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2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）23()()x o x o x ⋅= （B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x += （D ）22()()()o x o x o x +=（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰()1,2,3,4k =，则（ ） （A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I >（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若111,(1)n n n n n a a a ∞-+=>-∑则收敛（B ）11(1)n n n a ∞-=-∑若收敛，则1n n a a +>精选（C ）1nn a∞=∑若收敛，则存在常数1P >,使lim Pn n n a →∞存在（D ）若存在常数1P >，使lim Pn n n a →∞存在，则1nn a∞=∑收敛（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1a 1a b a 1a 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为，则{2}P X Y +== ( )（A ）112 （B ）18（C ）16（D ）12二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设曲线)(x f y =和x x y -=2在点)1,0(处有公共的切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ________。
全国硕士研究生入学统一考试数学三真题2013年(总分150, 做题时间180分钟)一、选择题:1~8 小题,每小题4 分,共32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D2.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C3.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B4.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D5.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B6.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B7.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A8.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C二、填空题：9-14 小题,每小题4 分,共24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.9.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:-210.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:11.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:12.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:13.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:-114.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:三、解答题：15～23 小题,共94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:16.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:17.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:19.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:20.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:21.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:23.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:1。
2013年数学（三）真题解析一、选择题（1） 【答案】（D ）.【解】 由 lim * °^2）= lim=0,得（A ）正确；HfOX "° X,O （J7 ） • O （J7 2 ） .. O （H ） O （g2） c A 由 lim ----------:--------= lim -------- •———=0,得（E ）正确；h —o x H —o x x 由 lim O2）二。
2）=lim 匹孚 + lim 匕^=0,得（C ）正确；x-*0 X工~0XH —0X2 I 3取 J ： 2 —o （JC ） 9 X 3 =O {x 2 ），因为 lim ----2 =1工0,所以。
（工）+o （工2 ） =0 （工2 ）不对 9工-*0 X 事实上 O （2）+ O （J ：2 ） = O （J7）,应选（D ）・（2） 【答案】（C ）.【解】 显然一1,0,1为 2）的所有间断点.（一"一1 严小一1 r Jn （—工）_ r 1由塑工（工+l ）ln （r ）= J^iHCz+l ）ln （—工）—’四心（工+1）111（—工）一工巴y +1一 ，得工=—1是无穷间断点，不是可去间断点.. x 1 — 1 e jlnj — 1由凹+ l)ln 工=凹工(工+ l)ln 工lim-L 1 X x\n jc(•z + l)ln 3C，得工=1为可去间断点.jc In jc =!忙(工+1山工T ， x In (— x ) _乂 Cz+l)ln (— H ) x-^o~ z (攵 + l)ln( oc ) x -»o - 2 (z + l)ln( jc )而f(0)无定义，故工=0,2 = 1为可去间断点，应选(C).(3)【答案】(B).由lim •r f ()+X X — 1 ].-- ----―――-----= lim X (j? + l)ln re zfo+(一"一1limx-^Olim x-*0x (a ： + l)ln h严F 一 1I9得 lim/Cz) = 1.X —0严 ]【解】 由对称性得1| =0, 13 =0.12 = jj Ly +(— z )]dcr>0 (因为 jy + (— 2)>0),°2i 4 ~JJLy +(一2)]册<0 (因为夕 + (— x ) vo),应选(B ).°4(4)【答案】(D).【解】 方法一令lim/a ” = lim 牛=A $ 0.当 A = 0 时，取 £0 =1，存在 N 〉0,当 zz 〉N 时，| -y — 0 | < 1，从而 0 W a ” <C —,因为s 1收敛，所以由比较审敛法的基本形式得工s 收敛;” =1 九 n = 18 OO = OO当A>0时，由比较审敛法的极限形式得级数与敛散性相同，因为工*收n = 1 n = 1 九 n = l 兀敛，所以收敛，应选(D).n = 1I -I 00方法二 取a ” =-------，显然a ” > a 卄1 ,因为lima ” =1 # 0,所以工(一1)"一。
2013 年考研数三真题及答案解析一、选择题1 —8 小题．每小题4 分，共 32 分．、１．当 x0 时，用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（ A ） x o ( x 2) o(x 3 )（ B ） o( x) o(x 2 ) o( x 3)（ C ） o( x 2) o( x 2)o( x 2)（ D ） o(x) o( x 2) o( x 2)【详解】由高阶无穷小的定义可知（ A ）（ B ）（ C ）都是正确的，对于（ D ）可找出反例，例如当 x 0时 f (x) x2x3o( x), g( x)x3o(x 2) ，但 f (x)g(x)o( x) 而不是o( x 2) 故应该选（ D ）．xx2．函数 f ( x)1的可去间断点的个数为（）x( x1) ln x（A ）0（ B ）1（ C ）2（D ）3【详解】当 x ln xx1e xln x1 ~ x ln x ，0 时， xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1 ，所以 x 0是函数 f ( x) 的可去间断点．x 0x 0x( x 1) ln xx 0x ln xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1，所以 x1 是函数 f ( x) 的可去间断点．x 1x 1x( x 1) ln xx 02 x ln x2xxxln xlim f ( x)lim1lim，所以所以 x1不是函数 f (x) 的(x 1) ln xx1x1x(x 1) ln xx 1可去间断点．故应该选（ C ）．３．设 D k 是圆域 D( x, y) | x2y21 的第 k 象限的部分， 记 I k( y x)dxdy ，则D k（）（ A ） I 1B I 2C 3D I 4（ ）（ ） I（ ）【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k 2121I k( yx)dxdy( k 1) d(sincos )rdrD k321kcos |k 2sin132所以 I 1I 30,I 22 , I 4 2 ，应该选（ B ）．3 3４．设 a n 为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A ）若 a na n 1 ，则( 1) n 1a n 收敛；n 1k2 (sinsin ) dk 1 2（B ）若( 1)n 1a n 收敛，则 a n a n 1 ；n 1（C ）若a n 收敛．则存在常数 P 1，使 lim n pa n 存在；n 1n（D ）若存在常数 P 1，使 lim n pa n 存在，则a n 收敛．nn 1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（ D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（ A ）（ B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（ A ），但少一条件 lim a n0 ，显然错误． 而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，n选项（ B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价． （ B ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． （ C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（ D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．【详解】 把矩阵 A ，C 列分块如下： A 1, 2,, n , C 1 , 2 , , n ，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知i b i1 1 b i 2 2b in n (i 1,2, , n) ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即 A CB 1，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B ）．1 a 12 06．矩阵 a b a与矩阵0 b 0 相似的充分必要条件是1 a 10 0（ ） a0,b2（ ） a 0， b 为任意常数AB（ C ） a 2,b 0（D ） a 2 ， b 为任意常数2 01 a 12 0 0 【详解】注意矩阵 0 b0 是对角矩阵，所以矩阵 A= a ba 与矩阵0 b 0 相 0 01 a 10 0似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a 1E Aa b a (2(b 2)2b 2a 2)1a1从而可知 2b 2a22b ，即 a 0 ， b 为任意常数，故选择（ B ）．7 ． 设 X 1,X 2,X 3 是随机变量，且X 1 ~ N (0,1), X 2 ~ N(0,22), X 3 ~ N(5,32) ，P iP 2 X i2 ，则（A ） P 1 P 2 P 3（B ） P 2 P 1 P 3（C ） P 3P 2 P 1（D ） P 1P 3P 2【详解】若 X ~ N(, 2)，则 X~ N(0,1)P 1 2 (2) 1， P 2P2X 22PX 2 12 (1) 1，12P 3 P2X 32 P2 5 X3 52 5 7 7333( 1)1)33，P 3P 217 3 (1) 0．3(1)23故选择（ A ）．8．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且X 和 Y 的概率分布分别为X0 1 2P1/21/41/8Y -1 0 P1/31/3则PXY2 （）（A ）1（B ）1（C ）1（D ） 128 63P 1/8 1 1/312【详解】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX1111 3,Y12424612，故选择（ C）．二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4分，满分 24分 .把答案填在题中横线上）9．设曲线y f (x) 和 y x 2x 在点1,0处有切线，则lim nf n．n n2【详解】由条件可知 f 10, f ' (1)1．所以f12 n n f (1)lim nf lim2 2 f '(1)2n22n 2n nn22n 10．设函数z z x, y 是由方程z y x xy 确定，则z|(1,2 )．x【详解】设 F x, y, z F x x, y, z( z y) x l z y)当 x 1, y 2 时，z0 ，所以11．ln x2 d x．(1x)1(z y x xy，则)y, F z (x,ny, z) x(z y) x 1，(z|(1, 2 )2 2 ln 2 ．x【详解】1ln x2 dx1ln xd1ln x |111dx ln x|1 ln 2 (1 x) 1 x1x x(1 x)x112．微分方程y y 1 y0 的通解为．411【详解】方程的特征方程为r0，两个特征根分别为412，所以方程通2x解为 y (C1 C 2 x) e2，其中 C1 ,C2为任意常数．13．设A aij是三阶非零矩阵， A 为其行列式，A ij为元素 a ij的代数余子式，且满足Aij aij0(i , j1,2,3) ，则A=．【详解】由条件 Aijaij0(i, j 1,2,3) 可知 AA*T0 ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，从而可知A* A *T3 1A ，所以 A 可能为1或 0．An,r (A)n但由结论 r ( A *)1, r ( A) n 1 可知， A A *T0 可知 r ( A)r ( A*) , 伴随矩阵的秩只0, r ( A) n1能为 3，所以 A 1.14．设随机变量 X 服从标准正分布 X ~ N ( 0,1) ，则 E Xe 2X．【详解】E Xe2 X1 x 2x(x 2)2e 2(x 2) 2xe2xe 2dxe2dx( x 22)e 2dx222 2e 2t 2t 2te 2dt 2e 2dte 2 E( X ) 2e22e2．2所以为 2e 2．三、解答题15．（本题满分 10 分）当 x 0时，1 cosx cos2x cos3x 与 ax n是等价无穷小，求常数a, n ．【分析】主要是考查 x 0 时常见函数的马克劳林展开式．【详 解 】当 x 0时，122 )，c x o 1 s xo( x1(2x)22cos2 x1 o(x2 ) 1 2 x2o(x 2)，2cos3x11(3x)2o( x 2) 1 9 x 2 o( x 2 ) ，22所以1 cosx cos2xcos3x1 (1 1 x2o( x 2))(12x2o(x 2 ))(1 9 x2o( x 2 )) 7x2o( x 2)22，由于 1 cosx cos2 x cos3x 与 ax n是等价无穷小，所以 a 7, n 2 ．16．（本题满分10 分）设 D 是由曲线 y3x ，直线 x a (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V x ,V y 分别是 D 绕 x轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V x V y ，求 a 的值．【详解】由微元法可知a 252dxa3a 3V xy x 3dx；5aa 47x 3dx6a 3V y2 xf ( x) dx 2；0 7由条件 10V x V y ，知 a 7 7 ．17．（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 x3 y, y3x, xy 8 所围成，求x 2dxdy ．D【详解】x 2dxdyx 2dxdyx 2dxdy2x 2dx x dyx 2dx x dy416 ．3 x6 8 xDD 1D 20 32 3318．（本题满分 10 分）设生产某产品的固定成本为6000 元，可变成本为20 元 / 件，价格函数为 P60Q,（P1000是单价，单位：元， Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（ 1）该的边际利润． （ 2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义．（ 3）使得利润最大的定价 P ．【详解】（1）设利润为Q 2 y ，则 y PQ (6000 20Q ) 40Q6000 ，1000边际利润为 y'40Q .500（ 2）当 P=50 时， Q=10000，边际利润为 20．经济意义为：当 P=50 时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令 y'0，得Q20000 , P20000 40.601000019．（本题满分 10 分）设函数 f x 在 [0,) 上可导， f0 0 ，且 lim f (x)2 ，证明x（1）存在 a 0 ，使得 f a1;（2）对（ 1）中的 a，存在(0, a) ，使得 f ' ( 1 ．)a【详解】证明（ 1）由于lim()2，所以存在X0，当 x X 时，有3，f x5x f (x)22又由于 f x在 [0,) 上连续，且 f 00 ，由介值定理，存在a0 ，使得 f a 1;（2）函数f x 在 [0,a] 上可导，由拉格朗日中值定理，存在(0, a) ，使得 f ' ()f (a) f (0)1．a a20．（本题满分 11 分）1a, B 01，问当 a, b 为何值时，存在矩阵C，使得AC CA B ，并求出设 A01b1所有矩阵 C．【详解】显然由 AC CA B 可知，如果C存在，则必须是x1x22 阶的方阵．设C，x3x4则 AC CA B 变形为x2ax3ax1x2ax40 1，x1x3x4x2ax3 1 bx2ax30即得到线性方程组ax1x2ax41，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方x1x3x41x2ax3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111a10a101a00 A |b011100001，1a01a0b0000b所以，当 a1, b0 时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得AC CA B ．10111此时， A | b011000000，00000x1111所以方程组的通解为x x20C11C2，也就是满足 AC CA B 的矩阵x3010x4001C为C1C1C2C1，其中 C1 , C2为任意常数．C1C221．（本题满分 11 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2 a3 x3 ) 2(b1 x1 b2 x2 b3 x3 )2．记a1b1a2,b2．a3b3（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ；（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2 y12y22．【详解】证明：（1）f ( x1, x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2a3 x3 ) 2(b1 x1b2 x2b3 x3 ) 2a1x1b12 x1, x2 , x3 a2a1 ,a2 , a3 x2x1 , x2 , x3 b2 b1, b2 ,b3a3x3b3x1x1x1, x2 , x3 2T x2x1, x2 , x3T x2x3x3x1x1, x2 , x3 2T T x2x3所以二次型 f 对应的矩阵为2T T ．证明（ 2）设A2T T ，由于1, T0则 A2T T22T2，所以为矩阵对应特征值向量；A2T T2T2，所以为矩阵对应特征值量；x1x2x31 2 的特征21的特征向而矩阵 A 的秩r ( A) r ( 2T T )r (2T ) r (T) 2，所以30 也是矩阵的一个特征值．故 f 在正交变换下的标准形为 2 y12y22．22．（本题满分11 分）设 X,Y是二维随机变量， X 的边缘概率密度为f X( x)3x2 ,0x 1，在给定0,其他X x(0x1) 的条件下，Y的条件概率密度为f Y( y / x)3y 2,0y x,x 3．X0,其他（1）求X ,Y的联合概率密度 f x, y ；（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ．【详解】（ 1）X , Y的联合概率密度 f x, y：f x, y f Y ( y / x) f X ( x)9 y 2,0 x1,0y x xX0,其他（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ：f Y ( y) f (x, y)dx 1 9 y29 y2ln y,0 y 1dxy x0,其他23．（本题满分11 分）2设总体X 的概率密度为 f (x; )x 3e x , x 00,，其中为为未知参数且大于零，其他X1X 2,X n为来自总体 X 的简单随机样本．（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量．【详解】（ 1）先求出总体的数学期望E（ X）2E(X)xf (x)dx2e x dx，x令 E(X)1nX X i，得的矩估计量n n 1（2）当x i0(i1,2, n) 时，似然函数为1 nX i．Xn i1n22nn 1xx iL ( )3 ei3ei 1n，i1x ix ii 1取对数， ln L() 2nlnn1 3nln x i ，x ii1 i 1令 d ln L( )0 ，得2nn10 ，di 1 xi解得 的极大似然估计量为 ．。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）23()()x o x o x ⋅= （B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x += （D ）22()()()o x o x o x += 2、函数1()(1)ln xx f x x x x-=+的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）33、设k D 是圆域{}22(,)1D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > 4、设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若1n n a a +>，则11(1)n n n a ∞-=-∑收敛（B ）若11(1)n n n a ∞-=-∑收敛，则1n n a a +>（C ）若1nn a∞=∑收敛，则存在常数1p >，使lim n n na →∞存在（D ）若存在常数1p >，使lim n n na →∞存在，则1nn a∞=∑收敛5、设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ）（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价6、矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件是（ ）（A ）0,2a b == （B ）0,a b =为任意常数 （C ）2,0a b == （D ）2,a b = 为任意常数7、设123,,x x x 是随机变量，且1x ~(0,1)N ，2x ~2(0,2)N ，3x ~2(5,3)N ，{}22(1,2,3)j j P P x j =-≤≤=，则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>X 和Y 的概率分布分别为则{}2P X Y +==（ ） （A ）112 （B ）18 （C ）16 （D ）12二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9、设曲线()y f x =与2y x x =-在点(1,0)处有公共切线，则lim ()2n nnf n →∞=+ . 10、设函数(,)z z x y =由方程()xz y xy +=确定，则(1,2)zx ∂=∂ .11、21ln (1)xdx x +∞=+⎰. 12、微分方程104y y y '''-+=的通解为y = . 13、设()ij A a =是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==，则A = .14、设随机变量X 服从标准正态分布(0,1)N ，则2()XE Xe= .三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分） 当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 和a 的值. 16、（本题满分10分）设D 是由曲线13y x =，直线x a =(0)a >及x 轴所围成的平面图形，x V ，y V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值.17、（本题满分10分）设平面区域D 由直线3x y =，3y x =，8x y +=围成，求2Dx dxdy ⎰⎰18、（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为601000QP =-（P 是单价，单位：元；Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（Ⅰ）该商品的边际利润；（Ⅱ）当50P =时的边际利润，并解释其经济意义； （Ⅲ）使得利润最大的定价P .19、（本题满分10分）设函数()f x 在[0,)+∞上可导，(0)0f =且lim ()2x f x →+∞=.证明：（Ⅰ）存在0a >，使得()1f a =；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的a ，存在(0,)a ξ∈，使得1()f aξ'=. （20）（本题满分11分） 设110a A ⎛⎫=⎪⎝⎭，011B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C.（21）（本题满分11分）设二次型2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123b b b β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）证明二次型f 对应的矩阵为2T Tααββ+；（Ⅱ）若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22122y y +（22）（本题满分11分）设(,)X Y 是二维随机变量，X 的边缘概率密度为23,01,()0,X x x f x ⎧<<=⎨⎩其他，在给定X x =(01)x <<的条件下，Y 的条件概率密度为233,0,()0,Y X y y x f y x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 （Ⅰ）求(,)X Y 的概率密度(,)f x y ； （Ⅱ）求Y 的边缘概率密度()Y f y ； （Ⅲ）求(2)P X Y >. （23）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为23,0,(;)0,x e x f x x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，其中θ为未知参数且大于零，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（Ⅰ）求θ的矩估计量；（Ⅱ）求θ的最大似然估计量.2017考研新大纲权威解析听3小时直播解析，横扫60+增&改考点。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）23()()x o x o x ⋅= （B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x += （D ）22()()()o x o x o x +=（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰()1,2,3,4k =，则（ ） （A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I >（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若111,(1)n n n n n a a a ∞-+=>-∑则收敛（B ）11(1)n n n a ∞-=-∑若收敛，则1n n a a +>（C ）1nn a∞=∑若收敛，则存在常数1P >,使lim Pn n n a →∞存在（D ）若存在常数1P >，使lim Pn n n a →∞存在，则1nn a∞=∑收敛（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1a 1a b a 1a 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为，则{2}P X Y +== ( )（A ）112 （B ）18（C ）16（D ）12二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设曲线)(x f y =和x x y -=2在点)1,0(处有公共的切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ________。
