圆的面积公式推导过程PPT

所以: 圆 的 面 积 = πr × r ＝ πr 2
圆的面积计算公式：
S ＝ πr 2
例2. 已知一个圆的直径为40分米， 求这个圆的面积？
d ＝40 dm
r ＝ 40÷2 ＝20 dm
S＝πr2
＝ 3.14ppt×课件完整20×20
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做一做：
根据下面所给的条件，求圆的面积。 （1）半径2分米 （2）直径10厘米
圆的面积
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圆所占平面的大小叫做圆的面积。ຫໍສະໝຸດ 平行四边形的面 积公式是怎样得
到的呢？
长方形的面积=长×宽
这个方法叫做 “割补法”
平形四边形的面积=底×高
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3
想一想 圆的面积公式能不能通过 “割补法” 转化成我
们已学过的图形来推导出来呢？
你想把 圆转化成什么图形呢？
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本课小结
你今天的收获是什么？
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四 等 分
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八 等 分
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十 六 等 分
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三
十
二
等
分
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以拼成的近似平行四边形为例：
圆面8等分时：
圆面16等分时：
圆面32等分时：
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分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 C 2
r
C 2
＝ πr
r
因为: 长方形面积 = 长 × 宽

计算圆的面积，关 键要知道圆的什么？
(半径)
本 课 小 结
你今天的收获是什么？
今天我学习了圆的面积。我知道了 把一个圆平均分成若干等份，然后拼在一 长方形 起，可以拼成一个近似（ ）。长方形 的宽是圆的（ 半径）,长是圆的（周长一半 ）, 求圆面积用公式表示（ S ＝ πr 2 ）获
谢谢同学们的努力！ 再见
李员外：我家 的花坛大！
张员外：我家的 大！
r=2m
长6.28m，宽2m
圆的面积
酒房镇中心小学 任晓云
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
分成4份
分成4份
分成8份
分成8份
长方形面积 = 长
×
宽
r
圆面积 = 周长一半 × 半径 C S = × r 2 1 2πr = × r 2 =πr×r
1
r
C 2
=πr2
S = πr2
1.计算下面圆的面积：
r=4cm d=12dm
S=πr2
=3.14×4²
=3.14×16
r=12÷2=6（分米）
S=πr² =3.14×6² =3.14×36 =113.04
（平方分米）
=50.24
(平方厘米）
街道中央圆形花坛的直径是20m，它的面积是多少平 方米？ （1）花坛的半径：
20÷2＝10（m） （2）花坛的面积：
S=∏r²
2
=3.14×102 =3.14×100 =314 (m2)
答：它的面积是314平方米。
3、用4米长的绳子把小马拴在草地上的一棵树上， 马吃到地上的草的最大面积是多少？
S=∏r2
=3.14×42 = 3.14×16
= 50.24（m2)

换算错误
进行单位换算时，应遵循正确的换算 关系。例如，1米等于100厘米，而不 是10厘米或1000厘米。
误区二：混淆直径与半径概念
概念不清
应明确半径是圆的任意一点到圆心的距离，而直径是通过圆心且两端都在圆上的线段。半径是直径的一半。
应用错误
在计算圆的面积时，应使用半径而不是直径。若题目给出的是直径，应将其除以2得到半径后再进行计算。
多边形内切圆与外接圆面积关系推导
正多边形情况
对于正多边形，其内切圆半径r与外接圆半径R之比为r:R=1:2，进而可推导出正多边形 内切圆面积与外接圆面积之比为πr²:πR²=1:4。
一般多边形情况
对于一般多边形，由于其各边长度和角度不均等，内切圆半径r与外接圆半径R之比不具 有固定值。但可以通过计算多边形各顶点到内切圆圆心的距离平均值来估算内切圆半径
圆的面积计算公式推导
• 推导过程：假设圆的半径为r，将圆划分为无数个小的扇形，每个扇形的面积近似于一个三角形。三角形的底为圆的周长（ 2πr），高为半径（r）。因此，圆的面积可以表示为无数个三角形面积之和，即S=πr²。
CHAPTER 02
圆的面积计算方法详解
直接法计算圆的面积
01
02
03
公式推导
求解组合图形的面积
当需要求解由圆和其他图形组合而成的复杂图形的面积时，可以通过圆的面积 公式来求解。
圆的面积在物理学中的应用
计算物体的转动惯量
在物理学中，转动惯量是一个物体对于旋转运动的惯性大小 的度量，而圆的面积公式可以用于计算某些形状物体的转动 惯量。
计算电磁场的能量
在电磁学中，电磁场的能量密度与场的分布有关，而场的分 布又与某些几何形状的面积有关，因此圆的面积公式也被用 于计算电磁场的能量。

四 等 分
八 等 分
十 六 等 分
三 十 二 等 分
以拼成的近似平行四边形为例： 圆面8等分时： 圆面16等分时： 圆面32等分时：
分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
从上图中可以看出圆的半径是r，长 方形的宽近似( 圆的半径 )，长近似于 ( 圆周长的一半 )。
因为长方形的面积＝( 长 )×(宽 )， 所以圆面积＝(πr)×( r )＝(πr²)。 如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是 ： S＝πr²。
(2)一个圆的周长是12.56m，它的面积是多少平方米？
12.56÷3.14＝4(m) 3.14×(4 ÷ 2)2 ＝3.14×4 ＝12.56(m2) 答：它的面积是12.56 m²。
(3)将一只羊拴在草地的木桩上，绳子的长度是4米。这只羊最 多可以吃到多少平方米的草？
3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24(m2) 答：这只羊最多可以吃到50.24 m²的草。
9.42÷3.14＝3(dm) 34×3.14×32 ＝21.195(dm2) 答：阴影部分的面积是 21.195 dm2。
6．如图，从三块面积相等的正方形钢板上分别割 下大小不同的圆形钢片，请问三块钢板剩余部分 的面积相等吗？
解：设三块正方形钢板的边长为12a cm， 则第一块钢板剩余部分的面积为 12a×12a－3.14×(6a)2＝30.96a2(cm2)； 第二块钢板剩余部分的面积为 12a×12a－3.14×(3a)2×4＝30.96a2(cm2)； 第三块钢板剩余部分的面积为 12a×12a－3.14×(2a)2×9＝30.96a2(cm2)。 答：三块钢板剩余部分的面积相等。
1．(1)把一张圆形纸片分成若干(偶数)等份，拼成一 个近似的长方形。如下图。

C
2
＝πr
r
我的收获
1、填一填。 把一个圆平均分成若干份，剪开后可以拼成一个近 似的长方形，这个长方形的长相当于圆的 ，长方形 的宽相当于圆的 ，圆的面积计算公式用字母表示 是 。 2、计算下面各圆的周长和面积。
d=10cm
r=3cm
3、小刚量的一棵树干的周长是125.6cm。这棵树干的 横截面近似于圆，它的面积大约是多少？
长= r
长= r
长= r
长= r
长= r
长= r
长= r
长= r
长= r
宽= r 长= r
C
2
＝πrr因为: 源自方形面积 = 长 × 宽所以: 圆 的 面 积 = πr × r 2 ＝ πr
圆的面积计算公式：
S＝πr
2
应用公式，解决问题
学习目标
（1）能说出圆的面积转化的过程, 通过仔细观察和动手操作体会转 化思想、极限思想。
（2）能够利用公式进行圆的面积 计算。
重点
圆的面积的推导过程,利用公式进 行圆的面积计算。
难点
说出圆面积公式的推导过程。
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
你还记得梯形和三角形 的面积是怎么推导出来 的吗？
例1 圆形草坪的直径是20m，每平方米草 皮8元。铺满草皮需要多少钱？
20÷2=10（m）
3.14×102=3.14×100=314（ m 2） 314×8=2512（元）
答：铺满草皮需要2512元。
一个圆形茶几桌面的直径是 1m，它的面积是多少平方米？
今天我学习了圆的面积。我知道了 把一个圆平均分成若干等分，然后拼在一 长方形 起，可以拼成一个近似（ ）。长方形 的宽是圆的（ 半径）,长是圆的（周长一半 ）, 求圆面积用公式表示（ S ＝ πr 2 ）。

继续
推导过程是： 长方形的面积= 长 × 宽 圆的面积=圆周一半 ×半径
S=πr×r S=πr²
圆面积公式推导过程演示
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谢谢 本课件仅供大家学习学习
学习完毕请自觉删除 谢谢
高 底 推导过程： 长方形的面积=长×宽
平形四边形的面积=底× 高
宽 长
高 底 推导过程： 长方形的面积=长×宽
平形四边形的面积=底× 高
宽 长
继续
继续Βιβλιοθήκη 继续继续思考提纲：1、圆同拼成的 近似长方形什么变了？什么 没变？2、拼成的近似长方 形的长相当于圆的哪一部分？ 宽相当圆的哪一部分？3、 你能不能根据它们的以上关 系由长方形面积计算公式推 导出圆的面积计算公式？写 出推导过程。
长= r
宽= r

复习圆的有关概念
o
d
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
复习面积概念
长方形所占平面的大小叫做长方形的面积。
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
有关直边形面积的计算
S=a
2
S = ab
S = ah
将圆转化成什么样的图形来推导它的面积计算公式 呢？
将圆分成若干等分
3 4 5 6
2
7 8 9 10
1 16 15 14
5
5
小力量得一棵树干的周长是 125.6厘米。这棵树干的横 截面积约是多少？
例3
光盘的银色部分是一个圆环， 内圆半径是2cm，外圆半径是 6cm。它的面积是多少？
圆环面积＝ 外圆面积－内圆面积 第一步求外圆面积； 第二步求内圆面积； 第三步求环形的面积；
6cm
例3
光盘的银色部分是一个圆环， 内圆半径是2cm，外圆半径是 6cm。它的面积是多少？
数学诊所
上图中，O表示（ ），OA表示（ ）， AC表示（ ）。如果BO＝4厘米，那么， 直径AC ＝（ ）厘米，圆的周长C＝（ ） 厘米，圆的面积S＝（ ）平方厘米，半圆 的面积为（ ）平方厘米。
在计算圆面积时经常用到平方，所 以同学们应该记住常用的几个平方:
3 =9
2
2
= 49 7 2 20 = 400
宽= r
长= r
继续
圆的周长＝π d
圆周长的一半=
=2π r
=π r
长方形的面积＝长×宽
圆的面积＝
πr×r
2
S =πr
圆的面积计算公式：
S ＝ πr
2
这是一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片。
r 2πr
三角形的面积= 底×高 2 π 2 r π r2 所以圆的面积：S= ×= 2

半径与面积的变化规律
当半径增加或减少时，圆的面积会相应地增加或减少。
要点二
半径与面积的变化规律的应用
在几何学中，可以通过比较不同大小的圆来研究它们的面 积变化规律。
半径与面积的几何意义
半径与面积的几何意义
半径是圆上任意一点到圆心的距离，而圆的 面积则表示圆所覆盖的平面区域的大小。
半径与面积的几何意义的 应用
分割法
总结词
将圆分割成若干个近似等面积的小多边形，再求和
详细描述
将圆分割成若干个近似的等面积的小多边形，每个多边形的面 积可以近似为 (frac{1}{2} times text{底} times text{高})，然后 求和得到圆的面积。这种方法可以帮助学生理解圆的面积计算 原理。
01
圆的面积与半径的 关系
半径与面积的数值关系
1 2
圆的面积计算公式
A = πr^2，其中A表示圆的面积，r表示圆的半 径。
半径与面积的数值关系
随着半径的增大，圆的面积也相应增大；反之， 随着半径的减小，圆的面积也相应减小。
3
半径与面积的数值关系的应用
通过计算圆的面积，可以推算出圆的半径或直径。
半径与面积的变化规律
要点一
圆的面积公式应用
总结词：实例说明
详细描述：最后，我们将通过实例来说明如何应用圆的面积公式。例如，计算一个半径为5cm的圆的面积， 我们可以将半径值代入公式πr^2中，得到面积为78.5cm^2。此外，我们还可以利用圆的面积公式来解决 生活中的实际问题，如计算圆形物体的表面积、计算土地的面积等。
01
圆的面积计算方法
直接计算法
总结词
通过公式直接计算圆的面积
详细描述