2013年考研数三真题与解析

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价2（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。

2013年考研（数学三）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是A．x.o(x2)=o(x3)B．o(x2).o(x)=o(x3)C．o(x2)+o(x2)=o(x2)D．o(x)+o(x2)=o(x2)正确答案：D解析：2．函数的可去间断点的个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：3．设Dk是圆域D={(x,y)｜x2+y2≤1}在地k象限的部分，记Ik=（k=1,2,3,4）,则A．I1＞0B．I2＞0C．I3＞0D．I4＞0正确答案：B解析：故选B。

4．设{an}为正项数列，下列选项正确的是A．若an＞an+1,则（-1）n-1an收敛B．若（-1）n-1an收敛，则an＞an+1C．若an收敛，则存在常数p＞1，使得npan存在D．若存在常数p＞1，使npan存在，则an收敛正确答案：D解析：5．设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且曰可逆，则A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B解析：矩阵C的列向量组γ1，γ2，…，γn可由矩阵A的列向量组α1，α2，…，αn线性表出．又矩阵曰可逆，从而A=CB-1那么矩阵A的列向量组也可由矩阵C的列向量组线性表出．由向量组等价的定义可知，应选(B)．或者，可逆矩阵可表示成若干个初等矩阵的乘积，于是A经过有限次初等列变换化为C，而初等列变换保持矩阵列向量组的等价关系．故选(B)．6．矩阵相似的充分必要条件为A．a=0，b=2B．a=0，b为任意常数C．a=2，b=0D．a=2，b为任意常数正确答案：B解析：7．设X1,X2,X3是随机变量，且X1—N(0,1),X2—N(0,22)，X3—N(5,32),Pi=P｜-2≤Xi≤2｜(i=1,2,3),则A．P1＞P2＞P3B．P2＞P1＞P3C．P3＞P1＞P2D．P1＞P3＞P2正确答案：A解析：8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为P{X+Y=2}= A．1/12B．1/8C．1/6D．1/2正确答案：C解析：填空题9．设曲线y=f(x)与y=x2-x在点(1，0)处有公共切线，则=_________.正确答案：-2解析：10．设函数z=z(x，y)由方程(z+y)x=xy确定，则=_______.正确答案：2-2ln2解析：把点（1,2）代入方程(z+y)x=xy得z（1,2）=0在(z+y)x=xy 两边同时对x求偏导数，得11．=_______.正确答案：ln2解析：12．微分方程y”-y’+ 1/4 y=0的通解为y=______.正确答案：e1/2(c1+c2x)解析：二阶齐次方程的特征方程为λ2-λ+1/4=0,解得λ1=λ2=1/2所以y=e1/2(c1+c2x)13．设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=__________．正确答案：-1解析：14．设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2x)=_______．正确答案：2e2解析：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小 （2）设函数()y f x =由方程确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价更多免费资料请关注微信公众号：xzwendu QQ 群：329760225（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()1xt f x e dt -=-⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线2arctan ln 1x ty t=⎧⎪⎨=+⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。

2013 年考研数三真题及答案解析一、选择题1 —8 小题．每小题4 分，共 32 分．、１．当 x0 时，用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（ A ） x o ( x 2 ) o(x 3 )（ B ） o( x) o(x 2 ) o( x 3 )（ C ） o( x 2 ) o( x 2 )o( x 2 )（ D ） o(x) o( x 2 ) o( x 2 )【详解】由高阶无穷小的定义可知（ A ）（ B ）（ C ）都是正确的，对于（ D ）可找出反例，例如当 x 0时 f (x)x 2x 3 o( x), g( x)x 3o(x 2 ) ，但 f (x)g(x)o( x) 而不是o( x 2 ) 故应该选（ D ）．xx2．函数 f ( x)1的可去间断点的个数为（）x( x1) ln x（A ）0（ B ）1（ C ）2（D ）3【详解】当 x ln xx1e xln x1 ~ x ln x ，0 时， xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1 ，所以 x 0是函数 f ( x) 的可去间断点．x 0x 0x( x 1) ln xx 0x ln xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1，所以 x1 是函数 f ( x) 的可去间断点．x 1x 1x( x 1) ln xx 02 x ln x2xxxln xlim f ( x)lim1lim，所以所以 x1不是函数 f (x) 的(x 1) ln xx1x1x(x 1) ln xx 1可去间断点．故应该选（ C ）．３．设 D k 是圆域 D( x, y) | x 2y 2 1 的第 k 象限的部分， 记 I k( y x)dxdy ，则D k（）（ A ） I 1B I 2 0C 3 0D I 4 0（ ）（ ） I（ ）【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k 2121I k( yx)dxdy( k 1) d(sincos )rdrD k321kcos |k 2sin132所以 I 1I 30,I 22 , I 4 2 ，应该选（ B ）．3 3４．设 a n 为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A ）若 a na n 1 ，则( 1) n 1 a n 收敛；n 1k2 (sinsin ) dk 1 2（B ）若( 1)n 1 a n 收敛，则 a n a n 1 ；n 1（C ）若a n 收敛．则存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在；n 1n（D ）若存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在，则a n 收敛．nn 1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（ D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（ A ）（ B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（ A ），但少一条件 lim a n0 ，显然错误． 而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，n选项（ B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价． （ B ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． （ C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（ D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．【详解】 把矩阵 A ，C 列分块如下： A 1, 2,, n , C 1 , 2 , , n ，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知i b i1 1 b i 2 2b in n (i 1,2, , n) ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即 A CB 1 ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B ）．1 a 12 06．矩阵 a b a与矩阵0 b 0 相似的充分必要条件是1 a 10 0（ ） a0,b2（ ） a 0， b 为任意常数AB（ C ） a 2,b 0（D ） a 2 ， b 为任意常数2 01 a 12 0 0 【详解】注意矩阵 0 b0 是对角矩阵，所以矩阵 A= a ba 与矩阵0 b 0 相 0 01 a 10 0似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a 1 E Aa b a ( 2(b 2)2b 2a 2 )1a1从而可知 2b 2a 2 2b ，即 a 0 ， b 为任意常数，故选择（ B ）．7 ． 设 X 1,X 2,X 3是随机变量，且X 1~ N (0,1), X 2 ~ N(0,22), X 3 ~ N(5,32) ，P iP 2 X i2 ，则（A ） P 1 P 2 P 3（B ） P 2 P 1 P 3（C ） P 3P 2 P 1（D ） P 1P 3P 2【详解】若 X ~ N(, 2)，则 X~ N(0,1)P 1 2 (2) 1， P 2P2X 22PX 2 12 (1) 1，12P 3 P2X 32 P2 5 X3 52 5 7 7333( 1)1)33，P 3P 217 3 (1) 0．3(1)23故选择（ A ）．8．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且X 和 Y 的概率分布分别为X0 1 2P1/21/41/8Y -1 0 P1/31/3则PXY2 （）（A ）1（B ）1（C ）1（D ） 128 63P 1/8 1 1/312【详解】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX1111 3,Y12424612，故选择（ C）．二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4分，满分 24分 .把答案填在题中横线上）9．设曲线y f (x) 和 y x 2x 在点1,0处有切线，则lim nf n．n n2【详解】由条件可知 f 10, f ' (1)1．所以f12 n n f (1)lim nf lim2 2 f '(1)2n22n 2n nn22n10．设函数z z x, y 是由方程z y x xy 确定，则z|(1,2 )．x【详解】设 F x, y, z F x x, y, z( z y) x l z y)当 x 1, y 2 时，z0 ，所以11．ln x2 d x．(1x)1(z y x xy，则)y, F z (x,ny, z) x(z y) x 1，(z|(1, 2 )2 2 ln 2 ．x【详解】1ln x2 dx1ln xd1ln x |111dx ln x|1 ln 2 (1 x) 1 x1x x(1 x)x112．微分方程y y 1 y0 的通解为．411【详解】方程的特征方程为r0，两个特征根分别为412，所以方程通2x解为 y (C1 C 2 x) e2，其中 C1 ,C2为任意常数．13．设A aij是三阶非零矩阵， A 为其行列式，A ij为元素 a ij的代数余子式，且满足Aij aij0(i , j1,2,3) ，则A=．【详解】由条件 Aijaij0(i, j 1,2,3) 可知 AA* T 0 ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，从而可知A* A *T3 1A ，所以 A 可能为1或 0．An,r (A)n但由结论 r ( A * )1, r ( A) n 1 可知， A A * T 0 可知 r ( A)r ( A*) , 伴随矩阵的秩只0, r ( A) n1能为 3，所以 A 1.14．设随机变量 X 服从标准正分布 X ~ N ( 0,1) ，则 E Xe 2X．【详解】E Xe 2 X1 x 2x(x 2)2e 2(x 2) 2xe2xe 2dxe2dx( x 22)e 2dx222 2e 2t 2t 2te 2 dt 2e 2 dte 2 E( X ) 2e 2 2e 2 ．2所以为 2e 2 ．三、解答题15．（本题满分 10 分）当 x0时，1 cosx cos2x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数a, n ．【分析】主要是考查 x 0 时常见函数的马克劳林展开式．【详 解 】当 x 0时，122 )，c x o 1 s xo( x1(2x) 22cos2 x1 o(x2 ) 1 2 x 2 o(x 2 )，2cos3x11(3x)2o( x 2 ) 1 9 x 2 o( x 2 ) ，2 2所以1 cosx cos2xcos3x1 (1 1 x2 o( x 2 ))(12x 2 o(x 2 ))(1 9 x 2o( x 2 )) 7x 2o( x 2 )22，由于 1cosx cos2 x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，所以 a7, n 2 ．16．（本题满分10 分）设 D 是由曲线 y3x ，直线 x a (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V x ,V y 分别是 D 绕 x轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V x V y ，求 a 的值．【详解】由微元法可知a252 dxa3a 3V xy x 3 dx；5aa 47x 3dx6a 3V y2 xf ( x) dx 2；0 7由条件 10V x V y ，知 a 7 7 ．17．（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 x3 y, y3x, x y 8 所围成，求x 2 dxdy ．D【详解】x 2dxdyx 2dxdyx 2dxdy2x 2dx x dyx 2dx x dy416 ．3 x6 8 xDD 1D 20 32 3318．（本题满分 10 分）设生产某产品的固定成本为6000 元，可变成本为20 元 / 件，价格函数为 P60Q,（P1000是单价，单位：元， Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（ 1）该的边际利润． （ 2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义．（ 3）使得利润最大的定价 P ．【详解】（1）设利润为Q 2 y ，则 y PQ (6000 20Q ) 40Q6000 ，1000边际利润为 y'40Q .500（ 2）当 P=50 时， Q=10000，边际利润为 20．经济意义为：当 P=50 时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令 y'0，得Q20000 , P20000 40.601000019．（本题满分 10 分）设函数 f x 在 [0,) 上可导， f0 0 ，且 lim f (x)2 ，证明x（1）存在 a 0 ，使得 f a1;（2）对（ 1）中的 a，存在(0, a) ，使得 f ' ( 1 ．)a【详解】证明（ 1）由于lim()2，所以存在X0，当 x X 时，有3，f x5x22又由于 f x在 [0,) 上连续，且 f 00 ，由介值定理，存在a0 ，使得 f a 1;（2）函数f x 在 [0,a] 上可导，由拉格朗日中值定理，存在(0, a) ，使得 f ' ()f (a) f (0)1．a a20．（本题满分 11 分）1a, B 01，问当 a, b 为何值时，存在矩阵C，使得AC CA B ，并求出设 A01b1所有矩阵 C．【详解】显然由 AC CA B 可知，如果C存在，则必须是x1x22 阶的方阵．设C，x3x4则 AC CA B 变形为x2ax3ax1x2ax40 1，x1x3x4x2ax3 1 bx2ax30即得到线性方程组ax1x2ax41，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方x1x3x41x2ax3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111a10a101a00 A |b011100001，1a01a0b0000b所以，当 a1, b0 时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得AC CA B ．10111此时， A | b011000000，00000x1111所以方程组的通解为x x20C11C2，也就是满足 AC CA B 的矩阵x3010x4001C为C1C1C2C1，其中 C1 , C2为任意常数．C1C221．（本题满分 11 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2 a3 x3 ) 2(b1 x1 b2 x2 b3 x3 )2．记a1b1a2,b2．a3b3（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ；（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2 y12y22．【详解】证明：（1）f ( x1, x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2a3 x3 ) 2(b1 x1b2 x2b3 x3 ) 2a1x1b12 x1, x2 , x3 a2a1 ,a2 , a3 x2x1 , x2 , x3 b2 b1, b2 ,b3a3x3b3x1x1x1, x2 , x3 2T x2x1, x2 , x3T x2x3x3x1x1, x2 , x3 2T T x2x3所以二次型 f 对应的矩阵为2T T ．证明（ 2）设A2T T ，由于1, T0则 A2T T22T2，所以为矩阵对应特征值向量；A2T T2T2，所以为矩阵对应特征值量；x1x2x31 2 的特征21的特征向而矩阵 A 的秩r ( A) r ( 2T T )r (2T ) r (T) 2，所以30 也是矩阵的一个特征值．故 f 在正交变换下的标准形为 2 y12y22．22．（本题满分11 分）设 X,Y是二维随机变量， X 的边缘概率密度为f X( x)3x2 ,0x 1，在给定0,其他X x(0x1) 的条件下，Y的条件概率密度为f Y( y / x)3y 2,0y x,x 3．X0,其他（1）求X ,Y的联合概率密度 f x, y ；（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ．【详解】（ 1）X , Y的联合概率密度 f x, y：f x, y f Y ( y / x) f X ( x)9 y 2,0 x1,0y x xX0,其他（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ：f Y ( y) f (x, y)dx 1 9 y29 y2ln y,0 y 1dxy x0,其他23．（本题满分11 分）2设总体X 的概率密度为 f (x; )x 3e x , x 00,，其中为为未知参数且大于零，其他X1X 2,X n为来自总体 X 的简单随机样本．（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量．【详解】（ 1）先求出总体的数学期望E（ X）2E(X)xf (x)dx2e x dx，x令 E(X)1nX X i，得的矩估计量n n 1（2）当x i0(i1,2, n) 时，似然函数为1 nX i．Xn i1n22nn 1xx iL ( )3 ei3ei 1n，i1x ix ii 1取对数， ln L() 2nlnn1 3nln x i ，x ii 1i 1令 d ln L( )0 ，得2nn10 ，di 1 xi解得 的极大似然估计量为 ．。

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()y z f xy x =，其中函数f 可微，则x z z y x y∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos 2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。

2013年考研数三真题及答案解析一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）2ox2ox33（A）()()xox（B）o(x)o(x)()（C）o(x2)o(x2)o(x2)（D）o(x)o(x2)o(x2)【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例2xoxgxxox332如当x0时()(),()()fxx，但f(x)g(x)o(x)而不是2o(x)故应该选（D）．2．函数 fx x1(x)的可去间断点的个数为（）x(x1)lnx（A）0（B）1（C）2（D）3xxlnx 【详解】当xlnx0时，x1e1~xlnx ，xx1xlnxlimf(x)limlimxx(x1)ln0xxx0xxln0 1，所以x0是函数f(x)的可去间断点．xx1xlnx limf(x)limlimx1x(x1)lnx2ln1xxxx0 12 ，所以x1是函数f(x)的可去间断点．xx1xlnx limf(x)limlimx(1)ln1x(x1)lnxxx1x1 x，所以所以x1不是函数f(x)的可去间断点．故应该选（C）．３．设2y2D是圆域D(x,y)|x1的第k象限的部分，记k I k(yx)dxdy，则Dk（）（A）0I（B）I20（C）I30（D）I401【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知Ik k112k(yx)dxdy2d(sincosrdr(sinsin)d)2k1(k1)3D22k1 3 sincosk2k|21所以22I1I0,I2,I4，应该选（B）．333４．设a为正项数列，则下列选择项正确的是（）n（A）若an a，则n1(1)n1a收敛；nn1（B）若( na收敛，则11)n a n a；n1n1（C）若n1 pa收敛．则存在常数P1，使limna n存在；nn（D）若存在常数P1，使plimna存在，则nnn1a收敛．n【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件lima0，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，nn选项（B）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．【详解】把矩阵A，C列分块如下：A1,2,,n,C1,2,,，由于ＡＢ＝Ｃ，n则可知(1,2,,)ib i1b i b inn in，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的122列向量组线性表示．同时由于B可逆，即 1ACB，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．1a12006．矩阵aba0b0相似的充分必要条件是与矩阵1a1000（A）a0,b2（B）a0，b为任意常数（C）a2,b0（D）a2，b为任意常数2001a1200【详解】注意矩阵0b0是对角矩阵，所以矩阵A=aba0b0相与矩阵0001a1000似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a1EAaba( 2bba(2)22 2 )1a1从而可知2b2a22b，即a0，b为任意常数，故选择（B）．22 7．设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N(0,1),X~N(0,2),X~N(5,3)，23P i P2X i2，则（A）P1P2P3（B）P2P1P3（C）P3P2P1（D）P1P3P2X【详解】若X~N(,2)，则~N(0,1)X2P2(2)1，PP2X2P112(1)1，1222P 3 P2X2P3235X335235( 1)73731)，7P3P13(1)23(1)0．23故选择（A）．8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为X0123PP1/21/41/81/8Y-101P1/31/31/3则PXY2（）（A）112 （B）18（C）16（D）12【详解】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y111212412416，故选择（C）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）2 9．设曲线yf(x)和yxx 在点1,0处有切线，则limnnfnn2．【详解】由条件可知f10,f'(1)1．所以2f1f(1)nn2limnflim2f2n2n2nnn22n'(1)2x 10．设函数zzx,y是由方程zyxy【详解】z确定，则|(1,2)x．x设Fxyzzyxy,,()，则xx1F x x,yzzyzyyFxyzxzy，,()l),(,n,)()(zz当x1,y2时，z0，所以|(1,2)22ln2x．lnx11．d x1(1)2x．【详解】lnx1lnx1dxlnxd|dxln1 12x(1x1x1x1x(1)1x) x1|1ln21 12．微分方程0yyy的通解为．41r，两个特征根分别为【详解】方程的特征方程为04x解为2y(C1Cx)e，其中C1,C2为任意常数．21 1，所以方程通2213．设A a是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素a ij的代数余子式，且满足ijA ij a ij0(i,j1,23)，则A=．,T 【详解】由条件A ij a0(i,j1,2,3)可知*0AA，其中A*为A的伴随矩阵，从ij 而可知AT31**AAA，所以A可能为1或0．n,r(A)n但由结论*Tr(A)1,r(A)n1可知，AA*0可知r(A)r(A*),伴随矩阵的秩只0,r(A)n1能为3，所以A1.14．设随机变量X服从标准正分布X~N(0,1)，则EXe2X．【详解】E2XXe222x(x2)(x2)21xe22x2xeeedx(x22)e2dx2222d x2e2tet 22dt 2 e2t2 dt2e E(X )22e22e．所以为2 2e．三、解答题15．（本题满分10分）当x0时，1cosxcos2xcos3x与nax是等价无穷小，求常数a,n．【分析】主要是考查x0时常见函数的马克劳林展开式．1 2ox2【详解】当x0时，()cxo1sx，2cos212ox2xox22x1(2x)()12()，2192ox2x2ox2cos3x1(3x)()1()，22所以1cosxcos2xcos3x1(1，1292ox2xoxxoxxox222222x())(12())(1())7(2)由于1cosxcos2xcos3x与nax是等价无穷小，所以a7,n2．16．（本题满分10分）设D是由曲线y，直线xa(a0)及x轴所转成的平面图形，V x,V y分别是D绕x3x 3x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V x V y，求a的值．【详解】由微元法可知25aa3233V x ydxxdxa；005V476 aa33y2xf(x)dx2xdxa；07由条件10Vx V，知a77．y17．（本题满分10分）设平面区域D是由曲线x3y,y3x,xy8所围成，求x2．dxdyD【详解】D41623x68x22222xdxdyxdxdyxdxdyxdxdyxdxdy．xx032DD331218．（本题满分10分）Q 设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60,（P1000 是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．（3）使得利润最大的定价P．【详解】2Q（1）设利润为y，则6000yPQ(600020Q)40Q，1000Q边际利润为y'40.500（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．20000（3）令y'0，得40.Q20000,P601000019．（本题满分10分）设函数fx 在[0,)上可导，f00，且limf(x)2x，证明 （1）存在a0，使得fa1; （2）对（1）中的a ，存在(0,a)，使得f 1'()． a【详解】证明（1）由于limf(x)2，所以存在X0，当xX 时，有x3 25 f(x)，2又由于fx 在[0,)上连续，且f00，由介值定理，存在a0，使得fa1; （2）函数fx 在[0,a]上可导，由拉格朗日中值定理， 存在(0,a)，使得 f f (a)f(0)1'()．aa20．（本题满分11分） A 设1 1 a 0,B 0 1 1 b，问当a,b 为何值时，存在矩阵C ，使得ACCAB ，并求出所有矩阵C ． 【详解】显然由ACCAB可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设xx12C ，xx 34则ACCAB 变形为x 1 x 2 x 3 a x 3 x4 a x 1 x 2 x 2 ax 3a x 4 0 1 1 b，x 2 a x 3 0 即得到线性方程组 ax 1 x 1 x 3x 2 x 4a x 4 1 1，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方 x 2 a x 3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111Aa 10a101a00 |b ，1011100001a01a0b0000b所以，当a1,b0时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得ACCAB ．10111此时，01100 A|b ，0000000000x 1 111 所以方程组的通解为x010 2 xCC ，也就是满足ACCAB 的矩阵12x010 3 x 4001C 为1CCC121C ，其中C 1,C 2为任意常数．CC 1221．（本题满分11分） 设二次型22f(x 1,x ,x)2(axaxax)(bxbxbx)．记23112233112233 a 1 b 1 a 2 , b 2 ．a 3b 3（1）证明二次型f 对应的矩阵为2T T；（2）若,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22 2y y ． 12【详解】证明：（1） f( x,x 12 , x)3 2(ax 11 a 2 x 2 ax 33 ) 2 (bx 11 b 2 x 2 b 3 x)32 a 1 x 1 b 1 x 12 x , 1 x 2 , x3 a 2 a 1 ,a,a 23 x 2x 1 , x , 2 x 3 b 2 b , 1 b 2 ,b 3 x 2a 3 x 3b 3 x 3x 1 x 1 x, 1 x, 2 x 3 2 T x 2 x, 1 x 2 , x 3 T x2x 3 x 3x1x, 1 x , 2 x 32TT x 2 x 3所以二次型f 对应的矩阵为TT 2． 证明（2）设ATTT 2，由于1,0 2T TT则222A ，所以为矩阵对应特征值12的特征 向量；2TTTA22，所以为矩阵对应特征值21的特征向 量；TTrrTT 而矩阵A的秩()(2)(2)()2rAr，所以30也是矩阵的一个特征值．故f在正交变换下的标准形为22 2y y．1222．（本题满分11分）设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为2x3x,01 f X(x)，在给定0,其他Xx(0x1)的条件下，Y的条件概率密度为23y,0yx,f Y y/x)．(3xX0,其他（1）求X,Y的联合概率密度fx,y；（2）Y的的边缘概率密度f(y)Y．【详解】（1）X,Y的联合概率密度fx,y：fx,yf(y/x)f XYX (x)29yx0,,0 x1,0y其他x（2）Y的的边缘概率密度f(y)Y：f Y(y)f(x,y)dxy29y1xdx92y ln y,0 y 10,其他23．（本题满分11分）2设总体X的概率密度为 f (x;)3x xe,x0 ，其中为为未知参数且大于零，0,其他X1X2,X为来自总体X的简单随机样本．n（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E（X）2x，E(X)xf(x)dxedx02x令n1E(X)XX，得的矩估计量inn1X1nni1Xi．（2）当x0(i1,2,n)i时，似然函数为Ln 1n22nix xi1i()ee ，33 xn i1ix i i1取对数，nn 1 lnL()2nln3lnx ，ix i1ii1 dlnL() 令0dn 2n1 ，得0ix i 1， 解得的极大似然估计量为．。

2014年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．设0≠=∞→a a n n lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（ ）（A ）2a a n >（B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> (D)na a n 1+< 【详解】因为0≠=∞→a a n n lim ，所以0>∀ε，N ∃，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ，εε+≤<-a a a n ，取2a =ε，则知2a a n >，所以选择（A ）2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设32dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++=，显然31010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的． 显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≤+-，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）５．行列式dcd c b a b a000000等于（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c bd a - （D ）2222c bd a +- 【详解】2000000000000000)()()(bc ad bc ad bc bc ad ad dc b a bcd cb a add c cba b d c d b a a dc dc b a b a --=-+--=+-=+-=应该选（B ）．6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ）（A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4【详解】)(.)(.)()()()()()(.)(A P A P A P B P A P A P AB P A P B A P 505030=-=-=-==-． 所以60.)(=A P ，=-)(A B P 205050.)(..)()(=-=-A P AB P B P ．故选择（B ）． 8．设321X X X ,,为来自正态总体),(20σN 的简单随机样本，则统计量3212X X X S -=服从的分布是（A ）),(11F （B ）),(12F （C ） )(1t （D ）)(2t 【详解】232132122XX X X X X S -=-=，显然),(~10221N X X σ-，)(~12223χσX ，且),(~10221N X X σ-与)(~12223χσX 相互独立，从而)(~1222223212321321t X X X XX X X X X S σσ-=-=-=故应该选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设某商品的需求函数为p Q 240-=（p 为商品的价格），则该商品的边际收益为 ． 【详解】2240p p pQ p R -==)(，边际收益p p R 440-=)('．10．设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+y x 及2=y 所围成的有界区域，则D 的面积为 ． 【详解】22112101ln +=+=⎰⎰⎰⎰--yydx dy dx dy S11．设412=⎰ax dx xe ，则=a ． 【详解】411241244120202+-=-==⎰)(|)(a e x e dx xe a ax ax．所以.21=a12．二次积分=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰dx e xe dy y y x 11022．【详解】)()(12111010101010100110101102222222222-==+-=--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dy ye dy e e dy y e dy x e x d dx e dy dy x e dx dx e x e dy y y y dxx x y xx y y x y y x 13．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ．【详解】由配方法可知232232231323122213214242xa x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．14．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,,),(02322θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,, 21是来自总体的简单样本，若∑=ni iXC12是2θ的无偏估计，则常数C = ．【详解】22222532θθθθ==⎰2dx x x X E )(，所以21225θCn X C E n i i =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=，由于∑=ni i X C 12是2θ的无偏估计，故125=Cn，nC 52=． 三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t xx dt t e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰DD DD dr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xze uf xzx x y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂， 可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*． 故非齐次方程通解为u e C e C u f u u 412221-+=-)(． 将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分） 求幂级数∑∞=++031n nxn n ))((的收敛域、和函数．【详解】 由于11=+∞→nn n a a lim，所以得到收敛半径1=R ．当1±=x 时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()11,-． 令和函数)(x S =∑∞=++031n nxn n ))((，则3211121112131111234)('"'")())(()()(x xx x x x x x x n x n n x n n x S n n n n n nn nn n--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=++=∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=∞=∞=19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+ba dtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xa dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa=-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ， []b a x ,∈也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵． （1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x 得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211ξ．（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数． 21．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似． 【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 ． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)(，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~A ；1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~B 从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似． 22．（本题满分11分）设随机变量X 的分布为2121====)()(X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布210,),,(=i i U ．（1） 求Y 的分布函数； （2） 求期望).(Y E 【详解】（1）分布函数())/()/()()/()()/(),(),()()(2121221121=≤+=≤===≤+==≤==≤+=≤=≤=X y Y P X y Y P X P X y Y P X P X y Y P X y Y P X y Y P y Y P y F 当0<y 时，0=)(y F ；当10<≤y 时，y y y y F 4322121=+=)(； 当21<≤y 时，214122121+=+=y y y F )(； 当2≥y 时，1=)(y F ． 所以分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+<≤<=2121421104300y y y y y y y F ,,,,)(（2）概率密度函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<<==其它,,,)(')(021411043y y y F y f ，434432110=+=⎰⎰dy y ydy Y E )(． 23．（本题满分11分）设随机变量X ，Y 的概率分布相同，X 的概率分布为321310====)(,)(X P X P ，且X ，Y 的相关系数21=XY ρ． （1） 求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布； （2） 求概率)(1≤+Y X P ．[详解]由于X ，Y 的概率分布相同，故321310====)(,)(X P X P ，321310====)(,)(Y P Y P ， 显然32==EY EX ，92==DY DX 相关系数()929421-=-===XY E DYDX EXEY XY E DY DX Y X COV XY )(),(ρ，所以95=)(XY E ． 而),()(1111==⨯⨯=Y X P XY E ，所以9511===),(Y X P ，从而得到),(Y X 的联合概率分布：11 9511===),(Y X P ，9110===),(Y X P ，9101===),(Y X P ，9200===),(Y X P （2）.),()()(94111111===-=>+-=≤+Y X P Y X P Y X P。