人教九年级下册数学-利用方位角、坡度解直角三角形教案与教学反思

初中九年级数学下册《方位角》教案及反思一、教学目标1.了解方位角的含义，掌握方位角的计算方法。

2.能够用方位角表示地理位置及移动方向。

3.培养学生的空间想象力和计算能力。

二、教学重难点1.方位角的含义和计算方法。

2.如何将方位角应用于实际问题中。

三、教学内容1.方位角的概念和计算方法。

2.应用方位角进行定位和导航。

3.应用方位角解决实际问题。

四、教学过程1. 感知新知识•展示一张地图，让学生观察地图上的标志物并将其用简单的语言描述出来，引导学生思考方位角的概念。

2. 知识点讲解•向学生简要介绍方位角的概念和计算方法（以顺时针夹角为正方向）。

•分别讲解“绝对角”和“相对角”两个概念，并通过实例让学生理解两者的区别。

3. 练习题解析•指导学生完成练习题，同时解答他们在练习中遇到的问题。

•根据学生的反应情况，加深他们对方位角的理解。

4. 实践应用•引导学生应用方位角进行定位和导航。

•给学生提供一些有趣的情景（如游戏场景、旅行场景等），让他们尝试使用方位角解决问题。

5. 总结回顾•向学生提出反思问题，引导他们对本节课所学习的知识进行总结回顾。

•对在学习过程中遇到的疑惑和问题进行解答。

五、教学反思本节课采用了启发式教学方法，通过展示地图和实际应用等方式激发学生的兴趣，使他们更加容易理解和掌握方位角这一难点知识。

在教学中，学生的理解和反应都非常积极，他们也能够通过课上练习解决一些实际问题，达到了预期的教学目标。

在教学过程中，也发现了一些不足之处。

例如，部分学生在初次接触到方位角时理解上有些困难，需要教师多次解释和演示。

在讲解“绝对角”和“相对角”这两个概念时，也需要教师更加清晰地阐述两者的区别。

总的来说，本节课的教学效果较为良好，但也需要将不足之处纳入后续的教学计划中，不断改进教学方法，提高教学质量。

部审人教版九年级数学下册教学设计28.2.2 第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.2.2节《利用方位角、坡度解直角三角形》是学生在学习了三角函数基础知识之后的一个实践应用部分。

本节内容通过实际问题引入方位角和坡度的概念，让学生了解在实际问题中如何利用三角函数知识解决问题。

教材通过实例分析，引导学生掌握利用方位角、坡度解直角三角形的方法，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的三角函数知识，对直角三角形有一定的认识。

但是，将理论知识应用于实际问题解决中，特别是涉及到方位角和坡度的问题，对学生来说还是一个新的挑战。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解方位角、坡度的概念，掌握利用方位角、坡度解直角三角形的方法。

2.过程与方法：通过实际问题，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的动手操作能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：方位角、坡度的概念及应用。

2.难点：如何将方位角、坡度与直角三角形相结合，解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、分组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入方位角、坡度的概念。

2.准备一些图片或实物，用于展示直角三角形的应用。

3.分组讨论的素材，让学生在课堂上进行实践操作。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如建筑工人测量高度、航海员确定船只位置等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。

让学生认识到方位角、坡度在实际生活中的重要性。

2. 呈现（10分钟）教师讲解方位角、坡度的概念，并通过实例解释其在实际问题中的应用。

同时，引导学生回顾直角三角形的知识，为后续解直角三角形打下基础。

28.2.2 应用举例第3课时利用方位角、坡度解直角三角形【学习目标】⑴使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。

即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？这一关系在实际问题中经常用到。

二、教师点拨：例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、学生展示：完成课本77页练习补充练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角 ______度．2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第5、7题七、自我反思：本节课我的收获:。

人教版九年级数学下册《解直角三角形》教案及教学反思教学目标•掌握直角三角形的概念；•学会利用三角函数（sin、cos、tan）来解决直角三角形的相关问题。

教学重难点•直角三角形的定义及其特征；•正弦、余弦、正切函数的定义及适用范围；•如何在实际问题中运用三角函数来解决相关问题。

教学准备•课件及PPT；•直角三角形模型和三角函数表。

教学过程一、导入首先，教师可以通过小组讨论或者以实际问题为例引出四个角的概念及其分别对应的度数和弧度。

然后，引入三角形的概念，进而介绍直角三角形的定义及其特点。

二、讲解1.直角三角形的定义及其特征教师应先为学生解释什么是直角三角形，即有一个角度为90度的三角形。

然后介绍直角三角形的特征，包括其两条直角边的关系和勾股定理。

可以通过观看相关视频或图片来进一步帮助学生理解。

2.三角函数的定义及适用范围教师应首先介绍正弦函数的概念及其定义，即对于任意角度θ，正弦函数sin(θ)=对边/斜边。

然后讲解余弦函数和正切函数的概念及其定义，即cos(θ)=邻边/斜边，tan(θ)=对边/邻边。

教师还需向学生解释不同三角函数的适用范围，即正弦函数对应的是钝角和锐角，余弦函数对应的是钝角和直角，而正切函数对应的是锐角。

3.如何运用三角函数来解决相关问题教师应向学生阐明如何使用三角函数来解决相关的实际问题。

例如，在一个直角三角形中，已知一个角度和斜边的长度，学生应该如何求出其他两边的长度。

在这种情况下，学生可以使用sin、cos或tan函数来求解，根据给出的信息来判断使用相应的函数。

三、练习教师可以准备一些相关的练习题，让学生用刚刚学到的知识来解决问题，并在课堂上进行讲解和讨论。

可以在小组内进行练习或者进行个人练习，并在课后进行批改。

四、归纳总结在课堂结束之前，教师应再次强调直角三角形及其特征，以及正弦、余弦、正切函数的概念及其适用范围。

鼓励学生将刚才学到的知识总结起来，形成自己的笔记或文章。

28.2.2教学目标：知识与技能：1、使学生了解方位角的特征，能准确表示出方位角。

2、巩固用三角函数及勾股定理有关知识解决实际问题，学会用方位角解决航海问题．过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，体会解决问题的思维过程。

情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．学会合作探究，提高学生的学习数学的兴趣。

教学重点、难点重点：用三角函数及勾股定理有关知识解决航海问题难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型教学过程：一、复习旧知、引入新课【复习】1、创设情境，引入航海问题。

2、回顾方位角。

二、探索新知、分类应用【活动一】思考、船有触礁的危险吗？例1 海中有一个小岛A，它周围8千米内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东600方向上，航行12千米到达C点，这时测得小岛A 在北偏东300方向上。

如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？这个问题归结为:在Rt△ABC中,已知∠BAF= 60°,DB=12,∠DAF=300求出AF的长与8比较大小。

如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东650方向，80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P0方向上的B处，这时，B 处距离灯塔P有多远？（结果取整数）方法小结：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题；（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数或勾股定理解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）检验是否符合题意，得到实际问题的答案。

【探究活动二】思考1、一艘船自西向东航行，航行到什么位置时离小岛最近？为什么？垂线段最短【巩固训练】变式练习如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区?(参考数据：≈1.732，≈1.414)．三、归纳小结：1．把实际问题转化成数学问题：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面示意图，二是将已知条件转化为示意图中的边或角或它们之间的关系.2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造直角三角形. A。

最新⼈教版初中数学九年级下册28.2《⽅位⾓、坡度、坡⾓》教案⽅位⾓、坡度、坡⾓掌握⽅位⾓的定义及表⽰⽅法教学⽬标：重点：理解坡度、坡⽐等相关概念在实际问题中的含义难点：与⽅位⾓有关的实际问题1.掌握⽅位⾓的定义及表⽰⽅法指或指⽅向线与⽬标⽅向线所成的⼩于90°的⽔平⾓,叫⽅位⾓,如图,⽬标⽅向线OA、OB、OC、OD的⽅位⾓分别表⽰, , , .2.理解坡度、坡⽐等相关概念在实际问题中的含义(1)坡度、坡⽐①如图,我们把坡⾯的⾼度h和宽度l的⽐叫做坡度(或叫做坡⽐),⽤字母i表⽰,即i=.坡度⼀般写成1∶m的形式.②坡⾯与的夹⾓α叫做坡⾓,坡⾓与坡度之间的关系为i==tanα.(2)⽔平距离、垂直距离(铅直⾼度)、坡⾯距离如图, 代表⽔平距离, 代表铅直⾼度, 代表坡⾯距离.重点⼀:与⽅位⾓有关的实际问题解答与⽅位⾓有关的实际问题的⽅法(1)弄清航⾏中⽅位⾓的含义,根据题意画出图形,画图时要先确定⽅向标,把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在.(2)船在海上航⾏,在平⾯上标出船的位置、灯塔或岸上某⽬标的位置,关键在于确定基准点.当船在航⾏时,基准点在转移,画图时要特别注意.1. (2013河北)如图,⼀艘海轮位于灯塔P的南偏东70°⽅向的M处,它以每⼩时40海⾥的速度向正北⽅向航⾏,2⼩时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为( )(A)40海⾥(B)60海⾥ (C)70海⾥(D)80海⾥2.(2013荆门)A、B两市相距150千⽶,分别从A、B处测得国家级风景区中⼼C处的⽅位⾓如图所⽰,风景区区域是以C为圆⼼,45千⽶为半径的圆,tan α=1.627,tan β=1.373.为了开发旅游,有关部门设计修建连接AB两市的⾼速公路.问连接AB的⾼速公路是否穿过风景区,请说明理由.3. 如图,A、B、C分别是三个岛上的点,点C在点A的北偏东47°⽅向,点B在点A的南偏东79°⽅向,且A、B两点的距离约为5.5 km;同时,点B在点C的南偏西36°⽅向.若⼀艘渔船以30 km/h的速度从点A驶向点C捕鱼,需要多长时间到达(结果保留⼩数点后两位)?(参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 47°≈1.07,tan 36°≈0.73,tan 11°≈0.19)重点⼆:与坡度、坡⾓有关的实际问题(1)坡度是坡⾓的正切值,坡度越⼤,坡⾓也越⼤.(2)与坡度有关的问题常与⽔坝有关,即梯形问题,常⽤的⽅法⼀般是过上底的顶点作下底的垂线,构造直⾓三⾓形和矩形来求解.4.(2014丽⽔)如图,河坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1∶(坡⽐是坡⾯的铅直⾼度BC与⽔平宽度AC之⽐),坝⾼BC=3 m,则坡⾯AB的长度是( )(A)9 m (B)6 m (C)6 m (D)3 m5. (2013安徽)如图,防洪⼤堤的横断⾯是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡⾓α=60°.汛期来临前对其进⾏了加固,改造后的背⽔⾯坡⾓β=45°.若原坡长AB=20 m,求改造后的坡长AE.(结果保留根号)6.如图所⽰,某防洪指挥部发现长江边⼀处长500⽶,⾼10⽶,背⽔坡的坡⾓为45°的防洪⼤堤(横断⾯为梯形ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固⽅案是:沿背⽔坡⾯⽤⼟⽯进⾏加固,并使上底加宽3⽶,加固后背⽔坡EF的坡⽐i=1∶.(1)求加固后坝底增加的宽度AF;(2)求共需多少⽴⽅⽶⼟⽯进⾏加固.1. 河堤横断⾯如图所⽰,迎⽔坡AB的坡⽐为1∶(坡⽐是坡⾯的铅直⾼度BC与⽔平宽度AC之⽐),则坡⾓α为( )(A)30° (B)45° (C)50° (D)60°2.王英同学从A地沿北偏西60°⽅向⾛100 m 到B地,再从B地向正南⽅向⾛200 m到C地,此时王英同学离A地( )(A)150 m(B)50 m (C)100 m (D)100 m3.如图,先锋村准备在坡⾓为α的⼭坡上栽树,要求相邻两树之间的⽔平距离为5⽶,那么这两树在坡⾯上的距离AB为( )(A)5cos α(B)(C)5sin α(D)4.如图,将⼀个Rt△ABC形状的楔⼦从⽊桩的底端点P处沿⽔平⽅向打⼊⽊桩底下,使⽊桩向上运动,已知楔⼦斜⾯的倾斜⾓为20°,若楔⼦沿⽔平⽅向前移8 cm(如箭头所⽰),则⽊桩上升了( )(A)8tan 20° cm (B) cm(C)8sin 20° cm (D)8cos 20° cm5. (2013潍坊)如图,⼀渔船在海岛A南偏东20°⽅向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海⾥,渔船将险情报告给位于A处的救援船后,沿北偏西80°⽅向向海岛C靠近.同时,从A处出发的救援船沿南偏西10°⽅向匀速航⾏.20分钟后,救援船在海岛C处恰好追上渔船,那么救援船航⾏的速度为( )(A)10海⾥/⼩时 (B)30海⾥/⼩时 (C)20海⾥/⼩时(D)30海⾥/⼩时6.在⼀次⾃助夏令营活动中,⼩明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°⽅向的C处,他先沿正东⽅向⾛了200 m到达B地,再沿北偏东30°⽅向⾛,恰能到达⽬的地C(如图),那么由此可知,B,C两地相距m.7. 如图所⽰,某公园⼊⼝处原有三级台阶,每级台阶⾼为18 cm,深为30 cm,为⽅便残疾⼈⼠,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1∶5,则AC的长度是cm.8. 如图所⽰,⼀渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°⽅向,这艘船以28海⾥/时的速度向正东航⾏,半⼩时到B处,在B处看见灯塔M在北偏东15°⽅向,此时灯塔与渔船的距离是海⾥.9. (2013湘西州)钓鱼岛⾃古以来就是中国的神圣领⼟,为宣誓主权,我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进⾏维权活动,如图,⼀艘海监船以30海⾥/⼩时的速度向正北⽅向航⾏,海监船在A处时,测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°⽅向上,航⾏半⼩时后,该船到达点B处,发现此时钓鱼岛C与该船距离最短.(1)请在图中作出该船在点B处的位置;(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号).10.(2013新疆)如图所⽰,⼀条⾃西向东的观光⼤道l上有A、B两个景点,A、B相距2 km,在A处测得另⼀景点C位于点A的北偏东60°⽅向,在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°⽅向,求景点C到观光⼤道l的距离(结果精确到0.1 km).11.(2013烟台)如图,⼀艘海上巡逻船在A地巡航,这时接到B地海上指挥中⼼紧急通知:在指挥中⼼北偏西60°⽅向的C地,有⼀艘渔船遇险,要求马上前去救援.此时C地位于A地北偏西30°⽅向上,A地位于B地北偏西75°⽅向上,A、B两地之间的距离为12海⾥.求A、C两地之间的距离(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45,结果精确到0.1).12.如图,马路的两边CF、DE互相平⾏,线段CD为⼈⾏横道,马路两侧的A、B两点分别表⽰车站和超市.CD与AB所在直线互相平⾏,且都与马路两边垂直,马路宽20⽶,A,B相距62⽶,∠A=67°,∠B=37°(1)求CD与AB之间的距离;(2)某⼈从车站A出发,沿折线A→D→C→B去超市B,求他沿折线A→D→C→B到达超市⽐直接横穿马路多⾛多少⽶参考数据:sin 67°≈,cos 67°≈,tan67°≈,si n 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈. 13.如图,公路AB为东西⾛向,在点A北偏东36.5°⽅向上,距离5千⽶处是村庄M;在点A北偏东53.5°⽅向上,距离10千⽶处是村庄N(参考数据:sin 36.5°=0.6,cos 36.5°=0.8, tan 36.5°=0.75).(1)求M,N两村之间的距离;(2)要在公路AB旁修建⼀个⼟特产收购站P,使得M,N两村到P站的距离之和最短,求这个最短距离.教学反思：。

28．2 解直角三角形及其应用人非圣贤，孰能无过？过而能改，善莫大焉。

《左传》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！28．2.1 解直角三角形(第1课时)教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解什么叫解直角三角形．2．掌握解直角三角形的根据．3．能由已知条件解直角三角形．【过程与方法】在探索解直角三角形的过程中，渗透数形结合思想．【情感态度与价值观】在探究活动中，培养学生的合作交流意识，让学生在学习中感受成功的喜悦，增强学习数学的信心．二、重难点目标【教学重点】解直角三角形的方法．【教学难点】会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P72～P73的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.2．在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.(1)两锐角互余，即∠A＋∠B＝90°；(2)三边满足勾股定理，即a2＋b2＝c2；(3)边与角关系sin A＝cos B＝ac，cos A＝sin B＝bc，tan A＝ab，tan B＝ba.3．Rt△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝45，AB＝10，那么BC＝8，tan B＝34.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】见教材P73例1.【例2】见教材P73例2.活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( A )A．c sin A＝a B．b cos B＝cC．a tan A＝b D．c tan B＝b2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为4 3.3．根据下列条件解直角三角形．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，c＝8；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝12.解：(1)a43，∠B＝30°，∠A＝60°.(2)∠B＝30°，b＝43，c＝8 3.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．【互动探索】过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，在△EFD中求出∠EDF＝60°，再解直角三角形即可．【解答】如题图，过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠CBA＝45°，∴BM＝BC sin45°＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°∴MD＝BMtan 60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4(3).【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对练习！28．2.2应用举例第2课时利用仰角、俯角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题．2．了解仰角、俯角等有关概念，会利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题．【过程与方法】通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题，经历将实际问题转化为数学问题的探究过程，提高应用数学知识解决际问题的能力．【情感态度与价值观】通过探索三角函数在实际问题中的应用，感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神．二、重难点目标【教学重点】利用解直角三角形解决有关仰角、俯角的实际问题．【教学难点】建立合适的三角形模型，解决实际问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P74～P75的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.2．如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端点A的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为a tanα米．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行，如图所示，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少？(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)【温馨提示】详细分析与解答见教材P74例3.【例2】如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高(结果取整数)?【温馨提示】详细分析与解答见教材P75例4.活动2 巩固练习(学生独学)如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少？(精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：由题易知，∠DAC＝∠EDA＝30°.∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∴AC＝CDtan 30°＝2133＝213(m)．∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝213－21≈15.3(m)．即河的宽度AB约是15.3m.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲、乙两人分别在相距6米的C、D 两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.9，sin65°≈0.91，tan65°≈2.1)【互动探索】要求AB，先求出AE与BE→解直角三角形：Rt△ADE、Rt△BCE.【解答】在Rt△ADE中，∵∠ADE＝65°，DE＝15米，∴tan∠ADE＝AE DE，即tan65°＝AE15≈2.1，解得AE≈31.5米．在Rt△BCE中，∵∠BCE＝42°，CE＝CD＋DE＝6＋15＝21(米)，∴tan∠BCE＝BE CE，即tan42°＝BE21≈0.9，解得BE≈18.9米．∴AB＝AE－BE＝31.5－18.9≈13(米)．即旗杆AB的长大约是13米．【互动总结】(学生总结，老师点评)先分析图形，根据题意构造直角三角形，再解Rt△ADE、Rt△BCE，利用AB＝AE－BE即可求出答案．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！第3课时利用坡度、方向角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能运用解直角三角形解决航行问题．2．能运用解直角三角形解决斜坡问题．3．理解坡度i＝坡面的铅直高度坡面的水平宽度＝坡角的正切值．【过程与方法】1．通过探究从实际问题中建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力．2．通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，增强应用意识，体会数形结合思想的应用．【情感态度与价值观】在运用三角函数知识解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】用三角函数有关知识解决方向角、坡度、坡角等有关问题．【教学难点】准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P76～P77的内容，完成下面练习．【3min 反馈】(一)方向角1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．2．如图，我们说点A 在O 的北偏东30°方向上，点B 在点O 的南偏西45°方向上，或者点B 在点O 的西南方向．(二)坡度、坡角1．坡度通常写成1∶m 的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l＝tan α. 2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为1∶ 3.(三)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1．将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；3．得到数学问题的答案；4．得到实际问题的答案．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)(一)解直角三角形，解决航海问题【例1】如图，海中一小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD的长并与10海里比较→得出结论．【解答】如题图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝BD AD ，∴BD＝AD·tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝CD AD ，∴CD＝AD·tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°，∴AD＝20tan 55°－tan 25°≈20.79(海里)．而20.79海里>10海里，∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A距BC的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．(二)解直角三角形，解决坡度、坡角问题【例2】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC＝9.8m，路基高BE＝5.8m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°)．【互动探索】(引发学生思考)将坡度i＝1∶1.6和i′＝1∶2.5分别转化为正切三角函数→求出AE、DF的长→由AD＝AE＋EF＋DF求出AD的长→利用计算器求得坡角α和β的值．【解答】如题图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.∵BE＝5.8m,i＝1∶1.6,i′＝1∶2.5，∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tanα＝i＝1∶1.6，tanβ＝i′＝1∶2.5，得α≈32°，β≈22°.即铁路路基下底宽AB为33.6m，斜坡的坡角α和β分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中，没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为65米．2．“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短，画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD的长度即为公路长度．在Rt△ACD中，根据题意，有∠CAD＝30°.∵tan∠CAD＝CD AD，∴AD＝CDtan 30°＝3C D.在Rt△CBD中，根据题意，有∠CBD＝60°.∵tan∠CBD＝CD BD，∴BD＝CDtan 60°＝33C D.又∵AD－BD＝500m，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433m.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，小明于堤边A处垂钓，河堤AB的坡比为1∶3，坡长为3米，钓竿AC的倾斜角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°，求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】将实际问题转化为几何问题→作辅助线，构造直角三角形→延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→得△CDE是等边三角形，DE＝CE＝AC＋AE→求得BD长．【解答】如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB，交EB于点F，则∠CED＝60°.∵AB的坡比为1∶3，∴∠ABE＝30°，∴∠BAE ＝90°.∵AB ＝3米，∴AE ＝AB tan ∠ABE ＝3×33＝3(米)， ∴BE ＝2AE ＝23米．∵∠C ＝∠CED ＝60°，∴△CDE 是等边三角形．∵AC ＝6米，∴DE ＝CE ＝AC ＋AE ＝(6＋3)米，∴BD ＝DE －BE ＝6＋3－23＝(6－3)(米)．即浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为(6－3)米．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题既考查了解直角三角形，也考查了等边三角形的性质，根据已知条件构造出直角三角形及等边三角形是关键．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)⎩⎪⎨⎪⎧ 坡度与坡角⎩⎨⎧ 坡度的概念→通常写成比的形式坡角的概念→坡度越大，坡面就越陡方向角：指正北、正南方向线与目标方向线所形 成的角练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】 海明威和他的“硬汉形象”美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。

28.2.5 用解直角三角形解方位角、坡角的应用一、教学目标(一)知识与技能巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于方位角、坡度角和有关角度的问题．(二)过程与方法逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．(三)情感态度与价值观培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．二、重、难点重点：能熟练运用有关三角函数知识．难点：解决实际问题．三、教学过程(一)明确目标讲评上课节课后作业(二)重点、难点的学习与目标完成过程教师出示例题．例1 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图(2))．已知：Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。

第2课时与方向角、坡度有关的解直角三角形的应用1．了解什么是方位角、坡度及方位角的命名特点，准确熟练解决有关方位角问题．2．巩固用解直角三角形有关知识解决实际问题的方法．▲重点运用解直角三角形解决航行、斜坡问题．▲难点灵活运用解直角三角形的方法解决生活中的实际问题．◆活动1新课导入如图，在电线杆的C处拉引线CE，CF固定电线杆．拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6 m的B处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5 m，拉线CE的长是3)__m．(结果保留根号)◆活动2探究新知1．教材P76例5.学生完成并交流展示．2．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6 m，坝高20 m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°.求坝底AD的长度．(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：AD＝20×2.5＋6＋203＝90.64(m)．答：坝底AD的长度为90.64 m.学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．坡度、坡角概念．如图，BC表示水平面，AB表示坡面，把水平面BC与坡面AB形成的角∠ABC称为坡角α，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ＝h l ＝tan α.2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为__数学__问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案．◆活动4 例题与练习例1 如图，海中一小岛A ，该岛四周10 n mile 内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20 n mile 后到达该岛的南偏西25°的C 处之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？解：过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D.由题意，得∠BAD ＝55°，∠CAD ＝25°，BC ＝20 n mile.在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BD AD ，∴BD ＝AD·tan 55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD＝CD AD ，∴CD ＝AD·tan 25°.∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD·tan 55°＝20＋AD·tan 25°，∴AD ＝20tan 55°－tan 25°≈20.79(n mile)>10(nmile)．答：轮船继续向东行驶，不会有触礁危险．例2 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长．(精确到0.1 m)解：过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F.在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，∵BE AE ＝13，CF FD ＝12.5，∴AE ＝3BE＝3×23＝69(m)，FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m)，∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝13≈0.33，∴α≈18.43°.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AB ＝AE 2＋BE 2≈72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α约为18.43°，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m.练习1．教材P77练习第1，2题．2．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15 m的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20 m，梯坎坡长BC是12 m，梯坎坡度i＝1∶3，则大楼AB的高度约为(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)(D)A．30.6 m B．32.1 m C．37.9 m D．39.4 m3．如图，海上有座灯塔P，在它周围3 n mile有暗礁，一艘客轮以每小时9 n mile的速度由西向东航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°，继续航行10 min后到达B处，又测得灯塔P在它的东北方向．若客轮不改变方向，有无触礁危险？解：过点P作PD⊥AB于点D.在Rt△PAD中，∠PAD＝30°.又∵∠PBD＝45°，故设PD＝x，则BD＝PD＝x，AD＝3x.又∵AB＝9×1060＝1.5(n mile)，∴AD＝1.5＋x，∴x＋1.5＝3x，解得x＝34(3＋1)<3，∴有触礁危险．◆活动5完成《名师测控》随堂反馈手册◆活动6课堂小结1．方向角、坡度的概念．2．掌握与方向角、坡度有关的问题．1．作业布置(1)教材P78习题28.2第5，9题；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思________________________________________________________________________。