西安理工附中高二数学

西安理工高等数学教材下册西安理工高等数学教材下册是一本专为大学本科高等数学课程编写的教材。

本教材是根据教学大纲和教学需要编写的，旨在帮助学生更好地理解和掌握高等数学的基本概念、原理和应用。

第一章：极限与函数在第一章中，我们将学习极限与函数的相关概念。

通过引入数列极限和函数极限的概念，帮助学生理解极限的定义和性质。

同时，我们还会介绍函数的连续性和导数的概念，重点讲解连续函数的性质和导数的计算方法。

第二章：导数与微分第二章主要涉及导数与微分的研究。

我们将介绍导数的定义和性质，包括导数的四则运算、链式法则和隐函数求导等内容。

同时，我们还会详细讲解微分的概念和应用，如泰勒展开式和微分中值定理等。

第三章：积分与不定积分在第三章中，我们将学习积分与不定积分的相关知识。

通过引入定积分和不定积分的概念，帮助学生理解积分的定义和性质，包括积分的可加性和线性性等。

同时，我们还会介绍牛顿-莱布尼茨公式和反常积分等内容。

第四章：定积分应用第四章主要围绕定积分的应用展开。

我们将通过实际问题的分析与求解，帮助学生熟悉应用定积分解决实际问题的方法和步骤。

具体内容包括曲线长度、旋转体体积和质量、平面图形的面积等。

第五章：多元函数与偏导数在第五章中，我们将学习多元函数与偏导数的知识。

通过引入多元函数的概念和偏导数的定义，帮助学生理解多元函数的性质和偏导数的计算方法。

同时，我们还会介绍高阶偏导数、全微分和隐函数求导等内容。

第六章：多元函数的积分学第六章主要涉及多元函数的积分学。

我们将学习二重积分和三重积分的概念和计算方法，包括直角坐标系下的积分和极坐标系下的积分等。

同时，我们还会讲解坐标系变换和曲线曲面积分等内容。

第七章：无穷级数在第七章中，我们将学习无穷级数的概念和性质。

通过引入级数和收敛性的概念，帮助学生理解级数的定义和性质。

同时，我们还会讲解常数项级数、幂级数和傅里叶级数等内容。

第八章：常微分方程第八章主要围绕常微分方程展开。

一、选择题1．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，BAC 与BCD △均为直角三角形，且90BAC BCD ∠=∠=︒，AB AC =，112CD BC ==，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AD 成30的角，则线段PA 长的取值范围是（ ）A ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．60,3⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C ．(0,1]D ．(0,2⎤⎦ 2．在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为（ ）A ．a c b +-B ．a +2b c -C ．c b a +-D ．a c +-2b3．已知直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2ABC AB BC CC ︒∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．35B ．35C ．45D ．45- 4．如图，在几何体111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，111////AA BB CC ，1AA ⊥平面ABC ，若E 是棱11B C 的中点，且1112AB AA CC BB ===，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．1313 B ．1313 C ．2613D ．26135．已知空间三点坐标分别为A （4,1,3），B(2,3,1），C （3,7，-5），又点P （x,-1,3) 在平面ABC 内，则x 的值 （ ）A ．-4B ．1C ．10D ．116．已知正方体1111ABCD A B C D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A ．105B ．1010C ．32D ．627．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55D ．228．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为,3π=,,a AB b CD =则=a b ⋅ A ．5-B ．1-C ．3-D ．6- 9．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．16010．四棱锥P ABCD -中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的高为（ ）A 5B ．15C ．25D 25 11．已知()()2,,,1,21,0a t t b t t ==--，则b a -的最小值是( )A 2B 3C 5D 612．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）A ．12B ．24C ．22D ．32二、填空题13．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．14．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱11D C 的中点，则直线BM 和平面11A C B 所成角的正弦为_____________________.15．已知直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的一个方向向量为_______________.16．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B （含端点）上的任一点，则直线ME 与平面1D EF 所成角的正弦值的最小值为_________. 17．如图所示的是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是________．18．在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为__________． 19．在棱长为2的正方体△ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1、CD 的中点，则点B 到截面AMC 1N 的距离为_____.20．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________.三、解答题21．如图，在三棱锥P ABE -中，AB AE ⊥，PA ⊥平面ABE ，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，122AB AP AE ===.（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正弦.22．如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ⊥平面ABCD O M ，，分别为线段AD DE ，的中点．四边形BCDO 是边长为1的正方形，,AE DE AE DE =⊥．（Ⅰ）求证：//CM 平面ABE ；（Ⅱ）求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（Ⅲ）点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长．23．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．24．如图，在四棱锥S ABCD -中，侧面SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD ，底面为直角梯形且90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==，CD SD =，点M 是SA 的中点.（1）求证：BD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60︒，求SD 与平面MBD 所成角的正弦值. 25．如图，在ABC 中，90B ∠=︒，2AB =，1BC =，D ,E 两点分别是边AB ，AC 的中点，现将ABC 沿DE 折成直面角A DE B --．（1）求证：平面ADC ⊥平面ABE ；（2）求直线AD 与平面ABE 所成角的正切值26．如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒，2AB AD CD ==，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD △为等腰直角三角形，90APD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD PB ⊥；（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA 长的取值范围.【详解】如图，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,1,1,0,2,0,1,0,0C A B D ，设(),0,0Q q ()01q ≤≤，设()0,,AP AB λλλ==-()01λ<≤，则()(,0,0)(0,1,1)(0,,)(,1,1)PQ CQ CA AP q q λλλλ=-+=---=---， (1,1,1)AD =--，异面直线PQ 与AD 成30的角，22||3cos30||||223PQ AD PQ AD q λ⋅∴===⋅++⋅， 22182516q q λ∴+=-+，201,516[0,11]q q q ≤≤∴-+∈，即22182018211λλ⎧+≥⎨+≤⎩，解得22λ≤≤ 201,02λλ<≤∴<≤， 可得2||||22(0,1]PA AP λλ===∈.故选：C.【点睛】利用向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.2．D解析：D【分析】作出图形，根据条件得出BD BA BC =+，再得到BA a b =-，BC c b =-，即可求解， 得到答案.【详解】如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，则BD BA BC =+， 在OAB ∆中，BA OA OB a b =-=-，在OBC ∆中，BC OC OB c b =-=-，故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．C解析：C【解析】【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【详解】解：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则11(1,0,0),(0,0,2),(0,0,0),(0,1,2)A B B C ，11(1,0,2),(0,1,2)AB BC =-=，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 则1111||4cos 5||||55AB BC AB BC θ⋅===⋅⋅. ∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为45.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．C解析：C【解析】【分析】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值【详解】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝CC 1＝2BB 1＝2，则A 131，2），A 310，，），C 1（0，0，2），B 1（0，2，1），E （0，1，32）， 1A E =（3-0，12-），1AC =（31，2）， 设异面直线A 1E 与AC 1所成角为θ，则cosθ1111261384A E AC A E AC ⋅===⋅⋅． ∴异面直线A 1E 与AC 126． 故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．D解析：D【分析】利用平面向量的共面定理即可求出答案【详解】(),1,3P x -点在平面ABC 内,λμ∴存在实数使得等式AP AB AC λμ=+成立()()()4,2,02,2,21,6,8x λμ∴--=--+--42226028x λμλμλμ-=--⎧⎪∴-=+⎨⎪=--⎩，消去λμ，解得11x =故选D【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，共面向量定理的应用，熟练掌握平面向量的共面定理是解决本题的关键，属于基础题。

陕西省西安市大学附中高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于( )A．4B．C．4D．参考答案：A【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先求得A，进而利用正弦定理求得b的值．【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，由正弦定理知=，∴b===4，故选A．【点评】本题主要考查了正弦定理的运用．考查了学生对基础公式的熟练应用．2. 命题p:“”,则为A. B.C. D.参考答案：D由全称命题的否定为特称命题，可得命题p:“ x∈(0,2π)，cos x＞－2x”,则p为：x0∈(0,2π)，cos x0≤－2x，故选D.3. 从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为（）A． B.C． D.不确定参考答案：B略4. 在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,,恒有,则（）A．平面与平面垂直B．平面与平面所成的(锐)二面角为C．平面与平面平行D．平面与平面所成的(锐)二面角为参考答案：A5. 已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则｜AN｜＋｜BN｜＝（）A．4 B．8C．12 D．16参考答案：B6. 在等比数列中，已知，则（）A、10B、50C、25D、75参考答案：C[KS5UKS5U]考点：等比数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.7. 设双曲线的渐近线方程为，则A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C略8. 由十个数码和一个虚数单位可以组成虚数的个数为（）A B CD参考答案：A略9. 设集合A＝｛x｜0≤x≤6｝，B＝｛y｜0≤y≤2｝，从A到B的对应法则f不是映射的是（）.A. f：x→y＝xB. f：x→y＝xC. f：x→y＝xD. f：x→y＝x参考答案：A10. 二项式的展开式的常数项为第（）项A： 17 B：18 C：19 D：20参考答案：C 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式组表示的平面区域M 面积为，若点（x，y ）∈M ，则x ﹣3y的最大值为．参考答案：，﹣1【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，联立方程组求出三角形顶点坐标，则面积可求；令z=x﹣3y，化为y=，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（）；联立，解得B（2，1）；联立，解得C（1，2）．∴平面区域M面积为S=；令z=x﹣3y，化为y=，由图可知，当直线y=过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值﹣1．故答案为：，﹣1．12. 双曲线x2﹣2y2=16的实轴长等于．参考答案：8【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线x2﹣2y2=16，化为标准方程为﹣=1，即可求得实轴长．【解答】解：双曲线x2﹣2y2=16，化为标准方程为﹣=1，∴a2=16，∴a=4，∴2a=8，即双曲线x2﹣2y2=16的实轴长是8．故答案为：8．【点评】本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是将双曲线方程化为标准方程，属于基础题．13. 双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为．参考答案：﹣1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先把双曲线8kx2﹣ky2=8的方程化为标准形式，焦点坐标得到c2=9，利用双曲线的标准方程中a，b，c的关系即得双曲线方程中的k的值．【解答】解：根据题意可知双曲线8kx2﹣ky2=8在y轴上，即，∵焦点坐标为（0，3），c2=9，∴，∴k=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，注意化成双曲线的标准方程中a，b，c的关系．14. 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．参考答案：【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键． 15. 一个半球的全面积为，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 .参考答案：解析：16.双曲线的渐近线方程是参考答案：略17. 过点P （2，－1）且垂直于直线x －2y+3=0的直线方程为．参考答案：2x+y-3=0三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

陕西省西安市理工大学附属中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【专题】常规题型．【分析】连接C1B，D1A，AC，D1C，将MN平移到D1A，根据异面直线所成角的定义可知∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角，而三角形D1AC为等边三角形，即可求出此角．【解答】解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角而三角形D1AC为等边三角形∴∠D1AC=60°故选C．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．2. 函数在区间上A．有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值.参考答案：D略3. 已知命题：，，则（）A．：，B．：，C．：，D．参考答案：B由含有一个量词的命题的否定可知存在性命题的否定是全称命题,故应选B.4. 下面几种推理中是演绎推理的序号为（）A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B．猜想数列的通项公式为；C．半径为圆的面积，则单位圆的面积；D．由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为.参考答案：C略5. 已知随机变量服从正态分布，且，则（）A B C D参考答案：C略6. 已知是定义在R上的函数，对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：D略7. “ 渐升数” 是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458) ,若把四位“ 渐升数”按从小到大的顺序排列.则第30个数为( )A .1278B .1346C .1359D .1579参考答案：C8. 已知方程的四个实数根组成以为首项的等差数列，则（）A．2 B． C． D．参考答案：B9. 已知等边△ABC中，D、E分别是CA、CB的中点，以A、B为焦点且过D、E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则下列关于e1、e2的关系式不正确的是()A．e2＋e1＝2 B．e2－e1＝2C．e2e1＝2 D. >2参考答案：A10. 命题“?∈R，x2≥0”的否定是（）A．?x?R，x2≥0B．?x?R，x2＜0 C．?x∈R，x2≥0D．?x∈R，x2＜0参考答案：D【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“?∈R，x2≥0”的否定是?x∈R，x2＜0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积．参考答案：3π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积．【解答】解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，所以BC 的中点就是球心，所以BC=，球的半径为：所以球的表面积为： =3π．故答案为：3π．【点评】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力．12. 已知函数f(x)=acosx+b 的最大值为1，最小值为-3，则函数g(x)=bsinx+a 的最小值为_________. 参考答案： 1或13. 设变量,满足约束条件，则的最大值是 ▲．参考答案：略14. 复数的值是 ．参考答案：【考点】复数代数形式的混合运算． 【专题】计算题．【分析】先利用两个复数的除法法则求出，再由虚数单位i 的幂运算性质求出 i 3 的值，从而可求所求式子的值．【解答】解：复数=﹣i=﹣i=0．故答案为0．【点评】本题考查两个复数乘除法的运算法则的应用，以及虚数单位i 的幂运算性质的应用．15. 已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若△为直角三角形，则该双曲线的离心率是________________。

陕西省西安市西北工业大学附属中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．等差数列{}n a 中，100120a =，90100a =，则公差d 等于（ ） A ．2B ．20C ．100D ．不确定2．如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有()2,n n n N *≥∈个点，相应的图案中点的总数记为n a ，则234n a a a a +++⋯+等于（ ）A ．232nB ．()12n n + C ．()312n n −D ．()12n n −3．已知数列{}n a 满足()*1432,n n a a n n N −=+≥∈，且10a =，则此数列的第4项是（ ）A ．15B ．255C ．16D ．634．如果将2，5，10依次加上同一个常数后组成一个等比数列，那么该等比数列的公比是 A ．12B ．32C ．43D ．535．已知数列{}n a 满足12a =，()*110n n a a n +−+=∈N ，则此数列的通项公式n a =（ ）A ．3n −B ．1n +C ．1n −D ．21n +6．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，则4a 等于（ ） A ．5B ．6C ．7D ．97．600是数列12,23,34,45⨯⨯⨯⨯，…的（ ） A ．第20项B ．第24项C ．第25项D ．第30项8．若数列{}n a 为等差数列，p a q =，()q a p p q =≠，则p q a +=（ ） A ．p q +B ．0C ．()p q −+D ．2p q+9．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12−10．在公差不为零的等差数列{}n a 中，138a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差、通项公式及前n 项和，则数列{}n a 的（ ）A ．首项为4，公差为1B ．首项为1，公差为3C ．通项公式21n a n =−D ．前n 项和41n S n =−11．在等比数列{}n a 中，3456783,24a a a a a a ==，则91011a a a 的值为（ ）A ．48B ．72C ．144D ．19212．已知数列－1，14，－19，…，(－1)n.21n，…，则它的第5项的值为（ ）A ．15 B ．－15C ．125D ．－125二、填空题13．已知数列{}n a 的通项公式22n a n n =−，则218a a +等于 . 14．数列(){}21n +−的前n 项和为nS ，则2023S= .15．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是 .16．已知{}n a 为等差数列，574a a +=，682a a +=−，则该数列的正数项共有 项．三、解答题17．在等差数列{}n a 中，10a >，12d =，3n a =，152n S =，求1a 和n 的值. 18．在数列{}n a 中，已知()()1159131721...143n n S n −=−+−+−++−−，则152231S S S +−的值为？19．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和. 20．（1）已知数列{}n a 满足123a =，11n n n a a n +=+，求n a ． （2）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S 、3S 、2S 成等差数列． （i ）求{}n a 的公比q ； （ii ）若133a a −=，求n S ．21．数列{}n a 的前n 项和2*100()n S n n n N =−∈.（1）判断{}n a 是不是等差数列，若是，求其首项、公差； （2）设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．22．设S n 为等差数列{n a }的前n 项和，已知S 3=a 7，8a -23a =3． （1）求n a ； （2）设b n =n1S ，数列{b n }的前n 项和记为T n ，求T n ．。

一、选择题(本题共8小题，每小题3.5分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.曲线2()3e x f x x =-在()0,1-处的切线方程为（西安中学2023-2024学年度第二学期期末考试高二数学试题）A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．10x y --=D ．10x y +-=2.若随机变量~(3,9)N ξ，(13)0.35P ξ<<=，则(5)P ξ>=()A.0.15 B.0.3C.0.35D.0.73.随机变量X 的分布列如下：X 2-12Pab12若()1E X =，则()D X =()A.0B.2C.3D.44.若41x ⎫+⎪⎭的二项展开式中常数项为()A.1B.2C.4D.65.甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有()A.96种B.132种C.168种D.204种6.某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图1所示，则下列说法正确的是（）图1①频率分布直方图中a 的值为0.005②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78④估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为150A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②④7.质数()prime number 又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A =“这两个数都是素数”；事件B =“这两个数不是孪生素数”，则()|P B A =()A.1115B.3745C.4345D.41458.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图2所示，去除所有为1的项，依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,⋯，则此数列的前45项的和为（）图2A.2026B.2025C.2024D.2023二、选择题(本题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.)9.某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的30%，70%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i 台车床加工(1,2)i =”为事件i A ，“任取一个零件是次品”为事件B ，则()A.()0.053P B = B.1(|)0.05P B A = C.2()0.035P A B = D.235(|)53P A B =10.2024年6月18日，很多商场都在搞促销活动．西安市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：x 9095100105110y1110865用最小二乘法求得y 关于x 的经验回归直线是ˆˆ0.32y x a =-+，相关系数0.9923r =-，则下列说法正确的有()A.变量x 与y 负相关且相关性较强B.ˆ40a=C.当85x =时，y 的估计值为13D.相应于点(105,6)的残差为0.4-11.关于函数2()ln f x x x=+，下列判断正确的是（）．A.2x =是()f x 的极小值点B.函数()y f x x =-有且只有1个零点C.存在正实数，使得()f x kx >恒成立D.对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>三、填空题(本题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在答题卡上的相应位置.)12.五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数是__________种.13.若函数2()ln f x x x a x =-+在(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为__________.14.已知二项式(1n +的二项式系数和为32.给出下列四个结论：①5n =②展开式中只有第三项的二项式系数最大③展开式各项系数之和是243④展开式中的有理项有3项其中，所有正确结论的序号是__________.四、解答题(本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分8分）当前，以ChatGPT 为代表的(AIGC 利用AI 技术自动生成内容的生产方式)领域一系列创新技术有了革命性突破.全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC ，我国的(BAT 百度、阿里、腾讯3个企业的简称)、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC 赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC 发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访.记选取的3个科技企业中BAT 中的个数为X ，求X 的分布列与期望.16.（本小题满分8分）下表是某单位在2024年1~5月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x 12345用水量y2.5344.55.2(1)从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7(单位：百吨)的概率；(2)若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠?说明理由．参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，⋅⋅⋅，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆnnii iii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆ.ay bx =-17.（本小题满分10分）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占45，并将这200人按年龄分组，第1组[)15,25,第2组[)25,35,第3组[)35,45,第4组[)45,55,第5组[]55,65，得到的频率分布直方图如图3所示．图3(1)估计参与调查者的平均年龄；(2)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的这200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下22⨯列联表。

陕西省西安市陕西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}(){}220,ln 2A xx x B x y x =+->==-∣∣，则A B = （）A ．{21}x x -<<∣B ．{12}xx <<∣C ．{2}xx <∣D ．{2xx <-∣或12}x <<2．已知复数z 满足2024i 212i iz -=+，则z =（）A ．52i --B ．52i -C ．52i -+D ．52i+3．向量,,a b c 满足0a b c ++=，()a b c -⊥ ，a b ⊥ ，若1a = ，则222a b c ++= （）A ．1B ．2C ．4D ．84．已知()2cos 23cos 0αββ+-=，则()tan tan ααβ+=（）A ．5B ．15C ．-5D ．15-5．已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（）A．8:B．4:C．5D．46．已知函数()()()2433,0log 12,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩（a ＞0且a ≠1）是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（）A ．（0，34]B ．[3,14）C ．[23,34]D ．（23,34]7．已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x -为偶函数，()()310f x f x -+-+=，当[]2,1x ∈--时，()14x f x ax a =--（0a >且1a ≠），且()24f -=.则()191k f k ==∑（）A ．40B ．32C ．30D ．368．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6m =，根据上述运算法则得出63105168421→→→→→→→→，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时当3m =时，12360a a a a ++++= （）A ．170B ．168C ．130D ．172二、多选题9．已知函数()321f x x x =-+，则（）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有两个零点C ．点()0,1是曲线=的对称中心D ．过点()0,0可作曲线=的两条切线10．李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，则（）A ．P (X ＞32)＞P (Y ＞32)B ．P (X ≤36)＝P (Y ≤36)C ．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D ．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车11．在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cas sin ioval ）.在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到两个定点()11,0F -，()21,0F 的距离之积等于3，化简得曲线C：221x y ++=则下列结论正确的是（）A ．曲线C 关于y 轴对称B ．12PF PF +的最小值为C ．12F PF 面积的最大值为32D ．OP的取值范围为2⎤⎦三、填空题12．盒中装有标有数字1，2，3的卡片各2张，从盒中任意抽取2张，每张卡片被取出的可能性都相等，则抽出的2张卡片上最大的数字是3的概率为.13．已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左，右焦点，P 为双曲线上第一象限内一点，且12121π,3F PF F F F ∠==关于12F PF ∠的平分线的对称点Q 恰好在C 上，则C 的离心率为.14．若存在实数0a >，使得函数()ln f x a x x =+与2()22g x x x b =--的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为2，则实数b 的最大值为．四、解答题15．2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x （单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：(1)求a ，b 的值；(2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：1x ，2x ，3x ，…，10x ，已知这10个分数的平均数90x =，标准差6s =，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．16．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222212sin 20.cos b c a b A ab C+-++=(1)求sin cos A C(2)若1sin 3A =，ABC V a 的值.17．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，120BAD ∠=︒，侧棱1AA ⊥底面,ABCD M 为棱CD 上的点.1112,1AD A A A B DM ====.(1)求证：1AM A B ⊥；(2)若M 为CD 的中点，N 为棱1DD 上的点，且DN =1A MN 与平面1A BD 所成角的余弦值.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点12⎫⎪⎭，其右焦点为)F.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若点,P Q 在椭圆C 上，右顶点为A ，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120.求APQ △面积的最大值.19．已知函数()2ln f x ax x =-．(1)当1a =时，求函数()f x 的最小值；(2)试讨论函数()f x 的单调性；(3)当1x >时，不等式()(2)ln 21f x x x x a <-++-恒成立，求整数a 的最大值．。

2024届陕西省西安市陕西师范大学附属中学高二上数学期末统考试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()()2,1,3,,2,1a b k =-=-，且a 与b 互相垂直，则k =（）A.12-B.12C.52-D.522．在等差数列{n a }中，86a =，110a =，则1a 的值为（） A.18 B.20 C.22D.243．若直线10x ay -+=与直线20x y +=垂直，则a 的值为（ ） A.2 B.1C.12-D.1-4．已知(3,0)A ，(0,2)B ，点P 为圆22(3)(2)1x y -+-=上任意一点，设OP OA OB λμ=+(,)R λμ∈，则98λμ+的最大值为（ ） A.12 B.17 C.22D.275． “1a =-”是“直线()2110ax a y +-+=和直线330x ay ++=垂直”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件6．已知向量()()2,1,3,1,1,2a b =-=-，则2a b +=（）A. B.()4,1,1-C.()5,1,4-7．已知直线l ：()10y kx k =->与双曲线221312x y -=的两条渐近线分别相交于A 、B 两点，若C 为直线l 与y 轴的交点，且2AC BC =，则k 等于（）A.4B.6C.12 D.238．一个几何体的三视图都是半径为1的圆，在该几何体内放置一个高度为1的长方体，则长方体的体积最大值为（） A.43π B.32C.32π D.19．双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为2y x =，则双曲线的离心率为（ ）A.2B.510．方程220x xy y -+=表示的曲线经过的一点是（ ）A.(0,1)B.(1,1)C.(1,1)-D.(1,1)-11．不等式204x x -<+的解集为（） A.{}42x x -<< B.{}24x x -<< C.{4x x >或}2x < D.{2x x >或}4x <-12．已知1ln3ln434a b c e ===，，，则a b c ，，的大小关系为（） A.b c a << B.c b a << C.c a b <<D.a c b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年陕西省西安市交大附中分校高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中为偶函数的是（）A．y=x+B．y=x3 C．y=D．y=e x+e﹣x参考答案：D【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用奇偶函数的定义，即可得出结论．【解答】解：对于A，B，满足f（﹣x）=﹣f（x），函数是奇函数；对于C，函数的定义域不关于原点对称，非奇非偶函数；对于D，满足f（﹣x）=f（x），函数是偶函数．故选D．2. 数列中，，，则( )A． B． C．D．参考答案：B3. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和EF 所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连接BC1，A1C1，A1B，根据正方体的几何特征，我们能得到∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角，判断三角形A1C1B的形状，即可得到异面直线AC和EF所成的角．【解答】解：连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角BC1=A1C1=A1B，∴△A1C1B为等边三角形故∠A1C1B=60°故选C4. 设函数，则（）．A．B．3 C．D．参考答案：C．选．5. 已知函数则满足不等式的的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C略6. 若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】利用直线与平面垂直的关系，再利用充要条件的判定方法，即可求解．【详解】由是两条不同的直线，垂直于平面，则“”可能“”或“”，反之，“”则“”，所以是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的应用，以及充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，准确利用充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7. 若直线过第一、三、四象限，则实数a，b满足（）A．B．C．D．参考答案：C8. 抛物线的焦点到准线的距离是（）A． B. C． D.参考答案：由，知p＝4w，又交点到准线的距离就是，故选C．9. 复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为（）A．﹣5i B．5i C．﹣5 D．5参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得的答案．【解答】解：∵z=（1﹣i）（4﹣i）=3﹣5i，∴，则复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为5．故选：D．10. 下面命题正确的个数是（）①若，则与、共面；②若，则、、、共面；③若，则、、、共面；④若，则、、、共面；A． B． C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数在区间是减函数，则的取值范围是________．参考答案：(－∞，2]12. 若P表示已知条件或已有的定义、公理或定理，Q表示所得到的结论，下列框图表示的证明方法是．参考答案：综合法【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】根据证题思路，是由因导果，是综合法的思路，故可得结论．【解答】解：∵P表示已知条件或已有的定义、公理或定理，Q表示所得到的结论，∴证明方法是由因导果，是综合法的思路故答案为：综合法13. 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+ y2 = 16相切，则p的值为 .参考答案：214. △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=60°，B=45°，c=20cm，则△ABC 的AB边上的高h c= ．参考答案：【考点】解三角形．【专题】计算题；方程思想；解三角形．【分析】由A与C的度数求出B的度数，再作出AB边上的高，利用两个特殊直角三角形求高．【解答】解：由已知得到∠C=75°，作出AB边上的高CD，设高为x，则BD=x，AD=x，则x+x=20解得x=；故答案为：．【点评】此题考查了特殊角的三角函数以及利用方程思想解三角形．15. 若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为______．参考答案：【分析】关于的不等式在上恒成立等价于在恒成立，进而转化为函数的图象恒在图象的上方，利用指数函数与对数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，关于的不等式在上恒成立等价于在恒成立，设，，因为在上恒成立，所以当时，函数的图象恒在图象的上方，由图象可知，当时，函数的图象在图象的上方,不符合题意，舍去；当时，函数的图象恒在图象的上方，则，即，解得，综上可知，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式恒成立转化为两个函数的关系，借助指数函数与对数函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.16. 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为和参考答案：24，23略17. 已知a>0，b>0，，，则m与n的大小关系为__参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。