图形运动问题——翻折

翻折问题解题技巧翻折问题解题技巧翻折问题是指在平面上将一张纸沿着某个方向折叠后形成的图形，通常需要根据已知条件求出未知部分的面积、周长等数值。

以下是一些解决翻折问题的技巧。

一、理解基本概念在解决翻折问题之前，需要先掌握几个基本概念：1.对称轴：指将纸张对称折叠所得到的直线，通常存在于图形中心或边缘。

2.重心：指图形所占面积各点的平均位置，可以通过细分图形来计算。

3.相似：指两个图形具有相同的比例尺寸和形状，但大小不同。

二、利用对称性质许多翻折问题都具有对称性质，利用这种性质可以简化计算过程。

以下是一些常见的对称性质：1.中心对称：当纸张沿着中心对称轴折叠时，两侧图形完全相同。

2.轴对称：当纸张沿着轴对称轴折叠时，两侧图形关于该轴对称。

3.点对称：当纸张沿着点对称轴折叠时，图形关于该点对称。

三、分割图形对于复杂的翻折图形，可以将其分割成多个简单的图形来计算。

以下是一些常用的分割方法：1.平移法：将图形沿着某个方向平移，然后利用重叠部分计算未知量。

2.切割法：将图形沿着某条线段切割成两个或多个简单的图形进行计算。

3.投影法：将图形在一个平面上投影到另一个平面上，然后计算未知量。

四、利用相似性质当翻折后得到的两个图形相似时，可以利用相似性质来求解未知量。

以下是一些常见的相似性质：1.比例关系：当两个相似的三角形中，对应边长之比相等时，它们的面积之比也相等。

2.高度关系：当两个相似的三角形中，高度之比等于对应边长之比时，它们的面积之比也相等。

3.底角关系：当两个相似的三角形中，底角之间互为对应角时，它们的面积之比也相等。

五、实际问题解决翻折问题不仅存在于数学练习中，也常常出现在实际生活中。

以下是一些实际问题的解决方法：1.纸箱设计：当需要设计一个纸箱时，可以利用翻折技巧计算出所需的纸张面积和尺寸。

2.衣服剪裁：当需要剪裁一件衣服时，可以利用翻折技巧计算出各个部分的面积和尺寸。

3.建筑设计：当需要设计一个建筑物时，可以利用翻折技巧计算出各个部分的面积和尺寸。

翻折问题立体几何在高中数学中是培养学生的空间想象能力的重要载体，其中翻折问题学生学习是一个难点，同时也是近年来高考的热点。

翻折问题实质是图形由平面到立体变化中一些线、面之间发生了变化，因此本节内容从正三角形、正方形、矩形、梯形、五边形等图形进行翻折，以便学生能更清楚熟悉模型，同时还列举了翻折模型中的平行、垂直、线线角、线面角、二面角、长度等问题。

一．翻折问题的审题建议1.过顶点作折线的垂线，如沿着折起，作，F于点并交BEAG?BEBEABE在翻折过程中，点A的轨迹是以AF为直径的圆，旋转一周所得的几何体ABE是两个同底圆锥，母线分别是AB与AE。

2.弄清变与不变的量，如中的角、线段长度是不变的，BCDEABE与四边形但在翻折过程中，等量是变化的。

AD、AC、AEDAFG、?ABC、??二．平行问题例1．（2017春?让胡路区校级期中）在如图（1）的平面图形中，ABCD为正方形，CDP为等腰直角三角形，E、F、G分别是PC、PD、CB的中点，将△PCD 沿CD折起，得到四棱锥P﹣ABCD如图（2）．求证：在四棱锥P﹣ABCD中，AP∥平面EFG．【分析】连接E、F，连接E、G，可得EF∥平面PAB．EG∥平面PAB．即可证平面PAB∥平面EFG，PC分别为F，E中，PABCD，在四棱锥G、E，连接F、E【解答】证明：连接．PD的中点，∴EF∥CD．∵AB∥CD，∴EF∥AB．∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB．同理EG∥平面PAB．又EF∩EG=E，∴平面PAB∥平面EFG．又AP?平面PAB，∴AP∥平面EFG．【点评】本题考查了空间线面平行的判定，属于中档题．【变式训练1】（2017?闵行区校级模拟）如图，正△ABC的边长为4，CD是AB 边上的高，EF分别是AC和BC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）证明：AB∥平面DEF；？如果存在，求出的值；如果AP⊥DE2）在线段BC上是否存在点P，使（不存在，请说明理由．∥平ABAB，由此证明BC的中点，得EF∥、【分析】（1）由E、F分别是AC；面DEF轴，建zyx轴、轴、DBD为坐标原点，以直线、DC、DA分别为（Ⅱ）以点．DEAP ⊥，使立空间直角坐标系，利用向量法找出在线段BC上存在点P中，），在△ABC）证明：如图（【解答】解：（12，∥EFAB、、EF分别是ACBC的中点，∴∵，平面EFDEF?又AB平面，?DEF∴AB∥平面DEF；（2）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，；建立空间直角坐标系，如图（3）所示），2，00，0），C（0，（则A0，0，2），B（2，），，0F（1E（0，，，1），2，=），（﹣，0），2，0，﹣22=（，，10=（0，，1）；），=（2，﹣2λ，则2=），+=（设2=λ，﹣λ=0，?得由AP⊥DEλ=，解得，×）21×（﹣2=0λ+∴，且DEP，使AP⊥=．∴在线段BC上存在点【点评】本题考查了直线与平面平行的证明与满足条件的点是否存在的判断问题，阶梯式要注意向量法的合理运用．二．垂直问题例2.（2017春?三元区校级月考）如图，在四形边ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使CD⊥平面ABD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A﹣BCD中，下列结论正确的是（）A．AD⊥平面BCD B．AB⊥平面BCDC．平面BCD⊥平面ABC D．平面ADC⊥平面ABC【分析】由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，推出AB⊥平面ADC，可得平面ABC ⊥平面ADC．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．故选D．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查逻辑思维能力，是中档题．例3．（2016?杨浦区校级模拟）已知矩形ABCD，AB=1，BC=2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中（）A．存在某个位置，使得直线AB和直线CD垂直垂BDAC和直线B．存在某个位置，使得直线直垂和直线BCC．存在某个位置，使得直线AD直．无论翻折到什么位置，以上三组直线均不垂直D【分析】假设各选项成立，根据线面位置关系推导结论，若得出矛盾式子，则假设错误，得出正确选项．垂直，与直线CDA，若存在某个位置，使得直线AB【解答】解：对于，⊥平面ABCBC，∴CD∵CD⊥上，BC，则E在，过点A作平面BCD的垂线AE∴平面ABC⊥平面BCD正确；ACD．故上的射影在BC上时，AB⊥∴当A在平面BCD垂直，与直线BD对于B，若存在某个位置，使得直线AC错误；B⊥EC，显然这是不可能的，故AFC⊥BD，则BD⊥平面，∴BD作AF 垂直，BCAD与直线对于C，若存在某个位置，使得直线，⊥AC⊥平面ACD，BC则BC错误．，显然这是不可能的，故C1＞BC，即＞2AB∴．A故选：翻折问题中的变与不变，本题主要考查了空间的线面和面面的垂直关系，【点评】空间想象能力和逻辑推理能力，有一定难度，属中档题．【变式训练2】（2017春?辛集市校级月考）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（）A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH 所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面【分析】本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断AH与平面HEF的垂直．【解答】解：根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B 正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥AH，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，D不正确．故选B【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，一般利用线线?线面?面面，垂直关系的相互转化判断．，BC∥AD中，ABCD杭州期末）如图所示，四边形?秋2016】（3【变式训练．AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC【分析】证明CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，即可得到平面ADC⊥平面ABC．【解答】解：由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD．在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC．故选D．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三．线线角中，，BC=1，将△浙江模拟）矩形ABCDABC与△ADC例4．（2017?沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为（）．D．．B ．AC【分析】求出两个特殊位置，直线AD与直线BC成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，初始状态，直线AD与直线BC成的角为0，DB=时，AD⊥DB，AD⊥DC，∴AD⊥平面DBC，AD⊥BC，成的角为BC，直线AD与直线，[0AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为]．∴在翻折过程中直线故选：C．【点评】本题考查两直线所成的角的范围的求法，考查学生的计算求解能力、推理论证能力、空间思维能力，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想，是中档题．例5.（2017春?涵江区校级期中）正方形ABCD，沿对角线BD折成直二面角A ﹣BD﹣C，则折后的异面直线AB与CD所成的角的大小为（）90°．60°DB．45°C．30°A．O，以AO、CO【分析】取BD中点O，连结轴，zOA为轴，x轴，OD为y为原点，OC为利用向量法能求出折后的建立空间直角坐标系，所成的角．CDAB 与异面直线，COAO、【解答】解：取BD中点O，连结，﹣CBDBD折成直二面角A设正方形ABCD﹣边长为，∵沿对角线，⊥CO⊥BD，AO∴AO⊥BD，CO轴，建立空间直角坐标系，为zy轴，OA为原点，OC为x轴，OD为以O ），，10D（0，，，10），C（1，00），（，（A0，01），B0，﹣），0，1，1，﹣11），=（﹣，﹣=（0，所成的角为θAB设折后的异面直线与CD=＞|cos＜|cosθ=则，==．∴θ=60°．所成的角为CD60°与∴折后的异面直线AB．故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．BC=CD=，AB=BD=DA=2．浙江一模）如图四边形ABCD，【变式训练4】（2016?，的大小在][，则直线折起，使二面角ABD沿BDA﹣BD﹣C现将△）所成角的余弦值取值范围是（AB与CD，0]D．．[0[，，∪（1）B．][，]．A[0C，]【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，轴，建立空间z作平面BCD的垂线为过点OCD与直角坐标系，利用向量法能求出直线AB所成角的余弦值取值范围．，COAO，O【解答】解：取BD中点，连结，BDCOAB=BD=DA=2．⊥BC=CD=，∴∵，AO=CO=1AO⊥BD，且，的平面角，﹣CBDAOC是二面角A﹣∴∠轴，yx轴，OD为以O为原点，OC为建立空间直角坐标系，轴，BCD的垂线为z过点O作平面），1，0），D（0，00B（0，﹣1，），C（1，0，，则﹣C的平面角为θ，设二面角A﹣BD）（，、连AOBO，则∠AOC=θ，A，∴，，αAB设、CD的夹角为，则cosα==．[∈∵﹣1，∴|，∴cos|，0]．cos∴．故选：D【点评】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．（2016?浙江二模）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，【变式训练5】沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A﹣BCD，则当三棱锥A﹣BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（）．DC ．B．．A【分析】菱形ABCD中，∠DAB=60°，△ABD、△CBD为边长为1的等边三角形，将△ABD沿BD翻折过程中，点A在底面BDC的投影在∠DCB的平分线上，三棱锥的高最大时，平面ABD⊥平面BCD．【解答】解：△ABD、△CBD为边长为1的等边三角形，将△ABD沿BD翻折形成三棱锥A﹣BCD如图：点A在底面BDC的投影在∠DCB的平分线CE上，则三棱锥A﹣BCD的高为△AEC过A点的高；所以当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A﹣BCD的高最大，体积也最大，此时AE⊥平面BCD；求异面直线AD与BC所成的角的余弦值：平移BC到DC′位置，|cos∠ADC′|即为所求，AC′=EC′=AE=，AD=DC=1，，=，||||cos∠ADC′=所成的角的余弦值为，AD与BC所以异面直线故选B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．【变式训练6】（2016?丽水校级模拟）如图，长方形ABCD，M，N分别为AB，AD上异于点A的两点，现把△AMN沿着MN翻折，记AC与平面BCD所成的角为θ，直线AC与直线MN所成的角为θ，则θ与θ的大小关系是（）2211=θB．θ＞θC．θ＜θA．θD．不能确定212112【分析】作AO⊥平面BCD，垂足是O，连接CO，过点C作直线l∥MN，在l上取点H，令CH=CO，在△AOC和△AHC 中，CO=CH，AO⊥平面BCD，从而AO＜AH，由此能求出θ＜1θ．2【解答】解：作AO⊥平面BCD，垂足是O，连接C过点C作直线l∥MN，在l上取点H，令CH=CO，，⊥平面BCD中，CO=CH，AOAHC在△AOC和△，＜AH∴AO，＜∠ACH∴∠ACO，θ所成的角为，直线AC与直线MN∵AC与平面BCD所成的角为θ21，MNBCD，CH∥AO⊥平面．Cθ＜θ．故选：∴∠ACO=θ，∠ACH=θ∴2211。

图形运动——翻折1.理解图形翻折的概念和性质；2.培养学生利用图形翻折的性质解决相关问题；3.培养学生体验动感过程和动态思维能力；4.培养学生分析问题、解决问题的能力。

知识结构一．图形翻折的性质和特征：二．图形翻折的常见题型：图形运动之翻折边长例1.如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BC =4， ∠ADC =30°，把△ADC 沿AD 所在直线翻折后点C 落在点C ′ 的位置，那么点D 到直线BC ′ 的距离是 ．（★★★）例 2.如下左图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 ．（★★★）例3.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，CD 是AB 边上的中线，将ACD ∆沿CD 所在的直线翻折后到达ECD ∆的位置，如果AB CE ⊥，那么=ABAC．（★★★）例4在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．（★★★★）例5.如图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC,则CE 的长是______．（★★★★★）例6.在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠AOB =45°，BD =2，将△ABC 沿直线AC 翻 折后点B 落在点'B 处，那么DB ′的长为 ．（★★★★★）例7.在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，若将△ABC 沿直线BD 翻折，使点C 落在直线AC 上的点 C ′处，AC ′＝3，则BC ＝ ．（★★★★★）我来试一试！1.如图，在直角坐标平面内，线段AB 垂直于y 轴，垂足为B ，且2AB =，如果将线段AB 沿y 轴翻折，点A 落在点C 处，那么点C 的横坐标是 ．（★★★）2.在三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图2），折痕DE 的长为 ．（★★★）3.在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠ADC=30°，将△ADC 沿AD 折叠，使C 点落在'C 的位置，若BC=4，则'BC 的长为 （ ）（★★★） A ．32 B.22 C.4 D.34．已知在三角形纸片ABC 中，∠C =90度，BC =1，AC =2，如果将这张三角形纸片折叠，使点A 与点B 重合，折痕交AC 于点M ，那么AM = ．（★★★）5.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 是△ABC 的角平分线，将△BCD 沿着直线BD 折叠，点C 落在点1C 处，如果5AB =，4AC =，那么sin ∠1ADC 的值是 ．6.如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若32=AB ，则AE 的长为（ ）（★★★★） A. 34 B. 6 C. 3 D. 41.如图1，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，点M 与点N 恰好重合，则AE :BE 等于（ ） （★★★）(A) 2:1； (B) 1:2； (C) 3:2； (D) 2:3．2.如图2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，75,ABC ︒∠=将梯形沿直线EF 翻折，使B 点落在线段AD 上，记作'B 点，连结'B B 、交EF 于点O ，若'90B FC ︒∠=，则:EO FO = ．（★★★★）3．如图3，把正△ABC 的外接圆对折，使点A'落在BC 的中点上，若BC=6，则折痕在△ ABC 内的部分DE 的长为 ．（★★★★）4．如图4，平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()1,2，联结OB ，将△ABC 沿直线OB 翻折，点A 落在点D 的位置，则点D 的坐标为 ．（★★★★）5.如图5，在△ABC 中，MN ∥AC ，直线MN 将△ABC 分割成面积相等的两部分．将△BMN 沿直线MN 翻折，点B 恰好落在点E 处，联结AE ，若AE ∥CN ，则:AE NC = ．（★★★★）6.如图6，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D 的直线折 叠， 使点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交AB 于点F.若BE:EC=m:n ，则AF:FB= ．（★★★★）7.如图7，将ABE ∆沿直线AC 翻折，使点B 与AE 边上的点D 重合，若5AB AC ==，9AE =，则CE = ．（★★★★★）图形运动之翻折角度例1.如图1，把直角三角形纸片沿着过点B 的直线BE 折叠，折痕交AC 于点E ，欲使直角顶点C 恰好落在斜边AB 的中点上，那么∠A 的度数必须是 ．（★★★）例2.如图2，在ABC ∆，AB AC =，点D 在边AB 上，将BDC ∆沿CD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，且AE DE =，那么_____A ∠=度．（★★★）例3.如图3，将正方形纸片ABCD 分别沿AE 、BF 折叠（点E 、F 是边CD 上两点），使点C 与D 在形内重合于点P 处，则=∠EPF ______________度．（★★★★）例4.如图4，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，58EFG ∠=，那么___AEG ∠=度． （★★★）例5.如图5，EF 为正方形ABCD 的对折线，将DAK ∆翻折，使顶点A 与EF 上的点G 重合，则____DKG ∠=．（★★★★）例6.如图6，等边OAB ∆直角坐标系中的位置如图示，折叠三角形使点B 与y 轴上的点C 重合，折痕为MN ，且CN 平行于x 轴，则___CMN ∠=．（★★★★）1.在R t △ABC 中，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将△A CM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于__________度．（★★★）2.如下右图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，直线BD 交AC 于D ，把直角三角形沿着直线BD 翻折，使点C 落在斜边AB 上，如果△ABD 是等腰三角形，那么∠A 等于（ ）（★★★）A 、600B 、450C 、300D 、22.503.已知，点D E 、为ABC ∆两边的中点，将ABC ∆沿线段DE 折叠，使点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若=50B ∠，则BDF ∠的度数是_________．（★★★）4如图示，在矩形ABCD 中，点F 在CD 上，将矩形ABCD 沿着AF 翻折，点D 恰好落在BC 边上，如果70AFE ∠=，那么_____BAE ∠=度．（★★★）5.如图示，在Rt ABC ∆中，9050ACB A ∠=∠=，，将其折叠，使得点A 落在边CB 上的'A 处，折痕为CD ，则'_____A DB ∠=．（★★★）6.如图示，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着边AB AC 、边翻折180形成的，若=150BAC ∠，那么=_____θ∠．（★★★）7.在ABC ∆中，AC BC =， 90ACB ∠=︒，点D 是斜边AB 的中点，将ABC ∆沿某条直线折叠，使点C 落在点D 处，折痕MN 交AC 、BC 于M 、N ，则CND ∠的度数为 ．（★★★★）8.在ABC ∆中，90C ∠=︒，CM 是ACB ∠的平分线，将CBM ∆沿着CM 折叠，点B 落在AC 上的B '处，如果B A B M ''=，那B ∠的度数为 ．（★★★★）9.如图3，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点G 在BC 上，60BEG ∠>︒，将GBE ∆沿直线GE 折叠得到GHE ∆．联结AH ，则与BEG ∠相等的角的个数为 ．（★★★★）图形运动之翻折面积例1.有一块矩形的纸片ABCD ，AB=9，AD=6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为 ． （★★★）例2.平行四边形ABCD 中，3,4==BC AB ，∠B ＝60°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折后得△AFE ，那么△AFE 与四边形AECD 重叠部分的面积是 ．（★★★）例3.如图1，长方形纸片ABCD 中，AD ＝9，AB =3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，点C 至点C /，折痕为EF ．求△BEF 的面积是 ．（★★★★）例4.如图2，将矩形纸片ABCD 折叠，B 、C 两点恰好重合落在AD 边上点P 处，已知︒=∠90MPN ，PM=3，PN=4，，那么矩形纸片ABCD 的面积为______．（★★★★）例5.如图3，正方形纸片ABCD 中，边长为4，E 是BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN 。

中考数学翻折问题考点类型·最新说明：本文档整理了中考数学翻折问题的考点类型、试题类型、难度系统等内容，详细讲解了各种类型题目的解法和技巧，本文是翻折问题的专项训练，望对老师和同学们有所帮助。

目录一、知识与方法 (3)二、典型题 (4)一、知识与方法1. 轴对称的定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，对应点叫对称点，直线叫对称轴，两个图形关于某条直线对称也叫轴对称.2. 轴对称的性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）对称轴这条直线是对应点连线段的垂直平分线.3. 轴折叠两侧的部分对应相等，如①对应角相等、②对应边相等、③折痕上的点到对应点的距离相等；4. 对应点的连线段被折痕所在直线垂直平分，这会出现垂直于中点；5. 折叠问题中，常常结合角平分线、等腰三角形、三线合一、设未知数解勾股定理等综合知识点；6. 在平面直角坐标系中出现折叠，常常还会用到求解析式法、两点间距离公式、中点坐标公式等。

二、典型题【题1】如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则sin∠EFG 的值为．【解析】如图：过点E作HE⊥AD于点H，连接AE交GF于点N，连接BD，BE．∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠DAB=60°，∴AB=BC=CD=AD=4，∠DAB=∠DCB=60°，DC∥AB∴∠HDE=∠DAB=60°，∵点E是CD中点，∴DE=CD=2在Rt△DEH中，DE=2，∠HDE=60°∴DH=1，HE=，∴AH=AD+DH=5在Rt△AHE中，AE==2∵折叠，∴AN=NE=，AE⊥GF，AF=EF∵CD=BC，∠DCB=60°∴△BCD是等边三角形，且E是CD中点∴BE⊥CD，∵BC=4，EC=2，∴BE=2∵CD ∥AB ，∴∠ABE =∠BEC =90°在Rt △BEF 中，EF 2=BE 2+BF 2=12+（AB ﹣EF ）2．∴EF =，∴sin ∠EFG ===，故答案为：【点评】“对应点的连线段被折痕所在直线垂直平分”，“三线合一”，“转化目标角”【题2】如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是边AB 上一点，且AE =2EB ，点P 是边BC 上一点，连接EP ，过点P 作PQ ⊥PE 交射线CD 于点Q ．若点C 关于直线PQ 的对称点正好落在边AD 上，求BP 的值．【解析】过点P 作PE ⊥AD 于点E ，∴∠PEC '=90°∵矩形ABCD 中，AB =3，BC =4∴∠EAB =∠B =∠C =∠QDC '=90°，CD =AB =3∴四边形CPED 是矩形∴DE =PC ，PE =CD =3∵AE =2EB ，∴AE =2，EB =1设BP =x ，则DE =PC =4﹣x∵点C 与C '关于直线PQ 对称∴△PC 'Q ≌△PCQ ∴PC '=PC =4﹣x ，C 'Q =CQ ，∠PC 'Q =∠C =90°∵PE ⊥PQ法2：亦可过C`作C`G ⊥BC ，连接CC`∴∠BPE+∠CPQ=90°又∵∠BEP+∠BPE=90°∴∠BEP=∠CPQ∴△BEP∽△CPQ同理可证：△PEC'∽△C'DQ∴，，∴CQ==x（4﹣x）∴C'Q=x（4﹣x），DQ=3﹣x（4﹣x）=x2﹣4x+3∴，∴C'D=3x，EC'=∵EC'+C'D=DE，∴，解得：x1=1，x2=∴BP的值为1或【题3】如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为_________.【解析】连接A′D，AD，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，∵CD=3DB，∴CD=3，BD=1，法2：亦可过D作DG⊥AO，连接AA`∴CD =AB ，∵将四边形ABDE 沿DE 折叠，若点A 的对称点A ′恰好落在边OC 上， ∴A ′D =AD ，A ′E =AE ， 在Rt △A ′CD 与Rt △DBA 中，，∴Rt △A ′CD ≌Rt △DBA （HL ），∴A ′C =BD =1，∴A ′O =2，∵A ′O 2+OE 2=A ′E 2，∴22+OE 2=（4﹣OE ）2，∴OE =，【点评】“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”【题4】如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为 ．【解析】连接BF ，∵BC =6，点E 为BC 的中点，∴BE =3，又∵AB =4，∴AE ==5，∴BH =，则BF =， 法2：亦可过E 作EG ⊥FC ；或者过F 作MN 分别垂直AD 和BC∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，根据勾股定理得，CF===．故答案为：．【题5】如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N（1）若CM=x，则CH=（用含x的代数式表示）；（2）求折痕GH的长．【解析】（1）∵CM=x，BC=6，∴设HC=y，则BH=HM=6﹣y，故y2+x2=（6﹣y）2，整理得：y=﹣x2+3，∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴=，∴=，解得：HC=﹣x2+2x，故答案为：﹣x2+3或﹣x2+2x；（2）方法一：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°，设CM=x，由题意可得：ED=3，DM=6﹣x，∠EMH=∠B=90°，故∠HMC+∠EMD=90°，∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴=，即=，解得：x1=2，x2=6，当x=2时，∴CM=2，∴DM=4，∴在Rt△DEM中，由勾股定理得：EM=5，∴NE=MN﹣EM=6﹣5=1，∵∠NEG=∠DEM，∠N=∠D，∴△NEG∽△DEM，∴=，∴=，解得：NG=，由翻折变换的性质，得AG=NG=，过点G作GP⊥BC，垂足为P，则BP=AG=，GP=AB=6，当x=2时，CH=﹣x2+3=，∴PH=BC﹣HC﹣BP=6﹣﹣=2，在Rt△GPH中，GH===2．当x=6时，则CM=6，点H和点C重合，点G和点A重合，点M在点D处，点N在点A处．MN同样经过点E，折痕GH的长就是AC的长．所以，GH长为6．方法二：有上面方法得出CM=2，连接BM，可得BM⊥GH，则可得∠PGH=∠HBM，在△GPH和△BCM中，∴△GPH≌△BCM（SAS），∴GH=BM，∴GH=BM==2．【题6】已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（1）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；（2）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，求m（用含有t的式子表示）；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果）．【解析】（1）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，6）；（2）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°，∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ，又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ，∴=，由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11﹣t，CQ=6﹣m．∴=，∴m=t2﹣t+6（0＜t＜11）；（3）过点P作PE⊥OA于E，如图3，∴∠PEA=∠QAC′=90°，∴∠PC′E+∠EPC′=90°，∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴=，在△PC′E和△OC′B′中，，∴△PC′E≌△OC′B′（AAS），∴PC'=OC'=PC，∴BP=AC'，∵AC′=PB=t，PE=OB=6，AQ=m，EC′=11﹣2t，∴=，∵m=t2﹣t+6，∴3t2﹣22t+36=0，解得：t1=，t2=故点P的坐标为（，6）或（，6）．1．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=15，tan∠ABC=，将菱形纸片沿折痕FG 翻折，使点B落在AD边上的点E处，若CE⊥AD，则cos∠EFG的值为．【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BE，过点P作PE⊥AB，∵AB=15，tan∠ABC=，∴AH=9，BH=12，∴CH=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=15，AD∥BC，∵AH⊥BC，∴AH⊥AD，且AH⊥BC，CE⊥AD，∴四边形AHCE是矩形∴EC=9，AE=CH=3，∴BE===3，∵将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上的点E处，∴BF=EF，BE⊥FG，BO=EO=∵AD∥BC，∴∠ABC=∠P AE，∴tan∠ABC=tan∠P AE=，且AE=3，∴AP=，PE=，∵EF2=PE2+PF2，∴EF2=+（15﹣EF+）2，∴EF=，∴FO===∴cos∠EFG==，故答案为：2．如图，在菱形ABCD中，AB=5，tan D=，点E在BC上运动（不与B，C重合），将四边形AECD沿直线AE翻折后，点C落在C′处，点D′落在D处，C′D′与AB交于点F，当C′D'⊥AB时，CE长为．【解析】如图，作AH⊥CD于H，交BC的延长线于G，连接AC′．由题意：AD=AD′，∠D=∠D′，∠AFD′=∠AHD=90°，∴△AFD′≌△AHD（AAS），∴∠F AD′=∠HAD，∵∠EAD′=∠EAD，∴∠EAB=∠EAG，∴=（角平分线的性质定理，可以用面积法证明）∵AB∥CD，AH⊥CD，∴AH⊥AB，∴∠BAG=90°，∵∠B=∠D，∴tan B=tan D==，∴=，∴AG=，∴BG===，∴BE：EG=AB：AG=4：3，∴EG=BG=，在Rt△ADH中，∵tan D==，AD=5，∴AH=3，CH=4，∴CH=1，∵CG∥AD，∴=，∴CG=，∴EC=EG﹣CG=﹣=．故答案为．3．如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D 的对应点D′恰好在线段BE上．若AD=3，DE=1，则AB=5．【解析】∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD=AD'=3，DE=D'E=1，∠DEA=∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∴∠EAB=∠AEB，∴AB=BE，∴D'B=BE﹣D'E=AB﹣1，在Rt△ABD'中，AB2=D'A2+D'B2，∴AB2=9+（AB﹣1）2，∴AB=5故答案为：54．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E 恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为5或．【解析】①当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时∠MEN=∠B=90°，∠ENB=90°，∴四边形BMEN是矩形．又∵ME=MB，∴四边形BMEN是正方形．∴BM=BN=5．②当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NH⊥FG于H点，则NH=4．根据折叠的对称性可知EN=BN=5，∴在Rt△ENH中，利用勾股定理求得EH=3．∴FE=5﹣3=2．设BM=x，则EM=x，FM=4﹣x，在Rt△FEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4﹣x）2，解得x=，即BM=．故答案为5或．5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，点E在边AD上且AE=4，点F是边BC上的一个动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A、B的对应点A1、B1与点C在同一直线上，A1B1与边AD交于点G，如果DG=3，那么BF的长为．【解析】∵△CDG∽△A'EG，A'E=4∴A'G=2∴B'G=4由勾股定理可知CG'=则CB'=由△CDG∽△CFB'设BF=x∴解得x=故答案为6．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G．若OE=4，则O到折痕EF的距离为2．【解析】过点G作O′G⊥OB，作AO′⊥O′G于O′，如图，连结OO′交EF于H，则四边形AOGO′为矩形，∴O′G=AO=6，∵沿EF折叠后所得得圆弧恰好与半径OB相切于点G，∴与所在圆的半径相等，∴点O′为所在圆的圆心，∴点O与点O′关于EF对称，∴OO′⊥EF，OH=HO′，设OH=x，则OO′=2x，∵∠EOH=∠O′OA，∴Rt△OEH∽Rt△OO′A，∴=，即=，解得x=2，即O到折痕EF的距离为2．故答案为2．7．如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O交AB 于点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应A′D′），当⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是．【解析】设⊙O与A′D′相切于点F，连接OF，OE，则OF⊥A′D′，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=A′=90°，由折叠的性质得：∠AEC=∠A′EC，∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，∴∠OEA′=∠B=90°，∵OE=OF，∴四边形A′FOE是正方形，∴A′E=AE=OE=OC，∵BE=AE，设BE=3x，AE=5x，∴OE=OC=5x，∵BC=AD=4，∴OB=4﹣5x，在R t BOE中，OE2=BE2+OB2，∴（5x）2=（3x）2+（4﹣5x）2，解得：x=，x=4（舍去），∴AB=8x=．故答案为：．9．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC 为半径作⊙O，将△ADE折叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD=2，⊙O半径=．【解析】作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，∵△ADE折叠至△A′DE，∴DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，∴DA′与⊙O相切，在△ODA′和△OCF中∴△DOA′≌△FOC．∴DA′=CF=x，∵DG是⊙O的切线，OH⊥DG，∴H点为切点，∴DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在Rt△DCG中，∵DC2+CG2=DG2，∴（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，∴AD=2，设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x﹣r=4﹣r，在Rt△DOA′中，∵DA′2+OA′2=DO2，∴22+r2=（4﹣r）2，解得r=，即⊙O的半径为．故答案为2，．10．如图1，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，分别以△ABC的三边AB，BC，AC为边在三角形外部作正方形ABDE，BCIJ，AFGC．如图2，作正方形ABDE 关于直线AB对称的正方形ABD′E′，AE′交CG于点M，D′E′交IC于点N点D′在边IJ上．则四边形CME′N的面积是24．【解析】∵正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′，∴AE′=AB=10，∠E′AB=90°，∠AE′N=90°，∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∴AC2=BC•MC，∴MC==，∵∠MAC=∠NAE′，∴Rt△ACM∽Rt△AE′N，∴=，即=，∴E′N=，∴四边形CME′N的面积=S△AE′N﹣S△ACM=×10×﹣×6×=24．故答案为24．11．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A，D分别落在A′，D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为．【解析】设BC与D′F交于点K．CF=a，D′K=b，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠C=60°，∠D′=∠D=120°，∵KF⊥CD，∴∠KFC=90°，∴∠FKC=∠BKD′=30°，∴∠KBD′=180°﹣∠D′﹣∠BKD′=30°，∴BD′=b，BK=b，KC=2a，KF=a，∵BC=CD=D′F+CF，∴b+2a=b+a+a，∴（﹣1）a=（﹣1）b，∴a=b，∴==，故答案为．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B=﹣1．【解析】如图，连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C=90°，AC=BC=，∴AB==2，∴BD=2×=，C′D=×2=1，∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．故答案为：﹣1．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B 落在点F处，连接AF，当线段AF=AC时，BE的长为．【解析】连接AD，作EG⊥BD于G，如图所示：则EG∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴==，设BE=x，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴==，解得：EG=x，BG=x，∵点D是边BC的中点，∴CD=BD=2，∴DG=2﹣x，由折叠的性质得：DF=BD=CD，∠EDF=∠EDB，在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS），∴∠ADC=∠ADF，∴∠ADF+∠EDF=×1880°=90°，即∠ADE=90°，∴AD2+DE2=AE2，∵AD2=AC2+CD2=32+22=13，DE2=DG2+EG2=（2﹣x）2+（x）2，∴13+（2﹣x）2+（x）2=（5﹣x）2，解得：x=，即BE=；故答案为：．14．在正方形ABCD中，（1）如图1，若点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，且∠AOF=90°．求证：AE=BF．（2）如图2，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC=5，CM=2，求EF的长．【解析】（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∵∠AOF=90°，∴∠BAE+∠OBA=90°，又∵∠FBC+∠OBA=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE和△BCF中∵，∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴AE=BF．（2）由折叠的性质得EF⊥AM，过点F作FH⊥AD于H，交AM于O，则∠ADM=∠FHE=90°，∴∠HAO+∠AOH=90°、∠HAO+∠AMD=90°，∴∠POF=∠AOH=∠AMD，又∵EF⊥AM，∴∠POF+∠OFP=90°、∠HFE+∠FEH=90°，∴∠POF=∠FEH，∴∠FEH=∠AMD，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=FH=5，在△ADM和△FHE中，∵，∴△ADM≌△FHE（AAS），∴EF=AM===．15．如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，∠BFC=90°，求的值．【解析】如图，延长EF交CB于M，连接CM，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠A=∠BCD=90°，∵将△ADE沿直线DE对折得到△DEF，∴∠DFE=∠DFM=90°，在Rt△DFM与Rt△DCM中，，∴Rt△DFM≌Rt△DCM，∴MF=MC，∴∠MFC=∠MCF，∵∠MFC+∠BFM=90°，∠MCF+∠FBM=90°，∴∠MFB=∠MBF，∴MB=MC，设MF=MC=BM=a，AE=EF=x，∵BE2+BM2=EM2，即（2a﹣x）2+a2=（x+a）2，解得：x=a，∴AE=a，∴==3．16．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则∠DAE的度数为18°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=54°，∴∠DAC=90°﹣54°=36°，由折叠的性质得：∠DAE=∠F AE，∴∠DAE=∠DAC=18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠的性质得：AF=AD=10，EF=ED，∴BF===8，∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2，设CE=x，则EF=ED=6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C，在Rt△CEG和△FEG中，，∴Rt△CEG≌△FEG（HL），∴CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BC﹣CG=10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG的长为．17．（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为23°．（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；【算一算】如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG=，求B′D 的长；【验一验】如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．【解析】（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=46°，由翻折不变性可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=23°，故答案为23．（2）【画一画】，如图2中，【算一算】如图3中，∵AG=，AD=9，∴GD=9﹣=，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DGF=∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=，∵CD=AB=4，∠C=90°，∴在Rt△CDF中，CF==，∴BF=BC﹣CF=，由翻折不变性可知，FB=FB′=，∴DB′=DF﹣FB′=﹣=3．【验一验】如图4中，小明的判断不正确．理由：连接ID，在Rt△CDK中，∵DK=3，CD=4，∴CK==5，∵AD∥BC，∴∠DKC=∠ICK，由折叠可知，∠A′B′I=∠B=90°，∴∠IB′C=90°=∠D，∴△CDK∽△IB′C，∴==，即==，设CB′=3k，IB′=4k，IC=5k，由折叠可知，IB=IB′=4k，∴BC=BI+IC=4k+5k=9，∴k=1，∴IC=5，IB′=4，B′C=3，在Rt△ICB′中，tan∠B′IC==，连接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC==，∴tan∠B′IC≠tan∠DIC，∴B′I所在的直线不经过点D．。

图形的翻折问题上海市桃李园实验学校 戚元彬近几年上海中考试题中，图形的运动成为一个命题热点。

图形的翻折是图形的运动形式之一，翻折问题是中考的热点，也是中考的一个难点。

一 认识翻折问题1.关注“两点一线”在翻折过程中，我们应关注“两点”，即对称点，思考自问“哪两个点是对称点?” ；还应关注“一线”，即折线，也就是对称轴。

这是解决问题的基础。

2. 联想到重合与相等遇到这类问题，我们应马上联想到“重合的线段相等,重合的角相等”，这是解决问题的关键。

二 解决翻折问题我们把翻折问题分为两类：“依线翻折”和“依点翻折”。

1. 依线翻折关键是找出对称点，并画出来。

例1. 已知：在Rt △ABC 中，∠A <∠B ，CM 是斜边AB 的中线， 将△ACM 沿直线CM 翻折，点A落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直,那么∠A 等于_________度。

分析：本题是依直线CM 进行翻折的。

首先需要作出A 点关于CM 的对称点D ，这样“两点一线”就明确了。

其次联想到“重合”，从而得到相等的线段和角：CA=CD ，∠1=∠2。

根据已知CD ⊥AB ，AC ⊥CB ，可想到∠A=∠3，又CM 是斜边的中线，于是∠1= ∠A.，所以∠1=∠2=∠3，故∠A=30°。

2. 依点翻折关键是找出折线，并画出来。

例2.. 已知：Rt △ABC 中，∠A<∠B ，CM 是斜边AB 的中线，∠B=60°， 将△ABC 沿某直线折叠，使点C 落 在M 上，折痕与AC 的交点为E ，那么∠CEM =____度。

分析：本题是依已知点C 、M 翻折的，图中没有折线。

首先需要作出折线：CM 的垂直平分线，并标出点E 。

这样“两点一线”已经明确了。

接下来马上联想到重合的线段和重合的角。

由于CM 是斜边AB 的中线，所以可得到∠BCM=60°，于是∠ECM=30°。

而∠ECM 与∠CME 重合，所以相等，故∠CEM=180°－30°－30°=120°。

高考数学难点突破八----立体几何中的翻折问题一、知识储备翻折问题就是把平面图形经过折叠变成一个空间图形，实际上，折叠问题就是轴对称的问题，折痕就是对称轴，重合的即是全等图形，解决折叠问题时，要把运动着的空间图形不断地与原平面图形进行对照，看清楚其中哪些量在变化，哪些量没有变化，从而寻找出解决问题的方法，达到空间问题与平面问题相互转化的目的。

核心是抓牢折痕就是翻折前与翻折后平面图形的公共底边，折痕与公共底边上两高所在平面垂直。

二、应用举例例1.如图，在矩形ABCD 中，M 在线段AB 上，且1AM AD ==，3AB =，将ADM ∆沿DM 翻折．在翻折过程中，记二面角A BC D --的平面角为θ，则tan θ的最大值为(C )ABCD例2.在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==,E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE '∆，使得点A '在平面 BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角 A BE C '--的大小为θ，直线,A B A C ''与平面BCDE 所成的角分 别为αβ，，则( D ) A.βαθ<< B.βθα<< C.αθβ<< D.αβθ<<例3.如图，矩形ABCD 中心为, O BC AB >，现将DAC 沿着对角线AC 翻折成EAC ，记BOE a ∠=，二面角B AC E --的平面角为β，直线DE 和BC 所成角为γ，则（ D ）A. ,2a ββγ>>B. ,2a ββγ><C. ,2a ββγ<>D. ,2a ββγ<<例4.如图，在ABC △中，1AB =，22BC =，4B π=，将ABC △绕边AB 翻转至ABP △，使面ABP ⊥面ABC ，D 是BC 中点，设Q 是线段PA 上的动点，则当PC 与DQ 所成角取得最小值时，线段AQ 的长度为（ B ） A ．52B ．255C ．355D ．253例5.已知在矩形ABCD 中，2AD AB =，沿直线BD 将ABD ∆ 折成'A BD ∆，使得点'A 在平面BCD 上的射影在BCD ∆内（不含边界），设二面角'A BD C --的大小为θ，直线','A D A C 与平面BCD 所成的角分别为,αβ，则（ ）A. αθβ<<B. βθα<<C. βαθ<<D. αβθ<< 【答案】DQ DPCBA【解析】分析：由题意画出图形，由两种特殊位置得到点A′在平面BCD上的射影的情况，由线段的长度关系可得三个角的正弦的大小，则答案可求．详解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BA′⊥A′D，当A′点在底面上的射影O落在BC上时，有平面A′BC⊥底面BCD，又DC⊥BC，可得DC⊥平面A′BC，则DC⊥BA′，∴BA′⊥平面A′DC，在Rt△BA′C中，设BA′=1，则，∴A′C=1，说明O为当A′点在底面上的射影E落在BD上时，可知A′E⊥BD，设BA′=1，则A D'=，要使点A′在平面BCD上的射影F在△BCD内（不含边界），则点A′的射影F落在线段OE上（不含端点）．可知∠A′EF为二面角A′﹣BD﹣C的平面角θ，直线A′D与平面BCD所成的角为∠A′DF=α，直线A′C与平面BCD所成的角为∠A′CF=β，<，而A′C的最小值为1，可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且A′E=13∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，则α＜β＜θ．故答案为：D点睛：本题主要考查二面角的平面角和直线与平面所成的角，考查正弦函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力分析推理能力.例6、（嘉兴市2020年1月期终）已知矩形ABCD ，4AB =，2BC =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿直线DE 将ADE △翻折成PDE △，在点P 从A 至F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为 ．22π分析：设 AC ,FC 的中点为 M , N ，CP 的中点G 的轨迹是以 MN 为直径的半圆．例7、（宁波市2020年1月期终）已知平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，BC CD =，AB AD >，现将ABD △沿对角线BD 翻折得到三棱锥A BCD '-，在此过程中，二面角A BC D '--、A CDB '--的大小分别为α，β，直线A B '与平面BCD 所成角为γ，直线A D '与平面BCD 所成角为δ，则（ ）A ．γδβ<<B ．γαβ<<C ．αδβ<<D ．γαδ<<例8、（柯桥一中2020年1月期终）已知在矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，E ，F 分别在边AD ，BC 上，且1AE =，3BF =，如图所示， 沿EF 将四边形AEFB 翻折成A EFB ''，则在翻折过程中，二面角B CD E '--的大小为θ，则tan θ的最大值为（ C ） A．5B.5C.4例9、（名校合作体2020年3月）已知C 为ABD Rt ∆斜边BD 上一点，且ACD ∆为等边三角形，现将ABC ∆沿AC 翻折至C B A '∆，若在三棱锥ACD B -'中，直线B C '和直线B A '与平面ACD 所成角分别为βα，，则（ ）A. βα<<0B.βαβ2≤<C.βαβ32≤≤例10、（2020年1月嘉兴期终）已知矩形ABCD ，4AB =，2BC =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿直线DE 将ADE △翻折成PDE △，在点P 从A 至F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为 ．分析：取DE 中点O ，连CO PO ,，则点G 的轨迹是以CO 的中点为圆心，2221=PO 为半径的半圆，轨迹长为22ππ=r例11、（2020年4月温州模拟）如图，在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，将ABN ∆沿着AM 翻折成M B A '∆，且点B '不在平面AMC 内，点P 是线段C B '上一点，若二面角B AM P '--与二面角C AM P --的平面角相等，则直线AP 经过C B A '∆的（ A ） A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D.外心G PFD B A例12、（2020年嘉兴一模）将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 翻折，使得二面角A BD C --的平面角的大小为π3，若点E ,F 分别是线段AC 和BD 上的动点，则BE CF 的取值范围为 （ ）A ．[1,0]-B ．1[1,]4-C ．1[,0]2-D ． 11[,]24-例13、(2020年5月暨阳联考）如图:ABC ∆中，︒=∠⊥90,ACB BC AB ，D 为AC 的中点，ABD ∆沿BD 边翻折过程中，直线AB 与BC 直线所成的最大角，最小角分别记为11βα，，直线AD 与直线BC 所成的最大角，最小角分别记为22βα，，则有（ D ）A. ββαα≤<121,B. 2121ββαα><，C. 2121ββαα≤≥，D.2121ββαα>≥，分析一：翻折到180时，,AB BC 所成角最小，可知130β=，,AD BC 所成角最小，20β=，翻折0时，,AB BC 所成角最大，可知190α=，翻折过程中，可知AD 的投影可与BC 垂直，所以,AD BC 所成最大角290α=，所以 1190,30αβ︒︒==，2290,0αβ︒︒==分析二:对角线向量定理例14、（2020年4月台州二模）如下图①，在直角梯形ABCD 中，90=∠=∠=∠DAB CDB ABC ， 30=∠BCD ，4=BC ，点E 在线段CD 上运动，如下图②，沿BE 将BEC ∆折至C BE '∆，使得平面⊥'C BE 平面ABED ，则C A '的最小值为 .⇒例15、（2020年嘉兴市基础知识测试）如图，矩形ABCD 中，2,1==BC AB ，点E 为AD 中点，将ABE ∆沿BE 折起，在翻折过程中，记二面角B DC A --的平面角大小为α，则当α最大时，=αtan （ ） A. 22 B. 32 C. 31 D.21例16、（2020学年温州中学高二上期中）等边三角形ABC 边长为4，N M ,为AC AB ,的中点，沿MN 将AMN ∆折起，当直线AB 与平面BCMN 所成的角最大时，线段AB 的长度为（ ）A.6B. 22C. 10D.32例17、(2020学年杭外高二上期中）如图，在菱形ABCD 中，︒=∠60BAD ，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F ，现将ABD ∆沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成的角的取值范围是（ ）A.），（36ππ B.⎥⎦⎤26ππ，（ C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛2,3ππ， D.⎪⎭⎫⎝⎛323ππ，例18、（2020学年杭四中高二上期中）如图，矩形ABCD 中，AD AB 2=，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成DE A 1∆，若M 为线段C A 1的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下面四个选项中正确的是 （填写所有的正确选项）.（1）BM 是定值；（2）点M 在某个球面上运动；（3）存在某个位置，使C A DE 1⊥；（4）存在某个位置，使//MB 平面DE A 1.例19、（2020学年杭师大附中高二上期中）如图，在矩形ABCD 中，6=AB ，4=BC ，E 为DC 边的中点，沿AE 将ADE ∆折起至E D A '∆，设二面角B AE D --'为α，直线D A '与平面ABCE 所成角为β，若︒︒<<9060α，则在翻折过程中（ ）A. 存在某个位置，使得βα<B. 存在某个位置，使得︒<+90βαB. ︒>45β D.︒︒<<4530β例20、（2020学年台州市高二上期终）如图，在ABC ∆，1=AC ，3=BC ，2π=C ，点D 是边AB （端点除外）上的一动点，若将ACD ∆沿直线CD 翻折，能使点A 在平面BCD内的射影A '落在BCD ∆的内部（不包括边界）且37='C A ，设t AD =，则t 的取值范围是 .例21、（2020学年杭州七县市高二上期末）如图，正方形ABCD 的边长为4，点F E ,分别是BC AB ,的中点，将DAE ∆，EBF ∆，FCD ∆分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体DEF A -'的四个顶点都在同一个球面上，则以DEF ∆为底面的三棱锥DEF G -的高h 的最大值是（ ） 326+ B. 346+ C.3462- D.3262-例22、（2020学年慈溪市高二上期终）如图，三棱锥BCD A -的底面BCD 在平面α内，所有棱均相等，E 是棱AC 的中点，若三棱锥BCD A -绕棱CD 旋转，设直线BE 与平面α所成角为θ，则θcos 的取值范围为（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡163，B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,65 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6110， D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6330，例23、（2021年2月“日知”新高考命题研究联盟高三期终）如图所示，正方形ABCD ,ADEF ，AFGH 平铺在水平面上，先将矩形EDHG 沿AD 折起，使二面角BAD E --'为︒30，再将正方形H G F A ''沿F A '折起，使二面角D F A H -'-'为︒30，则平面H G F A '''与平面ABCD 所成的锐二面角的正切值是（ ） A.42 B.37 C.43 D.26例24、（2021年2月丽水中学合作校高三联考卷）如图，在ABC ∆中，MC BM 21=，1==AC AB ，32=BM ，点D 在线段BM 上运动，沿AD 将ADB ∆折到B AD '∆，使得二面角C AD B --'的度数为︒60，若点B '在平面ABC 内的射影为O ，则OC 的最小值为 .例25、（2021年4月杭州二模第10题）如图，在长方体ABCD 中，215=AB ，1=AD ，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE ∆沿DE 折起为DE A '∆，设α=∠ADE ，二面角C DE A --'的大小为β，若2πβα=+，则四棱锥BCDE A -'体积的最大值为（ ）A.41 B.32 C. 121-15 D. 81-5例26、（2020学年之江教育联盟高二下开学考）如图，已知椭圆的长轴端点为21,A A ，短轴端点为21,B B ，焦点为21,F F ，长半轴为2，短半轴为3，将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中，以下说法错误的是（ ）A. 12F B 与短轴21B B 所成角为6π B. 12F B 与直线22F A 所成角的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，C. 12F A 与平面212B B A 所成角的最大值为6πD. 存在某个位置，使得12F B 与21F B 垂直例27、（2021年5月义务高三适应性考试第10题）如图，在等边三角形ABC 中，点ED 、分别是线段AC AB ,上异于端点的动点，且CE BD =，现将三角形ADE 沿直线DE 折起，使平面⊥ADE 平面BCED ，D 从B 滑动到A 的过程中（D 与A B ,均不重合），则下列选项中错误的是（ ）A. ADB ∠的大小不会发生变化B. 二面角C BD A --的平面角的大小不会发生变化C.BD 与平面ABC 所成的角变大D.AB 与DE 所成的角先变小后变大例28、（2020年4月嘉兴二模第9题）如图，矩形ABCD 中，已知2=AB ，4=BC ，E 为AD 的中点，将ABE ∆沿着BE 向上翻折至BE A '∆，记锐二面角C BE A --'的平面角为α，B A '与平面BCDE 所成的角为β，则下列结论不可能成立的是（ ）A. βαsin 2sin =B.βαcos cos 2=C.βα2<D. 4πβα>-例29、（2020学年温州十校联盟高二下期终）如图，在等腰三角形ABC 中，2=BC ，︒=∠90C ，D ，E 分别是线段AB ，AC 上异于端点的动点，且BC DE //，先将ADE ∆沿直线DE 折起至DE A '，使平面⊥'DE A 平面BCED ，当D 从B 滑动到A 的过程中，下列选项错误的是（ ）A. DE A '∠的大小不会发生变化B. 二面角C BD A --'的平面角的大小不会发生变化C. 三棱锥EBC A -'的体积先变大在变小D. B A '与DE 所成的角先变大再变小例30、（2020学年浙南名校联盟高二下期终第17题）如图，在矩形ABCD 中，a AB =，a BC 2=，点E 为AD 的中点，将ABE ∆沿BE 翻折到BE A '∆的位置，在翻折过程中，A '不在平面BCDE 内时，记二面角B DC A --'的平面角为α，则当α最大时，αcos 的值为 .。

立体几何的动态问题之二———翻折问题立体几何动态问题的基本类型：点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等一、面动问题（翻折问题）：（一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论.DF AE ⊥一线：垂直于折痕的线即五结论：1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2--D HF D H F ''∠）是二面角的平面角；3D DF '）在底面上的投影一定射线上； 二、翻折问题题目呈现：（一）翻折过程中的范围与最值问题1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD 中，AD=AB=2，CD=CB= 5,且AD AB ⊥，现将△ABD 沿对角线BD 翻折成'A BD ∆，则在'A BD ∆折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为_______ .解：由题意知点A 运动的轨迹是以E 为圆心,EA 为半径的圆，当点A运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以3tan 'A CB ∠=。

【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误12进行分析，找出错误的原因。

2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。

现将△ABD 沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是DABE CDABC4) ''D H DH点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；5AD'E AE .）面绕翻折形成两个同底的圆锥ECA.(,)63ππ B. (,]62ππ C. (,]32ππ D. 2(,)33ππ分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。

方法一：特殊值法（可过F 作FH 平行BE,找两个极端情形） 方法二：定义法：利用余弦定理：222254cos 243FH FC CH FHC CH FH FC +-∠==-，有32144CH ≤≤11cos ,22CFH ⎡⎤∴∠∈-⎢⎥⎣⎦异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是(,]32ππ 方法三：向量基底法：111()()222BE FC BA BD FC BA FC BF FA FC=+==+111cos ,cos ,,222BE FC FC FA ⎡⎤<>=<>∈-⎢⎥⎣⎦方法四：建系：3、（2015年浙江·理8）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则 （ B ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≥D. A CB α'∠≤方法一：特殊值方法二：定义法作出二面角，在进行比较。

问题1：翻折跟什么有关？这是我们第一个要搞清楚的。

翻折，即是折叠，折叠首先是一种轴对称，在作轴对称图形这一节，我们学习的第一种方法就是折叠。

问题2：折痕是什么？折痕所在直线就是折叠前后两个图形的对称轴，沿某一条直线折叠，这条直线就是对称轴并且连接任意一对对应点的线段都被对称轴垂直平分。

问题3：折叠前后，两个图形的关系？折叠前后的两个图形关于折痕对称且全等，折叠后的图形与原图形的形状、大小完全相同。

即，每组对应边相等，每组对应角相等。

问题4：解决折叠问题的关键是什么？折叠问题是近几年中考中常考的一个问题，解决此类问题的关键是找出隐藏的条件（翻折前后的线段相等，角相等）。

例1、如图，把平行四边形ABCD，沿对角线BD折叠，如图，观察图形，回答下列问题：Array (1)图中有全等三角形吗？请举例说明。

(2)图中有轴对称图形吗？若有，对称轴是那条直线？(3)图中有哪些角与∠DBC相等？（4）判断图中重叠部分△DBE的形状?并进行简要的说明。

折叠求角问题1、如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为（）A．15° B．30° C．45° D．60°2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A´处，若∠A´BC＝20°，则∠A´BD的度数为（）．A 15°B 20°C 25°D 30°折叠求线段问题1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（）A．12 B．2 C．3 D．42、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，则CD的长为____。

专题复习：图形的运动——翻折【教学目标】1、复习几何图形翻折的性质，并能利用翻折图形的性质解题;2、感悟翻折问题的解题方法，并养成良好的解题习惯. 【重点和难点】1、重点：掌握几何图形翻折的性质，并能利用翻折图形的性质解题.2、难点：合理选择翻折问题的解题方法. 【教学过程】 一、例题解析问题1：如图，已知矩形纸片ABCD ，将纸片沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处, 若AD=10cm ，AB=6cm ，求EC 的长度.问题2：若将纸片折叠压平，使A 与C 重合，折痕为EF ，点E 在边AD 上，点F 在边 BC 上，点D 翻折至点G.，AB=6，BC=8， （1）求折痕EF 的长度； （2）画出四边形EDCF 翻折后的图形，联接DG ，并求DG 的长.问题3:在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边长为6，两边AB 、BC 分别落在坐标轴上，点E 在线段DC 上，且DE=2CE ，将△ADE 沿直线AE 翻折，点落在点F 处. （1）请在图中作出点D 的位置及翻折后的图形.(2) 求直线AF 的解析式AB C DEF G B'思考题：如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 为AB 的中点，BC=3，31cos =B ，△DBC 沿着CD 翻折后, 点B 落到点E ，那么AE 的长为 ．二、归纳总结三、布置作业配套小卷子 作业1、如图，直线834+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于点A 和B ，M 是OB 上的一点，若将△ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点C 处，则直线AM 解析式为___________2、矩形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE=_______cm ．3、如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若AB=3，则AE 的长为___________．B4、如图所示,有一块三角形纸片,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm，将斜边翻折,使点B 落在直角边AC 的延长线，则CD 的长为 .（第4题图） （第5题图） （第6题图）5、 如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，折痕为BC ，过点A ′作 DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是6、如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，∠C =30°，点F 是CD 边上一点，将纸片沿BF 折叠，点C 落在E 点，使直线BE 经过点D ，若BF=CF=8，则AD 的长为 .7、在⊿ABC 中，∠A=900, AB=3,E 为BC 边上的点，联结AE ,如果将⊿ABC 沿直线AE 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点E 到AC 的距离是多少？8、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，点M 、N 分别在边AC 、BC 上，将△CMN 沿直线MN 翻折得△DMN ，点在D 边AB 上，且△DMN 与△ABC 相似, （1）画出△DMN ； （2）求CM 的长.ABCDCEB9、在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，若将△ABC 沿直线BD 翻折，使点C 落在直线AC 上的点C ′处，AC ′＝3，画出图形并求BC 的长.10、如图，在Rt △ABC ，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，点D 在AC 上，将△ADB 沿直线BD 翻折后，将点A 落在点E 处，如果AD ⊥ED ，求线段DE 的长.11、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =5，D 是BC 边上一点，CD =3，点P 在边AC 上（点P 与A 、C 不重合），过点P 作PE // BC ，交AD 于点E ． （1）设AP =x ，DE =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB /D ，联结B /C ．如果∠ACE =∠BCB /，求AP 的值．备用图DCBAEPDCBA。