(苏科版)九年级数学一轮复习教学案：解三角形

第六节解三角形☆☆☆2021考纲考题考情☆☆☆1．正弦定理错误!＝错误!＝错误!＝2R其中2R为△ABC外接圆直径。

变式：a＝2R in A，b＝2R in B，c＝2R in C。

a∶b∶c＝in A∶in B∶in C。

2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bc co A；b2＝a2＋c2－2ac co B；c2＝a2＋b2－2ab co C。

变式：co A＝错误!；co B＝错误!；co C＝错误!。

in2A＝in2B＋in2C－2in B in C co A。

3．解三角形1已知三边a，b，c。

运用余弦定理可求三角A，B，C。

2已知两边a，b及夹角C。

运用余弦定理可求第三边c。

3已知两边a，b及一边对角A。

先用正弦定理，求in B，in B＝错误!。

①A为锐角时，若ab，一解。

4已知一边a及两角A，B或B，C用正弦定理，先求出一边，后求另一边。

4．三角形常用面积公式1S＝错误!a·h a h a表示a边上的高。

2S＝错误!ab in C＝错误!ac in B＝错误!bc in A＝错误!。

3S＝错误!ra＋b＋cr为内切圆半径。

微点提醒1．在一个三角形中，边和角共有6个量，已知三个量其中至少有一边就可解三角形。

2．判断三角形形状的两种思路：一是化边为角；二是化角为边，并用正弦定理余弦定理实施边、角转换。

3．当a2＋b2<c2时判断三角形的形状，由co C＝错误!<0，得∠C为钝角，则三角形为钝角三角形。

小|题|快|练一、走进教材1．必修510A2A2A2A20A32A2A2A a A A A A2a c a c2A2C2A2A22A2a3a2a2a2如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于________。

32021·湖北高考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________ m。

课堂教学设计
一、课题
中考复习-解直角三角形
二、教学目标
1．复习“解直角三角形”相关知识和解题技巧；
2．熟悉“解直角三角形”的中考考点以及命题类型。
三、重点、难点
重点：复习“解直角三角形”相关知识和解题技巧。
难点：1．如何把非直角三角形转化为直角三角形；
2．如何把实际问题转化为解直角三角形数学问题。
四、教学过程
1.学生交流讨论，归纳总结。
2.通过交流讨论，加深对“解直角三角形”的理解与准确使用。
五、检测反馈
（10分钟）
1.引导学生讨论相关练习。
2.指导学生完成中考题目。
1.学生巩固练Βιβλιοθήκη ，并进行板演展示。2.完成作业。
教后反思
2.师生共同讨论总结方法指导。
3.认识中考相关常见考点。
三、合作学习
（15分钟）
1.组织学生讨论交流例题1～3，并尝试完成。
2.安排学生进行展示。
1.学生交流讨论。
2.学生进行展示。
四、归纳提升
（5分钟）
引导学生归纳总结本课主要内容：
1.解直角三角形主要类型。
2.非直角三角形的转化。
3.运用解直角三角形解决实际问题-将实际问题转化为数学问题。
教学过程
教师活动
学生活动
一、目标导学
（5分钟）
1.回顾近几年中考情况。
2.展示本课的学习目标。
3.列出中考要求。
1.在教师的引导下，明确本课的学习目标。
2.认识并了解中考要求。
二、自主学习
（10分钟）
1.引导学生复习解直角三角形相关知识；
2.引导学生认识解直角三角形常见考点分布。
1.学生回顾相关知识。

苏科版数学九年级下册《7.5 解直角三角形》教学设计一. 教材分析本节课的主题是解直角三角形，这是苏科版数学九年级下册的教学内容。

直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角是直角，即90度。

解直角三角形主要包括求解三角形的三个边长和角度。

这部分内容在数学中占据重要地位，因为它是学习三角函数和其他高级数学概念的基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质，三角形的基本概念和性质，以及勾股定理。

他们对三角形有一定的了解，但解直角三角形的实际应用可能还没有完全掌握。

因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解直角三角形的定义和性质；2.掌握解直角三角形的方法，包括求解边长和角度；3.能够将解直角三角形的方法应用于实际问题，提高解决问题的能力；4.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

四. 教学重难点1.直角三角形的定义和性质；2.解直角三角形的方法和技巧；3.将解直角三角形的方法应用于实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：讲解直角三角形的定义、性质和解题方法；2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用解直角三角形的方法解决问题；3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队合作能力和逻辑思维能力；4.练习法：布置课后作业，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教案：编写详细的教学设计；2.教学课件：制作课件，辅助讲解和展示；3.练习题：准备相关的练习题，用于巩固所学知识；4.教学工具：准备直角三角板、尺子等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用直角三角板和尺子，展示一个直角三角形，引导学生回顾直角三角形的定义和性质。

提问：直角三角形的特点是什么？如何判断一个三角形是直角三角形？2.呈现（10分钟）讲解直角三角形的性质，包括直角三角形的三个内角的度数关系（一个直角和一个锐角和一个钝角）、直角三角形的边长关系（勾股定理）。

通过示例，解释如何利用直角三角形的性质解决问题。

7.5 解直角三角形（1）学习目标： 1．了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角形；2．通过探索讨论发现解直角三角形所需的条件，体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；学习重点：直角三角形的解法学习难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．学习过程一.【情境创设】如图，在Rt △ABC 中， ∠C 为直角，其余5个元素之间有以下关系：（1）三边之间关系：_____________________（2）锐角之间的关系：________________________________ （3）边角之间的关系：二.【问题探究】问题1：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，a ＝5． 解这个直角三角形．问题2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 由下列条件解直角三角形。

⑴ 已知10a =，∠B=60° ⑵ 已知46a =，122b =（3）已知33a b -=-，∠A=60°CA b a c B三.【拓展提升】 问题3：某块绿地的形状如图所示，其中∠BAD=60°，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=200 m ，CD=100 m ，求AD 、BC 的长。

问题4.如图，两建筑物的水平距离BC 为24米，从点A 测得a ＝300，测得点ß ＝60°，求AB 和CD 两座建筑物的高．四.【课堂小结】 通过这节课的学习，说说自己的收获。

五.【反馈练习】1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=18，则AC= ，BC= 。

2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，62a =，12c =，则∠A= ，b= 。

3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，6c =，4b =，则tanB= ，面积S= 。

AB C D E AB C O 1 2一、下列各题已有解答的有“病”吗？如果有“病”，请写出“病因”。

没有解答的，你认为易让别人犯错的“陷阱”在哪儿？ 1．已知△ABD ≌△ACE ，求证：△ABE ≌△ACD证明：∵△ABD ≌△ACE∴△ABD+△ADE ≌△ACE+△ADE ∴△ABE ≌△ACD▲错因分析或陷阱是 ▲正确解答是：2．如图，AO 平分∠BAC ，∠1=∠2 求证：△ABC 是等腰三角形证明：∵∠1=∠2 ∴ OB=OC∵AO 平分∠BAC ∴∠BAO=∠CAO 在△AOB ≌△AOC 中∵OB=OC 、∠BAO=∠CAO 、OA=OA ∴△AOB ≌△AOC ∴AB=AC ，即△ABC 是等腰三角形 ▲错因分析或陷阱是▲正确解答是：3．两边和第三边上的高对应相等相等的两个三角形全等(判断) 解：通过两次全等，可以证明这个命题是正确的▲错因分析或陷阱是_____________________________________________________ ▲正确解答是___________________________________________________________二、“全等三角形”给你留下多少？尝试填写下列知识点（并在脑海中构建知识体系） 1、 叫全等三角形2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边 、全等三角形的对应角 、 全等三角形的对应边上的高 、全等三角形的对应边上的中线 、全等三角形的对应角的平分线3、三角形全等的判定方法：（1） 的两个三角形全等（简记为 SSS ）（2） 的两个三角形全等（简记为 SAS ）（3） 的两个三角形全等（简记为 ASA ）（4） 的两个三角形全等（简记为 AAS ）（5） 的两个三角形全等（简记为 HL ）4、满足下面的条件的两个三角形也是全等的： （1）有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 （2）有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等（3）有两角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等（4）有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等（5）有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角（或钝角）三角形全等（6）有两边和第三条边上的高对应相等的两个锐角（或钝角）三角形全等5、角平分线的性质6、角平分线的判定7、线段垂直平分线的性质8、线段垂直平分线的判定9、 叫轴对称图形A BC DF EA B C D ADC B A E10、 那么就说这两个图形关于这条直线对称11、用坐标表示轴对称：（1）点（x, y ）关于x 轴对称的点的坐标为 （2）点（x, y ）关于y 轴对称的点的坐标为 (3) 点（x, y ）关于原点对称的点的坐标为（4）点（x, y ）关于直线x=m 对称的点的坐标为 （5）点（x, y ）关于直线y=m 对称的点的坐标为三、下列例题请先做做，看自己有无“漏洞”如果有请偿试写出“病因”例1．（2009年江苏省）如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，；③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组例2、 (2009年甘肃定西)如图4，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ）A ．2B ．3C ．22D ．3例3、（2009年广西钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）A ．AB 垂直平分CDB ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB例4、（2009丽水市）已知命题：如图，点A ，D ，B ，E 在同一条直线上，且AD =BE ，∠A =∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个．．适当条件使它成为真命题,并加以证明.四、你能以知识点或题型给上面例题分类？你认为这些题目的典型性怎么样？你有没有发现解题规律或数学思想方法？有什么补充？请先写下来，以便交流第16课时：全等三角形班级： 姓名 学号 成绩一：选择题（6分×6）1、（09湖南怀化）如图，在Rt ABC △中， 90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC于点D ，交BC 于点E ．已知 10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ） A ． 30 B ． 40 C ． 50 D ． 60 2、（2009河池）如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ＝86点E 为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且⊥FE BE ，则△CEF的面积是（ ）O BA P A ． 16B ． 18C ．66D ．63、如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP4、点P （1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是（ ）A ．（0，2）B ．（1，0）C ．（1，1）D ．（2，1）5、下列图形是轴对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．等腰三角形C ．三角形D ．梯形 6、（08湖北黄石）12．如图，在等腰三角形ABC 中，120ABC ∠=，点P 是底边AC 上一个动点，M N ， 分别是AB BC ，的中点，若PM PN +的最小值为2，则ABC △的周长是（ D ） A ．2 B ．23 C ．4 D ．423+二：填空题（8分×4）7、（2009年遂宁）已知△ABC 中，AB=BC ≠AC ，作与△ABC 只有一条公共边，且与△ABC 全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个.8、(2009年福建省泉州市)如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E.若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长9、（2009河池）某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 _________m ．10、、(2009年咸宁市)如图，在ABC △中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作EF BC ∥交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ．下列四个结论：1902BOC A ∠=∠①°+； ②以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切；③设OD m AE AF n =+=，，则AEF S mn =△； ④EF 不能成为ABC △的中位线．其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）三：解答题（11题10分，12题10分，13题12分）11、（2009年浙江省绍兴市）如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ， 为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°．（1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．12、(2009年安顺)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，EA BC P MN A D F CＢ Ｏ Ｅ是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。

其余 5 个元素之间有以下关系：
（ 1）两锐角互余：∠ A ＋∠ B＝
；
（ 2）三边满足勾股定理： a2＋ b2＝
；
（ 3）边与角关系： sinA ＝ cosB=
活动二：
， cosA＝ sinB＝
； tanA ＝ ； tanB＝ 。
（课件展示 2）如图，为测量旗杆的高度， 在 C 点测得 A 点的仰角为 30°，
例 2、 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠ A ＝ 60°， a+b= 3 +3，解这个直角三角形。
例 3、如图，圆 O 半径为 10，求圆 O 的内接正五边形 ABCDE 的边长（精确到 0.1）
（其中选用： sin36 °=0.5878， cos36°=0.8090， tan36 °=0.7265 ） D
教学过程： 一、情境
新课引入——情景导入
五星红旗你是我的骄傲，五星红旗我为你自豪……
如何测量旗杆的高度？请同学们说说你的想法．
如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面
10 米处折断
倒下，树顶落在离数根 24 米处。问大树在折断之前高多少米 ? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度
为
＝
间的距离．
E
30°
CF
60°
A
D
B
四、小结 五、课堂作业（见作业纸
56）
初三数学课堂作业（ 56）
班级 __________ 姓名 ___________学号 _________得分 _________ 1、 在 Rt△ABC中，∠ C＝90°，若 tanB=2 ，ABC中，∠ C＝90°，若∠ A＝ 30° , b=2 3 , 则∠ B＝ ______, c=________ 。

43BCACB7.5 解直角三角形 导学案一.复习目标：1.巩固锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的概念。

2.正确使用正弦，余弦，正切表示直角三角形中两边之比。

3.掌握特殊锐角30°，45°，60°角的三角函数值及由特殊角的三角函数值求它对应的锐角值。

4.熟练运用直角三角形边角关系解直角三角形。

二.回顾旧知：1.如图，∠C=90°，则图（1）中sinA= ______ ，tanB=______ ， 图（2）中cosB= ，tanA= 。

(1) （2） 2.在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,若︒=∠60A ，则cosB= _____ ， tanA=_____。

【归纳总结】1.定义：如图，在Rt ∆ABC 中，∠C=90,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则sinA= ，cosA= cb，tanA= 。

2. 特殊锐角三角函数值表AaCBABA2(1)tan 604sin 30cos 45︒︒︒-3.解直角三角形：如图，在 ABC Rt ∆中, C B A ∠∠∠,,的对边分别为a,b,c 。

则有下列关系：（1）三边的关系：=+22b a（2）角的关系:=∠+∠B A（3）边与角的关系：c aB A ==cos sin ,==A B cos sin ,ba A =tan三.练一练：()()1201745sin 2122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-︒-（3）已知ABC ∆满足0)21(cos 23sin 2=-+-B A ,则ABC ∆是 三角形。

四.合作探究一：1.如图(1)，在平面直角坐标系中，直线OA 过点（2，1），则tan α=______.2.如图(2)，△ABC 的顶点在正方形网格的格点，则B tan = ,sinA=______.3.如图(3)，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 与点A ，且OP=5，PA=4，则sin ∠APO=______. 4．如图(4)，AB 是⊙O 的直径，AB=13，BC=12，则tan ∠ADC ＝________.（1) (2) (3) (4) 五.合作探究二：OPAB C如图在△ABC 中 , 已知,90︒=∠ABD ∠CAB=45°,∠CBD=15°,AB=20,求BC 的长.六.变式练习：1.如图，在△ABC 中，∠C=150°，AC=4，81tan =B ， （1）求BC 的长。

2023-2024学年苏科版九年级数学教案：第72讲解斜三角形一. 教材分析本节课教材为苏科版九年级数学，第72讲主要讲解斜三角形。

斜三角形是三角形的一种特殊形式，其两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边。

本节课通过斜三角形的特点，引导学生进一步理解三角形的性质，并为后续学习三角形的分类和三角函数打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备一定的逻辑思维能力。

但是，对于斜三角形的理解和运用还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、操作、思考、交流等途径，逐步掌握斜三角形的性质及运用。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解斜三角形的定义和性质，能运用斜三角形的性质解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等途径，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：斜三角形的定义和性质。

2.难点：斜三角形的性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。

2.小组合作学习：鼓励学生之间进行讨论、交流，培养学生的团队合作意识。

3.启发式教学：教师引导学生从不同角度观察、思考问题，培养学生的逻辑思维能力。

4.反馈与评价：及时了解学生的学习情况，对学生的错误进行指导和纠正。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示斜三角形的图片和实例。

2.学习素材：准备一些与斜三角形相关的练习题。

3.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如自行车三角架、房屋建筑等，引导学生观察并思考这些问题的数学背景，从而引出斜三角形的概念。

2.呈现（10分钟）教师通过课件呈现斜三角形的定义和性质，让学生初步了解斜三角形的特点。

第25课时：三角形（一）【知识梳理】（一）三角形的相关概念：1．三角形按角分为 ， ， ． 2．三角形按边分为 .3．三角形中任意两边之和 第三边，两边之差 第三边4．三角形的内角和为 °，外角与内角的关系： ． 5． 叫三角形的中位线．6．中位线的性质： ． 7．三角形的中线、高线、角平分线都是 ．(线段、射线、直线) （二）等腰三角形的性质与判定： （三）直角三角形的性质与判定： 【课前预习】1 三角形的两个内角分别是40°和60°，则第三个内角等于______.2 已知△ABC 中，AB=6，AC=8，则BC 边的取值范围为__________.3 如图，AC∥BD，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，若∠1=64°，则∠2=_____．4 如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC 的度数为_______．5 等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为_______；若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm ，则其腰上的高为_______cm ．6 如图所示，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长为_______. 【解题指导】例1如图，在Rt ABC △中，90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ） A ．30 B ．40 C ．50 D ．60例2 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 、CD 分別是△ABC 两个外角的平分线． （1）求证：AC=AD ；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD 是菱形．例3 已知：如图，锐角△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O ，且OB=OC. （1）求证：△ABC 是等腰三角形；（2）判断点O 是否在∠BAC 的角平分线上，并说明理由。

∠A、∠B 的大小（精确到 0.01°） ．
△ABC 中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角
确到 0.1，角度精确到 0.1°） ：
＝9 ，b＝6； （2） ∠A＝18°，∠C＝13． 积极思考解决办法——运用本
使学生巩固利用直角
关知识解决实际问题，考
，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一座隧道 节课所学数学知识解决问题，关键要 对知识灵活运用．
．
观察、思考，并归纳、小结得出 目标，初步体会解直角三
．
“在直角三角形中，除直角外，只要 ——直角三角形的边角关
知道其中 2 个元素（至少有一个是 理、两锐角互余、锐角三 边） ” ．
学生体会到 “在直角三角
角外，只要知道其中 2 个 C B
有一个是边）就可以求出
元素” 交流讨论；归纳总
回答的非常好，通过上面的两个活动，若要完整解
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级下册） 7.5 解直角三角形（1）
1．使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角
2．通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题 问题去解决；
目标
3．通过问题情境，以及对解直角三角形所需的条件的探究，运用数学知识解决一些简单的实际问题， 建模”的思想． 直角三角形的解法． 三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 教学过程（教师） 学生活动 设计思路
形，还需求出哪些元素？ 学生交流讨论归纳（课件展示讨 论的条件） 师总结：解直角三角形，有下面 两种情况（其中至少有一边） ： （1） 已知两条边（一直角边一 斜边；两直角边） ； （2）已知一条边和一个锐角 （一 直角边一锐角；一斜边一锐角） ． 自然就可以得出“定义” ．

7.5 解直角三角形（2）学习目标：1．理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，提高分析问题、解决问题的能力．学习重点：能运用直角三角形的角与角，边与边、边与角关系解直角三角形．学习难点：提高分析问题、解决问题的能力．学习过程一.【情境创设】1．什么叫解直角三角形？2．根据条件，解下列直角三角形在Rt△ABC中，∠C＝90°（1）已知∠A＝30°，BC＝2；（2）已知AB＝10，BC＝5；二.【问题探究】问题1：如图，在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°．求AB．CA B 问题2：求半径为20的圆的内接正三角形的边长和面积．三.【拓展提升】问题3：如图，CD切⊙O于点D，连接OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB⊥OD，点E为垂足，已知⊙O的半径为10，s in ∠COD＝45，求：（1）弦AB的长；（2）CD的长．问题4：如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）四.【课堂小结】五.【反馈练习】1．在Rt△ABC中，∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列结论中，能成立的是（）A.c=a·sinAB.b=c·cosAC.b=a·tanAD.a=c·cosA2．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于（）A．1 B2．22D．223．某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要 （ ）．A ．450a 元 B.225a 元 C.150a 元 D.300a 元4．在Rt ΔABC 中，∠C=90°，CD 是斜边上的高.若AC=8，cosA=45，求ΔABC 的面积.5．如图，在△ABC 中，已知AC=6，∠B=30°，∠C=15°，求AB 的长（结果保留根号）．15020米30米中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据左视图是从左面看所得到的图形进行解答即可．【详解】从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间．故选：C．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．2．如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（）A．（3 ，1）B．（3 ，2）C．（2 ，3）D．（1 ，3）【答案】D【解析】解决本题抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′．【详解】由图知A点的坐标为（-3，1），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（1，3）．故选D．3．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（）A．27分钟B．20分钟C．13分钟D．7分钟【答案】C【解析】先利用待定系数法求函数解析式，然后将y=35代入，从而求解．【详解】解：设反比例函数关系式为：kyx=，将（7，100）代入，得k=700，∴700yx =，将y=35代入700yx =，解得20x；∴水温从100℃降到35℃所用的时间是：20－7=13，故选C．【点睛】本题考查反比例函数的应用，利用数形结合思想解题是关键．4．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（）A．49B．13C．29D．19【答案】A【解析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，∴两次都摸到黄球的概率为49，故选A．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．5．如图，甲圆柱型容器的底面积为30cm2，高为8cm，乙圆柱型容器底面积为xcm2，若将甲容器装满水，然后再将甲容器里的水全部倒入乙容器中（乙容器无水溢出），则乙容器水面高度y（cm）与x（cm2）之间的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意可以写出y关于x的函数关系式，然后令x=40求出相应的y值，即可解答本题．【详解】解：由题意可得，y=308x=240x，当x=40时，y=6，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，根据题意列出函数解析式是解决此题的关键．6．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（）A． B． C． D．【答案】BA C D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角【解析】试题解析：选项,,形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合.故选B.7．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.故选B.8．如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到正五边形ABCDE上，∠ABG＝46°，则∠FAE 的度数是（）A．26°．B．44°．C．46°．D．72°【答案】A【解析】先根据正五边形的性质求出∠EAB的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵图中是正五边形．∴∠EAB＝108°．∵太阳光线互相平行，∠ABG＝46°，∴∠FAE＝180°﹣∠ABG﹣∠EAB＝180°﹣46°﹣108°＝26°．故选A．【点睛】此题考查平行线的性质，多边形内角与外角，解题关键在于求出∠EAB.9．已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】∵方程2x+a﹣9=0的解是x=2，∴2×2+a﹣9=0，解得a=1．故选D．10．下列各运算中，计算正确的是（）A．a12÷a3=a4B．（3a2）3=9a6C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2D．2a•3a=6a2【答案】D【解析】根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的法则逐项计算即可得.【详解】A、原式=a9，故A选项错误，不符合题意；B、原式=27a6，故B选项错误，不符合题意；C、原式=a2﹣2ab+b2，故C选项错误，不符合题意；D、原式=6a2，故D选项正确，符合题意，故选D．【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为.【答案】1．【解析】∵AB＝5，AD＝12，∴根据矩形的性质和勾股定理，得AC＝13.∵BO为Rｔ△ABC斜边上的中线∴BO＝6.5∵O是AC的中点，M是AD的中点，∴OM是△ACD的中位线∴OM＝2.5∴四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝1故答案为112．如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是（添加一个条件即可）．【答案】AE=AD（答案不唯一）．【解析】要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，则可以添加AE=AD，利用SAS 来判定其全等；或添加∠B=∠C，利用ASA来判定其全等；或添加∠AEB=∠ADC，利用AAS来判定其全等．等（答案不唯一）．13．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长_____________cm．【答案】36.【解析】试题分析：∵△AFE和△ADE关于AE对称，∴∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，EF＝DE.∵tan∠EFC＝＝，∴可设EC＝3x，CF＝4x，那么EF＝5x，∴DE＝EF＝5x.∴DC＝DE＋CE＝3x＋5x＝8x.∴AB＝DC＝8x.∵∠EFC＋∠AFB＝90°, ∠BAF＋∠AFB＝90°,∴∠EFC＝∠BAF.∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝，∴＝.∴AB＝8x,∴BF＝6x.∴BC＝BF＋CF＝10x.∴AD＝10x.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋DE2＝AE2.∴（10x）2＋（5x）2＝（5）2.解得x ＝1.∴AB＝8x＝8,AD＝10x＝10.∴矩形ABCD的周长＝8×2＋10×2＝36.考点：折叠的性质；矩形的性质；锐角三角函数；勾股定理.142633=________.33【详解】解：原式=233 33+=3【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD,则∠ABD= ___________°．【答案】1【解析】∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，∴∠A=∠C=1°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=1°；故答案是1．16．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足11αβ+=﹣1，则m的值是____．【答案】3.【解析】可以先由韦达定理得出两个关于α、β的式子，题目中的式子变形即可得出相应的与韦达定理相关的式子，即可求解.【详解】得α+β=-2m-3，αβ=m 2，又因为211+-2m-3+===-1mαβαβαβ，所以m 2-2m-3=0，得m=3或m=-1，因为一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，所以△>0，得（2m+3）2-4×m 2=12m+9>0，所以m ＞4-3，所以m=-1舍去，综上m=3. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是解决本题的关键. 17．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线B D 交AC 于点D ，DE 是BC 的垂直平分线，点E 是垂足．若DC=2，AD=1，则BE 的长为______．3【解析】∵DE 是BC 的垂直平分线， ∴DB=DC=2，∵BD 是∠ABC 的平分线，∠A=90°，DE ⊥BC ， ∴DE=AD=1，∴223BD DE -= 3．点睛：本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 18．观察下列一组数：13579,,,,,49162536⋯，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是_____．【答案】221(1)n n -+【解析】试题解析：根据题意得，这一组数的第n 个数为：()221.1n n -+故答案为()221.1n n -+点睛：观察已知一组数发现：分子为从1开始的连续奇数，分母为从2开始的连续正整数的平方，写出第n 个数即可． 三、解答题（本题包括8个小题）19．我市正在开展“食品安全城市”创建活动，为了解学生对食品安全知识的了解情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果按照“A 非常了解、B 了解、C 了解较少、D 不了解”四类分别进行统计，并绘制了下列两幅统计图（不完整）．请根据图中信息，解答下列问题：此次共调查了 名学生；扇形统计图中D 所在扇形的圆心角为 ；将上面的条形统计图补充完整；若该校共有800名学生，请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数． 【答案】（1）120；（2）54°；（3）详见解析（4）1．【解析】（1）根据B 的人数除以占的百分比即可得到总人数； （2）先根据题意列出算式，再求出即可； （3）先求出对应的人数，再画出即可； （4）先列出算式，再求出即可． 【详解】（1）（25+23）÷40%=120（名）， 即此次共调查了120名学生， 故答案为120；（2）360°×10+8120=54°， 即扇形统计图中D 所在扇形的圆心角为54°， 故答案为54°； （3）如图所示：；（4）800×30120=1（人）， 答：估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数是1人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体等知识点，两图结合是解题的关键．20．某市政府大力支持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量Y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y ＝﹣10x+1．设李明每月获得利润为W （元），当销售单价定为多少元时，每月获得利润最大？根据物价部门规定，这种护眼台灯不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润2000元，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】 (1)35元；(2)30元．【解析】(1)由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=(定价-进价)×销售量，从而列出关系式，利用配方法得出最值； (2)令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价． 【详解】解：(1)由题意，得： W=(x-20)×y =(x-20)(-10x+1)=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250∴当x=35时，W取得最大值，最大值为2250，答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润为2250元；(2)由题意，得：210700100002000x x-+-=，解得：130x=，240x=，销售单价不得高于32元，∴销售单价应定为30元．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元．【点睛】本题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．21．如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D求证：AC∥DE；若BF=13，EC=5，求BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】(1)首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE=∠DEF，进而可得AC∥DE；(2)根据△ABC≌△DFE可得BC=EF，利用等式的性质可得EB=CF，再由BF=13，EC=5进而可得EB的长，然后可得答案．【详解】解：(1)在△ABC和△DFE中AB DF A D AC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DFE （SAS ）， ∴∠ACE=∠DEF ， ∴AC ∥DE ；(2)∵△ABC ≌△DFE ， ∴BC=EF ，∴CB ﹣EC=EF ﹣EC ， ∴EB=CF ， ∵BF=13，EC=5， ∴EB=4， ∴CB=4+5=1． 【点睛】考点：全等三角形的判定与性质．22．已知：如图，AB AD =，AC AE =，BAD CAE ∠=∠.求证：BC DE =.【答案】见解析【解析】先通过∠BAD=∠CAE 得出∠BAC=∠DAE ，从而证明△ABC ≌△ADE ，得到BC=DE ．【详解】证明：∵∠BAD=∠CAE ， ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ．即∠BAC=∠DAE ， 在△ABC 和△ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABC ≌△ADE （SAS ）． ∴BC=DE ． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：AAS 、SSS 、SAS 、SSA 、HL ．23．某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为“A.非常了解”、“B.了解”、“C.基本了解”三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．这次调查的市民人数为________人，m ＝________，n ＝________；补全条形统计图；若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．【答案】 (1)500，12，32；(2)补图见解析；(3)该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．【解析】（1）根据项目B 的人数以及百分比，即可得到这次调查的市民人数，据此可得项目A ，C 的百分比；（2）根据对“社会主义核心价值观”达到“A ．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条形统计图；（3）根据全市总人数乘以A 项目所占百分比，即可得到该市对“社会主义核心价值观”达到“A非常了解”的程度的人数．【详解】试题分析：试题解析：（1）280÷56%=500人，60÷500=12%，1﹣56%﹣12%=32%，（2）对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条形统计图如下：（3）100000×32%=32000（人），答：该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．24．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且AD CD CD BD．求证：△ACD∽△CBD；求∠ACB的大小．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°．【解析】试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．试题解析：（1）∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵AD CD CD BD．∴△ACD∽△CBD；（2）∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．考点：相似三角形的判定与性质．25．为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A 处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）【答案】凉亭P到公路l的距离为273.2m．【解析】分析：作PD⊥AB于D，构造出Rt△APD与Rt△BPD，根据AB的长度．利用特殊角的三角函数值求解．【详解】详解：作PD⊥AB于D．设BD=x，则AD=x+1．∵∠EAP=60°，∴∠PAB=90°﹣60°=30°．在Rt△BPD中，∵∠FBP=45°，∴∠PBD=∠BPD=45°，∴PD=DB=x．在Rt△APD中，∵∠PAB=30°，∴PD=tan30°•AD，即DB=PD=tan30°•AD=x=33（1+x），解得：x≈273.2，∴PD=273.2．答：凉亭P到公路l的距离为273.2m．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．26．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．求证：△ABM∽△EFA；若AB=12，BM=5，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）4.1【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=10°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=10°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=10°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）∵∠B=10°，AB=12，BM=5，∴，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=12AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴BM AM AF AE=，即513 6.5AE=，∴AE=16.1，∴DE=AE-AD=4.1．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．下列分式是最简分式的是（ ）A ．223a a bB ．23a a a -C ．22a b a b++ D ．222a ab a b-- 【答案】C 【解析】解：A ．22233a a b ab=，故本选项错误； B ．2133a a a a =--，故本选项错误；C ．22a ba b ++，不能约分，故本选项正确；D ．222()()()a ab a a b aa b a b a b a b--==-+-+，故本选项错误．故选C ．点睛：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解答此题的关键．2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．13cm ，12cm ，20cm D ．5cm ，5cm ，11cm 【答案】C【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】A 、3+4＜8，不能组成三角形； B 、8+7＝15，不能组成三角形； C 、13+12＞20，能够组成三角形； D 、5+5＜11，不能组成三角形． 故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是灵活运用三角形三边关系.3．一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（）A．2.18×106B．2.18×105C．21.8×106D．21.8×105【答案】A【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】2180000的小数点向左移动6位得到2.18，所以2180000用科学记数法表示为2.18×106，故选A.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a 的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm【答案】B【解析】由已知可证△ABO∽CDO,故CD OCAB OA=,即1.813AB=.【详解】由已知可得，△ABO∽CDO,所以，CD OC AB OA=,所以，1.813 AB=，所以，AB=5.4故选B【点睛】本题考核知识点：相似三角形. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质. 5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．10033100x yx y+=⎧⎨+=⎩B．1003100x yx y+=⎧⎨+=⎩C．100131003x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩D．1003100x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】C【解析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数＋小马数＝100；②大马拉瓦数＋小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．【详解】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：100131003x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，故选C．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．6．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是()A．AC=AB B．∠C=12∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D【答案】B【解析】先利用垂径定理得到弧AD=弧BD，然后根据圆周角定理得到∠C=12∠BOD，从而可对各选项进行判断．【详解】解：∵直径CD⊥弦AB，∴弧AD =弧BD，∴∠C=12∠BOD．故选B．【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】从上往下看，该几何体的俯视图与选项D所示视图一致．故选D．【点睛】本题考查了简单组合体三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图,图象过点（-1,0），对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0;②9a+c＞3b;③8a+7b+2c＞0;④当x＞-1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】根据抛物线的对称轴即可判定①；观察图象可得，当x=-3时，y＜0，由此即可判定②；观察图象可得，当x=1时，y＞0，由此即可判定③；观察图象可得，当x＞2时，的值随值的增大而增大，即可判定④.【详解】由抛物线的对称轴为x=2可得=2，即4a+b=0，①正确；观察图象可得，当x=-3时，y＜0，即9a-3b+c＜0，所以，②错误；观察图象可得，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，③正确；观察图象可得，当x＞2时，的值随值的增大而增大，④错误．综上，正确的结论有2个.故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．9．如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据左视图是从左面看所得到的图形进行解答即可．【详解】从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间．故选：C．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．10．如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（）A．19°B．38°C．42°D．52°【答案】D【解析】试题分析：过C作CD∥直线m，∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，则∠a的余角是52°．故选D．考点：平行线的性质；余角和补角．二、填空题（本题包括8个小题）11．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=度．【答案】360°．【解析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【详解】由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为360°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．12．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝_____．【答案】132°【解析】解：∵正五边形的内角=180°-360°÷5=108°，正六边形的内角=180°-360°÷6=120°，∴∠BAC=360°－108°－120°=132°．故答案为132°． 13．让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数15n =，计算211n +得1a ；第二步：算出1a 的各位数字之和得2n ，计算221n +得2a ； 第三步：算出2a 的各位数字之和得3n ，再计算231n +得3a ； 依此类推，则2019a =____________【答案】1【解析】根据题意可以分别求得a 1，a 2，a 3，a 4，从而可以发现这组数据的特点，三个一循环，从而可以求得a 2019的值． 【详解】解：由题意可得， a 1=52+1=26， a 2=（2+6）2+1=65， a 3=（6+5）2+1=1， a 4=（1+2+2）2+1=26， …∴2019÷3=673， ∴a 2019= a 3=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查数字变化类规律探索，解题的关键是明确题意，求出前几个数，观察数的变化特点，求出a2019的值．14．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=80cm，则截面圆的半径为cm．【答案】1【解析】过点O作OM⊥EF于点M，反向延长OM交BC于点N，连接OF，设OF=r，则OM=80-r，MF=40，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【详解】过点O作OM⊥EF于点M，反向延长OM交BC于点N，连接OF，设OF=x，则OM=80﹣r，MF=40，在Rt△OMF中，∵OM2+MF2=OF2，即（80﹣r）2+402=r2，解得：r=1cm．故答案为1．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0）、B（0，3），对△AOB连续作旋转变换依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，则第（5）个三角形的直角顶点的坐标是_____，第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是______．【答案】（1645，125）（806845，125）【解析】利用勾股定理列式求出AB的长，再根据图形写出第（5）个三角形的直角顶点的坐标即可；观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2018除以3，根据商和余数的情况确定出第（2018）个三角形的直角顶点到原点O的距离，然后写出坐标即可．【详解】∵点A（﹣4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=2243=5，∴第（2）个三角形的直角顶点的坐标是（445，125）；∵5÷3=1余2，∴第（5）个三角形的直角顶点的坐标是（1645，125），∵2018÷3=672余2，∴第（2018）个三角形是第672组的第二个直角三角形，其直角顶点与第672组的第二个直角三角形顶点重合，∴第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是（806845，125）．故答案为：（1645，125）；（806845，125）【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解题的关键是根据题意找出每3个三角形为一个循环组依次循环.16．某物流仓储公司用如图A，B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，设B型机器人每小时搬运x kg物品，列出关于x的方程为_____．。

长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知
斜坡CD的坡比 i 1: 3 ，求树高AB.（结果保留整数，
参考数据 3 1.7 ）
B
D
A
C
图 34-6
例3一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长 线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°， ∠A=60°，AC=10，试求CD的长.
例 1 如 图 所 示 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠C=90 ° ， AD=2AC=2BD，且 DE⊥AB. （1）求 tanB；（2）若 DE=1，求 CE 的长.
A
D
C
E
B
图 34-3
例2某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活
动中，如图所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水
平距离为8.8m.在阳光下某一时刻测得1m的标杆影
2 155
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据已知量，填出下 列表中的未知量：
a
b
c
∠A ∠B
6
30°
10
45°
2、如图所示，在△ABC中，∠A=30°，tan B 3
，AC=2 3 ，则AB= .
2
变式：若已知AB，如何求AC？
C
B
A
3、在离大图34-1 楼15m的地面上看大楼顶部仰角65°，
§5.6 解直角三角形的应用
1.理解直角三角形中5个元素的关系，会运用 “勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、锐 角三角函数”解直角三角形. 2.正确理解“旋转角、仰角、俯角、视线、方位 角”从而正确理解实际问题，解决实际问题. 3.正确理解“坡度、坡角、倾斜角”等在实际问 题中的意义. 4. 能综合运用解直角三角形的知识解决实际问 题，进一步培养“把实际问题转化为数学问题” 的能力．

苏科版数学九年级下册7.5《解直角三角形》教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.5《解直角三角形》是直角三角形相关知识的学习，这部分内容在初中数学中占有重要地位。

通过本节课的学习，学生将掌握直角三角形的性质，学会使用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形，从而为后续学习立体几何和物理学打下基础。

本节课内容分为两个部分：一是直角三角形的性质；二是解直角三角形的方法。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数、平行线、相似三角形等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但学生在学习过程中，对于直角三角形的性质和解直角三角形的方法容易混淆，因此在教学中需要强调直角三角形的特殊性质，以及解直角三角形的具体步骤。

三. 教学目标1.了解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数在解直角三角形中的应用。

2.学会使用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形，提高解决问题的能力。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数在解直角三角形中的应用。

2.教学难点：解直角三角形的具体步骤和方法。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、讨论，发现直角三角形的性质和解直角三角形的方法。

2.使用多媒体课件，展示直角三角形的图形，增强学生的空间想象能力。

3.学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。

4.通过典型例题，讲解解直角三角形的步骤，让学生在实践中掌握方法。

六. 教学准备1.多媒体课件：制作直角三角形的相关图形和典型例题。

2.教学素材：提供一些关于直角三角形的习题，用于巩固所学知识。

3.教学工具：黑板、粉笔、直尺、三角板等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示直角三角形的图形，引导学生回顾直角三角形的定义和性质。

提问：你们知道直角三角形有哪些特殊的性质吗？2.呈现（10分钟）展示直角三角形的性质，引导学生观察、思考，发现直角三角形的性质。

cb aCBA 解直角三角形【教学目标】【知识与技能】使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

【过程与方法】通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。

【情感态度与价值观】渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。

【教学重难点】重点：直角三角形的解法难点：用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。

三角函数在解直角三角形中的灵活运用。

【教学过程】一、创设情境【新知引入】如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，其余5个元素之间有以下关系： （1）三边之间关系：__________（勾股定理）（2）锐角之间的关系： ∠A+ ∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余) （3）边角之间的关系：利用以上关系，如果知道其中的2个元素(其中至少有一个是边)，那么就可以求出其余的3个未知元素。

由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

二、例题教学【典型例题】1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，a=5．解这个直角三角形 。

222a b c +=asin ,cos ,tan ba bA A A c c===2．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=3，b= 。

求：（1）c 的大小； （2）∠A ．∠B 的大小。

3．如图，⊙O 的半径为10，求⊙O 的内接正五边形ABCDE 的边长。

4．在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，若AC=8，cosA=0.8，求△ABC 的面积。

三、课后练习：【知识要点】1．如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，其余5个元素之间有以下关系： （1）三边之间关系： （勾股定理）； （2）锐角之间的关系： ；（3）边角之间的关系： ； ； 。

（以∠A 为例）2．由直角三角形中的 ，求出 的过程，叫做解直角三角形。

7.5 解直角三角形【教学目标】1．知识与技能：使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形；2．过程与方法：通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；3．情感态度与价值观：通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想。

【教学重点、难点】1．重点：直角三角形的解法。

2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。

3. 疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。

【教学准备】多媒体（课件），圆规，刻度尺，计算器。

【课堂教学过程设计】【知识回顾】1、在直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢？(1)三边之间关系：勾股定理_______； (2)锐角之间关系：________。

(3)边角之间关系： sinA= ；cosA= ；tanA= .2、在Rt△ABC中，∠C=90°,已知c=15,∠B=60°,求a.3、在Rt△ABC中，∠C=90°,已知∠A=45°,b=3，求c.你有哪些疑问？小组交流讨论。

生甲：如果不是特殊值，怎样求角的度数呢?生乙：我想知道已知哪些条件能解出直角三角形？◆师：你有什么看法？生乙：从课前预习看，知道了特殊的一边一角也能解，那么两边呢？两角呢？还有三边、三角呢？◆师：好！这位同学不但提的问题非常好，而且具有非凡的观察力，那么他的意见对不对？这正是这一节我们要来探究和解决的：怎样解直角三角形以及解直角三角形所需的条件。

◆师：把握了直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决与直角三角形有关的问题了，这节课我们就来学习“解直角三角形”，解决同学们的疑问。