陕西省西安市昆仑中学2014届高三一轮复习讲义数学(理科)第13课时：幂函数

课题：幂函数考纲要求：① 了解幂函数的概念.② 结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x=====的图像，了解它们的变化情况.教材复习1.形如 的函数叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数，如x y x =，2321,,2,x y x y x y y x====，32y x =其中是幂函数的有 .4.幂函数的特点：① 幂函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；② 幂函数的图像最多只能出现在两个象限内；③ 如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点.④α的正负：0α>时，图像过()0,0和()1,1，在第一象限的图像上升；0α<时，图像不过原点，在第一象限的图像下降；⑤曲线在第一象限的凹凸性：1α>时，曲线下凹；01α<<时，曲线上凸；0α<时，曲线下凹.5.在比较幂值大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助单调性进行比较.典例分析：题型一：幂函数的概念及解析式问题1．()1下列函数是幂函数的序号是①2xy =；②12y x -=；③()22y x =+；④y =；⑤y =()2已知幂函数()y f x =的图像经过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则(2)f =.A 14.B 4.C 2.D题型二：幂函数图像与解析式的对应问题2．()1如图给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是.A ①13y x =，②2y x =，③12y x =，④ 1y x -=.B ①3y x =，②2y x =，③12y x =，④ 1y x -=.C ①2y x =，②3y x =，③12y x =，④ 1y x -=.D ①13y x =，②12y x =，③2y x =，④ 1y x -=()2函数,,a b c y x y x y x ===的图像如右上图所示， 则实数,,a b c 的大小是.A c b a << .B a b c << .C b c a << .D c a b <<()3（2013上海春）函数12()f x x -=的大致图像是()4幂函数223m m y x --= ()m Z ∈的图像如图所示，则m 的值是 .A 13m -<< .B 0 .C 1 .D 2()5若幂函数()22233m m y mm x--=-+的图像不经过原点，求实数m 的值.()6当()1,x ∈+∞时，函数a y x =的图象恒在直线y x =的下方，则a 的取值范围是.A 01a << .B 0a < .C 1a < .D 1a >题型三：幂函数的性质及应用 问题3．()1下列说法正确的是.A 幂函数一定是奇函数或偶函数.B 任意两个幂函数的图像都有两个以上交点；.C 如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个幂函数相同 .D 图像不经过()1,1-的幂函数一定不是偶函数()2已知幂函数()f x的图象过点)2,幂函数()g x 的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，求它们的解析式，并比较它们的大小.问题4．()1幂函数的图象过点(，则它的单调增区间是 .A [)1,+∞ .B [)0,+∞ .C ),-∞+∞ .D (),0-∞()2设2535a ⎛⎫=⎪⎝⎭，3525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2525c ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 .A a c b >> .B a b c >> .C c a b >> .D b c a >>()3已知幂函数223()m m f x x --=()*m N ∈的图像关于y 轴对称，且在()0,+∞是减函数，求满足()()33132m m a a --+<-的a 的取值范围.课后作业：1. （2013黄冈中学月考）右图为幂函数n y x =在第一象限 的图像，则1c 、2c 、3c 、4c 的大小为2.幂函数()22122mm y m m x +-=--,当()0,x ∈+∞时为减函数，则实数m 的值为.A 1m =- .B 3m = .C 1m =-或2m = .D 1m ≠+3.设1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不等式成立的是.A a b a a a b << .B a a b a b a << .C b a a a a b << .D b a a a b a <<4.设0.30.2a =，0.30.3b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系是 .A a b c >> .B a b c << .C a c b << .D b a c <<5.(2012杭州模拟)若()()1122132a a --+<-，求a 的取值范围.走向高考：1.（07广东）若函数3()f x x =()x R ∈，则函数()y f x =-在其定义域上是.A 单调递减的偶函数 .B 单调递减的奇函数 .C 单调递增的偶函数.D 单调递增的奇函数2.（2012陕西文）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 .A 1y x =+ .B 2y x =- .C 1y x=.D ||y x x =3.（2012广东文）下列函数为偶函数的是.A sin y x = .B 3y x = .C x y e = .D y =。

课题：函数的奇偶性考纲要求：会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性. 教材复习 基本知识方法1.奇偶函数的性质：()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称； ()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.2.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．3.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．4.判断函数的奇偶性的方法：()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；()2图象法；()3性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；5. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 典例分析：题型一：判断或证明函数的奇偶性 问题1．判断下列各函数的奇偶性：()1()(f x x =- ()2 2lg(1)()|2|2x f x x -=--；()3())f x x =； ()4 22(0)()(0)x xx f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩题型二：函数的奇偶性的应用问题2．()1(04上海)设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[]0,5x ∈时， ()f x 的图象如右图，则不等式()0f x <()2（2013哈九中模拟）奇函数()f x 在()0,+∞则在(),0-∞上，函数的解析式是.A ()()1f x x x =-- .B ()()1f x x x =+ .C ()()1f x x x =-+ .D ()()1f x x x =-()3（2011广东）设函数3()cos 1f x x x =+．若()11f a =，则()f a -=问题3．()1设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围()2（2013江苏）已知()f x 是定义在R 上是奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为()3(06黄岗中学月考)已知函数21()log 1x f x x x -=-++，求1()2005f -1()2004f +- 1()2004f +1()2005f +的值.题型三：抽象函数的奇偶性的证明问题5．()1已知函数()f x 满足：()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅对任意的实数x 、y 总成立，且(1)(2)f f ≠.求证：()f x 为偶函数.()2定义在R 上的增函数()y f x =对任意的,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+.①求证：()f x 为奇函数；②若(2)(242)0xxxf k f +--<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围.课后作业：1.已知函数2()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=2.已知1()21xf x m =++为奇函数，则(1)f -的值为3.已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ， 则=)7(f _______4.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于.A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 原点对称 .D 以上均不对5.函数)0)(()1221()(≠-+=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f .A 是奇函数 .B 是偶函数.C 可能是奇函数也可能是偶函数 .D 不是奇函数也不是偶函数6.判断下列函数的奇偶性：()1()f x =； ()2()212()2x xf x +=；()311()212xf x =+-； ()4()3()log 132x xf x -=++；()51()log 1axf x x+=-（其中0a >，1a ≠）7.（03南昌模拟）给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x y e e -=-， 其中是奇函数的是（ ） .A ①② .B ①④ .C ②④ .D ③④8.已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当x ≥0时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时， )(x f 的解析式为_______________9.（06上海春）已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数.当(),0x ∈-∞时，4()f x x x =-，则当()0,x ∈+∞时，()f x =10.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么1()2f 的值为.A.B.C.D 911.（2012郑州二模）设奇函数2,0()0,0(),0x x f x x g x x ⎧<⎪==⎨⎪>⎩，则(3)g =.A 8 .B 18 .C 8- .D 18-、12.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且1()()1f xg x x +=-，则()f x = ， ()g x =13.定义在)1,1(-上的函数1)(2+++=nx x mx x f 是奇函数，则常数=m ____,=n _____14.（2013皖南八校联考）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2f x x x =+（x ≥0），若2(3)(2)f a f a ->则实数a 的取值范围是走向高考：1. （04全国）已知函数1()lg1xf x x -=+，若()f a b =，则()f a -= .A b .B b - .C 1b .D 1b-2. (06全国Ⅰ文）已知函数()1,21xf x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =3.（2013山东）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -= .A 2- .B 0 .C 1 .D 24.（07辽宁文）已知()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---=5.（2011广东）设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 .A ()()f x g x +是偶函数 .B ()()f x g x -是奇函数.C ()()f x g x +是偶函数 .D ()()f x g x -是奇函数6.（07广东）若函数21()sin 2f x x =-()x R ∈，则()f x 是 .A 最小正周期为π2的奇函数.B 最小正周期为π的奇函数 .C 最小正周期为2π的偶函数.D 最小正周期为π的偶函数7.（07海南）设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a =8.（2012重庆）设函数()()(4)f x x a x =+-为偶函数，则实数a =9.(07江苏)设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是 .A (10)-，.B (01)， .C (0)-∞， .D (0)(1)-∞+∞，，10.（2013辽宁文）已知函数)()ln31f x x =+，则1(lg 2)lg 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.A 1- .B 0.C 1.D 211.（2013重庆文）已知函数3()sin 4f x ax b x =++（,a b R ∈），()()2l gl o g 105f =，则()()lg lg2f = .A 5- .B 1- .C 3 .D 412.（2013湖南文）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2f g -+=，(1)(1)4f g +-=，则(1)g = .A 4 .B 3 .C 2 .D 113. （06重庆文）已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。

第三节二次函数与幂函数1.了解幂函数的概念;结合函数y ＝x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝1x ,y ＝x 12的图象,了解它们的变化情况． 2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 突破点一 幂函数[基本知识]1．幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数．对于幂函数,只讨论α＝1,2,3,12,－1时的情形．2．五种幂函数的图象3．五种幂函数的性质 函数 性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域 R R R [0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞) 值域 R [0,＋∞) R [0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞)奇偶性奇偶 奇非奇非偶奇单调性增x ∈[0,＋∞)时,增;x ∈(－∞,0]时,减增增x ∈(0,＋∞)时,减;x ∈(－∞,0)时,减一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数f (x )＝x 2与函数f (x )＝2x 2都是幂函数．( ) (2)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( ) (3)当n >0时,幂函数y ＝x n 在(0,＋∞)上是增函数．( ) 答案:(1)× (2)× (3)√二、填空题1．(2019·贵阳监测)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133,则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 解析:设幂函数的解析式为f (x )＝x α,将⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133代入解析式得3－α＝3,解得α＝－12,∴f (x )＝x-12,f ⎝⎛⎭⎫12＝ 2. 答案: 22．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－11213,则使f (x )＝x α为奇函数且在(0,＋∞)上单调递减的α的值是________．解析:因为f (x )＝x α为奇函数,所以α＝－1,1,3. 又因为f (x )在(0,＋∞)上为减函数,所以α＝－1. 答案:－1 3．若y ＝ax12-2a 是幂函数,则该函数的值域是________．解析:由y ＝ax 12-2a 是幂函数,得a ＝1,所以y ＝x 12,所以y ≥0,故该函数的值域为[0,＋∞)答案:[0,＋∞)[典例感悟]1．与函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )解析:选B y ＝x 12的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y ＝x12－1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图象所示),将y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称后即为选项B.2．已知a ＝345,b ＝425,c ＝1215,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析:选C 因为a ＝8115,b ＝1615,c ＝1215,由幂函数y ＝x 15在(0,＋∞)上为增函数,知a >b >c ,故选C.3．(2019·河北保定调考)幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x 2-6+8m m 在(0,＋∞)上为增函数,则m的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2解析:选B 由题知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＋4＝1m 2－6m ＋8>0解得m ＝1,故选B.[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[针对训练]1．若a ＝⎝⎛⎭⎫1223,b ＝⎝⎛⎭⎫1523,c ＝⎝⎛⎭⎫1223,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c解析:选D ∵y ＝x 23(x >0)是增函数,∴a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523.∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数 ,∴a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1223,∴b <a <c . 2．若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12,则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞－5－12 B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫5－12＋∞ C ．(－1,2)D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫5－122 解析:选D 因为函数y ＝x 12的定义域为[0,＋∞), 且在定义域内为增函数,所以不等式等价于⎩⎨⎧2m ＋1≥0m 2＋m －1≥02m ＋1>m 2＋m －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12m ≤－5－12或m ≥5－12－1<m <2即5－12≤m <2.故选D. 突破点二 二次函数[基本知识]1．二次函数解析式的三种形式一般式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),图象的对称轴是x ＝－b2a ,顶点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－b 2a4ac －b 24a顶点式f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0),图象的对称轴是x ＝m ,顶点坐标是(m ,n )零点式f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0),其中x 1,x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根,图象的对称轴是x ＝x 1＋x 22a >0a <0图象定义域 R值域 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫4ac －b 24a ＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞4ac －b 24a 奇偶性b ＝0时为偶函数,b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞－b 2a 上单调递减,在[ －b2a ,＋∞ )上单调递增在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞－b 2a 上单调递增,在[ －b2a,＋∞ )上单调递减 最值当x ＝－b2a 时,y min ＝4ac －b 24a当x ＝－b2a 时,y max ＝4ac －b 24a一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ,x ∈R,不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ,x ∈[a ,b ]的最值一定是4ac －b 24a.( )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小．( )答案:(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．已知抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上,则m ＝________. 解析:∵抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上, ∴其顶点的纵坐标4×8×(m －7)－(m ＋1)24×8＝0,即m 2－30m ＋225＝0,∴(m －15)2＝0,∴m ＝15. 答案:152．若f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋3,x ∈[a ,b ]的图象关于x ＝1对称,则b ＝________.解析:若f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋3,x ∈[a ,b ]的图象关于x ＝1对称,则a ＋b ＝2,－a ＋22＝1.∴a＝－4,b ＝2－a ＝6.答案:63．函数f (x )＝2x 2－6x ＋1在区间[－1,1]上的最小值是________,最大值是________． 解析:∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎫x －322－72在[－1,1]上为减函数,∴当x ＝1时,f (x )min ＝－3;当x ＝－1时,f (x )max ＝9.答案:－3 9[全析考法]考法一 求二次函数的解析式[例1] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1,f (－1)＝－1,且f (x )的最大值是8,试确定此二次函数的解析式．[解] 法一(利用一般式): 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝－1a －b ＋c ＝－14ac －b 24a ＝8解得⎩⎨⎧a ＝－4b ＝4c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式): 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1),∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12,∴m ＝12.又根据题意,函数有最大值8,∴n ＝8, ∴f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1,∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1,解得a ＝－4, ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三(利用零点式):由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2,x 2＝－1, 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1), 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8, 即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [方法技巧] 求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:考法二 二次函数的图象与性质二次函数图象与性质在高考中单独考查的频率较低,与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出现,考查二次函数的图象与性质的应用．考向一 二次函数的图象识别 [例2] (2019·甘肃武威模拟)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分,图象过点A (－3,0),对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a－b＝1;③a－b＋c＝0;④5a<b.其中正确的结论是()A．②④B．①④C．②③D．①③[解析]∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点,∴b2－4ac>0,即b2>4ac,①正确;二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1,即－b2a＝－1,2a－b＝0,②错误;结合图象知,当x ＝－1时,y>0,即a－b＋c>0,③错误;由对称轴为直线x＝－1知,b＝2a,又∵函数的图象开口向下,∴a<0,∴5a<2a,即5a<b,④正确．故选B.[答案] B[方法技巧]识别二次函数图象应学会“三看”考向二二次函数的性质应用[例3](1)(2018·河南南阳二模)若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x),则()A．f(2)<f(1)<f(4) B．f(1)<f(2)<f(4)C．f(2)<f(4)<f(1) D．f(4)<f(2)<f(1)(2)(2019·齐齐哈尔八中月考)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2,＋∞)上为增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析](1)∵函数f(x)＝ax2＋bx＋c对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x),∴函数图象关于x＝2对称,由a>0知f(x)min＝f(2),由2－1<4－2,得f(1)<f(4),故选A.(2)由a＝1可得f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1,图象开口向上,图象的对称轴为直线x＝2,所以f(x)在区间[2,＋∞)上为增函数．由函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2,＋∞)上为增函数,可得2a≤2,解得a≤1.所以“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2,＋∞)上为增函数”的充分不必要条件,故选A.[答案] (1)A (2)A [方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定一不定,要注意分类讨论;(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解．考向三 二次函数的最值问题 [例4] 已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3. (1)当a ＝2,x ∈[－2,3]时,求函数f (x )的值域;(2)若函数f (x )在[1,3]上的最大值为1,求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时,f (x )＝x 2＋3x －3＝⎝⎛⎭⎫x ＋322－214, 又x ∈[－2,3],所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝－214, f (x )max ＝f (3)＝15,所以所求函数的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－21415.(2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1,即a ≥－12时,f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3, 所以6a ＋3＝1,即a ＝－13,满足题意;②当－2a －12≥3,即a ≤－52时,f (x )max ＝f (1)＝2a －3, 所以2a －3＝1,即a ＝2,不满足题意; ③当1<－2a －12<3,即－52<a <－12时, 此时f (x )max 在端点处取得,令f (1)＝1＋2a －1－3＝1,得a ＝2(舍去), 令f (3)＝9＋3(2a －1)－3＝1,得a ＝－13(舍去)．综上,可知a ＝－13.[方法技巧]求二次函数在给定区间上最值的方法二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (不妨设a >0)在区间[m ,n ]上的最大或最小值如下: (1)当－b2a∈[m ,n ],即对称轴在所给区间内时: f (x )的最小值在对称轴处取得,其最小值是f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ;若－b 2a ≤m ＋n2,f (x )的最大值为f (n );若－b 2a ≥m ＋n2,f (x )的最大值为f (m )．(2)当－b2a∉[m ,n ],即给定的区间在对称轴的一侧时: f (x )在[m ,n ]上是单调函数．若－b2a<m ,f (x )在[m ,n ]上是增函数,f (x )的最小值是f (m ),最大值是f (n );若n <－b2a,f (x )在[m ,n ]上是减函数,f (x )的最小值是f (n ),最大值是f (m )．(3)当不能确定对称轴－b2a是否属于区间[m ,n ]时:则需分类讨论,以对称轴与区间的关系确定讨论的标准,然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值．[集训冲关]1.[考法一]二次函数f (x )的图象经过两点(0,3),(2,3),且函数的最大值是5,则该函数的解析式是( )A ．f (x )＝2x 2－8x ＋11B ．f (x )＝－2x 2＋8x －1C ．f (x )＝2x 2－4x ＋3D ．f (x )＝－2x 2＋4x ＋3解析:选D 二次函数f (x )的图象经过两点(0,3),(2,3),则图象的对称轴为x ＝1, 又由函数的最大值是5,可设f (x )＝a (x －1)2＋5(a ≠0),于是3＝a ＋5,解得a ＝－2, 故f (x )＝－2(x －1)2＋5＝－2x 2＋4x ＋3.故选D.2.[考法二·考向一]设abc >0,二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析:选D 当a <0时,b ,c 异号,排除A 、B 两项;当a >0时,b ,c 同号,排除C 项;D 项中,由图象知a >0,c <0,－b2a>0,故b <0,符合题意． 3.[考法二·考向二]已知函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0),若x 1<x 2,x 1＋x 2＝0,则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与x 的值无关解析:选C 由题知二次函数f (x )的图象开口向下,图象的对称轴方程为x ＝14,因为x 1＋x 2＝0,所以直线x ＝x 1,x ＝x 2关于直线x ＝0对称, 由x 1<x 2,结合二次函数的图象可知f (x 1)<f (x 2)．4.[考法二·考向三]函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2,则实数a 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．[－1,0]解析:选D y ＝－x 2－2ax ＝－(x ＋a )2＋a 2. ∵函数在[0,1]上的最大值是a 2, ∴0≤－a ≤1,即－1≤a ≤0.[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·绵阳模拟)幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象过点(2,4),则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析:选D ∵幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象过点(2,4),∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝12m ＝4解得m ＝2.故选D.2．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3,＋∞)上的最小值为1,则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－2D ．1解析:选C 函数f (x )＝x 2－2x ＋m 图象的对称轴为x ＝1<3,二次函数图象的开口向上,所以f (x )在[3,＋∞)上是增函数,因为函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3,＋∞)上的最小值为1,所以f (3)＝1,即9－6＋m ＝1,解得m ＝－2,故选C.3．(2019·江西赣州厚德外国语学校阶段测试)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3,33),则f (x )是( )A ．偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数B ．偶函数,且在(0,＋∞)上是减函数C ．奇函数,且在(0,＋∞)上是增函数D ．非奇非偶函数,且在(0,＋∞)上是减函数解析:选C 设f (x )＝x a,将点(3,33)代入f (x )＝x a,解得a ＝13,所以f (x )＝x 13,可知函数f (x )是奇函数,且在(0,＋∞)上是增函数,故选C.4．(2019·许昌四校联考)设a ,b 满足0<a <b <1,则下列不等式中正确的是( ) A ．a a <a b B ．b a <b b C ．a a <b a D ．b b <a b解析:选C D 中,幂函数y ＝x b (0<b <1)在(0,＋∞)上为增函数, 又因为a <b ,所以b b >a b ,D 错误;A 中,指数函数y ＝a x (0<a <1)为减函数,因为a <b ,所以a a >a b ,所以A 错误;B 中,指数函数y ＝b x (0<b <1)为减函数,因为a <b ,所以b a >b b ,所以B 错误．故选C. 5．(2019·重庆三校联考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1,并且过点P (－1,7),则a ,b 的值分别是( )A ．2,4B ．－2,4C ．2,－4D ．－2,－4 解析:选C ∵y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1, ∴－b2a＝1. ① 又图象过点P (－1,7),∴a －b ＋1＝7,即a －b ＝6, ② 联立①②解得a ＝2,b ＝－4,故选C.6．(2019·甘肃天水六校联考)若函数f (x )＝x 2－3x －4的定义域为[0,m ],值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－254－4,则m 的取值范围是( )A ．(0,4]B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤324C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤323 D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32＋∞ 解析:选C f (x )＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254,所以f ⎝⎛⎭⎫32＝－254.又f (0)＝－4,所以由二次函数的图象可知,m 的最小值为32,最大值为3,所以m 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤323,故选C.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·衡水武邑中学开学考试)若存在非零的实数a ,使得f (x )＝f (a －x )对定义域上任意的x 恒成立,则函数f (x )可能是( )A ．f (x )＝x 2－2x ＋1B ．f (x )＝x 2－1C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝2x ＋1解析:选A 由存在非零的实数a ,使得f (x )＝f (a －x )对定义域上任意的x 恒成立,可得函数图象的对称轴为x ＝a2≠0,只有f (x )＝x 2－2x ＋1满足题意,而f (x )＝x 2－1,f (x )＝2x ,f (x )＝2x＋1都不满足题意,故选A.2．(2019·安徽名校联考)幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x 3m －m 2(m ∈Z)在(0,＋∞)上都是增函数,则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3解析:选C 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|m －1|>03m －m 2>0m ∈Z解得m ＝2,故选C.3．(2019·浙江名校协作体考试)y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0,＋∞),则a 的取值范围是( )A ．(2,＋∞)B ．(－∞,－1)∪(2,＋∞)C ．[－1,2]D ．[0,2]解析:选D 当a ＝0时,y ＝4x －1,值域为[0,＋∞),满足条件;当a ≠0时,要使y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0,＋∞),只需⎩⎨⎧a >0Δ＝16－8a (a －1)≥0解得0<a ≤2.综上可知a 的取值范围为[0,2]．4．(2019·河南天一大联考)已知点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上,设a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫1312,b ＝f (ln π),c ＝f (2-12),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <aD ．b <a <c解析:选A 因为f (x )＝(m －1)x n 是幂函数,所以m －1＝1,m ＝2,所以f (x )＝x n .因为点(2,8)在函数f (x )＝x n 的图象上,所以8＝2n ⇒n ＝3.故f (x )＝x 3.a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫1312＝⎝⎛⎭⎫1332＝133<1,b ＝f (ln π)＝(ln π)3>1,c ＝f ⎝⎛⎭⎫2-12＝2-32＝122>a .故a ,b ,c 的大小关系是a <c <b .故选A.5．已知y ＝f (x )是偶函数,当x >0时,f (x )＝(x －1)2,若当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－12时,n ≤f (x )≤m 恒成立,则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34D ．1解析:选D 当x <0时,－x >0,f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2,因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－12,所以f (x )min ＝f (－1)＝0,f (x )max ＝f (－2)＝1,所以m ≥1,n ≤0,m －n ≥1.所以m －n 的最小值是1.6．(2019·湖北鄂东南联考)若幂函数y ＝x －1,y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示,则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<mC ．－1<m <0<nD ．－1<n <0<m <1解析:选D 幂函数y ＝x α,当α>0时,y ＝x α在(0,＋∞)上为增函数,且0<α<1时,图象上凸,∴0<m <1;当α<0时,y ＝x α在(0,＋∞)上为减函数,不妨令x ＝2,根据图象可得2－1<2n ,∴－1<n <0,综上所述,选D.7．若(a ＋1) 12<(3－2a )12,则实数a 的取值范围是________． 解析:易知函数y ＝x 12的定义域为[0,＋∞),在定义域内为增函数, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥03－2a ≥0a ＋1<3－2a解得－1≤a <23.答案:⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－1238．(2019·马鞍山月考)已知二次函数f (x )是偶函数,且f (4)＝4f (2)＝16,则函数f (x )的解析式为________．解析:由题意可设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0),则f (4)＝16a ＋c ＝16,4f (2)＝4(4a ＋c )＝16a ＋4c ＝16,所以a ＝1,c ＝0,故f (x )＝x 2.答案:f (x )＝x 29．(2019·泉州质检)若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b (a ≠0)的最小值为0,则a ＋4b 的取值范围为________．解析:由已知可得,a >0,且判别式Δ＝1－4ab ＝0,即ab ＝14,∴b >0,∴a ＋4b ≥24ab ＝2( 当且仅当a ＝1,b ＝14时等号成立 ),即a ＋4b 的取值范围为[2,＋∞)．答案:[2,＋∞)10．(2019·山西一模)已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ,m 2－m ]上的奇函数,则f (m )＝________.解析:由已知有－3－m ＋m 2－m ＝0, 即m 2－2m －3＝0, ∴m ＝3或m ＝－1;当m ＝3时,函数f (x )＝x －1,x ∈[－6,6], 而f (x )在x ＝0处无意义,故舍去．当m ＝－1时,函数f (x )＝x 3,此时x ∈[－2,2], ∴f (m )＝f (－1)＝(－1)3＝－1. 综上可得,f (m )＝－1. 答案:－111．(2019·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,若x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围．解:f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24－a ＋3,令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． (1)当－a2<－2,即a >4时,g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0,∴a ≤73.又a >4,∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2,即－4≤a ≤4时,g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0, ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4,∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2,即a <－4时,g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0,∴a ≥－7.又a <－4,∴－7≤a <－4.综上可知,a 的取值范围为[－7,2]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0,b ∈R,c ∈R)． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0,且c ＝1,F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )x >0－f (x )x <0求F (2)＋F (－2)的值;(2)若a ＝1,c ＝0,且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b 的取值范围． 解:(1)由已知c ＝1,a －b ＋c ＝0,且－b2a＝－1, 解得a ＝1,b ＝2,∴f (x )＝(x ＋1)2,∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2x >0－(x ＋1)2x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.(2)由题可知,f (x )＝x 2＋bx ,原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立, 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0,－1x －x 的最大值为－2, ∴－2≤b ≤0,故b 的取值范围是[－2,0]．[C 级 难度题——适情自主选做]1．(2019·衡水模拟)已知函数f (x )＝－10sin 2x －10sin x －12,x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2m 的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－122,则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π30 B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π60 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6π3解析:选B 由题意得f (x )＝－10⎝⎛⎭⎫sin 2x ＋sin x ＋14＋2,x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2m ,令t ＝sin x ,则f (x )＝g (t )＝－10( t ＋12 )2＋2,令g (t )＝－12,得t ＝－1或t ＝0,由g (t )的图象,可知当－12≤t ≤0时,f (x )的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－122,所以－π6≤m ≤0.故选B.2．若a >b >1,0<c <1,则( ) A ．a c <b c B ．ab c <ba c C ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c解析:选C ∵y ＝x α,α∈(0,1)在(0,＋∞)上是增函数, ∴当a >b >1,0<c <1时,a c >b c ,选项A 不正确． ∵y ＝x α,α∈(－1,0)在(0,＋∞)上是减函数, ∴当a >b >1,0<c <1,即－1<c －1<0时, a c －1<b c －1,即ab c >ba c ,选项B 不正确． ∵a >b >1,∴lg a >lg b >0,∴a lg a >b lg b >0, ∴a lg b >b lg a.又∵0<c <1,∴lg c <0. ∴a lg c lgb <b lg clg a,∴a log b c <b log a c ,选项C 正确． 同理可证log a c >log b c ,选项D 不正确．3．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2,则a 的值为( ) A ．2 B ．－1或－3 C ．2或－3D ．－1或2解析:选D 函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图象的对称轴为x ＝a ,且开口向下,分三种情况讨论如下:①当a ≤0时,函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数, ∴f (x )max ＝f (0)＝1－a , 由1－a ＝2,得a ＝－1.②当0<a ≤1时,函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,a ]上是增函数,在(a,1]上是减函数, ∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1, 由a 2－a ＋1＝2,解得a ＝1＋52或a ＝1－52, ∵0<a ≤1,∴两个值都不满足,舍去．③当a >1时,函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数, ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2,∴a ＝2. 综上可知,a ＝－1或a ＝2.4．(2019·上海长宁区一模)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1,如果使f (x )≤kx 对任意实数x ∈(1,m ]都成立的m 的最大值是5,则实数k ＝________.解析:设g (x )＝x 2＋(2－k )x ＋1,不等式g (x )≤0的解集为a ≤x ≤b .则Δ＝(2－k )2－4≥0,解得k ≥4或k ≤0.又因为函数f (x )＝x 2＋2x ＋1,且f (x )≤kx 对任意实数x ∈(1,m ]恒成立; 所以(1,m ]⊆[a ,b ],所以a ≤1,b ≥m , 所以g (1)＝4－k <0,解得k >4, m 的最大值为b ,所以有b ＝5.即x ＝5是方程g (x )＝0的一个根,代入x ＝5,解得k ＝365. 答案:365。

高三数学第一轮复习07幂函数·知识梳理·模块01：幂函数的定义与图像1、定义：当指数a 固定，等式ay x =确定了变量y 随变量x 变化的规律，称为指数为a 的幂函数。

使得ax 有意义的x 的取值范围，称为此幂函数的定义域.幂函数的定义域可以是不同的的，它与指数a 的值有关．注意：幂函数的底数是变量x ，系数是1，a R ∈。

2、幂函数的图像①当21()a n n Z =+∈时，ay x =的图像关于原点成中心对称；当2()a n n Z =∈时，ay x =的图像关于y 轴对称；②nmy x ==，当n 是偶数，m 是奇数时，nm y x =的图像关于y 轴对称；当n 是奇数，m 是奇数时，n m y x =的图像原点成中心对称；当n 是奇数，m 是偶数时，n m y x =只在第一象限有图像(指数大于0时，加上原点)。

模块02：幂函数的性质1、当0a >时，幂函数ay x =有下列性质：①图像都通过点(0,0),(1,1)；②在区间(0,)+∞上严格递增；③在第一象限内，1a >时，图像是向下凸的上升曲线；当01a <<时，图像是向上凸的上升曲线．2、当0a <时，幂函数a y x =有下列性质：①图像都通过点(1,1)；②在区间(0,)+∞上严格递减，图像是向下凸的下降曲线．（在第一象限内||a 越大，图像下落的速度越快）[注意]无论a 取任何实数，幂函数ay x =的图像必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

模块03：函数图像变换1、平移变换（左＋右－，上＋下－）①()()0y f x a a =±>的图象，由()y f x =的图象沿x 轴方向向左(a +)或向右(a -)平移a 个单位得到；②()()0y f x b b =±>的图象，由()y f x =的图象沿y 轴方向向上(b +)或向下(b -)平移b 个单位得到。

课题：集合的概念教学目标：集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法.教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用. 教学过程：（一）主要知识：1.集合、子集、空集的概念；两个集合相等的概念2. 集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；3. 若有限集A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n一1,非空子集有2n -1个, 非空真子集有2n -2个.4. 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集5. 若A B, B C，则A C6. A A U B,A「IB A,A D B A U B.7. A B= A U B=B;A B= A“B=A.（二）主要方法：1. 解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么，即元素分析法的掌握.2. 弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；3. 抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；4. 正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化.（三）典例分析：I、可题1：已知集合M ={xx=3 n,n e1}, N={xx = 3 n+1, n^z }, Phxx=3 n—1, n Z?,且a M ,b N ,c P，设d=a—b c，贝yAd M B. d N C. d P D. d MUN问题2：设集合A={xx=a2+2a+4}, B=<yy=b2—4b+7}.1若a，R , b R，试确定集合A与集合B的关系；2 若a N , b R, 的关系.问题3:2008年第29届奥运会将在北京召开，现有三个实数的集合，既可以表示为「a，b，"，也可以表示为〈a2,a b,0 ?,则a2008 - b2008二______________问题4：（02新课程）设M={x|x=：2 {，匕Z},N ={x|x = £舟,k Z}则A. M 二N B. M = N C. M Y N D. M 门N =：_问题5：①若A =| x2• ax • 1 =0, x • R1 , B - ",2?，且A。