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第五章 第一节 数例的概念与简单表示法
课下练兵场
一、选择题
1.在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2， ∈N *)，则a
3a 5
的值是 ( ) A.15
16 B.158 C.34 D.3
8
解析：由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，
∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12，
∴1
2a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3，
∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝2
3，
∴a 3
a 5＝
1223
＝3
4.
答案：C
2.下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是
( )
A.a n ＝n 2－n ＋1
B.a n ＝n (n －1)
2
C.a n ＝n (n ＋1)
2 D.a n ＝n (n ＋2)
2
解析：从图中可观察星星的构成规律，
n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个；
n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…
∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝
n (n ＋1)2
. 答案：C
3.若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 17＝ ( ) A.1 B.2 C.12
D.2－987 解析：由已知得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12
，a 7＝1，a 8＝2，a 9＝2，a 10＝1，a 11＝12，a 12＝12，即a n 的值以6为周期重复出现，故a 17＝12
. 答案：C
4.在数列{a n }中，a n ＝4n －52
，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，n ∈N *，其中a ，b 为常数，则ab 等于 ( )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
解析：法一：n ＝1时，a 1＝32
， ∴32
＝a ＋b ， ① 当n ＝2时，a 2＝112，∴32＋112
＝4a ＋2b ， ② 由①②得，a ＝2，b ＝－12
，∴ab ＝－1. 法二：a 1＝32，S n ＝n (a 1＋a n )2＝2n 2－12
n ， 又S n ＝an 2＋bn ，∴a ＝2，b ＝－12
， ∴ab ＝－1.
答案：B
5.对于任意函数f (x )，x ∈D ，可构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x 0∈D ，经过数列发生器后输出x 1＝f (x 0)；
②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2＝f (x 1)，并依此规律继续下去.
现定义f (x )＝2x ＋1，D ＝(0,1000)，若输入x 0＝1，这样，当发生器结束工作时，输出数据的总个数为 ( )
A.8
B.9
C.10
D.11 解析：依题意得，x 1＝f (x 0)＝f (1)＝3，当n ≥2时，若x n －1∈D ，则输出x n ＝f (x n －1)
＝2x n －1＋1.
由此得到输出数据分别为：3,7,15,31,63,127,255,511,1 023.
故当发生器结束工作时，输出数据的总个数为9.
答案：B
6.已知数列{a n }、{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a 、b 为常数)，且a ＞b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：设an ＋2＝bn ＋1，
∴(a －b )n ＋1＝0，
∵a ＞b ，n ＞0，
∴(a －b )n ＋1＝0不成立.
答案：A
二、填空题
7.数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则{a n }的通项公式a n ＝ .
解析：由已知，a n ＋1－a n ＝2n ，故a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n (n －1).
答案：n (n －1)
8.数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )可以是 . 解析：从上面的规律可以看出15,26a b a b +=⎧⎨
-=⎩
解上式得41
2.112
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
答案：(412，－112
) 9.已知数列{a n }中，a 1＝1，na n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1(n ≥2)，则a 2019＝ . 解析：∵na n ＝a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1(n ≥2)，
∴(n －1)a n －1＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －2)a n －2(n ≥3).
两式两边分别相减，
得na n －(n －1)a n －1＝(n －1)a n －1(n ≥3)，
即na n ＝2(n －1)a n －1，∴a n a n －1
＝2×n －1n (n ≥3). 又易知a 2＝12，故a 2019＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a 2010a 2009＝22019×12×23×…×20092010＝220092010
. 答案：220092010
三、解答题
10.已知数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *).求数列{a n }的通项公式a n . 解：法一：(累加法)
∵a n ＋1＝a n ＋2n －1，
∴a n －a n －1＝2(n －1)－1，
a n －1－a n －2＝2(n －2)－1，
…
a 3－a 2＝2×2－1，
a 2－a 1＝2×1－1.
以上各式左右两边分别相加得
a n －a 1＝2 [1＋2＋3＋…＋(n －1)]－(n －1)
＝n (n －1)－(n －1)＝(n －1)2.
∴a n ＝(n －1)2.
法二：(迭代法)
∵a n ＋1＝a n ＋2n －1，
∴a n ＝a n －a n －1＋a n －1
＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋a n －2
＝…
＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2(n －1)－1＋2(n －2)－1＋…＋2×2－1＋2×1－1＋0 ＝(n －1)2.
11.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且 n ≥2)，求该数列的通项公式.
解：由S 1＝1得a 1＝1，又由S 2＝2可知a 2＝1. ∵S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)，
∴S n ＋1－S n －2S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)， 即(S n ＋1－S n )－2(S n －S n －1)＝0(n ∈N *且n ≥2)， ∴a n ＋1＝2a n (n ∈N *且n ≥2)，故数列{a n }从第2项起是以2为公比的等比数列.
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝21,1,2,1
n n n N n *-=⎧∈⎨>⎩ 12.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －30.
(1)求数列的前三项，60是此数列的第几项？
(2)n 为何值时，a n ＝0，a n ＞0，a n ＜0？
(3)该数列前n 项和S n 是否存在最值？说明理由. 解：(1)由a n ＝n 2－n －30，得
a 1＝1－1－30＝－30，
a 2＝22－2－30＝－28，
a 3＝32－3－30＝－24.
设a n ＝60，则60＝n 2－n －30.解之得n ＝10或n ＝－9(舍去). ∴60是此数列的第10项.
(2)令n 2－n －30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去). ∴a 6＝0.
令n 2－n －30＞0，解得n ＞6或n ＜－5(舍去). ∴当n ＞6(n ∈N *)时，a n ＞0.
令n 2－n －30＜0，解得－5＜n ＜6.
又n ∈N *，∴0＜n ＜6.
∴当0＜n ＜6(n ∈N *)时，a n ＜0.
(3)由a n ＝n 2－n －30＝(n －12)2－3014
，n ∈N *， 知{a n }是递增数列，
且a 1＜a 2＜…＜a 5＜a 6＝0＜a 7＜a 8＜a 9＜…， 故S n 存在最小值S 5＝S 6，S n 不存在最大值.。
