函数零点问题

【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2bx a=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二 图像法使用情景一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.学科@网【例2】（2017全国高考新课标I理科数学）已知函数2()(2)x xf x ae a e x=+--.（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求a的取值范围.(2) ①若0,a≤由（1）知()f x至多有一个零点.②若0a>，由（1）知当lnx a=-时，()f x取得最小值，1(ln)1lnf a aa-=-+.（i）当1a=时，(ln)f a-=0，故()f x只有一个零点.（ii）当(1,)a∈+∞时，由于11ln aa-+>0，即(ln)0f a->，故()f x没有零点.（iii）当0,1a∈（）时，11ln0aa-+<，即(ln)0f a-<.422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>故()f x在(,ln)a-∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln,()n n n nn n f n e ae a n e n naa f xa>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a∈（）时，要先判断(,ln)a-∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln)0f a-<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>要说明(2)0f->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae--+.(3) 当0,1a∈（）时，要判断(ln,)a-+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； (2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3) 当a 取正实数时，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.方法三 方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x =,重新构造方程()()g x h x =,再画函数(),()y g x y h x ==的图像分析解答.【例4】函数()lg cos f x x x =-的零点有 （ ） A ．4 个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个【点评】（1）本题主要考察零点的个数，但是方程f(x)lg cos 0x x =-=也不好解，直接研究函数的单调性不是很方便，所以先令()lg cos 0f x x x =-=,可化为lg cos x x =,再在同一直角坐标系下画出lg y x =和cos y x =的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln ,1,02f x x m xg x x m x m =-=-+>． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：函数零点个数问题的求解方法参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1)2，15(,12+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1)+∞；【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是(),m+∞, 单调递减区间是()0,m；（2）1．学科@网【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x的定义域为()()()()0,,'x m x mf xx+-+∞=．当0x m<<时，()'0f x<,函数()f x单调递减，当x m>时，()'0f x>函数()f x单调递增，综上，函数()f x的单调递增区间是(),m+∞, 单调递减区间是()0,m．（2）令()()()()211ln,02F x f x g x x m x m x x=-=-++->,问题等价于求函数()F x的零点个数，()()()1'x x mF xx--=-,当1m=时，()'0F x≤，函数()F x为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。

函数零点问题
函数零点问题，又称为函数根搜索问题，是求解一元函数或多元函数的实根的方法。

即在给定的一个区间[a,b]内求解f(x)=0的根，其中f(x)是一个连续函数。

该问题的求解最常用的方法是二分法和牛顿迭代法。

二分法是一种简单而有效的求解函数零点的方法，它的基本思想是将定义域划分为两个子区间，如果函数在两个子区间的符号不同，则说明该区间存在函数零点，然后再把该区间一分为二，得到新的两个子区间，重复上述步骤，直至找到函数零点的精确位置。

牛顿迭代法是一种根据函数的导数来求函数零点的一种方法，它的基本思想是：令函数f(x)在某点x0上的切线与X轴相交于点P，然后选择P作为下一个迭代点，重复该过程，直至收敛到函数零点。

高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。

分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。

函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点，即f(x)=0的解。

在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中，函数零点常见的题型有很多种，这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。

一、题型归纳1. 求解一元函数零点：例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。

2. 求解二元函数零点：例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。

3. 求解多项式方程零点：例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。

4. 求解参数方程零点：例如求解x(t) = t^2-t+2，y(t) =t^3-t^2+2t-2，求解当f(x,y)=0时对应的参数t。

5. 利用零点求解函数的性质：例如已知f(x)的零点及其性质，求解f'(x)或f''(x)的零点。

6. 证明存在或不存在零点：例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。

二、解题技巧1. 分类讨论：对于不同的函数类型，采用不同的方法求解零点。

例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等，都有相应的求解方法。

2. 利用代数方法：通过代数运算，将原方程转化为容易求解的方程。

例如将原方程化为因式分解的形式，利用韦达定理等。

3. 利用几何方法：将方程与几何图形进行关联，求解图形的相交点即为零点。

例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。

4. 利用数学分析方法：利用微积分知识，如导数、二分法、牛顿法等，求解零点。

例如，求解f'(x)=0的零点，可以找到函数的拐点；二分法则多用于求解逼近零点。

5. 利用数值方法：通过计算机进行数值逼近求解零点。

例如求解非线性方程组零点时，可以采用牛顿法、拟牛顿法等。

6. 利用泰勒展开：对于非常复杂的函数，可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开，将高次函数近似为低次函数（如线性、二次），再求解零点。

7. 利用解析几何方法：通过解析几何知识，求解平面或空间上的几何问题。

方法技巧专题15方程的解与函数的零点问题方程的解与函数的零点问题是数学中的一个重要概念和技巧。

解方程是数学中的基础操作，它是指找出能够满足给定条件的未知数的值。

而函数的零点则是指函数取零值的横坐标值。

本文将介绍一些常用的方法和技巧来解决方程的解与函数的零点问题。

一、一次方程与一次函数的零点问题一次方程是指形如ax + b = 0的方程，其中a、b为实数，且a≠0。

解一次方程的方法是将未知量移到一边，常数移到另一边，然后用系数除以未知量的系数，求出未知量的值。

例如求解方程2x + 3 = 0，可以将3移到等号右边，得到2x = -3，再除以2，得到x = -3/2，即方程的解为x = -3/2、而一次函数的零点则是指函数图像与x轴的交点，即函数取零值的横坐标值。

求一次函数的零点与解一次方程类似，将函数值设为0，将未知量移到一边，常数移到另一边，然后用系数除以未知量的系数，求出未知量的值。

二、二次方程与二次函数的零点问题二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a≠0。

解二次方程的方法有配方法、因式分解法和求根公式法。

配方法是指通过变形将二次方程转化为一次方程的求解过程。

例如，对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，可以通过将方程左边的二次项与右边的系数进行相互配对，然后将一次项系数的两倍加在方程左边和右边的常数项上，得到(x + 1)^2 - 1 = 0，然后再通过移项和因式分解的方法，得到(x + 2)(x + 1) = 0，进而求出方程的解为x = -2和x = -1、而二次函数的零点则是指函数图像与x轴的交点，即函数取零值的横坐标值。

求二次函数的零点与解二次方程类似，将函数值设为0，将未知量移到一边，常数移到另一边，然后通过配方法、因式分解法或求根公式法，求出未知量的值。

三、高次方程与高次函数的零点问题高次方程是指次数大于2的方程，如三次方程x^3+2x^2-x+1=0。

函数零点的7种问题及解法1．若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间()a．(0,1) b．(1,1.25)c．(1.25,1.75) d．(1.75,2)解析：设f(x)＝lg x ＋x－2，则f(1.75)＝f74＝lg 74－，f(2)＝lg 20.答案：d2．函数f(x)＝x2＋2x－3，x0，－2＋lnx，x0的零点个数为()a．0个 b．1个 c．2个 d．3个解析：：x0时由x2＋2x－3＝0x＝－3；x0时由－2＋lnx＝0x＝e2.答案：c3．设函数f(x)＝x2－x＋a(a0)，若f(m)0，则()a．f(m－1)0b．f(m－1)0c．f(m－1)＝0d．f(m－1)与0的'大小不能确定解析：融合图象极易推论．答案：a4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间就是()a．(－2，－1) b. (－1,0)c. (0,1) d．(1,2)解析：因为f(0)＝－10，f(1)＝e－10，所以零点在区间(0,1)上，选c.答案：c5．函数f(x)＝4x－2x＋1－3的零点是________解析：由4x－2x＋1－3＝0(2x＋1)(2x－3)＝02x＝3, x＝log23.答案：log236．函数f(x)＝(x－1)(x2－3x＋1)的零点就是__________．解析：利用定义可求解．答案：1，7．若函数y＝x2－ax＋2有一个零点为1，则a等于__________．解析：由零点定义可以解．答案：38．未知函数f(x)＝logax＋x－b(a0且a1)，当时，函数f(x)的零点为x0(n，n＋1)(nn*)，则n＝________.解析：根据f(2)＝loga2＋2－blogaa＋2－3＝0，f(3)＝loga3＋3－blogaa＋3－4＝0，x0(2,3)，故n＝2.答案：29．证明：方程x2x＝1至少有一个小于1的正根．证明：令f(x)＝x2x－1，则f(x)在区间(－，＋)上的图象是一条连续不断的曲线．当x＝0时，f(x)＝－10.当x＝1时，f(x)＝10.f(0)f(1)0，故在(0,1)内至少有一个x0，当x＝x0时，f(x)＝0.即至少有一个x0，满足01，且f(x0)＝0，故方程x2x＝1至少有一个小于1的正根．。

专题13 函数的零点的问题一、题型选讲题型一 函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 例1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．例2、(2018扬州期末）已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝ax ＋b ，a ，b ∈R . 若对任意实数a ，函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．例3、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba 的值；题型二 函数零点个数证明与讨论函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点。

例4、(2017南通一调）已知函数f (x )＝ax 2－x －ln x ，a ∈R .(1) 当a ＝38时，求函数f (x )的最小值；(2) 若－1≤a ≤0，证明：函数f (x )有且只有一个零点； (3) 若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．例5、（2016南通一调）已知函数f (x )＝a ＋x ln x (a ∈R )．(1) 求f (x )的单调区间；(2) 试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．题型三 函数零点问题的不等式的证明函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围以及证明零点方面的不等问题时，这些问题时要用到这三者的灵活转化。

浅谈⾼中数学零点问题 函数的零点是考纲上要求的基本内容，也是⾼中新课程标准新增内容之⼀，是函数的重要性质。

接下来店铺为你整理了浅谈⾼中数学零点问题，⼀起来看看吧。

浅谈⾼中数学零点问题篇⼀ ⼀、求函数的零点 例1求函数y=x2-(x<0)2x-1(x≥0)的零点。

解：令x2-1=0(x<0)，解得x=1， 2x-1=0(x≥0)，解得x=。

所以原函数的零点为和-1和。

点评：求函数f(x)的零点，转化为⽅程f(x)=0，通过因式分解把⽅程转化为⼀(⼆)次⽅程求解。

⼆、判断函数零点个数 例2求f(x)=x-的零点个数。

解：函数的定义域(-∞，0)∪(0，+∞)。

令f(x)=0即x-=0， 解得：x=2或x=-2。

所以原函数有2个零点。

点评：转化为⽅程直接求出函数零点，注意函数的定义域。

三、根据函数零点反求参数 例3若⽅程ax-x-a=0有两个解,求a的取值范围。

析：⽅程ax-x-a=0转化为ax=x+a。

由题知，⽅程ax-x-a=0有两个不同的实数解，即函数y=ax与y=a+x 有两个不同的交点，如图所⽰。

(1)0此种情况不符合题意。

(2)a>1。

直线y=x+a 在y轴上的截距⼤于1时，函数y=ax与函数y=a+x 有两个不同的交点。

所以a<0与0 点评：采⽤分类讨论与⽤数形结合的思想。

四、⽤⼆分法近似求解零点 例4求函数f(x)=x3+x2-2x-2的⼀个正数零点(精确到0.1)。

解：(1)第⼀步确定零点所在的⼤致区间(a，b)，可利⽤函数性质，也可借助计算机，但尽量取端点为整数的区间，并尽量缩短区间长度，通常可确定⼀个长度为1的区间。

(2)列表如下： 零点所在区间中点函数值区间长度 (1，2)f(1.5) >0 1 (1，1.5) f(1.25) <00.5 (1.25,1.5) f(1.375) <00.25 (1.375,1.5) f(1.438)>0 0.125 (1.375,1.438) f(1.4065)>0 0.0625 可知区间(1.375，1.438)长度⼩于0.1，故可在(1.375，1.438)内取1.4065作为函数f(x)正数的零点的近似值。