作一条直线．可以求作；（2）过两点作一条直线．可以求作；（3）画一条长为3cm的线段．不可以求作；（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作；故答案为：√，√，×，√；[回顾思考]：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C’；（3）以点C′为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．说理：由作法得已知：OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，求证：∠A′O′B′＝∠AOB．证明：在∠OCD 和∠O ′C ′D ′中, OC O C OD O D CD C D ''''⎧⎪'⎪'⎨⎩＝＝＝，∠∠OCD ∠∠O ′C ′D ′（SSS ），∠∠A ′O ′B ′＝∠AOB （全等三角形的对应角相等），故答案为：以C ′为圆心，CD 长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D ′，SSS ，全等三角形的对应角相等；[小试牛刀]：如图，直线l ′即为所求（方法不唯一），；[创新应用]：如图所示（答案不唯一）.．12．（2020·山东安丘月考）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点坐标分别是()2,3A -，()1,1B m -，()1,2C -，点B 关于x 轴的对称点P 的坐标为()3,2n --．（1）求m ，n 的值；（2）画出ABC ，并求出它的面积；（3）画出与ABC 关于y 轴成轴对称的图形111A B C △，并写出111A B C △各个顶点的坐标． （4）在y 轴上找一点Q ，使QA QB +最小（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【解析】解:（1）B 、P 两点关于x 轴对称，∠1321m n -=-⎧⎨-=-⎩，解得：21m n =-⎧⎨=⎩． （2）()1111125435212222ABC S =⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=△． （3）如图， ()12,3A ，()13,1B ，()1,2C --．（4）连结A 1B 交y 轴于点Q ，则Q 为求．13.（2020·宜兴市月考）现有三个村庄A ，B ，C ，位置如图所示，线段AB ，BC ，AC 分别是连通两个村庄之间的公路．现要修一个水站P ，使水站不仅到村庄A ，C 的距离相等，并且到公路AB ，AC 的距离也相等，请在图中作出水站P 的位置．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）【答案】见解析【解析】解：如图所示：14.（2020·滨州渤海中学月考）尺规作图：如图，某地有两个工厂M、N和两条相交又的公路a，b现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两个工厂的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．(保留作图痕迹)．【答案】见解析.【解析】解：如图所示：点P、P′即为所求．15.（2020·南京师范大学附属中学树人学校月考）如图，已知ABC（AC AB BC），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）；∠=∠；（1）如图1，在AB边上寻找一点M，使AMC ACB+=．（2）如图2，在BC边上寻找一点N，使得NA NB BC【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：（1）；（2）．16.如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交AC 于M ． （1）若70B ∠=︒，则NMA ∠的度数是 ；（2）连接MB ，若8AB cm =，MBC △的周长是14cm ．∠求BC 的长；∠在直线MN 上是否存在点P ，使由P ，B ，C 构成的PBC 的周长值最小？若存在，标出点P 的位置并求PBC 的周长最小值；若不存在，说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠AB ＝AC ，∠∠B ＝∠C ＝70°，∠∠A ＝180°－70°－70°＝40°∠MN 垂直平分AB 交AB 于N∠MN ∠AB , ∠ANM ＝90°，在∠AMN 中，∠NMA ＝180°－90°－40°＝50°；（2）∠如图所示，连接MB ，∠MN 垂直平分AB 交于AB 于N∠AM ＝BM ，∠∠MBC 的周长＝BM ＋BC ＋CM ＝AM ＋BC ＋CM ＝BC ＋AC ＝14cm又∠AB＝AC＝8cm，∠BC＝14 cm－8 cm＝6cm；∠如图所示，∠MN垂直平分AB，∠点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M，因此点P与点M重合；∠∠MBC的周长就是∠PBC周长的最小值，∠∠PBC周长的最小值＝∠MBC的周长＝14 cm．。
