2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式学案新人教B版

2．4.2 空间两点的距离公式学习目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．知识点空间两点的距离思考如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？梳理空间两点的距离公式(1)在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点A(x，y，z)到原点间O的距离公式为d(O，A)＝|OA|＝x2＋y2＋z2.(2)空间中A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离公式是d(A，B)＝|AB|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.类型一求空间两点间的距离例1 如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|，求MN 的长．反思与感悟在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用．跟踪训练1如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．类型二空间两点的距离公式的应用命题角度1 求空间点的坐标引申探究1．若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？2．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？例2 已知点A(4,5,6)，B(－5，0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．反思与感悟(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．跟踪训练2 设点P在x轴上，使它到点P1(0，2，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．命题角度2 空间中距离的最值例3 已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜2)．(1)求|MN|的长；(2)当a为何值时，|MN|最小．反思与感悟距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值．跟踪训练3 如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．1．点P(1，2，3)到原点O的距离是( )A. 6B. 5 C．2 D. 32．点P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点，设它关于y轴的对称点为Q，则PQ的长为( )A ．2 5B ．5 2C ．3 2D ．2 33.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为( )A.2aB.22a C ．aD.12a 4．若A (4，－7,1)，B (6,2，z )，|AB |＝11，则z ＝________.5．求证：以A (10，－1,6)，B (4,1,9)，C (2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．答案精析问题导学 知识点 思考a 2＋b 2＋c 2.题型探究例1 解 建立如图所示空间直角坐标系，过点M 作MF 垂直BC 于F ，连接NF ， 显然MF 垂直平面ABCO ， 所以MF 垂直NF ， 因为|BM |＝2|MC ′|. 所以|BF |＝2|FC |. 又|AN |＝2|CN |， 所以NF ∥AB ，所以|NF |＝|FC |＝13|AB |＝a3.同理|MF |＝23|CC ′|＝2a3，因此，得点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，2a 3，0，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，a ，2a 3，于是|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫0－2a 32＝53a .跟踪训练1 解 以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得D (1,1,0)，E (0,1,2)，F (1,0,0)，∴|DE |＝－2＋－2＋－2＝5， |EF |＝－2＋－2＋－2＝ 6.例2 (0,0,6)解析 设P (0,0，z )，由|PA |＝|PB |，得－2＋－2＋－z 2＝－5－2＋－2＋－z 2，解得z ＝6.∴点P 的坐标为(0,0,6)． 引申探究1．解 与例2的结论一样，P (0,0,6)． 2．解 设P (0，y,0)，由|PA |＝|PB |，得－2＋－y 2＋－2＝－5－2＋－y 2＋－2，解得y ＝－245.∴点P 的坐标为(0，－245，0)．跟踪训练2 解 因为点P 在x 轴上，所以设点P 坐标为(x,0,0)． 因为|PP 1|＝2|PP 2|， 所以x －2＋－22＋－2＝2x －2＋－2＋＋2，所以x ＝±1，所以点P 的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)． 例3 解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ， 平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB 、BC 、BE 两两垂直．过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连接NG ，易证NG ⊥AB . ∵|CM |＝|BN |＝a ， ∴|CH |＝|MH |＝|BG |＝|GN |＝22a ， ∴以B 为原点，以BA 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0.(1)|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1＝ ⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12.(2)由(1)得，当a ＝22时，|MN |最短，最短为22，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点． 跟踪训练3 解 建立如图所示的空间直角坐标系，则P (12，12，12)．∵点Q 在CD 上，∴设Q (0,1，z )，z ∈[0,1]， ∴|PQ | ＝ 12－2＋12－2＋12－z 2，＝12＋12－z 2，∴当z ＝12时，|PQ |min ＝22.当堂训练 1．A 2.A 3.B 4．－5或7解析 ∵|AB |＝11，∴(6－4)2＋(2＋7)2＋(z －1)2＝112，化简得(z －1)2＝36，即|z －1|＝6， ∴z ＝－5或z ＝7.5．证明 根据空间两点间距离公式， 得|AB |＝－2＋－1－2＋－2＝7，|BC|＝－2＋－2＋－2＝7，|AC|＝－2＋－1－2＋－2＝98. 因为|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，且|AB|＝|BC|，所以△ABC是等腰直角三角形．。

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式1.掌握平面上两点间的距离公式和中点坐标公式.(重点)2.了解两点的距离公式及中点公式的推导方法.(难点)3.体会坐标法在几何中的作用.(重点)4.坐标法在证明几何问题中的应用.(难点)[基础·初探]教材整理 两点间距离公式及中点公式阅读教材P 68～P 71“例4”以上内容，完成下列问题.1.已知在平面直角坐标系中两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有d (A ，B )＝|AB |＝2.已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设点M (x ，y )是线段AB 的中点，则有x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.1.如图2­1­2，由A (－4，－2)，B (4，－2)，C (4,4)，是否能求出d (A ，C )?图2­1­2【答案】 能，d (A ，C )＝|AB |2＋|BC |2＝10.2.(1)如图2­1­3，若A (－1,1)，C (3,1)连线的中点为M 1(x ，y ), 则x ，y 满足什么条件？图2­1­3【答案】 x －(－1)＝3－x ，y ＝1.(2)若B (3,4)，那么BC 的中点M 2的坐标是什么？【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52.[小组合作型]).求证：△ABC是等边三角形.【精彩点拨】 解答本题可以尝试利用两点的距离公式求出三边长，再用三角形知识解决.【自主解答】 由两点的距离公式得 |AB |＝ a ＋a 2＋ 0－0 2＝2|a |， |BC |＝ 0－a 2＋ 3a －0 2＝2|a |， |CA |＝ －a －0 2＋ 0－3a 2＝2|a |. ∴|AB |＝|BC |＝|CA |， 故△ABC 是等边三角形.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等.在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.[再练一题]1.本例若改为：已知A (－1，－1)，B (3,5)，C (5,3)，试判断△ABC 的形状. 【解】 d (A ，B )＝[3－ －1 ]2＋[5－ －1 ]2＝42＋62＝52＝213，d (A ，C )＝[5－ －1 ]2＋[3－ －1 ]2＝62＋42＝52＝213，d (B ，C )＝ 5－3 2＋ 3－5 2＝22＋22＝8＝2 2.所以|AB |＝|AC |≠|BC |，且显然三边长不满足勾股定理， 所以△ABC 为等腰三角形.，对角线交点为E (－3,4)，求另外两顶点C 、D 的坐标.【导学号：45722072】【精彩点拨】 可以画图分析点的关系，借助平行四边形的性质，尝试运用中点公式列方程组求解.【自主解答】 设C 点坐标为(x 1，y 1)，则由E 为AC 的中点得： ⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝4＋x 12，4＝2＋y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－10，y 1＝6，设D 点坐标为(x 2，y 2)，则由E 为BD 的中点得 ⎩⎪⎨⎪⎧－3＝5＋x22，4＝7＋y 22，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－11，y 2＝1，故C 点坐标为(－10,6)，D 点坐标为(－11,1).1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质，依据中点公式列方程组求点的坐标的.2.中点公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点公式列方程或方程组求解.[再练一题]2.已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标分别为A (0,0)，B (2,0)，D (1,3)，求顶点C 的坐标.【解】 ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴平行四边形对角线的中点坐标相同. 设C 点坐标为C (x ，y )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0＋x 2＝2＋12＝32，0＋y 2＝0＋32＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即C (3,3).[探究共研型]探究1【提示】(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；(2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴；(3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴.探究2 建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？【提示】不影响.在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B、C不重合)，且AB2＝AD2＋BD·DC.求证：△ABC为等腰三角形.【精彩点拨】建系→设三角形各顶点的坐标→把条件转化为坐标运算→化简→证明|AB|＝|AC|→结论【自主解答】如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(b<d<c).∵|AB|2＝|AD|2＋BD·DC，∴b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，∴－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，又∵d－b≠0，∴－b－d＝c－d，即－b＝c.∴|AB|＝|AC|，故△ABC为等腰三角形.1.对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目，可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问题简单化.2.在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点.[再练一题]3.已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.【证明】 如图所示，以Rt△ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立直角坐标系.设B ，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c ).因为点M 是BC 的中点， 故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0＋b 2，0＋c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2.由两点间距离公式得|BC |＝ 0－b 2＋ c －0 2＝b 2＋c 2， |AM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b2－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c2－02＝12b 2＋c 2. 所以|AM |＝12|BC |.1.已知A (－8，－3)，B (5，－3)，则线段AB 的中点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3 【解析】 由中点坐标公式可以求得. 【答案】 B2.已知A (1,2)，B (a,6)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A.4 B.－4或2 C.－2 D.－2或4【解析】a －1 2＋ 6－2 2＝5，解得a ＝－2或4.【答案】 D3.以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形为________.【解析】由题意|AB|＝17，|AC|＝17，|BC|＝18，显然△ABC为等腰三角形.【答案】等腰三角形4.若x轴上的点M到原点与到点(5，－3)的距离相等，则点M的坐标为________.【解析】设点M的坐标为(x,0)，由题意知|x|＝ x－5 2＋ 0＋3 2，即x2＝(x－5)2＋9，解得x＝3.4，故所求点M的坐标为(3.4,0).【答案】(3.4,0)5.已知矩形相邻两个顶点是A(－1,3)，B(－2,4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点的坐标.【导学号：45722073】【解】设对角线交点为P(x,0)，则|PA|＝|PB|，即(x＋1)2＋(0－3)2＝(x＋2)2＋(0－4)2，解得x＝－5，所以对角线交点为P(－5,0).所以x C＝2×(－5)－(－1)＝－9，y C＝2×0－3＝－3，即C(－9，－3)；x D＝2×(－5)－(－2)＝－8，y D＝2×0－4＝－4，所以D(－8，－4).所以另外两顶点的坐标C(－9,3)，D(－8，－4).。

空间两点间的距离公式教案李浪（一）教学目标1．知识与技能：使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

（三）教学设计 教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入在平面上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离的公式为|AB |=221212()()x x y y -+-，那么对于空间中任意两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)之间的距离的公式会是怎样呢你猜猜师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。

生：踊跃回答通过类比，充分发挥学生的联想能力。

概念形成 （2）空间中任一点P(x ，y ，z )到原点之间的距离公式会是怎样呢师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出从特殊的情况入手，化解难度由平面上两点间的距离先推导特殊情况下空间推导一般情况下的空间|OP |=222x y z ++.概念深化（3）如果|OP |是定长r ，那么x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x 2+y 2=r 2表示的图形中，方程x 2+y 2=r 2表示图形，让学生有种回归感。

生：猜想说出理由任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程x 2+y 2=r 2表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。

（4）如果是空间中任间一点P 1(x 1，y 1，z 1)到点P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离公式是怎样呢师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。

得出结论：|P 1P 2|=222121212()()()x x y y z z -+-+-人的认识是从特殊情况到一般情况的巩固练习1．先在空间直角坐标系中标出A 、B 两点，再求它们之间的距离：1）A (2，3，5)，B (3，教师引导学生作答 1．解析（1）6，图略（2）70，图略2．解：设点M 的坐标是(0，培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理1，4)；2）A (6，0，1)，B (3，5，7)2．在z 轴上求一点M ，使点M 到点A (1，0，2)与点B (1，–3，1)的距离相等.3．求证：以A (10，–1，6)，B (4，1，9)，C (2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.4．如图，正方体OABD–D ′A ′B′C ′的棱长为a ，|AN |=2|CN |，|BM |=2|MC ′|.求MN 的长.0，z ).依题意，得22(01)0(2)z -++-=222(01)(03)(1)z -+++-.解得z =–3.所求点M 的坐标是(0，0，–3).3．证明：根据空间两点间距离公式，得222||(42)(14)(93)7BC =-+-+-=， 222||(102)(14)(63)98AC =-+--+-=.因为7+7＞98，且|AB |=|BC |，所以△ABC 是等腰三角形.4．解：由已知，得点N 的坐标为2(,,0)33a a， 点M 的坐标为2(,,)33a a a ，于是解课外练习布置作业练习册学生独立完成巩固深化所学（1） 空间两点间的距离公式是什么（2） 空间中到定点的距离等于定长的点得轨迹是什么 （3） 如何利用坐标法来解决一些几何问题【解析】由题意设A (0，y ，0)= 解得：y =0或y =2，故点A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)例2已知点A （1，-2,11）B （4,2,3）C(6，-1,4)判断该三角形的形状。

2．4．2 空间两点的距离公式1．了解空间两点的距离的定义．2．理解空间两点的距离公式的推导思路．3．掌握空间两点的距离公式．空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是d(A，B)＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2．特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为d(O，A)＝x2＋y2＋z2．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例．( )(2)将距离公式中两点的坐标顺序互换，结果不变．( )答案：(1)√(2)√2．点P(1，2，3)到原点O的距离是( )A． 6 B． 5C．2 D． 3答案：A3．求下列两点间的距离．(1)A(1，1，0)，B(1，1，1)；(2)C(－3，1，5)，D(0，－2，3)．解：(1)d(A，B)＝(1－1)2＋(1－1)2＋(0－1)2＝1．(2)d(C，D)＝(－3－0)2＋[1－(－2)]2＋(5－3)2＝22．求两点间的距离在如图所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点C′的坐标为(4，4，2)，E，F分别为BC，A′B′的中点，求|EF|的长．【解】由C′(4，4，2)知：B(4，0，0)，C(4，4，0)，A′(0，0，2)，B′(4，0，2)，由中点坐标公式得，E(4，2，0)，F(2，0，2)．所以|EF|＝(4－2)2＋(2－0)2＋(0－2)2＝23．利用空间两点的距离公式求线段长度的一般步骤在空间直角坐标系中，点A(2，3，0)关于平面xOy的对称点为A′，点B(5，1，0)关于平面yOz的对称点为B′，求A′、B′两点间的距离．解：因为点A(2，3，0)关于平面xOy的对称点为A′，所以A′(2，3，0)．因为点B(5，1，0)关于平面yOz的对称点为B′，所以B′(－5，1，0)．所以|A′B′|＝[2－(－5)]2＋(3－1)2＋(0－0)2＝72＋22＝53，所以A′、B′两点间的距离为53．利用距离公式求点的坐标(1)在z轴上求一点使得它到点A(4，5，6)与到点B(－5，0，10)的距离相等；(2)已知点P到坐标原点O的距离等于23，且它的x坐标、y坐标、z坐标均相等，求该点的坐标．【解】(1)由题意可设该点的坐标为P(0，0，z)，则|PA|＝(4－0)2＋(5－0)2＋(6－z)2，|PB|＝(－5－0)2＋(0－0)2＋(10－z)2．又|PA|＝|PB|，所以z＝6，所以所求点的坐标为(0，0，6)． (2)由题意可设P 点的坐标为(x ，y ，z )． 所以|OP |＝ x 2＋y 2＋z 2＝23． 又x ＝y ＝z ，所以3x 2＝23． 所以x ＝y ＝z ＝2或x ＝y ＝z ＝－2．所以该点的坐标为(2，2，2)或(－2，－2，－2)．已知点在某轴上(或者在坐标平面内)，又满足某些条件，求该点的坐标时，一般根据点所在的位置，先设出点的坐标，再由已知条件列出方程求解．在设点的坐标时，一般要根据点的特征设参数，这样不但可以减少参数，也能简化计算．点的位置与相应特征如下表：位置坐标特征 x 轴上 (x ，0，0) y 轴上 (0，y ，0) z 轴上 (0，0，z ) xOy 平面内 (x ，y ，0) yOz 平面内 (0，y ，z ) xOz 平面内(x ，0，z )已知空间中两点A (－3，－1，1)、B (－2，2，3)，在z 轴上有一点C ，它到A 、B 两点的距离相等，求点C 的坐标．解：设C 点的坐标为(0，0，z )， 则 32＋12＋(z －1)2＝ 22＋(－2)2＋(z －3)2， 即10＋(z －1)2＝8＋(z －3)2， 解得z ＝32，所以点C 的坐标为(0，0，32)．空间两点距离公式的应用在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使M 到点N (6，5，1)的距离最小．【解】 由已知可设M (x ，1－x ，0)， 则|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2＝2(x －1)2＋51．所以当x ＝1时，|MN |min ＝51．所以xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上到点N 的距离最小的点为M (1，0，0)．本题利用空间两点的距离公式，将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，分析函数即可．在空间直角坐标系中，已知△ABC 的顶点分别是A (－1，2，3)，B (2，－2，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，3．求证：△ABC 是直角三角形．证明：d (A ，B )＝ (－1－2)2＋(2＋2)2＋(3－3)2＝5，d (A ，C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－522＋(3－3)2 ＝102， d (B ，C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－522＋(3－3)2 ＝3102． 故[d (B ，C )]2＋[d (A ，C )]2＝904＋104＝25＝[d (A ，B )]2， 所以△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形．(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下，任意给定坐标的两个点之间的距离．其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．(2)求距离的步骤：①建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标；②代入空间两点间的距离公式求值．对于空间几何体建立空间直角坐标系后，就把点和坐标联系起来，这样就可以把空间中的线段长、距离及位置关系等几何问题转化成代数式再用代数的方法来解决，从而借助代数中最基本最普遍的函数与方程的思想，解决几何问题，使许多复杂的几何问题迎刃而解．1．点A (2，－3，5)关于xOy 平面的对称点是A ′，则|AA ′|等于( ) A ．4 B ．6 C ．10D ．38解析：选C ．因为点A 到平面xOy 的距离为5，所以|AA ′|＝10．2．若O (0，0，0)，P (x ，y ，z )，且|OP |＝1，则x 2＋y 2＋z 2＝1表示的图形是________________．解析：由题意知，P 点满足球的定义． 答案：以原点O 为球心，以1为半径的球面3．点A 与坐标原点的距离为9，且它在x 、y 、z 轴上的坐标都相等，则点A 坐标为________． 答案：(33，33，33)或(－33，－33，－33)[学生用书P131(单独成册)])[A 基础达标]1．空间直角坐标系中，点A (－3，4，0)和点B (2，－1，6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9D ．86解析：选D ．由空间两点间的距离公式可得|AB |＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86． 2．已知点A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于( )A ．534B ．532 C ．532D ．132解析：选B ．AB 的中点M (2，32，3)，它到点C 的距离d (M ，C )＝ (2－0)2＋(32－1)2＋(3－0)2＝532．3．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，若D (0，0，0)、A (4，0，0)、B (4，2，0)、A 1(4，0，3)，则对角线AC1的长为( )A．9 B．29C．5 D．2 6解析：选B．由已知易求得C1(0，2，3)，所以|AC1|＝42＋22＋32＝29．4．已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是( ) A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解析：选B．|AB|＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2＝89，|BC|＝(4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14，|AC|＝(1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75，所以|AB|2＝|BC|2＋|AC|2．所以△ABC为直角三角形．5．一束光线自点P(1，1，1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光线所经过的距离是( )A．37 B．33C．47 D．57解析：选D．P关于xOy平面对称的点为P′(1，1，－1)，则光线所经过的距离为|P′Q|＝(3－1)2＋(3－1)2＋(6＋1)2＝57．6．在空间直角坐标系中，点M(1，0，3)与N(－1，1，a)两点间的距离为6，则a＝________．答案：2或47．已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．解析：设点P(0，0，z)，由|PA|＝|PB|，所以(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z)2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z)2，解得z＝3．答案：(0，0，3)8．点A(1－t，1－t，t)和B(2，t，t)的距离的最小值为________．解析：|AB|2＝(1－t－2)2＋(1－t－t)2＋(t－t)2＝5t2－2t＋2．当t ＝15时，|AB |2min ＝95，即|AB |min ＝355．答案：3559．已知A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，求|AB |取最小值时，A 、B 两点的坐标，并求此时的|AB |．解：由空间两点间的距离公式得|AB |＝(1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， 当x ＝87时，|AB |有最小值57＝357． 此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，227，67．10．如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是正方体对角线D 1B 的中点，点Q 在棱CC 1上．(1)当2|C 1Q |＝|QC |时，求|PQ |；(2)当点Q 在棱CC 1上移动时，求|PQ |的最小值．解：(1)由题意知点C 1(0，1，1)，点D 1(0，0，1)，点C (0，1，0)，点B (1，1，0)，点P 是体对角线D 1B 的中点，则点P (12，12，12)．因为点Q 在棱CC 1上，且2|C 1Q |＝|QC |，所以点Q 为(0，1，23)．由空间两点的距离公式，得|PQ |＝(12－0)2＋(12－1)2＋(12－23)2＝1936＝196．(2)当点Q 在棱CC 1上移动时，则点Q (0，1，a )，a ∈[0，1]．由空间两点的距离公式有|PQ |＝(12－0)2＋(12－1)2＋(12－a )2＝ (a －12)2＋12．故当a ＝12时，|PQ |取得最小值22，此时点Q (0，1，12)．[B 能力提升]11．若P (x ，2，1)到Q (1，1，2)，R (2，1，1)的距离相等，则x 的值为( ) A ．12 B ．1C ．32D ．2解析：选B ．由(x －1)2＋(2－1)2＋(1－2)2＝(x －2)2＋(2－1)2＋(1－1)2，解得x ＝1．12．若点P (x ，y ，z )到平面xOz 与到y 轴距离相等，则P 点坐标满足的关系式为________． 解析：由题意得|y |＝x 2＋z 2即x 2＋z 2－y 2＝0． 答案：x 2＋z 2－y 2＝013．如图所示，在长方体OABC ­O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，E 是BC 的中点，作OD ⊥AC 于点D ，求线段B 1E 的长度及顶点O 1到点D 的距离．解：由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长方体的各个顶点的坐标分别为：O (0，0，0)、A (2，0，0)、B (2，3，0)、C (0，3，0)、O 1(0，0，2)、A 1(2，0，2)、B 1(2，3，2)、C 1(0，3，2)．因为E 是BC 的中点，所以点E 的坐标为(1，3，0)， 所以由两点间的距离公式得|B 1E |＝(2－1)2＋(3－3)2＋(2－0)2＝5． 设D (x ，y ，0)，在Rt △AOC 中， |OA |＝2，|OC |＝3，|AC |＝13，所以|OD |＝2×313＝61313．在Rt △ODA 中， |OD |2＝x ·|OA |， 所以x ＝36132＝1813．在Rt △ODC 中，|OD |2＝y ·|OC |， 所以y ＝36133＝1213．所以点D (1813，1213，0)，由两点间的距离公式得 |O 1D |＝(0－1813)2＋(0－1213)2＋(2－0)2＝1 144132＝228613． 14．(选做题)已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)，求：(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小？解：(1)因为面ABCD ⊥面ABEF ， 面ABCD ∩面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，BE ⊂面ABEF ，所以BE ⊥面ABCD ． 所以AB 、BC 、BE 两两垂直．所以以B 为坐标原点，分别以BA 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0．所以|MN | ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝ a 2－2a ＋1 ＝(a －22)2＋12(0<a <2)． (2)因为|MN |＝(a －22)2＋12， 故当a ＝22时，|MN |min ＝22．。

2．1.2 平面直角坐标系中的基本公式学习目标 1.理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离.2.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．知识点一两点的距离公式已知平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．思考1 当x1≠x2，y1＝y2时，d(A，B)＝？思考2 当x1＝x2，y1≠y2时，d(A，B)＝？思考3 当x1≠x2，y1≠y2时，d(A，B)＝？请简单说明理由．梳理两点间的距离公式A(x1，y1)，B(x2，y2)两点之间的距离公式d(A，B)＝|AB|＝________________；当AB垂直于y轴时，d(A，B)＝________；当AB垂直于x轴时，d(A，B)＝________；当B为原点时，d(A，B)＝________.知识点二中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝________，y＝________类型一两点间的距离公式例1 (1)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，则△ABC的周长为( )A．4 2 B．8 2 C．12 2 D．16 2(2)若A (－5,6)，B (a ，－2)两点的距离为10，则a ＝____________.反思与感悟 两点间的距离公式应用的两种形式(1)在求到某点的距离满足某些条件的点P (x ，y )的坐标时，需要根据已知条件列出关于x ，y 的方程或方程组，解之即可．(2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形．还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线．跟踪训练1 已知点A (－3,4)，点B (2，3)，试在x 轴上找一点P ，使得d (P ，A )＝d (P ，B )，并求出d (P ，A )．类型二 中点公式及应用例2 已知平行四边形ABCD 的两个顶点坐标分别为A (4,2)，B (5,7)，对角线交点为E (－3,4)，求另外两顶点C 、D 的坐标．反思与感悟 中点公式应用的步骤(1)认真审题，提炼题设中的条件．(2)将条件转化为与中点有关的问题．(3)利用中点公式求解．(4)转化为题目要求的结果．特别提醒：利用中点坐标公式可求得以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)为顶点的△ABC 的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．跟踪训练2 (1)已知三点A (x,5)，B (－2，y )，C (1,1)，且点C 是线段AB 的中点，求x ，y 的值；(2)求点M (4,3)关于点N (5，－3)的对称点．类型三坐标法的应用例3 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．反思与感悟用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何无素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论．跟踪训练3 证明：直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等．1．已知A(－3,5)，B(2,15)，则d(A，B)等于( )A．5 2 B．513C．517 D．5 52．已知两点A(a，b)，B(c，d)，且a2＋b2－c2＋d2＝0，则( )A．原点一定是线段AB的中点B．A、B一定都与原点重合C．原点一定在线段AB上但不是中点D．以上结论都不正确3．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定4．已知A(a,6)，B(－2，b)，点P(2,3)平分线段AB，则a＋b＝________.5．已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2,1)、B(－1,3)、C(3，4)，求第四个顶点D的坐标．1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．答案精析问题导学知识点一思考1 d(A，B)＝|x2－x1|.思考2 d(A，B)＝|y2－y1|.思考3 如图，在Rt△ABC中，|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12.即两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离为|AB|＝x2－x12＋y2－y12.梳理x2－x12＋y2－y12|x2－x1| |y2－y1| x21＋y21知识点二x1＋x22y1＋y22题型探究例1 (1)C (2)1或－11解析(1)∵A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，∴|AB|＝－3－2＋－2＝50＝52，|BC|＝[0－－2＋－2＝18＝32，|AC|＝－42＋－2＝32＝4 2.∴△ABC的周长为|AB|＋|BC|＋|AC|＝52＋32＋42＝12 2.(2)∵|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝－5－a2＋＋2＝10，∴a＝1或－11.跟踪训练1 解设P(x,0)，由题意得d (P，A)＝x＋2＋－2＝x2＋6x＋25，d (P，B)＝x－2＋－32＝x 2－4x ＋7.由d (P ，A )＝d (P ，B )， 即x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，化简得x ＝－95， 故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0， d (P ，A )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋952＋42＝21095. 例2 解 设C 点坐标为(x 1，y 1)，则由E 为AC 的中点，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝4＋x 12，4＝2＋y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－10，y 1＝6. 设D 点坐标为(x 2，y 2)，则由E 为BD 的中点，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝5＋x 22，4＝7＋y 22，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－11，y 2＝1，故C 点坐标为(－10,6)，D 点坐标为(－11,1)．跟踪训练2 解 (1)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ x －22＝1，5＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3.(2)设所求点的坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋42＝5，y ＋32＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－9， 故所求对称点的坐标为(6，－9)．例3 证明 如图所示，以顶点A 为坐标原点，AB 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，有A (0,0)．设B (a,0)，D (b ，c )，由平行四边形的性质，得点C 的坐标为(a ＋b ，c )．因为|AB |2＝a 2，|CD |2＝a 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|BC |2＝b 2＋c 2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2，所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC |2＋|BD |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， 所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝|AC |2＋|BD |2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．跟踪训练3 证明 如图所示，以直角三角形的直角顶点C 为坐标原点，一直角边CA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则C (0,0)．设A (a,0)，B (0，b )，则斜边中点M 的坐标为(a 2，b 2)． 因为|OM |＝a 24＋b 24＝12a 2＋b 2， |BM |＝a 24＋b 2－b 2 ＝12a 2＋b 2， |MA |＝a －a 22＋b 24 ＝12a 2＋b 2， 所以|OM |＝|BM |＝|MA |.即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．当堂训练1．D 2.D 3.B 4．6解析 由中点公式得2＝a －22，3＝b ＋62，∴a ＝6，b ＝0.∴a ＋b ＝6.5．解 分以下三种情况(如图所示)．(1)以AC 为对角线构成▱ABCD 1.设D 1(x 1，y 1)，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，其也为BD 1的中点坐标，∴12＝－1＋x12，52＝3＋y12，∴x1＝2，y1＝2，即D1(2,2)．(2)以BC为对角线构成▱ACD2B，同理得D2(4,6)．(3)以AB为对角线构成▱ACBD3，同理得D3(－6,0)．。

第二章平面解析几何初步示范教案整体设计教学分析本节课是对第二章根本知识与方法总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生根本知识系统化与网络化，根本方法条理化．通过小结与复习，对全章知识内容进展一次梳理，突出知识间内在联系，在综合运用知识解决问题能力上提高一步．采用分单元小结方式，让学生自己回忆与小结各单元知识．在此根底上，教师可对一些关键处予以强调．比方可重申解析几何根本思想——坐标法．并用解析几何根本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰．指出本章学习要求与要注意问题．可让学生先阅读教科书中“思考与交流〞有关内容．教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中特殊地位．三维目标1．通过总结与归纳直线与直线方程、圆与圆方程、空间直角坐标系知识，对全章知识内容进展一次梳理，突出知识间内在联系，在综合运用知识解决问题能力上提高一步．2．能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究与思考问题能力，激发学生学习数学兴趣，培养分类讨论思想与抽象思维能力．重点难点教学重点：解析几何解题根本思路与解题方法形成．教学难点：整理形本钱章知识系统与网络．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.我们知道学习是一个循序渐进过程，更是一个不断积累过程．送给大家这样一句话：疏浚源头流活水，承上根底梳理已整合；千寻飞瀑悬彩练，启下重点突破须提升．每学完一个单元都要总结复习，这节课我们就来复习刚完毕本章．引出课题．设计2.为了系统掌握第二章知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题阅读教材P111思考交流，画出本章知识构造.讨论结果：知识构造应用例如思路1例1直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成三角形面积为24，求直线l方程．解：设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，那么当y ＝0时，x ＝－m 3；当x ＝0时，y ＝－m 4. ∵直线l 与两坐标轴围成三角形面积为24，∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24.∴m＝±24. ∴直线l 方程为3x ＋4y±24＝0.点评：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行直线方程可设为Ax ＋By ＋m＝0(m≠C)．变式训练求满足以下条件直线方程：(1)经过点P(2，－1)且与直线2x ＋3y ＋12＝0平行；(2)经过点Q(－1,3)且与直线x ＋2y －1＝0垂直；答案：(1)2x ＋3y －1＝0.(2)2x －y ＋5＝0.例2求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点A(5,2)与点B(3，－2)圆方程．分析：因为条件与圆心有关系，因此可设圆标准方程，利用圆心在直线2x －y －3＝0上，同时也在线段AB 垂直平分线上，由两直线交点得出圆心坐标，再由两点间距离公式得出圆半径，从而得到方程．解：方法一：设圆方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －3＝0，5－a 2＋2－b 2＝r 2，3－a 2＋－2－b 2＝r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，r ＝10.所以圆方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 方法二：因为圆过点A(5,2)与点B(3，－2)，所以圆心在线段AB 垂直平分线上，线段AB 垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)．设所求圆圆心C 坐标为(a ，b)，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －3＝0，b ＝－12a －4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.所以圆心C(2,1)，r ＝|CA|＝5－22＋2－12＝10.所以所求圆方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.点评：此题介绍了几何法求圆标准方程，利用圆心在弦垂直平分线上可得圆心满足一条直线方程，结合其他条件可确定圆心，由两点间距离公式得出圆半径，从而得到圆标准方程．其实求圆标准方程，就是求圆圆心与半径，有时借助于弦心距、圆半径之间关系计算，可大大简化计算过程与难度．如果用待定系数法求圆方程，那么需要三个独立条件，“选标准，定参数〞是解题根本方法，其中选标准是根据条件选择恰当圆方程形式，进而确定其中三个参数．变式训练求经过两点A(－1,4)、B(3,2)且圆心在y 轴上圆标准方程．解：2＋(y －b)2＝r 2.∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋4－b 2＝r 232＋2－b 2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1r 2＝10.所以圆方程是x 2＋(y －1)2＝10.方法二：线段AB 中点为(1,3)，k AB ＝2－43－－1＝－12⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋1x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1.故点(0,1)为所求圆圆心．由两点间距离公式得圆半径r ＝10.所求圆方程为x 2＋(y －1)2＝10.思路2例3自点A(－3,3)发出光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线方程．解：(待定系数法)设光线l 所在直线方程为y －3＝k(x ＋3)，那么反射点坐标为(－31＋k k，0)(k 存在且k≠0)． ∵光线入射角等于反射角，∴反射线l′所在直线方程为y ＝－k[x ＋31＋k k]， 即l′：y ＋kx ＋3(1＋k)＝0.∵圆(x －2)2＋(y －2)2＝1，且l′与圆相切，∴圆心到l′距离d ＝|2＋2k ＋31＋k |1＋k2＝1. ∴k＝－34或k ＝－43. ∴光线l 所在直线方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.点评：此题是方程思想典例，方法较多，无论那种方法都是设出适当未知数，列出相应方程求解，对光线问题解决，一般利用对称方法解题，往往会收到意想不到结果．变式训练 点A(0,2)与圆C ：(x －6)2＋(y －4)2＝365，一条光线从A 点出发射到x 轴上后沿圆切线方向反射，求这条光线从A 点到切点所经过路程．解：设反射光线与圆相切于D 点．点A 关于x 轴对称点坐标为A 1(0，－2)，那么光线从A 点到切点所走路程为|A 1D|在，Rt△A 1CD 中，|A 1D|2＝|A 1C|2－|CD|2＝(－6)2＋(－2－4)2－365＝36×95. ∴|A 1D|＝1855，即光线从A 点到切点所经过路程是1855. 知能训练1．如果直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行，那么a 等于( ) A ．0 B.16C ．0或 1D ．0或16答案：D2．直线l 过点P(5,10)，且原点到它距离为5，那么直线l 方程为__________．答案：x ＝5或3x －4y ＋25＝03．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成三角形面积不大于1，那么b 取值范围是__________．答案：[－2,0)∪(0,2]4．经过点P(0，－1)作直线l ，假设直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)线段没有公共点，那么直线l 斜率k 取值范围为__________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．直线l 1：mx ＋(m －1)y ＋5＝0与l 2：(m ＋2)x ＋my －1＝0互相垂直，那么m 值是__________．答案：m ＝0或m ＝－126．求经过点P(2,3)且被两条平行直线3x ＋4y －7＝0与3x ＋4y ＋8＝0截得线段长为32直线方程．解：因为两条平行直线间距离d ＝|－7－8|32＋42＝3， 所以所求直线与直线3x ＋4y －7＝0夹角为45°.设所求直线斜率为k ，那么tan45°＝|k －－34||1＋－34k|. 解得k ＝17或k ＝－7. 因此x －7y ＋19＝0或7x ＋y －17＝0为所求．6．直线l ：3x ＋4y －10＝0与曲线C ：x 2＋y 2－5y ＋p ＝0交于A ，B 两点，且OA⊥OB，O 为坐标原点，求实数p 值．解：直线l 与曲线C 方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －10＝0，x 2＋y 2－5y ＋p ＝0，消去x ，得25y 2－125y ＋100＋9p ＝0.∴y 1y 2＝100＋9p 25. 同理，x 1x 2＝16p －10025. ∵OA⊥OB，∴y 1y 2x 1x 2＝－1. ∴100＋9p2516p －10025＝－1， 解得p ＝0.拓展提升设有半径为3 km 圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东而B 向北前进，A 出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人速度都一定，其比为3∶1，问A 、B 两人在何处相遇？分析：首先建立适当坐标系，结合几何知识解题．由于是圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，于是可以以村落中心为原点，以开场时A 、B 两人前进方向为x 、y 轴，建立坐标系，这就为建立解析几何模型创造了条件，然后再准确设元，列出方程．解：以开场时A 、B 两人前进方向为x 、y 轴，建立坐标系，由题意可设A 、B 两人速度分别为3v km/h ，v km/h ，再设A 出发x 0 h 后在点P 处改变前进方向，又经y 0 h 在点Q 处与B 相遇，那么P 、Q 两点坐标为(3vx 0,0)，(0，v(x 0＋y 0))，如以下图所示．由于A 从点P 到Q 行走时间是y 0 h ，于是由勾股定理有|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2，有(3vx 0)2＋[v(x 0＋y 0)]2＝(3vy 0)2.整理，得(x 0＋y 0)(5x 0－4y 0)＝0.又x 0＋y 0>0，所以5x 0＝4y 0.①于是k PQ ＝0－v x 0＋y 03vx 0－0＝－x 0＋y 03x 0.② 把①代入②得k PQ ＝－34.由于切线PQ 与y 轴交点Q 对应纵坐标v(x 0＋y 0)值就是问题答案，于是转化为“当直线y ＝－34x ＋b 与圆相切时，求纵截距b 值〞．利用圆心到切线距离等于圆半径，得4|b|32＋42＝3，解得b ＝154(b>0)．因此A 、B 两人相遇位置是离村落中心正北334km 处． 课堂小结本节课学习了：1．复习本章知识，形成知识网络．2．解决与直线、圆有关问题．作业本章小结稳固与提高 6,7,9,11题．设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是表达学生主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是既有根底知识复习、基此题型联系，又为了满足高考要求，对教材内容适当拓展．本节课对此进展了归纳与总结．通过新旧知识联系，加强横向沟通，培养学生多角度思考问题，利用不同方法解决问题能力．在课堂上进展解题方法讨论有助于活泼学生思维，促进发散思维培养，提高思维灵活性，抓住数形结合数学思想，总结解题规律，充分表达解析几何研究方法．教会学生思想方法比教会学生解题重要多．数学知识将来可能会遗忘，而数学思想方法会影响一个人一生．备课资料备选习题1．假设过定点M(－1,0)且斜率为k 直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内局部有交点，那么k 取值范围是( )A ．0<k< 5B ．－5<k<0C ．0<k<13D ．0<k<5 答案：A2．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动120°弧长到达Q 点，那么Q 坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12)答案：A3．过坐标原点且与x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切直线方程为( )A ．y ＝－3x 或y ＝13x B ．y ＝－3x 或y＝－13xC ．y ＝－3x 或y ＝－13x D ．y ＝3x 或y＝13x 解析：过坐标原点直线为y ＝kx ，与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切，那么圆心(2，－1)到直线方程距离等于半径102，那么|2k ＋1|1＋k 2＝102，解得k ＝13或k ＝－3，∴切线方程为y ＝－3x 或y ＝13x.答案：A4．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切圆方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9解析：r ＝|3×2－4×－1＋5|32＋42＝3.答案：C5．圆：x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0与圆：x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，那么AB 垂直平分线方程是________．答案：3x －y －9＝06．从点A(－4,1)出发一束光线l ，经过直线l 1：x －y ＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1,6)，求入射光线l 所在直线方程．解：设B(1,6)关于直线l 1对称点为B′(x 0，y 0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，y 0－6x 0－1·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4.∴直线AB′方程为y －14－1＝x ＋43＋4，即3x －7y ＋19＝0.故直线l方程为3x －7y ＋19＝0.7．直线l ：2x －y ＋1＝0与点A(－1,2)、B(0,3)，试在l 上找一点P ，使得|PA|＋|PB|值最小，并求出这个最小值．解：过点B(0,3)且与直线l 垂直直线方程为l′：y －3＝－12x ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y ＝－12x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝135，即直线l 与直线l′相交于点Q(45，135)．点B(0,3)关于点Q(45，135)对称点为B′(85，115)，连接AB′，那么依平面几何知识，知AB′与直线l 交点P 即为所求．直线AB′方程为y －2＝113(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y ＝113x ＋2713，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1425，y ＝5325，即P(1425，5325)，相应最小值为|AB′|＝－1－852＋2－1152＝170 5.。

第2课时 两点式学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.知识点一 直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程.思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 梳理思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？思考2 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程.梳理类型一直线的两点式方程例1 已知三角形的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，求三边所在的直线方程.反思与感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.跟踪训练1 已知△ABC的三个顶点为A(1,1)，B(5,1)，C(23－1，7－23).(1)求△ABC三边所在直线的方程；(2)求△ABC内角A，B的大小.类型二 直线的截距式方程命题角度1 与三角形有关的直线方程例2 过点P (1,3)，且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是________.反思与感悟 求解此类问题的两个步骤：一是待定系数法，即根据题中条件设出直线方程，如在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程常设为x a ＋yb＝1；二是方程(组)思想，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值.跟踪训练2 直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程.命题角度2 判断直线的条数例3 过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有________条.反思与感悟 如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况.跟踪训练3 过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有________条.1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为__________________________________.2.若直线l 的方程为x －2＋y2＝1，则该直线的倾斜角为____________.3.经过P (4,0)，Q (0，－3)两点的截距式方程为________________________.4.过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是____________________.5.下列四个结论： ①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线； ②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1； ④所有的直线都有点斜式和截距式方程. 正确的为________.(填序号)1.当直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式.2.直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便.注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零.答案精析问题导学 知识点一 思考1 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)， 即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 知识点二思考1 能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1. 思考2 由直线方程的两点式， 得y －0b －0＝x －a0－a ， 即x a ＋y b＝1. 题型探究例1 解 直线AB 过A ，B 两点，由两点式得y －07－0＝x －46－4，整理得7x －2y －28＝0.∴直线AB 的方程为7x －2y －28＝0.直线AC 过A (4,0)，C (0,3)两点，由两点式得y －03－0＝x －40－4，整理得3x ＋4y －12＝0.∴直线AC 的方程为3x ＋4y －12＝0.直线BC 过B (6,7)，C (0,3)两点，由两点式得y －73－7＝x －60－6，整理得2x －3y ＋9＝0.∴直线BC 的方程为2x －3y ＋9＝0.跟踪训练1 解 (1)直线AB 过点A (1,1)，B (5,1)，由于A ，B 的纵坐标相等，所以直线AB 的方程为y ＝1.直线AC 过点A (1,1)，C (23－1,7－23)，由两点式方程可得y －16－23＝x －123－2，整理得3x －y ＋1－3＝0， 这就是直线AC 的方程．直线BC 过点B (5,1)，C (23－1,7－23)，由两点式方程可得y －16－23＝x －523－6，整理得x ＋y －6＝0，这就是直线BC 的方程．(2)因为k AC ＝3，所以直线AC 的倾斜角α＝60°.又AB 平行于x 轴，所以∠A ＝60°. 因为k BC ＝－1，所以直线BC 的倾斜角β＝135°. 又AB 平行于x 轴，所以∠B ＝45°. 例2 3x ＋y －6＝0跟踪训练2 解 由题设知，直线l 不过原点，且在x 轴、y 轴上的截距都大于0，设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，|a －b |＝3.①当a ≥b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－4(舍去)；当a <b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，b －a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1(舍去)．所以直线l 的方程为x4＋y ＝1或x ＋y4＝1，即x ＋4y －4＝0或4x ＋y －4＝0. 例3 3 跟踪训练3 2 当堂训练1．x－y＋3＝0 2.45° 3.x4－y3＝14．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0 5.②③。

对应学生用书P75知识点一空间两点间的距离高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式练习（含解析）新人教B版必修21．在空间直角坐标系中，点A(3，2，－5)到x轴的距离d等于( )A．32＋22 B．22＋－52C．32＋－52 D．32＋22＋－52答案 B解析过点A作AB⊥x轴于点B，则B(3，0，0)，所以点A到x轴的距离d＝|AB|＝22＋－52．2．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO－A′B′C′O′，则A′C 的中点E与AB的中点F的距离为( )A．2aB．22aC．aD．12a答案 B解析A′(a，0，a)，C(0，a，0)，点E的坐标为a2，a2，a2，而F⎝⎛⎭⎪⎫a，a2，0，∴|EF|＝a24＋02＋a24＝22a，故选B．知识点二空间两点间距离公式的应用3．点P(x ，y ，z)满足x －12＋y －12＋z ＋12＝2，则点P 在( )A ．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 B ．以点(1，1，－1)为中心，以2为棱长的正方体内 C ．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 D ．以上都不正确 答案 C 解析x －12＋y －12＋z ＋12表示P(x ，y ，z)到点M(1，1，－1)的距离，即|PM|＝2为定值．故点P 在以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上．4．如图所示，PA ，AB ，AD 两两垂直，四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：MN⊥AB．证明 如图所示，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，设B(a ，0，0)，D(0，b ，0)，C(a ，b ，0)，P(0，0，c)，连接AN ．因为M ，N 分别是AB ，PC 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c 2，则|AM|2＝a 24，|MN|2＝b 2＋c 24，|AN|2＝a 2＋b 2＋c24，所以|AN|2＝|MN|2＋|AM|2，所以MN⊥AB．对应学生用书P75一、选择题1．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A ．62 B ． 3 C ．32 D ．63答案 A解析 如图所示，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，设正方体的棱长为a(a ＞0)，则点P 在顶点B 1处，建立分别以OA ，OC ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，则点P 的坐标为(a ，a ，a)，由题意得a 2＋a 2＝1，∴a 2＝12，∴|OP|＝3a 2＝3×12＝62． 2．与两点A(3，4，5)，B(－2，3，0)距离相等的点M(x ，y ，z)满足的条件是( ) A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0 B ．5x －y ＋5z －37＝0 C ．10x －y ＋10z ＋37＝0 D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0 答案 A解析 由|MA|＝|MB|，即(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A ．3．到定点(1，0，0)的距离小于或等于2的点的集合是( ) A ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≤2} B ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≤4} C ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≥4}D ．{(x ，y ，z)|x 2＋y 2＋z 2≤4} 答案 B解析 由空间两点间的距离公式可得，点P(x ，y ，z)到定点(1，0，0)的距离应满足x －12＋y 2＋z 2≤2，即(x －1)2＋y 2＋z 2≤4．4．△ABC 的顶点坐标是A(3，1，1)，B(－5，2，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，2，3，则它在yOz 平面上射影的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 △ABC 的顶点在yOz 平面上的射影点的坐标分别为A′(0，1，1)，B′(0，2，1)，C′(0，2，3)，∵|A′B′|＝0－02＋1－22＋1－12＝1，|B′C′|＝0－02＋2－22＋3－12＝2， |A′C′|＝0－02＋2－12＋3－12＝5，∴|A′B′|2＋|B′C′|2＝|A′C′|2，∴△ABC 在yOz 平面上的射影△A′B′C′是一个直角三角形，它的面积为1．5．已知A(x ，5－x ，2x －1)，B(1，x ＋2，2－x)，当|AB|取最小值时，x 的值为( ) A ．19 B ．－87 C ．87 D ．1914答案 C 解析 |AB|＝x －12＋3－2x2＋3x －32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， ∴当x ＝87时，|AB|最小．二、填空题6．在空间直角坐标系中，设A(m ，1，3)，B(1，－1，1)，且|AB|＝22，则m ＝________． 答案 1 解析 |AB|＝m －12＋[1－－1]2＋3－12＝22，解得m ＝1．7．已知点P 32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，则z ＝________．答案 0或－4解析 由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为12，92，－2．又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以32－122＋52－922＋[z－－2]2＝3，解得z＝0或－4．8．点B(3，0，0)是点A(m，2，5)在x轴上的射影，则点A到原点的距离为________．答案4 2解析由点B(3，0，0)是点A(m，2，5)在x轴上的射影，得m＝3，所以点A到原点的距离为d＝32＋22＋52＝32＝42．三、解答题9．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求|DE|，|EF|．解以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|CC1|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴|DE|＝1－02＋1－12＋0－22＝5，|EF|＝0－12＋1－02＋2－02＝6．10．如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<2)，(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．解由于平面ABCD、ABEF互相垂直，其交线为AB，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF，故以B为原点O，BC所在直线为z轴正半轴，BA所在直线为x轴正半轴，BE所在直线为y轴正半轴，建立空间直角坐标系．由于N点在对角线BF上，且BN＝a，N点到x轴和到y轴的距离相等，所以N点坐标为2 2a，22a，0．同理M点的坐标为M22a，0，1－22a．于是：(1)MN＝22a－22a2＋22a－02＋22a－12＝a－222＋12，0<a<2．(2)由(1)知MN＝a－222＋12，故当a＝22时，MN有最小值，且最小值为22．。