(苏科版)九年级数学一轮复习教学案：解三角形

第六节解三角形☆☆☆2021考纲考题考情☆☆☆1．正弦定理错误!＝错误!＝错误!＝2R其中2R为△ABC外接圆直径。

变式：a＝2R in A，b＝2R in B，c＝2R in C。

a∶b∶c＝in A∶in B∶in C。

2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bc co A；b2＝a2＋c2－2ac co B；c2＝a2＋b2－2ab co C。

变式：co A＝错误!；co B＝错误!；co C＝错误!。

in2A＝in2B＋in2C－2in B in C co A。

3．解三角形1已知三边a，b，c。

运用余弦定理可求三角A，B，C。

2已知两边a，b及夹角C。

运用余弦定理可求第三边c。

3已知两边a，b及一边对角A。

先用正弦定理，求in B，in B＝错误!。

①A为锐角时，若ab，一解。

4已知一边a及两角A，B或B，C用正弦定理，先求出一边，后求另一边。

4．三角形常用面积公式1S＝错误!a·h a h a表示a边上的高。

2S＝错误!ab in C＝错误!ac in B＝错误!bc in A＝错误!。

3S＝错误!ra＋b＋cr为内切圆半径。

微点提醒1．在一个三角形中，边和角共有6个量，已知三个量其中至少有一边就可解三角形。

2．判断三角形形状的两种思路：一是化边为角；二是化角为边，并用正弦定理余弦定理实施边、角转换。

3．当a2＋b2<c2时判断三角形的形状，由co C＝错误!<0，得∠C为钝角，则三角形为钝角三角形。

小|题|快|练一、走进教材1．必修510A2A2A2A20A32A2A2A a A A A A2a c a c2A2C2A2A22A2a3a2a2a2如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于________。

32021·湖北高考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________ m。

苏科版数学九年级下册《7.5 解直角三角形》教学设计一. 教材分析本节课的主题是解直角三角形，这是苏科版数学九年级下册的教学内容。

直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角是直角，即90度。

解直角三角形主要包括求解三角形的三个边长和角度。

这部分内容在数学中占据重要地位，因为它是学习三角函数和其他高级数学概念的基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质，三角形的基本概念和性质，以及勾股定理。

他们对三角形有一定的了解，但解直角三角形的实际应用可能还没有完全掌握。

因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解直角三角形的定义和性质；2.掌握解直角三角形的方法，包括求解边长和角度；3.能够将解直角三角形的方法应用于实际问题，提高解决问题的能力；4.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

四. 教学重难点1.直角三角形的定义和性质；2.解直角三角形的方法和技巧；3.将解直角三角形的方法应用于实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：讲解直角三角形的定义、性质和解题方法；2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用解直角三角形的方法解决问题；3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队合作能力和逻辑思维能力；4.练习法：布置课后作业，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教案：编写详细的教学设计；2.教学课件：制作课件，辅助讲解和展示；3.练习题：准备相关的练习题，用于巩固所学知识；4.教学工具：准备直角三角板、尺子等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用直角三角板和尺子，展示一个直角三角形，引导学生回顾直角三角形的定义和性质。

提问：直角三角形的特点是什么？如何判断一个三角形是直角三角形？2.呈现（10分钟）讲解直角三角形的性质，包括直角三角形的三个内角的度数关系（一个直角和一个锐角和一个钝角）、直角三角形的边长关系（勾股定理）。

通过示例，解释如何利用直角三角形的性质解决问题。

7.5 解直角三角形（1）学习目标： 1．了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角形；2．通过探索讨论发现解直角三角形所需的条件，体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；学习重点：直角三角形的解法学习难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．学习过程一.【情境创设】如图，在Rt △ABC 中， ∠C 为直角，其余5个元素之间有以下关系：（1）三边之间关系：_____________________（2）锐角之间的关系：________________________________ （3）边角之间的关系：二.【问题探究】问题1：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，a ＝5． 解这个直角三角形．问题2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 由下列条件解直角三角形。

⑴ 已知10a =，∠B=60° ⑵ 已知46a =，122b =（3）已知33a b -=-，∠A=60°CA b a c B三.【拓展提升】 问题3：某块绿地的形状如图所示，其中∠BAD=60°，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=200 m ，CD=100 m ，求AD 、BC 的长。

问题4.如图，两建筑物的水平距离BC 为24米，从点A 测得a ＝300，测得点ß ＝60°，求AB 和CD 两座建筑物的高．四.【课堂小结】 通过这节课的学习，说说自己的收获。

五.【反馈练习】1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=18，则AC= ，BC= 。

2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，62a =，12c =，则∠A= ，b= 。

3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，6c =，4b =，则tanB= ，面积S= 。

AB C D E AB C O 1 2一、下列各题已有解答的有“病”吗？如果有“病”，请写出“病因”。

没有解答的，你认为易让别人犯错的“陷阱”在哪儿？ 1．已知△ABD ≌△ACE ，求证：△ABE ≌△ACD证明：∵△ABD ≌△ACE∴△ABD+△ADE ≌△ACE+△ADE ∴△ABE ≌△ACD▲错因分析或陷阱是 ▲正确解答是：2．如图，AO 平分∠BAC ，∠1=∠2 求证：△ABC 是等腰三角形证明：∵∠1=∠2 ∴ OB=OC∵AO 平分∠BAC ∴∠BAO=∠CAO 在△AOB ≌△AOC 中∵OB=OC 、∠BAO=∠CAO 、OA=OA ∴△AOB ≌△AOC ∴AB=AC ，即△ABC 是等腰三角形 ▲错因分析或陷阱是▲正确解答是：3．两边和第三边上的高对应相等相等的两个三角形全等(判断) 解：通过两次全等，可以证明这个命题是正确的▲错因分析或陷阱是_____________________________________________________ ▲正确解答是___________________________________________________________二、“全等三角形”给你留下多少？尝试填写下列知识点（并在脑海中构建知识体系） 1、 叫全等三角形2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边 、全等三角形的对应角 、 全等三角形的对应边上的高 、全等三角形的对应边上的中线 、全等三角形的对应角的平分线3、三角形全等的判定方法：（1） 的两个三角形全等（简记为 SSS ）（2） 的两个三角形全等（简记为 SAS ）（3） 的两个三角形全等（简记为 ASA ）（4） 的两个三角形全等（简记为 AAS ）（5） 的两个三角形全等（简记为 HL ）4、满足下面的条件的两个三角形也是全等的： （1）有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 （2）有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等（3）有两角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等（4）有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等（5）有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角（或钝角）三角形全等（6）有两边和第三条边上的高对应相等的两个锐角（或钝角）三角形全等5、角平分线的性质6、角平分线的判定7、线段垂直平分线的性质8、线段垂直平分线的判定9、 叫轴对称图形A BC DF EA B C D ADC B A E10、 那么就说这两个图形关于这条直线对称11、用坐标表示轴对称：（1）点（x, y ）关于x 轴对称的点的坐标为 （2）点（x, y ）关于y 轴对称的点的坐标为 (3) 点（x, y ）关于原点对称的点的坐标为（4）点（x, y ）关于直线x=m 对称的点的坐标为 （5）点（x, y ）关于直线y=m 对称的点的坐标为三、下列例题请先做做，看自己有无“漏洞”如果有请偿试写出“病因”例1．（2009年江苏省）如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，；③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组例2、 (2009年甘肃定西)如图4，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ）A ．2B ．3C ．22D ．3例3、（2009年广西钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）A ．AB 垂直平分CDB ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB例4、（2009丽水市）已知命题：如图，点A ，D ，B ，E 在同一条直线上，且AD =BE ，∠A =∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个．．适当条件使它成为真命题,并加以证明.四、你能以知识点或题型给上面例题分类？你认为这些题目的典型性怎么样？你有没有发现解题规律或数学思想方法？有什么补充？请先写下来，以便交流第16课时：全等三角形班级： 姓名 学号 成绩一：选择题（6分×6）1、（09湖南怀化）如图，在Rt ABC △中， 90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC于点D ，交BC 于点E ．已知 10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ） A ． 30 B ． 40 C ． 50 D ． 60 2、（2009河池）如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ＝86点E 为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且⊥FE BE ，则△CEF的面积是（ ）O BA P A ． 16B ． 18C ．66D ．63、如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP4、点P （1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是（ ）A ．（0，2）B ．（1，0）C ．（1，1）D ．（2，1）5、下列图形是轴对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．等腰三角形C ．三角形D ．梯形 6、（08湖北黄石）12．如图，在等腰三角形ABC 中，120ABC ∠=，点P 是底边AC 上一个动点，M N ， 分别是AB BC ，的中点，若PM PN +的最小值为2，则ABC △的周长是（ D ） A ．2 B ．23 C ．4 D ．423+二：填空题（8分×4）7、（2009年遂宁）已知△ABC 中，AB=BC ≠AC ，作与△ABC 只有一条公共边，且与△ABC 全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个.8、(2009年福建省泉州市)如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E.若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长9、（2009河池）某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 _________m ．10、、(2009年咸宁市)如图，在ABC △中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作EF BC ∥交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ．下列四个结论：1902BOC A ∠=∠①°+； ②以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切；③设OD m AE AF n =+=，，则AEF S mn =△； ④EF 不能成为ABC △的中位线．其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）三：解答题（11题10分，12题10分，13题12分）11、（2009年浙江省绍兴市）如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ， 为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°．（1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．12、(2009年安顺)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，EA BC P MN A D F CＢ Ｏ Ｅ是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。

43BCACB7.5 解直角三角形 导学案一.复习目标：1.巩固锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的概念。

2.正确使用正弦，余弦，正切表示直角三角形中两边之比。

3.掌握特殊锐角30°，45°，60°角的三角函数值及由特殊角的三角函数值求它对应的锐角值。

4.熟练运用直角三角形边角关系解直角三角形。

二.回顾旧知：1.如图，∠C=90°，则图（1）中sinA= ______ ，tanB=______ ， 图（2）中cosB= ，tanA= 。

(1) （2） 2.在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,若︒=∠60A ，则cosB= _____ ， tanA=_____。

【归纳总结】1.定义：如图，在Rt ∆ABC 中，∠C=90,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则sinA= ，cosA= cb，tanA= 。

2. 特殊锐角三角函数值表AaCBABA2(1)tan 604sin 30cos 45︒︒︒-3.解直角三角形：如图，在 ABC Rt ∆中, C B A ∠∠∠,,的对边分别为a,b,c 。

则有下列关系：（1）三边的关系：=+22b a（2）角的关系:=∠+∠B A（3）边与角的关系：c aB A ==cos sin ,==A B cos sin ,ba A =tan三.练一练：()()1201745sin 2122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-︒-（3）已知ABC ∆满足0)21(cos 23sin 2=-+-B A ,则ABC ∆是 三角形。

四.合作探究一：1.如图(1)，在平面直角坐标系中，直线OA 过点（2，1），则tan α=______.2.如图(2)，△ABC 的顶点在正方形网格的格点，则B tan = ,sinA=______.3.如图(3)，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 与点A ，且OP=5，PA=4，则sin ∠APO=______. 4．如图(4)，AB 是⊙O 的直径，AB=13，BC=12，则tan ∠ADC ＝________.（1) (2) (3) (4) 五.合作探究二：OPAB C如图在△ABC 中 , 已知,90︒=∠ABD ∠CAB=45°,∠CBD=15°,AB=20,求BC 的长.六.变式练习：1.如图，在△ABC 中，∠C=150°，AC=4，81tan =B ， （1）求BC 的长。

2023-2024学年苏科版九年级数学教案：第72讲解斜三角形一. 教材分析本节课教材为苏科版九年级数学，第72讲主要讲解斜三角形。

斜三角形是三角形的一种特殊形式，其两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边。

本节课通过斜三角形的特点，引导学生进一步理解三角形的性质，并为后续学习三角形的分类和三角函数打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备一定的逻辑思维能力。

但是，对于斜三角形的理解和运用还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、操作、思考、交流等途径，逐步掌握斜三角形的性质及运用。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解斜三角形的定义和性质，能运用斜三角形的性质解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等途径，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：斜三角形的定义和性质。

2.难点：斜三角形的性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。

2.小组合作学习：鼓励学生之间进行讨论、交流，培养学生的团队合作意识。

3.启发式教学：教师引导学生从不同角度观察、思考问题，培养学生的逻辑思维能力。

4.反馈与评价：及时了解学生的学习情况，对学生的错误进行指导和纠正。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示斜三角形的图片和实例。

2.学习素材：准备一些与斜三角形相关的练习题。

3.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如自行车三角架、房屋建筑等，引导学生观察并思考这些问题的数学背景，从而引出斜三角形的概念。

2.呈现（10分钟）教师通过课件呈现斜三角形的定义和性质，让学生初步了解斜三角形的特点。

第25课时：三角形（一）【知识梳理】（一）三角形的相关概念：1．三角形按角分为 ， ， ． 2．三角形按边分为 .3．三角形中任意两边之和 第三边，两边之差 第三边4．三角形的内角和为 °，外角与内角的关系： ． 5． 叫三角形的中位线．6．中位线的性质： ． 7．三角形的中线、高线、角平分线都是 ．(线段、射线、直线) （二）等腰三角形的性质与判定： （三）直角三角形的性质与判定： 【课前预习】1 三角形的两个内角分别是40°和60°，则第三个内角等于______.2 已知△ABC 中，AB=6，AC=8，则BC 边的取值范围为__________.3 如图，AC∥BD，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，若∠1=64°，则∠2=_____．4 如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC 的度数为_______．5 等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为_______；若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm ，则其腰上的高为_______cm ．6 如图所示，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长为_______. 【解题指导】例1如图，在Rt ABC △中，90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ） A ．30 B ．40 C ．50 D ．60例2 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 、CD 分別是△ABC 两个外角的平分线． （1）求证：AC=AD ；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD 是菱形．例3 已知：如图，锐角△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O ，且OB=OC. （1）求证：△ABC 是等腰三角形；（2）判断点O 是否在∠BAC 的角平分线上，并说明理由。