2019版高考数学(文)大一轮复习人教版第五章平面向量第3节平面向量的数量积及其应用

第3节 平面向量的数量积及其应用最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos_θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos_θ的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律). [常用结论与微点提醒]1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去同一个向量.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(2018·云南11校跨区调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A.13＋6 2 B.2 5 C.30D.34解析 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34，选D. 答案 D3.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 解析 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 74.(必修4P104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________.解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案 －25.(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 解析 cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3－λ3＋11＋λ2 ＝12，解之得λ＝33.答案 33考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例1】 (1)(2018·河南天一联考测试)如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝60°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接CD ，BE 交于点F ，连接AF ，取CF 的中点G ，连接BG ，则AF →·BG →＝________.(2)(2018·莆田三月检测)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝2AD ，△ABD 的面积为1，若DE →＝12EC →，BE ⊥CD ，则DA →·DC →＝________.解析 (1)依题意，F 是△ABC 的重心， AF →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)， BG →＝12(BF →＋BC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13BA →＋43BC →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫43AC →－53AB →＝23AC →－56AB →，故AF →·BG →＝13(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－56AB →＝9536.(2)如图，以B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设|AD |＝a (a >0)，则|BC |＝2a ，又S △ABD ＝1， ∴|AB |＝2a ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，B (0，0)，C (2a ，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a .设E (x ，y )，则DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ，y －2a ，EC →＝(2a －x ，－y )，∵DE →＝12EC →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ，y －2a ＝12(2a －x ，－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －x 2，－y 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝a －x 2，y －2a ＝－y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43a ，y ＝43a ，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫43a ，43a ，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43a ，43a ，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，2a ， ∵BE ⊥CD ，∴BE →·CD →＝0，∴43a ·(－a )＋43a ·2a ＝0，解得a 2＝2，∴DA →·DC →＝(－a ，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－2a ＝－a 2＝－ 2.答案 (1)9536 (2)－ 2规律方法 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【训练1】 (1)(2018·武汉三调)在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且满足BC ＝3MC ，DC ＝4NC ，若AB ＝4，AD ＝3，则AN →·MN →＝( ) A.－7B.0C.7D.7(2)(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.解析 (1)以AB →，AD →为基底，AN →＝AD →＋34AB →，MN →＝CN →－CM →＝14CD →－13CB →＝－14AB →＋13AD →，AN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋34AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14AB →＋13AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →2－916AB →2＝13(9－9)＝0. (2)AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ3×3＋2λ3×4－13×9－23×3＝－4⇒λ＝311.答案 (1)B (2)311考点二 平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. (2)(2018·洛阳一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( ) A.－7B.－3C.2D.3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.解析 (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ， 即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.答案 (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3规律方法 1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【训练2】 (1)(2018·广东省际名校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |＝2，且(a ＋3b )⊥(a －b )，则a ，b 夹角的余弦值为________.(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析 (1)∵|a |＝2|b |＝2，且(a ＋3b )⊥(a －b )， ∴(a ＋3b )·(a －b )＝0，即a 2＋2a ·b －3b 2＝0， 故有a ·b ＝－12，则cos 〈a ，b 〉＝－14.(2)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. 答案 (1)－14(2)－2考点三 平面向量的模及其应用【例3】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. (2)(2016·四川卷改编)已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.解析 (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494. 答案 (1)23 (2)494规律方法 1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解. 【训练3】 (1)(2018·湖北七市联合调考)平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，若|a |＝|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________.解析 (1)由|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝9＋2×2×2cos 120°＋2×2×1×cos 120°＋2×2×1×cos 120°＝9－4－2－2＝1，则|a ＋b ＋c |＝1.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 答案 (1)1 (2)5基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·全国Ⅱ卷)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A.a ⊥b B.|a |＝|b | C.a ∥bD.|a |>|b |解析 由|a ＋b |＝|a －b |平方得a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2－2a·b ＋b 2，即a·b ＝0，则a ⊥b . 答案 A2.(2018·合肥质检)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，a ·b ＝1，则|a －b |＝( ) A.2B.2 3C.3D.2 5解析 由|a ＋b |＝4，a ·b ＝1可得，a 2＋b 2＝16－2＝14，∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝14－2×1＝12，∴|a －b |＝2 3. 答案 B3.(2018·华中师大高考联盟质检)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，m )，c ＝(2，4)，且(2a －5b )⊥c ，则实数m ＝( ) A.－310B.－110C.110D.310解析 因为2a －5b ＝2(2，1)－5(1，m )＝(－1，2－5m )，又(2a －5b )⊥c ，所以(2a －5b )·c ＝0，则(－1，2－5m )·(2，4)＝－2＋4(2－5m )＝0，解得m ＝310. 答案 D4.(2018·西安八校联考)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量CD →在AB →方向上的投影是( ) A.322B.－322C.3 5D.－3 5解析 依题意得，AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，AB →·CD →＝(2，1)·(5，5)＝15，|AB →|＝5，因此向量CD →在AB →方向上的投影是AB →·CD →|AB →|＝155＝3 5.答案 C5.(2018·大连测试)若向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与a ＋2b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 ∵向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝2×1×cos π3＝1，|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2 ＝22＋4×1＋4×12＝23，∴cos 〈a ，a ＋2b 〉＝a ·（a ＋2b ）|a ||a ＋2b |＝a 2＋2a ·b |a ||a ＋2b |＝22＋2×12×23＝32，∵〈a ，a ＋2b 〉∈[0，π]，∴〈a ，a ＋2b 〉＝π6. 答案 A 二、填空题6.(2018·河南百校联盟联考)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(3，－1)，则|a ＋b |（2a ＋b ）·（a －b ）＝________.解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(3，－1)，∴a ＋b ＝(5，0)，2a ＋b ＝(7，1)，a －b ＝(－1，2)，∴|a ＋b |＝5，(2a ＋b )·(a －b )＝－5，∴|a ＋b |（2a ＋b ）·（a －b ）＝－1.答案 －17.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________.解析 由已知得AB →＝OB →－OA →＝(3，1)， AC →＝OC →－OA →＝(2－m ，1－m ).若AB →∥AC →，则有3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12. 由题设知，BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m ). ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0，可得m >－34.由题意知，当m ＝12时，AB →∥AC →，且AB →与AC →同向. 故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8.(2017·北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.解析 设P (cos α，sin α)，∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1时取等号. 答案 6 三、解答题9.(2017·德州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35， 所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35， 解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →. (1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0， 所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2，即△ABC 的面积的最大值为32＋32.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2018·江西新高考联盟质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，c 2，n ＝(cos C ，cos A )，且m ·n ＝b cos B ，则B 的值是( ) A.π6B.π3C.π2D.2π3解析 ∵m ·n ＝a 2cos C ＋c2cos A ，且m ·n ＝b cos B . ∴a 2cos C ＋c2cos A ＝b cos B ， 即a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ， 则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B . ∵0<B <π，sin B ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3. 答案 B12.(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ).令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25，(|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.答案 4 2 513.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sinθ，t )(0≤θ≤π2).(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解 (1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，∴OB →＝(24，8)或OB →＝(－8，－8).(2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k .∵k >4，∴0<4k <1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k .由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)，∴OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32.。