2019版九年级数学下册6.7用相似三角形解决问题1学案新版苏科版

6.7用相似三角形解决问题教学目标：1.了解平行投影的意义.2.知道在平行光线照射下，不同物体的物高与影长成比例，会利用平行投影画出图形并能利用其原理测量物体的高度.3.经历“探索—发现—猜想”，通过实际问题的研究，提高分析问题、解决问题的能力，建立“相似三角形”的模型.4.综合运用判定相似三角形的条件和三角形相似的性质解决问题，增强用数学的意识.教学重点：理解平行光线照射下，不同物体的物高与影长的关系，并能进行运用.教学难点：利用平行投影的原理求物体的高度.学习过程：一、创设情景，感悟新知1.判定三角形相似有哪些方法？相似三角形有哪些性质？2.当人们在阳光下行走时，会出现怎样的现象？二、合作探究：1.课本数学实验室.在平行光线照射下，物体所产生的影称为平行投影.在平行光线照射下，不同物体的物高与影长成比例.2.课本尝试1、2.三、练习巩固：1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？2.如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5m，窗户的高度AF为2.5m，求窗户外遮阳蓬外端一点D 到窗户上掾的距离AD.（结果精确到0.1m）3.如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡和地面BC上，量得CD＝4米，BC＝10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米长木杆的影长为2米，则电线杆的高度为多少米？4.利用镜面反射可以计算旗杆的高度，如图，一名同学（用AB表示），站在阳光下，通过镜子C恰好看到旗杆ED的顶端，已知这名同学的身高是1.60米，他到镜子的距离是2米，镜子到旗杆的距离是8米，求旗杆的高.2题图 3题图 4题图四、当堂检测：1.小明在操场上练习双杠，在练习的过程中他发现双杠的两横杆的影子在地面上是（）A.相交B.平行C.垂直D.无法确定2.如图，小华拿一个矩形的木框在阳光下玩，矩形的木框在地面上形成的投影不可能是（）3.冬至时是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻，只要此时能采到阳光，一年四季就均能受到阳光照射，此时竖一根a米长的竹竿，其影长为b米，某单位计划想建m米高的南北两栋宿舍楼，如图所示.试问两栋楼相距至少有多少米时，后楼的采光一年四季不受影响（用m、a、b表示）？4.如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先从B处出发沿与AB成90°角的方向，向前走40m到C处，在C处立一标杆，然后方向不变继续向前走8m到D处，在D处作DE⊥BD，沿DE方向走12m到E处，恰好使A、C、E在一条直线上，求A、B两点间距离.五、小结思考：六、教学反思：。

用相似三角形解决问题教学目标：1 进一步复习相似三角形性质; 能熟练掌握用相似性质来解决与面积有关的问题;2 培养学生分析问题的能力.3 培养学生缜密严谨的数学素养和一丝不苟的思维品质一、复习引入，导出课题1．什么是图形的相似？回答：（1)相似的定义 对应边成比例，对应角相等的图形相似(2 )形状相同的图形2.大小也相同的相似类图形是我们学过什么内容？（三角形的全等）（1）图形的全等是图形相似的特殊情况，此刻相似比K=1（2）很多数学知识的学习我们都是通过从特殊到一般3.利用三角形的全等我们可以得到相等的边和角，那么利用三角形的相似我们可以解决什么问题？(解决线段的计算,面积的计算等)4.相似三角形对我们解决数学问题有很大的帮助,我们这节课就一起来探究相似在解决面积问题中的作用。

板书课题：相似三角形 --- 面积二、简单应用1．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的点，DE//BC ，A D ：BC=3：4，若△ADE 的面积为1，则△DEC 的面积为 ．△ABC 的面积为 ．追问: 1 △ADE 与△DEC 有什么关系？面积有什么关系？ (板书图形)2 △ADE 与△ABC 有什么关系？面积有什么关系？ (板书图形)感悟：1 当三角形的面积无法用公式求的时候，可以考虑找与之有关的三角形(基本的面积公式、同底（高）、等底（高）、相似时、转化为和、差…）2 养成从已知条件发散得到间接条件的思维习惯.3 简单的图形,我们细细的分析,可以得出很多结论,养成谨慎细致的习惯.2．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE 、DC 、BE ，DC 与BE 交于点O ，若△ADE 的面积为1，则△ODE 与△OBC 的面积之和为 ． AD E B AE D C分析：1 由已知条件，你可以求出哪些图形的面积？2 所求的两个三角形面积有什么关系？板书图形和简单的解答过程(有多种等量关系)3 “D 、E 分别是AB 、AC 的中点”这个条件还可以换成什么？三、灵活运用例1 如图,已知△ABC 中,AB=4,D 在AB 上移动(不与A,B 重合),DE ‖BC 交AC 于点E,连接CD,设△ABC 的面积为s ，△DEC 的面积为S ’. (1) 当D 为AB 中点时,求S ’:S 的值(2) 设AD=x, S ’:S=y,求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围.分析：1 S ’与S 能具体的计算吗？2 S ’与S 能用合适的代数式表示吗？3 谁是最合适的“中间”图形？4 用刚才的方法，我们可以把S ’与S 用具体的式子表示出来 （板书过程）（2）与（1）比较，区别在哪里？联系在哪里？解题的思路一样吗？（改写板书）感悟：1 从特殊到一般的数学方法，不仅体现在图形上，也体现在解题的思路和方法上；无从下手的时候，找特殊；2 善于发现起“中间”作用的量或者图形.四、探索研究，拓展延伸 例2． 如图，在直角梯形OABC 中，已知B 、C 两点的坐标分别为B(8，6)、C(10，0)，动点M 由原点O 出发沿OB 方向匀速运动，速度为1单位／秒；同时，线段DE 由CB 出发沿BA 方向匀速运动，速度为1单位／秒，交OB 于点N ，连接DM ，设运动时间为t(s)(0<t<8)．(1)试说明：△BDN ∽△OCB ；（板书过程）感悟：简化条件和图形，大题分解为小题解决(2)设△DMN 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式,当M 在什么位置时，y 有最大值是多少？（板书分析图形，板书一种过程,PPT 显示其他解答过程）B A E D C感悟：1 充分利用已证的结论；2 动点问题中，充分利用确定的图形和数据；五、课堂总结1本节课我们在学习了解相似三角形的前提下，又深入的探究了图形面积的求法，它们之间互相帮助； 2 任何数学问题的解决，紧紧围绕已知条件和未知条件之间的关系，逻辑要严密；3 很多抽象难懂的规律，我们都可以通过特殊情况去突破，数学中的思想和方法可以类比与迁移：全等-相似；数字--式子；三角形的面积--任意图形的面积等；4 成功的学好数学，需要微观上要谨慎严密，宏观上要发散推理思考：1如图在△ABC 中，点E 在AB 上，AE:EB=1:2,EF //BC,交AC 于点F,AD//BC,交CE 的延长线与点D.设△AEF 的面积为3，求△CEF 的面积和△ADE 的面积.（生独立完成，板演）2 例1中根据y 的取值范围，探索S ’与S 之间的大小关系， 并说明理由.x N M E D C B A O y。

6.7 用相似三角形解决问题（1）教学目标1．通过用相似三角形有关知识解决实际问题的过程，提高学生分析、解决实际问题的能力；2．学会建构“用相似三角形解决问题”的基本数学模型；3．通过知识拓展，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与探索活动，体验成功的喜悦，培养科学的数学观．教学重点:根据实际问题，依据相似三角形的有关知识，构建数学模型，解决实际问题．教学难点:将实际问题抽象、建模以辅助解题．一.问题情境问题1 根据物理的知识，你能说说太阳光和灯光的区别吗？二.探索活动问题2（1）在图6－40中，根据大树在太阳光下的影子，画出图中小树在太阳光下的影子．（用线段表示）图6－40（2）在图6－41中，画出图中小树在灯A照射下的影子．（用线段表示）AB图6－41归纳：平行投影：中心投影：三.例题讲解例1 在阳光下，高为6m的旗杆在地面上的影长为4m，在同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为36m．求这座建筑物的高度．图6－42例2如图，某人身高CD ＝1.7m ，在灯光下，他从灯杆底部点B 处直线前进4m到达点D 处，测得影长DE=2m ，求灯杆AB 的高度例3 如图6－42，河对岸有一灯杆AB ，在灯光下，小丽在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向前进到达点F 处测得自己的影长FG ＝4m ．设小丽的身高为1.6 m ，求灯杆AB 的高度．四.当堂训练1．3根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第1、第2根旗杆在同一灯光下的影子如图．请在图中画出光源的位置，并画出第3根旗杆在该灯光下的影子（不写画法）．2.已知为了测量路灯CD 的高度，把一根长 1.5m 的竹竿AB 竖直立在水平地面上．测得竹竿的影子长为1m ，然后拿竹竿向远离路灯的方向走了4m ．再把竹竿竖直立在地面上，竹竿的影长为 1.8m ，求路灯的高度．五.课堂小结CDB E A'B' E' A。

ACD B AC D B6.7相似三角形的应用（1）学习目标：1．通过用相似三角形有关知识解决实际问题的过程，提高分析、解决实际问题的能力；2．学会建构“用相似三角形解决问题”的基本数学模型；学习重点：根据实际问题，依据相似三角形的有关知识，构建数学模型，解决实际问题．学习难点：将实际问题抽象、建模以辅助解题．学习过程一.【情境创设】光线在直线传播过程中，遇到不透明的物体，在这个物体后面光线不能到达的区域便产生影。

太阳光线可以看成。

在平行光线的照射下，称为平行投影。

归纳：在平行光线的照射下，不同物体的物高与其影长成。

甲木杆AB在阳光下的影长为BC．试在图中画出同一时刻乙、丙两根木杆在阳光下的影长．二.【问题探究】问题1：在阳光下，某位学者确定他的影长等于他的身高时，要求他的助手立即测得金字塔的阴影DB的长，这样他就十分准确地算出了金字塔的高度．如果测得金字塔的阴影DB的长为32m，金字塔底边的长为230m，请计算出这座金字塔的高度．(注：此时他的影长等于他的身高)身高为1.5m的小华在打高尔夫球，她在阳光下的影长为2.1m，此时她身后一棵水杉树的EDC B ACBDE影长为10.5m ，则这棵水杉树高为 ( )．A ．7.5mB ．8mC ．14.7mD ．15.75m问题2：利用镜面反射可以计算旗杆的高度，如图，一名同学(用AB 表示)，站在阳光下，通过镜子C 恰好看到旗杆ED 的顶端，已知这名同学的身高是1.60米，他到影子的距离是2米，镜子到旗杆的距离是8米，求旗杆的高.三.【拓展提升】问题3：小丽利用影长测量学校旗杆的高度.由于旗杆靠近一个建筑物,在某一时刻旗杆影子中的一部分映在建筑物的墙上.小丽测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为20m,在墙上的影长CD 为4m,同时又测得竖立于地面的1m 长的标杆影长为0.8m,请帮助小丽求出旗杆的高度.四.【课堂小结】五.【反馈练习】小刚身高1.7m ，测的他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，小刚举起的手臂超出头顶（ ） A ：0.5m B ：0.55 m C ：0.6 m D ：2.2 m 问题4：在阳光下，小明在某一时刻测得与地面垂直、长为1m 的杆子在地面上的影子长为2m ，在斜坡上影长为1.5m ，他想测量电线杆AB 的高度，但其影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=3m ，BC=10m ，CD 与地面成45°角。

2019-2020学年九年级数学下册《6.7 用相似三角形解决问题》学案1（新版）苏科版学习目标：1.了解平行投影的意义，知道在平行光线的照射下，同一时刻不同物体的物高与影长成比例。

2.通过测量活动，综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，增强应用数学的意识，加深对判定三角形相似的条件和性质的理解。

学习重难点：通过测量活动，综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，增强用数学的意识，加深对判定三角形相似的条件和三角形相似的性质的理解。

学习过程：一、复习导入、激发兴趣当人们在阳光下行走时，会出现—个怎样的现象?太阳光线可以看成是平行光线。

光线在直线传播过程中，遇到不透明的物体，在这个物体的后面光线不能到达的区域便产生影。

二、自主探究、合作交流（一）根据已有的生活经验，我们知道：在阳光下，在同一时刻，物体的高度与物体的影长存在某种关系：物体的高度越高，物体的影长就越长。

了解平行投影：在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例。

（二）探究1、某一时刻，小刚测得竖立于地面上的1m 长的木尺的影长为0.8m ，此刻学校25m 高的教学楼的影长是________m ．2、如图，在某一时刻竖立在操场上的竹竿AB 的影长为BC ，请据此在图上画出操场上的树MN 在此时的影长（用线段表示）．三、学以致用、巩固新知活动1、 在阳光下，身高1.68m 的小强在地面上的影长为2m ，在同一时刻，测得旗杆在地面上的影长为18m ．求旗杆的高度(精确到0.1m)．活动2、古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法:如图所示,为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒O’B’,比较棒子的影长A’B’ 与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB. 如果O’B’=1， A’B’ =2，AB=274，求金字塔的高度OB.活动3、如图，甲楼AB 高18米，乙楼坐落在甲楼的正北面，在某一时刻时，物高与影长的比是1∶2 ，已知两楼相距21米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?B A O B活动4、已知CD 为一幅3m 高的温室外墙，其南面窗户的底框G 距地面1m ，且CD 在地面上留下的影长CF为2m ，现欲在距C 点7m 的正南方A 点处建一幢12m 高的楼房AB （设A 、C 、F 在同一水平线上）．（1）按比例较精确地画出高楼AB 及它的影长AE ；（2）楼房AB 建成后是否影响温室CD 的采光？试说明理由．四、课堂检测1、如图:为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B 和C,使AB ⊥BC,然后,再选点E,使EC ⊥BC,用视线确定BC 和AE 的交点D.此时如果测得BD=120米,DC=60米,EC=50米,求两岸间的大致距离AB.2、如图，一名同学(用AB 表示)，站在阳光下，通过镜子C 恰好看到旗杆ED 的顶端，已知这名同学的身高是1.60米，他到影子的距离是2米，镜子到旗杆的距离是8米，求旗杆的高.五、课后反馈A 组题1．一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为 2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5B C D EA米，这棵水杉树高为 ( )A.7.5米B.8米C.14.7米D.15.75米2．如图，小华拿一个矩形的木框在阳光下玩，矩形的木框在地面上形成的投影不可能是（）A B C DB组题1．如图，高低杠AB＝2.5m，EC＝2m，已知四边形ABCD和四边形ECGF都是矩形，若AB在地面上的影长为3m，则E′D′＝ .2．课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5m•的同学的影长为1.35m，因大树靠近一幢建筑物，影子不全在地面上（如图），现测得地面上树影的长BC=3.6m，墙面上树影的高CD=1.8m，求树高AB的长．Ｃ组题小明在某一时刻测得1m的杆子在阳光下的影子长为2m，他想测量电线杆AB的高度，但其影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=2m，BC=10m，CD与地面成45°，求电线杆的高度.。

6.7用相似三角形解决问题教学目标：1.了解中心投影的意义.2.知道在点光的照射下，物体的物高与影长的关系，会中心投影投影画出图形并能利用其原理进行相关测量和计算.3.经历“探索—发现—猜想”，通过实际问题的研究，提高分析问题、解决问题的能力，建立“相似三角形”的模型.4.综合运用判定相似三角形的条件和三角形相似的性质解决问题，增强用数学的意识.教学重点：理解在点光的照射下，物体的物高与影长的关系.教学难点：会利用中心投影中同一物体在不同的位置下影长的变化测量物体的高度.教学过程：一、自学质疑：1.什么叫做平行投影？在平行光线的照射下，物体的物高与影长有什么的关系？2.夜晚，当人在路灯下行走时，会出现怎样的现象？你能说明理由吗？二、合作探究：1.课本数学实验室.在点光的照射下，不同物体的物高与影长成比例吗？在点光的照射下，物体所产生的影称为中心投影.2.课本例题.3. 平行投影和中心投影的区别：在平行投影下两个物体和其影长成比例且方向相同，影子平行或在一条直线上，但在中心投影下，两个物体及其影长不一定成比例，而是和物体距点光的位置有关，距点光越近，影子越短，距点光越远，影子越长，影子决不会平行，要么相交，要么在一条直线上.三、练习巩固：1.如图，在距离墙20m处有一路灯，当身高1.70m的小亮离墙15m时的影子长为1m，则当小亮处于什么位置时，他的影子刚好不落在墙上？2.如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部，已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB.（1）求两个路灯之间的距离；（2）当小华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？3.如图，大江的一侧有甲、乙两个工厂，它们有垂直于江边的小路，长度分别为m千米及n千米.设两条小路相距l千米.现在要在江边建立一个抽水泵，把水送到甲、乙两厂去，欲使供水管路最短，抽水泵应建在哪里？四、当堂检测：1.在同一时刻阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）A.小明的影子比小强的影子长B.小明的影子比小强的影子短C.小明的影子和小强的影子一样长D.谁的影子长不确定2.如图，路灯光C距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A 处，沿OA所在的直线行走14米到B点时，人影的长度（）A.增大1.5米B.减小1.5米C.增大3.5米D.减小3.5米3.在同一直线上的三根旗杆直立在地面上，第一、第二根旗杆在同一灯光下的影子如图，请在图中画出光的位置，并画出第三根旗杆在该灯光下的影子（不写画法）.4.如图，工地上两根电灯杆相距Lm，分别在高为4m，6m的A、C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高MH的值.五、小结思考1.了解中心投影的含义.2.探究中心投影和平行投影的区别，并运用中心投影的相关知识解决一些实际问题.3.把“实际问题”转化为“相似三角形问题”的化归思想的运用.六、教学反思：。

课题：§6.7 用相似三角形解决问题（2）学习目标：1．掌握中心投影的概念，对比、总结平行投影与中心投影的区别；2．运用相似三角形的知识，建构中心投影的数学模型，辅助解决实际问题；3．感受相似三角形的运用价值，深化对核心数学知识的理解，培养学习兴趣，增强合作意识．学习重点：掌握中心投影的相关知识，用相似三角形的知识解决问题．学习难点：．将实际问题抽象、建模，辅助解题．学习过程：情景引入夜晚，当人在路灯下行走时，会看到一个有趣的现象：在灯光照射范围内，离开路灯越远，影子就越长．你有过类似经历吗？说说你的感受．【新知探究】师生互动、揭示通法问题1 阅读“中心投影”的概念，了解中心投影，说说自己的体会．中心投影：在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．结论：一般地，在点光源的照射下，同一个物体在不同的位置，它的高与影长不成比例．问题2. 如图，路灯下，广告标杆AB的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗树，它的影子是MN．（1）请在图中画出表示树高的线段．（不写作法，保留作图痕迹）（2）若已知点N、F到路灯的底部距离相等，小明身高1.6米，影长EF为1.8米，树的影长MN是6米，请计算树的高度．问题3. 如图，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长DF＝3 m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4 m．设小丽的身高为1．6 m，求灯杆AB的高度．变式拓展、如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？【回扣目标】学有所成、悟出方法通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？当堂反馈课本P84 练习1 ，2。

6.7 用相似三角形解决问题用相似三角形的性质来证线段成比例和角相等，是几何证题中的重点之一，而解题的关键是在几何图形中发现或构造所需的相似三角形，学习目标：理解相似三角形的的概念，掌握判断两个三角形相似的常见方法，能利用相似三角形的性质解决有关问题。

在利用相似三角形的性质解题时注意下面几点常见的转化方法与解题的思路：1、比例式的转化，利用不同的相似三角形所得到的比例式相互替代（或比例式中的相等的线段的替换），实现比例式的变更从而产生新的比例式．2、利用比例式来求出线段之间的函数关系，用方程来求解． 方法一 构造相似三角形解决线段的比例式或角相等问题一、自主初学例1、如图，已知：点D 是等边三角形A B C B C 边上任一点，∠EDF=602 .求证：(1)△BDE∽△CFD (2)DCBE CF BD方法总结：当要求的结果是线段的比例式或等积式时，可将比例式或等积式中的四条线段分别看成两个三角形的两条边，证明这两个三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例加以解决变式练习1：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 和△CDE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F 。

求证：（1）△ABC ∽△DEC ；（2）EF ⊥AB方法二利用圆中角的关系构造相似三角形求线段长度二、小组合学例2：如图，BD是⊙O的直径，A、C是⊙O的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E（1）求证：△ABD∽△AEB；（2）若AD=1，DE=3，求BD的长方法总结：在圆中证明两个三角形相似，通常利用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”来证明两个角相等变式练习2、如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H求证：（1）AB是半圆O的切线（2）若AB=3，BC=4，求BE的长方法三 构造相似三角形建立函数关系三、迁移再学例3、如图，某厂有许多为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（图中阴影部分）铁片备用，当截取的矩形面积最大时，求矩形两边长x 、 y方法总结：对一些比较复杂的图形，可通过构造相似三角形，利用线段间的关系建立函数模型。