西南大学20年6月(9102)《高等数学》第二套限时答案

2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（全国卷Ⅱ，解析版）一选择题：1.10i 2-i-2+4i-2-4i2+4i2-4iA.B.C.D.解：原式10i(2+i) 2 4i . 故选 A.(2-i)(2+i)2. 设集合 Ax | x 3 , Bx |x1 0 ，则 AI B =x 4A.B.3,4C.2,1D.4.解： Bx |x1 0x | ( x 1)( x 4) 0x |1 x 4 .A IB (3,4) . 故选 B.x 43. 已知ABC 中， cot A12， 则 cos A5A.12B.5 C.5 D.1213131313解：已知ABC 中， cot A 12 A (, ) .，52cos A1112 故选 D.1 tan2 A5131 ( ) 2124. 曲线 yx在点 1,1 处的切线方程为2x1A.x y 2 0B.x y 2 0C.x 4 y 5 0D.x 4 y 5 0解：y |x 12x 1 2x2 |x 1 [1 2 ]| x 1 1,(2 x 1)(2 x 1)故切线方程为 y 1( x 1) , 即 x y2 0故选 B.5. 已知正四棱柱 ABCDA 1B 1C 1D 1 中， AA 12AB ， 为 AA 1 中点，则异面直线 BE 与 CD 1E所成的角的余弦值为A.10 B. 1C. 310D. 3105105解：令 AB1则AA 1 2,连 A 1BQC 1D ∥ A 1B 异面直线 BE 与 CD 1 所成的角即 A 1 B与 BE 所成的角。

在 A 1 BE 中由余弦定理易得 cos3 10 A 1BE。

故选 C106. 已知向量 a2,1 ,a b10,| a b | 5 2 ，则 | b |A.5B.10C. 5D.25r rr r r r r r解：Q 50 | a b |2| a |2 2agb | b |2 5 20 | b |2| b | 5 。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷（全国2卷）( 第二次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}{}1|B 3,2,1,0,1-A >==x x ，，则A B I 的元素个数为 A ．0B ．2C ．3D ．52．复数ii z 2)2(-=(i 为虚数单位)，则A ．5B ．5C ． 25D ．41 3．函数1cos 22sin )(2+-=x x x f 的最小正周期为 A. πB. 2πC. 3πD. 4π4. 已知向量＝(－1,2)，＝(3,1)，）（4,x c =，若⊥-)(，则x ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 2=,则其离心率为A ．2B ．3C ．2D ．3 6．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则该几何体的体积是A ．1B ．32 C ．2 D ．3 7．若x 、y 满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+00203y y x y x 则y x z 34-=的最小值为A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=ez -，则A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x9．在数学解题中，常会碰到形如“xyyx -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设b a ,是非零实数，且满足158tan 5sin5cos 5cos5sin π=π-ππ+πb a b a ，则a b ＝A ．4B ．15C ．2D ．3 10．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ． i i ,iS S ,i 2120=-=≤ C ．1220+==<i i ,S S ,i D ．1220+==≤i i ,S S ,i 11．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 A ．101 B ．103C ．53 D ．52 12. 已知点A (0,2)，抛物线C 1：)0(2>=a ax y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为 A ．14 B ．12 C ．1 D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数x x x f sin 2)(-=，当[]1,0∈x 时，函数)(x f y =的最大值为_________. 14．已知函数)x (f 是奇函数，当))(f (f ,x lg )x (f x 10010则时，=>的值为_________. 15．已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=6，AC=10，AC AB ⊥,,521=AA 则球O 的表面积为 .16．在△ABC 中，已知 (a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)已知等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 18．(12分)如图所示，四棱锥S-ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，CD AB //,,3===AB AC AD ,4==CD SA P 为线段AB 上一点，,2PB AP = SQ=QC . （1）证明：PQ//平面SAD ; （2）求四面体C-DPQ 的体积. 19．(12分)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 参会人数x (万人) 13 9 8 10 12 原材料y (袋)3223182428（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x by ˆˆ+=； （2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t (袋)的关系为⎩⎨⎧∈≥∈<<-=)(36,380)(360,20400N t t t N t t t C ，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L ＝销售收入－原材料费用）.参考公式： x b y axn x yx n yx x x y y x xbni i ni ii ni i ni i iˆˆ,)())((ˆ1221121-=--=---=∑∑∑∑====. 参考数据：511343i i i x y ==∑，521558ii x ==∑，5213237i i y ==∑.20．(12分)已知椭圆14522=+y x 的右焦点为F ，设直线l :5=x 与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线1l 与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线1l 的倾斜角为π4，求|AB |的值； (2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 21．(12分)已知函数).1ln()(+-=x a x x f （1）的单调区间；求时当)(,2x f a =;（2）当a =1时，关于x 的不等式)(2x f kx ≥在），∞+0[上恒成立，求k 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为1)1(22=+-y x ，的方程为3=+y x ，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点为（异于点），与的一个公共点为， 求OBOA 3-的取值范围.O A O B23．[选修4－5：不等式选讲](10分) （1）,1,,,=++∈+c b a R c b a 且已知证明；9111≥++cb a （2）,abc ,R c ,b ,a 1=∈+且已知证明cb ac b a 111++≤++.全国2卷2020届高三第二次模拟数学(文科)试题答案一.选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BAAABBCDDDCD13．2－sin1 14．2lg - 15． 16 ②③17解：设{a n }的公差为d ，则1111(2)(6)16,350,a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩1212181216,4.a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩即118,8,2 2.a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩解得或 （1）a n = 2n-10， a n= －2n +10.（2）S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9). 18 解析：(1)证明: 由已知得AP ＝23AB ＝2.如图，取DS 的中点T ，连接AT ，TQ ，由N 为PC 中点知TQ ∥DC ，TQ ＝12DC ＝2.又AB ∥DC ，故TQ ||=AP ，,,//SAD AT AT MN 平面又⊂∴Θ从而证得PQ//平面SAD ;(2)因为SA ⊥平面ABCD ，Q 为SC 的中点，所以Q 到平面ABCD 的距离为12SA .如图，取DC 的中点E ，连接AE .由AD ＝AC ＝3得AE ⊥DC ，则AE ＝ 5.故S △BCP ＝12×4×5＝2 5.所以四面体C-DPQ 的体积V C-DPQ ＝13×S △D CP ×PA 2＝453.S 球＝4πR 2＝36π.19【答案】（1）15.2-=x y ；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.【解析】 (1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，························2分515222151343510.425 2.5558510.45i ii ii x yx y bxx==--⨯⨯===-⨯-∑∑$，$25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-$， 则y 关于x 的线性回归方程为$$2.51y x =- (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋， 因为40020,036,380,36,NNt t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+， 当35t =时, 利润L=300×35+20=10520 当36t ≥时，利润L ＝700t －380t ，当36t =时，利润.L=700×36-380×36=11520 当t=37时，利润L=700×36.5-380×37=11490综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 20．由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)．(1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1. ∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53. ∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×354)910(2⨯+＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2. 设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3.而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5k x 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0. ∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .21.解：（1）当a=2时，),x ln(x )x (f 12+-=11121+-=+-=x x x )x (f '，()()是减函数，（时，当x f )x f ,x '011<-∈， 是增函数函数；，，，)x (f )x (f ),(x '01>+∞∈()),1[1,1)(+∞-，增区间为的减区间为所以，x f（1）.0)1ln()()1ln()(122≥++-≥+-==x x kx x f kx x x x f a ，即，时，当.)0[0)(0)1ln()(2恒成立即可，在，则只需，设∞+≥≥++-=x g x x x kx x g易知.x xx x ]x k [x x kx )x (g )(g '0101112111200≥+≥+-+=++-==，所以，因为）（， ）上单调递减，，在，此时时，当∞+<≤0[)(0)(0'x g x g k 与题设矛盾；所以,0)0()(=<g x g)(2110(02110)(210''<+-∈>+-==<<x g kx k x x g k ）时，，，当得时，由当，与题设矛盾；时，，（上单调递减，所以，当，在，此时时，，当0)0()()2110)2110()(0)()211('=<+-∈+->∞++-∈g x g kx k x g x g k x 0)0()(0[)(0)(21'=≥∞+≥≥g x g x g x g k ）上单调递增，所以，在，故时，当恒成立.综上，.21≥k22.解：（1）曲线的方程为1)1(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 2=的方程为3=+y x ，其极坐标方程为θθρsin cos 3+=（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛∈=20πααθ，，联立1C 与3C 的极坐标方程⎩⎨⎧==αθθρcos 2，得αρcos 2=，即αcos 2=OA联立1C 与2C 的极坐标方程⎪⎩⎪⎨⎧α=θθ+θ=ρsin cos 3，得α+α=ρsin cos 3，即α+α=sin cos OB 3 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π+α=α-α-α=-4223cos sin cos cos OB OA又⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈α20，，所以),(OB OA 113-∈-23. 证明： （1）因为=++++++++=++cc b a b c b a a c b a c b a 111 111++++++++c bc a b c b a a c a b 时等号成立，当3193===≥++++++=c b a a c c a b c c b b a a b （2）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++bc ac ab c b c a b a c b a 1212122111111121111 又因为,abc 1=所以c ab =1，b ac =1，a bc =1()a b c cb a ++≥++∴111当1===c b a 时等号成立，即原不等式成立。

《高等数学2》课程习题集【说明】：本课程《高等数学2》（编号为01011）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。

一、计算题11. 计算 行列式6142302151032121----=D 的值。

2. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。

3.用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D 的值。

4. 已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ， 计算：333231232221131211101010a a a a a a a a a 的值。

5.计算行列式 0111101111011110=D 的值。

6. 计算行列式199819981997199619951994199319921991 的值．7. 计算行列式50007061102948023---=D 的值． 8. 计算行列式3214214314324321=D 的值。

9. 已知10333222111=c b a c b a c b a ，求222111333c b a c b a c b a 的值． 10. 计算行列式x a a a xa a ax D n=的值。

11.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2100430000350023A ，求1-A 。

12.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311121111A 的逆．13.设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。

14. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100210000120025A 的逆。

15. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=461351341A 的逆矩阵。

16. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2300120000230014A 的逆。

17. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=232311111A 的逆矩阵。

18.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101012211A 的逆．19. 求矩阵112235324-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的逆。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷理科）数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。

本试卷满分150分。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则()A B=( )U A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3} 2．若α为第四象限角，则( )A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<03．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A．10名B．18名C．24名D．32名4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230--=的距离为( )x yA ．5B ．5C ．5D ．56．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=.若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H8．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE △的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．329．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减10．已知△ABC 是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）A B ．32C ．1D ．11．若2x －2y <3−x －3−y ，则（ ）A ．ln(y-x+1)>0B ．ln(y-x+1)<0C ．ln ∣x-y ∣>0D ．ln ∣x-y ∣<012．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ）A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

单项选择题1、设则在处( )A．不连续B．连续，但不可导C．连续，且有一阶导数D．有任意阶导数1 C2A3D4B2、已知在上连续，在内可导，且当时，有，又已知，则( )A．在上单调增加，且B．在上单调减少，且C．在上单调增加，且D．在上单调增加，但正负号无法确定5 D. D6C7B8A3、已知，在处可导，则( )A．，都必须可导B．必须可导C．必须可导D．和都不一定可导9B10 A11D12C4、函数在上有( )A．四个极值点；B．三个极值点C．二个极值点D．一个极值点13 C14A15B16D5、函数在某点处有增量，对应的函数增量的主部等于，则( )A．4 B．C．4 D．17 C18D19A20B6、若为内的可导奇函数，则( )A．必有内的奇函数B．必为内的偶函数C．必为内的非奇非偶函数D．可能为奇函数，也可能为偶函数21 B22A23C24D7、按给定的的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( )A．() B．()C．() D．()25D26B27 C28A8、设，若在上是连续函数，则( )A．0 B．1 C．D．329D30B31 C32A9、设函数，则( )A．当时，是无穷大B．当时，是无穷小C．当时，是无穷大D．当时，是无穷小33A34D35 B36C10、若，则方程( )A．无实根B．有唯一的实根C．有三个实根D．有重实根37A38 B39D40C11、下列各式中的极限存在的是( )A．B．C．D．41D42A43B44 C12、函数的极大值是( )A．17 B．11 C．10 D．945D46B47 A48C13、下列函数与相等的是( A )A．，B．，C．，D．，49D50C51B52 A14、数列，，，，，…是( )A．以0为极限B．以1为极限C．以为极限D．不存在在极限53 B54D55A56C15、指出曲线的渐近线( )A．没有水平渐近线，也没有斜渐近线B．为其垂直渐近线，但无水平渐近线C．即有垂直渐近线，又有水平渐近线D．只有水平渐近线57D58A59B60 C16、的值为( )A．1 B．C．不存在D．061C62B63 D64A17、如果与存在，则( )A．存在且B．存在，但不一定有C．不一定存在D．一定不存在65D66A67 C68B18、，其中，则必有( ) A．B．C．D．69 E. C70B71A72 D19、设在上有定义，函数在点左、右极限都存在且相等是函数在点连续的( )A．充分条件B．充分且必要条件C．必要条件D．非充分也非必要条件73 C74A75B76D20、两个无穷小量与之积仍是无穷小量，且与或相比( )A．是高阶无穷小B．是同阶无穷小C．可能是高阶，也可能是同阶无穷小D．与阶数较高的那阶同阶77 A78D79C80B21、设()且，则在处( )A．令当时才可微B．在任何条件下都可．当且仅当时才可微D．因为在处无定义，所以不可微81A82D83B84 C22、设函数，则点0是函数的( )A．第一类不连续点B．第二类不连续点C．可去不连续点D．连续点85B86 D87C88A23、在下列四个函数中,在上满足罗尔定理条件的函数是( )A．B．C．D．89A90D91 B92C24、函数它在内( )A．不满足拉格朗日中值定理的条件B．满足拉格朗日中值定理的条件，且C．满足中值定理条件，但无法求出的表达式D．不满足中值定理条件，但有满足中值定理结论93A94 B95D96C25、与函数的图象完全相同的函数是( )A．B．C．D．97B98C99D100 A26、要使函数在处的导函数连续，则应取何值( )A．B．C．D．101C102B103A104 D27、若在区间内，函数的一阶导数，二阶导数，则函数在此区间内是( )A．单调减少，曲线上凹B．单调增加，曲线上凹C．单调减少，曲线下凹D．单调增加，曲线下凹105C106A107B108 D28、在点处的导数是( )A．1 B．0 C．-1 D．不存在109C110 D111A112B29、若为可导函数，为开区间内一定点，而且有，，则在闭区间上必有( )A．B．C．D．113A114 D115B116C30、设其中是有界函数，则在处( )A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续，但不可导D．可导117C118A119B120 D31、函数满足拉格朗日中值定理条件的区间是( )A．B．C．D．121 C122D123B124A32、设可导，，若使在处可导，则必有( )A．B．C．D．125 F. A126D127B128C33、设函数，则( )A．0 B．24 C．36 D．48129C130A131 B132D34、设函数，在( )A．单调增加, B．单调减少,C．单调增加，其余区间单调减少,D．单调减少，其余区间单调增加.133 C134A135B136D35、若，则( )A．-3 B．6 C．-9 D．-12137D138A139C140 B36、设函数，，则为( )A．30 B．15 C．3 D．1141D142A143C144 B37、设函数在处有，在处不存在，则( )A．及一定都是极值点B．只有是极值点C．与都可能不是极值点D．与至少有一个点是极值点145 C146B147A148D38、区间表示不等式( )A．B．C．D．149 B150D151A152C主观题39、求下列函数的自然定义域参考答案：40、参考答案：41、求下列函数的自然定义域参考答案：42、参考答案：43、求下列函数的自然定义参考答案：44、求下列函数的自然定义域参考答案：45、参考答案：46、参考答案：47、参考答案：48、参考答案：49、参考答案：50、求由和所围成的图形的面积.参考答案：51、参考答案：52、求下列函数的自然定义域参考答案：53、参考答案：54、参考答案：55、求下列函数的自然定义域参考答案：56、参考答案：57、参考答案：58、试证下列函数在指定区间内的单调性参考答案：59、参考答案：60、参考答案：。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(新高考II 卷)(适用地区：海南)数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1、设集合A ={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8},则B A =（ ）A. {1，3，5，7}B. {2，3}C. { 2，3，5}D.{1，2，3，5，7，8} 2、 )2)(21(i i ++=（ ）A.i 54+B. i 5C. i 5-D.i 32+ 3、在ABC ∆中，D 是AB 边上的中点，则→CB =（ ）A.→→+CA CD 2B.→→−CA CD 2C.→→−CA CD 2D.→→+CA CD 24、日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的 晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心 记为O ），地球上一点 A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面 所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与OA 垂直的平面. 在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬40o，则晷针与点 A 处的水平面所成角为（ ） A.20oB.40oC.50oD.90o5、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96％的学生喜欢足球或游泳，60％的学生喜欢足球，82％的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 （ ） A.62 % B.56% C.46% D.42%6、要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A.2种B.3种C.6种D.8种7、已知函数)54lg()(2−−=x x x f 在),(+∞a 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A. ),2(+∞ B. ),2[+∞ C. ),5(+∞ D. ),5[+∞8、若定义在 R 上的奇函数()f x 在(,0)−∞单调递减，且(2)0f =，则满足 (1)0xf x −≥的x 的取值范围是（ ） A. [1,1][3,)−+∞ B. [3,1][0,1]−− C.[1,0][1,)−+∞ D. [1,0][1,3]−二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;10、已知曲线C : 221mx ny += （ ） A.若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B.若0m n =>，则C 是圆，其半径为为nC. 若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为 m y x n=±− D.若0,0m n =>，则C 是两条直线11、右图是函数sin()y x ωϕ=+，则sin()x ωϕ+=（ ）A. sin()3x π+B . sin(2)3x π− C.cos(2)6x π+ D .5cos(2)6x π−12、已知a > 0, b >0,且a +b =1，则（ ） A. 2212a b +≥B .122a b−> C.22log log 2a b +≥− D .2a b +≤ 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A-NMD 1的体积为 14、斜率为3的直线过抛物线2:4C y x =的焦点，且与C 交于A,B 两点，则||AB = 15、将数列{2n -1}与 { 3n- 2}的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前 n 项和为 16、某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形， BC ⊥DG ，垂足为C ， tan 35ODC ∠=，//,12,2,BH DG EF cm DE cm ==A 到直线DE 和 EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为 2cm四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17、（10 分）在①② c sin A =3,③c这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在,求c 的；若问题中的三角形不存在，说明理由.问 题 ： 是 否 存 在 ∆ABC ， 它 的内角 A, B,C 的 对边分别 为 ,,a b c ，且sin ,6A B C π==, ?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18、（12 分） 已知公比大于 1 的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +== （1）求{}n a 的通项公式； （2）求112231 (1)n n n a a a a a a −+−++−19、（12 分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100 天空气中的 PM 2.5和 2SO 浓度（单位：μg / 3m m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中 PM 2.5浓度不超过 75，且2SO 浓度不超过 150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的2⨯2列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 99％的把握认为该市一天空气中 PM 2.5浓度与 2SO 浓度有关？ 附：22()()0.0500.0100.0012,()()()()3.841 6.63510.828n ad bc P K k K a b c d a c b d k −≥=++++20、（12分）如图，四棱锥 P − ABCD 的底面为正方形, PD ⊥ 底面 ABCD . 设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为l . （1）证明：l ⊥平面 PDC ；（2）已知PD = AD = l ，Q 为l 上的点，QB=2，求 PB 与平面QCD 所成角的正弦值.21、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>且过点 M(2,3),点A 为其左顶点且AM 的斜率为12（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求AMN 的面积的最大值.22、已知函数1()ln ln x f x aex a −=−+（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围.参考答案1．C 【详解】因为A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B =故选：C2．B 【详解】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++= 故选：B 3．C 【详解】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA −=+=+=+−=故选：C4．B 【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B5．C 【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅， 则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +−+0.60.820.960.46=+−=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C. 6．C 【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法 。

第1页（共17页）2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国年普通高等学校招生全国统一考试（全国 Ⅱ卷）Ⅱ卷） 理科数学一、选择题一、选择题1.1.已知集合已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ⋃=（ ） A.{2,3}- B.{2,2,3}- C.{2,1,0,3}-- D.{2,1,0,2,3}-- 答案答案: : A 解析解析: :∵{1,0,1,2}A B =-，∴，∴ (){2,3}U C A B ⋃=-. 2.2.若若α为第四象限角，则（为第四象限角，则（ ） A.cos 20α> B.cos 20α< C.sin 20α> D.sin 20α< 答案答案: : D解析解析: : ∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<.3.3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。

已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（，则至少需要志愿者（ ） A.10名B.18名C.24名D.32名 答案答案: : B解析解析: :因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为160050012001850+-=名4.4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（含天心石）（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块 答案答案: : C 解析解析: :设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差9d =，19a =，由等差数列性质知n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且成等差数列，且2322()()n n n n S S S S n d ---=，则29729n =，得9n =，则三层共有扇形面石板为3271272627934022nS S a ⨯==+⨯=块.5.5.若过点若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ） A.55 B.255 C.355 D.455答案答案: : B解析解析: :设圆心为(,)a a ，则半径为a ，圆过点(2,1)，则222(2)(1)a a a -+-=，解得1a =或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是255d =.6.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a++++++=-,则k =（ ）A.2B.3C.4D.5 答案答案: : C 解析解析: :取1m =，则11n n a a a +=，又12a =，所以12n na a +=，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =，所以11011115512102(12)222212k k k k k k a a a++++++-+++==-=--，得4k =.7.7.右图是一个多面体的三视图，右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H答案答案: : A 解析解析: :该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.8.设设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（的焦距的最小值为（） A.4 B.8 C.16 D.32 答案答案: : B 解析解析: :双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODESab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当22a b ==时，等号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =.9.9.设函数设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增单调递增 B.B.是奇函数，且在是奇函数，且在11(,)22-单调递减单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增单调递增D.D.是奇函数，且在是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减单调递减答案答案: : D解析解析: :函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，则()f x 为奇函数，故排除A 、C ；当11(,)22x ∈-时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，根据函数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增，故排除B ；当1(,)2x ∈-∞-时，212()ln(21)ln(12)ln ln(1)2121x f x x x x x +=----==+--，根据复合函数单调性可判断()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，故D 正确正确. .10.10.已知已知ABC ∆是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（的距离为（ ） A.3B.32C.1D.32答案答案: : C解析解析: :设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，记1OO d =，圆1O 的半径为r ，球O 半径为R ，等边三角形ABC ∆的边长为a ，则239344ABC S a ∆==，可得3a =，于是33a r ==，由题知球O 的表面积为16π，则2R =，由222R r d =+易得1d =，即O 到平面ABC 的距离为1. 11.11.若若2233x y x y ---<-，则（，则（ ） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -< 答案答案: :A解析解析: :2323x x y y ---<-，设()23x x f x -=-，则()2ln 23ln30x xf x -'=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为()()f x f y <，所以x y <，则11y x -+>，ln(1)0y x -+>，选A.12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足{{}}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ,使得(1,2,...)i miaa i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的01-序列12......n a a a ，11()(1,2,...,1)mi i ki C k a a k m m+===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（是（） A.11010... B.11011... C.10001... D.11001... 答案答案: : C解析解析: :对于A 选项：选项：511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，5211121(2)(01010)5555i i i C a a+===++++=>∑，不满足，排除；，不满足，排除；对于B 选项，5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；，不满足，排除；对于C 选项，选项， 511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑， 52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑， 53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑， 541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，满足；，满足；对于D 选项，5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；故选C 。

西南大学培训与继续教育学院课程一、单项选择题(本大题共15小题，每道题4.0分，共60.0分)1.设()且，则在处 ( )A..B..C..D..2.函数在处( )A.不连续B.连续不可导C.连续且仅有一阶导数D.连续且有二阶导数3.曲线在点处切线斜率等于( )A.8B.12C.-6D.64.设时，与是同阶无穷小，则为( )A.1B.2C.3D.45.设在处可，则( )A..B..C..D..6.函数的反函数是( )A..B..C..D..7.设有二阶连续导数，且，则 ( )A..B..C..D..8.两个无穷小量与之积仍是无穷小量，且与或相比( )A.是高阶无穷小B.是同阶无穷小C.可能是高阶，也可能是同阶无穷小D.与阶数较高的那阶同阶9.若在区间上二次可微，且，，()，则方程在上 ( )A.没有实根B.有重实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根10.任意给定，总存在，当时，，则( )A..B..C..D..11.设在上有定义，函数在点左、右极限都存在且相等是函数在点连续的( )A.充分条件B.充分且必要条件C.必要条件D.非充分也非必要条件12.设在内连续，且，则在点处( )A..B..C..D..13.已知函数在任意点处的增量且当时，是的高阶无穷小，，则( )A..B..C..D..14.下列函数中在上满足拉格朗日定理条件的是( )A..B..C..D..15.在下列四个函数中,在上满足罗尔定理条件的函数是( )A..B..C..D..二、计算题(本大题共4小题，每道题5.0分，共20.0分)1.2.求下列函数的自然定义域3.4.求在点(1, 2)处的偏导数三、证明题(本大题共1小题，每道题20.0分，共20.0分) 1.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（全国卷Ⅱ，含答案） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码，2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选题其它答案标号，在试卷上答案无效。

参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A B +=+ 2=4S R π如果事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 343V R π= 那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()()()10,1,2...n k k k n n P k C P p k n -=-=本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

一、 选择题： 1. 10i 2-i= A. -2+4i B. -2-4i C. 2+4i D. 2-4i2. 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B I = A. ∅ B. ()3,4C.()2,1-D. ()4.+∞ 3. 已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A = A. 1213B.513C.513-D. 1213- 4.曲线21x y x =-在点()1,1处的切线方程为 A. 20x y --= B. 20x y +-= C.450x y +-= D. 450x y --=5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD所成的角的余弦值为A. 1010B. 15C. 31010D. 356. 已知向量()2,1,10,||52a a b a b =⋅=+=，则||b =A. 5B. 10C.5D. 257. 设323log ,log ,log 2a b c ππ===，则A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>8. 若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为 A ．16 B. 14C. 13D. 12 9. 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =A. 13B.23C. 23D. 22310. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。

2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅱ卷理科数学一、选择题1.已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()UAB =( )A.{}2,3-B.{}2,2,3-C.{}2,1,0,3--D.{}2,1,0,2,3--2.若α为第四象限角，则( ) A. cos20α>B. cos20α<C. sin20α>D. sin20α<3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( ) A.10名B.18名C.24名D.32名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( )A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( ) 52535456.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=.若155121022k k k a a a ++++++=-，则k = ( )A.2B.3C.4D.57.下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为()A.EB.FC.GD.H8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点.若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A.4B.8C.16D.329.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x ( ) A.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减10.已知ABC 93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( ) 3 B.32C.1 3 11.若2233x y x y ---<-，则( ) A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+<C.ln 0x y ->D.ln 0x y -< 12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{}0,1(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得i (1,2,)i m a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足i (1,2,)i m a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的01-序列12na a a ，11()(1,2,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标.下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k =的序列是( )A.11010B.11011C.10001D.11001二、填空题13.已知单位向量,a b 的夹角为45°，k -a b 与a 垂直，则k =_______.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有___________种.15.设复数1z ，2z 满足122z z ==，12i z z +=+，则12z z -=_______. 16.设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 3p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________. ①14p p ∧ ②12p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 三、解答题17.ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=. （1）求A ；（2）若3BC =，求ABC 周长的最大值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()(),1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得()()()()22202020202011111601200809000800i ii iiii i i i i x yx x y y x x y y =======-=-=--=∑∑∑∑∑，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(),1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数()()()()12211yniii nniii i x x yr x x y y ===--=--∑∑∑，2 1.414≈.19.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于,A B 两点，交2C 于,CD 两点，且43CD AB =. （1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点.若5MF =，求1C 与2C 的标准方程.20.如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ； （2）设O 为111A B C 的中心.若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值.21.已知函数()2sin sin 2f x x x =.（1）讨论()f x 在区间()0π，的单调性；（2）证明：()33f x ； （3）设n *∈N ，证明：22223sin sin 2sin 4sin 24nnn x x x x .22.已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩：（θ为参数），211x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，：（t 为参数）. （1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程. 23.已知函数2()21f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.参考答案1.答案：A解析：2.答案：D解析：3.答案：B解析：4.答案：C解析：5.答案：B解析：6.答案：C解析：7.答案：A解析：8.答案：B解析：9.答案：D解析：10.答案：C解析：11.答案：A解析：12.答案：C解析：13.解析：14.答案：36解析：15.答案：解析：16.答案：①③④解析：17.答案：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB--=⋅.①由余弦定理可知2222cosBC AC AB AC AB A=+-⋅.②由①，②得1cos2A=-.因为0πA<<，所以2π3A=.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sinAC AB BCB C A===，从而AC B=，π)3cosAB A B B B=--=.故π33cos33BC AC AB B B B⎛⎫++=+=++⎪⎝⎭.又0π3B<<，所以当π6B=时，ABC周长取得最大值为3+解析：18.答案：（1）由已知得样本平均数20116020iiy y===∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值为6020012000⨯=.（2）样本(),(1,2,,20)i ix y i =的相关系数()()200.943i ix x y yr--===≈∑.（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样.理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.解析：19.答案：（1）由已知可设2C的方程为24y cx=，其中c=.不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为22,b b a a -；,C D 的纵坐标分别为2,2c c -，故2||2|,|4b B CD c aA ==.由4||||3CD AB =得2843b c a =，即2322c c a a ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭.解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2,a c b =，故22122:143x y C c c+=.设()00,M x y ，则220022143x y c c+=，204y cx =， 故20024134x xc c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而|5MF =|，故05x c =-，代入①得 22(5)4(5)134c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.解析：20.答案：（1）因为,M N 分别为11,BC B C 的中点，所以1//MN CC ，又由已知得11//AA CC ，故1//AA MN .因为111A B C 是正三角形，所以111B C A N ⊥.又11B C MN ⊥，故11B C ⊥平面1A AMN .所以平面1A AMN ⊥平面11EB C F .（2）由已知得AM BC ⊥.以M 为坐标原点，MA 的方向为x 轴正方向，||MB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则2AB =，AM =连结NP ，则四边形AONP 为平行四边形，故PM =，1,03E ⎫⎪⎪⎝⎭.由（1）知平面1A AMN ⊥平面ABC .作NQ AM ⊥，垂足为Q ，则NQ ⊥平面ABC .设(,0,0)Q a ，则22123234,(433NQ a B a a ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，故21123223210,,4,||33B E a a B E ⎛⎫⎛⎫ ⎪=-----= ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎭⎝. 又(0,1,0)=-n 是平面1A AMN的法向量，故1111π10sin ,cos ,210||||B E B E B E B E ⎛⎫-〈〉=== ⎪⋅⎝⎭n n n n ⋅.所以直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值为10. 解析：21.答案：（1）当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增，当π2π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减，当2π,π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）证明见解析； （3）证明见解析.解析：（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+ 22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+2sin sin3x x =. 当π2π0,,π33x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>；当π2π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以()f x 在区间π2π0,,,π33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，在区间π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（3）因为(0)(π)0f f ==，由（1）知，()f x 在区间[]0,π的最大值为π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为2π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而()f x 是周期为π的周期函数，故33()f x . （3）由于()()()2223332332121321sinsin 2sin 2sin sin 2sin 2|sin |sin sin 2sin 2sin 2sin 2|sin |()(2)2sin 2()(2)2nn n n n n n n x xxx x xx x x x x x x f x f x f x xf x f x f x ---=⋅=⋅⋅= 所以23222333sin sin 2sin 24nn nn x xx ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 22.答案：（1）1:4C x y +=；222:4C x y -=；（2）17cos 5ρθ=. 解析：（1）1C 的普通方程为()404x y x +=. 由2C 的参数方程得22212x t t =++，22212y t t =+-，所以224x y -=. 故2C 的普通方程为224x y -=.（2）由2244x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩得5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以P 的直角坐标为53,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设所求圆的圆心的直角坐标为()0,0x ，由题意得22005924x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得01710x =. 因此，所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=23.答案：（1）32x x ⎧⎨⎩或112x ⎫⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.解析：（1）当2a =时，72,3,()1,34,27, 4.x x f x x x x -⎧⎪=<⎨⎪->⎩11因此，不等式()4f x 的解集为31122x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∣或. （2）因为222()|21|21(1)f x x a x a a a a =-+-+-+=-， 故当2(1)4a -，即12a -时，()4f x .所以当3a 或1a -时，()4f x . 当-13a <<时，()22221(1)4f a a a a =-+=-<.所以a 的取值范围是(,1][3,)-∞-⋃+∞。