鲁教版数学7年级上册同步全解

1.2 图形的全等◆全等形的概念：能够完全重合的两个图形.◆全等形的性质：①形状相同；②大小相同【注】①全等图形与其所在的位置无关（只要通过平移、旋转、翻折后能够使两个图形完成重合即可）．对称图形要求更苛刻些．②因两图形完全相等，故图形所有对应条件都相同（例：周长、面积、对应角角度等皆相等）．题型一 全等图形的辨析题1.下列叙述中错误的是()A ．能够完全重合的图形称为全等图形B ．全等图形的形状和大小都相同C ．所有正方形都是全等图形D ．形状和大小都相同的两个图形是全等图形2.下列各组图形中，是全等形的是( )A ．两个含60°角的直角三角形B ．腰对应相等的两个等腰直角三角形C ．边长为3和4的两个等腰三角形D ．一个钝角相等的两个等腰三角形3.（2023秋•平原县期中）下列说法错误的是( )A ．全等三角形的三条边相等，三个角也相等B ．判定两个三角形全等的条件中至少有一个是边C ．面积相等的两个图形是全等形D ．全等三角形的面积和周长都相等4.（2023秋•张店区校级月考）下列说法中，正确的有( )①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若ABC DEF D @D ，则A D Ð=Ð，AB EF =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.（2023秋•乐陵市期中）下列给出的条件中，具有( )的两个图形一定是全等的．A ．形状相同B ．周长相等C ．面积相等D ．能够完全重合题型二 判断全等图形1.下列各组中的两个图形属于全等图形的是( )A．B．C．D．2.（2022秋•东港区校级月考）下列各组中的两个图形属于全等形的是( )A．B．C．D．3.下列选项中的图形与右图全等的是( )A．B．C．D．4.（2024春•长清区期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是( )A．B．C．D．题型三根据全等的性质求度数Ð+Ð等于( )1.（2024春•市中区期中）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中12A．150°B．180°C．210°D．225°Ð的关2.（2022秋•桓台县期中）如图，在33´的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则1Ð和2系为( )Ð=ÐB．221Ð=ÐC．1902A．12Ð+Ð=°Ð+°=ÐD．12180Ð3.（2023秋•陵城区期中）如图，在33´的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则1Ð和2的关系是( )A．12Ð=ÐC．2901Ð=ÐB．221Ð+Ð=°Ð=°+ÐD．12180Ð+Ð= )4.如图，图形的各个顶点都在33´正方形网格的格点上，则12(A．60°B．72°C．45°D．90°1.（2023秋•阳谷县期中）两个全等图形中可以不同的是( )A．位置B．长度C．角度D．面积2.（2023秋•宁阳县期中）下列语句：①顶角、底角都相等的两个等腰三角形一定全等；②两个等边三角形一定是全等图形；③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同；④三个角一一对应相等的两个三角形一定全等．其中错误的说法有( )A．4个B．3个C．2个D．1个3.下列说法正确的是( )A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形4.下列说法不正确的是( )A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B．全等三角形的对应边相等，对应角相等C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关D．面积相等的两个图形是全等图形5.（2023•兰山区校级开学）下列各组给出的两个图形中，全等的是( )A．B．C．D．6.如图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是( )A．B．C．D．7.（2023秋•聊城期中）下列各组图形中，属于全等图形的是( )A．B．C．D．Ð+Ð-Ð= )8.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则132(A．30°B．45°C．60°D．135°9.任意一个三角形被一条中线分成两个三角形，则这两个三角形：①形状相同；②面积相等；③全等．上述说法中，正确的是 ．´的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则10.（2024春•即墨区期中）如图，在22Ð+Ð= °．1211.（2024春•济南期中）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则123Ð+Ð+Ð= ．12.（2024春•河东区校级月考）利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，点I、点G是矩形ABCD对角线AC上的两点，四边形EBFG和四边形HIJD是两个全等的正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若矩形ABCD的周长是40，面积是88，则NQ= ．Ð+Ð的值为 ．13.（2023秋•桓台县期中）如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则12+= 度．14.（2023•槐荫区模拟）如图，在44´的正方形网格中，求a b。

知能提升作业（二十四）6 实数第1课时（30分钟50分）一、选择题(每小题4分，共12分)1.在实数，，π中，分数的个数是( )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个2.和数轴上的点一一对应的是( )(A)整数(B)有理数(C)无理数(D)实数3.如图所示，在数轴上的-和两点之间表示整数的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个二、填空题(每小题4分，共12分)4.如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则a、b的大小关系为________.5.因为=，1<<2，所以的整数部分为1；因为=，2<<3，所以的整数部分为2；因为=，3<<4，所以的整数部分为3…依次类推，我们不难发现(n为正整数)的整数部分为________.6.已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|2c-a|+|c-b|-|a+b|-|a+c-b|=________.三、解答题(共26分)7.(7分)已知a，b互为相反数，|c|=8，求4(a+b)(a-b)-.8.(9分)求出下列各数的相反数、倒数和绝对值.(1)-30；(2)1-.【拓展延伸】9.(10分)阅读下面的文字，解答问题.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用-1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分. 请解答：已知10+的整数部分为x，小数部分为y，求x-y的相反数.答案解析1.【解析】选C.，π都是无理数，只有是分数.2.【解析】选D.数轴上的任意一点都可以表示一个实数，反之，任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，因此，数轴上的点与实数是一一对应的.3.【解析】选D.因为-2<-<-1，2<<3，所以大于-且小于的整数为-1、0、1、2，共4个整数.4.【解析】A点位于B点左侧，所以a<b.答案：a<b5.【解析】因为的整数部分为1，的整数部分为2，的整数部分为3，…，所以(n为正整数)的整数部分为n.答案：n6.【解析】根据数轴可知：b>a>c，|c|>|b|>|a|，所以2c-a<0，c-b<0，a+b>0，a+c-b<0，所以|2c-a|+|c-b|-|a+b|-|a+c-b|=-2c+a-c+b-a-b+a+c-b=a-b-2c.答案：a-b-2c7.【解析】由a，b互为相反数，可知a+b=0，又因为|c|=8，则c=±8.当c=8时，=2，则有4(a+b)(a-b)-=0-2=-2；当c=-8时，=-2，则有4(a+b)(a-b)-=0-(-2)=2.8.【解析】(1)因为=，所以-30=-30=-，所以-30的相反数是，倒数是-，绝对值是.(2)1-的相反数是-(1-)=-1，倒数是，绝对值是|1-|=-1.9.【解析】因为1<<2，所以11<10+<12. 所以x=11，y=10+-11=-1，所以x-y=11-(-1)=12-，所以x-y的相反数为-12.。

初中数学鲁教版七年级上册第一章《三角形》1.2图形的全等同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.在下列每组图形中，是全等形的是（）。

A. B. C. D.2.下列说法：①能够重合的两个图形一定是全等图形；②两个全等图形的面积一定相等；③两个面积相等的图形一定是全等图形；④两个周长相等的图形一定是全等图形。

这些说法中正确的是（）。

A.①②B.②③④C.①②④D.①②③④3.如图，将边长分别为10cm和4cm的矩形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片．裁剪线与矩形较长边所夹的锐角是45°，则梯形纸片中较短的底边长为（）。

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm4.下列说法不正确的是（）。

A.如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B.面积相等的两个图形是全等图形C.图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关D.全等三角形的对应边相等，对应角相等5.下列说法正确的是（）。

①用一张像纸冲洗出来的10张1寸像片是全等形；②我国国旗上的4颗小五角星是全等形；③所有的正方形是全等形；④全等形的面积一定相等，⑤周长相等的两个三角形全等．A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为（）。

A.30°B.45°C.60°D.90°7.下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）。

A. B. C. D.（示例图形）8.如图，△ABC与△CDA是全等三角形，则一定是一组对应边的是（）。

A.AB和DCB.AC和CAC.AD和CBD.AD和DC9.如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（）。

A.形状大小均相同B.形状相同，但大小不同C.大小相同，但形状不同D.形状大小均不相同10.有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=α，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，所剪下的三角形纸片不一定是全等图形的是（）。

4.4 估算◆实数比较大小：（1）若120a a a £<<<<；（2）若12a a a <<<<.◆估算：根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a1.4141.7322.236．题型一 实数比较大小1.（2024•东昌府区校级三模）下列各数中，绝对值最小的数是( )A ．10-B ．12-C ．1D2.（2024春•宁津县校级月考）已知01a <<2a ，1a 之间的大小关系为( )A ．21a a >>B 21a a >>C ．21a a >>D ．21a a>>3.（2024春•潍城区期末）下列各数中，最大的是( )A B C D ．324.（2024•泰山区校级一模）在3，0，2-，四个数中，最小的数是( )A ．3B ．0C ．2-D ．5.（2024春•p ，0，2-中，最小的数是( )A B ．p C ．0D ．2-6.（2024•张店区二模）在2-，0这四个数中，最小的数是( )A ．2-B ．C ．0D 7.（2024•市中区一模）下列实数中，最大的数是( )A ．1-B ．0C ．2D ．p8.（2024•滕州市二模）下列四个数中，绝对值最大的实数是( )A ．3B ．pC ．2-D ．09.（2024•威海）下列各数中，最小的数是( )A ．2-B ．(2)--C ．12-D ．10.（2024•山东）下列实数中，平方最大的数是( )A ．3B ．12C ．1-D ．2-11.（2024•任城区校级四模）下列四个数中，最小的数是( )A ．0B ．C ．(2)--D ．|1|-12.（2024•东营区校级模拟）下列四个数中，绝对值最大的是( )A ．B ．p -C ．3.14D ．013.（2024•泗水县二模）下列实数中，最小的数是( )A ．23B ．2-C ．D ．014.（2024•市北区校级二模）下列四个数中，最大的数是( )A ．1-B ．3-C ．2-D ．15.（2024春•兖州区月考）在实数0、4-、p -、中，最小的数是( )A ．0B ．4-C ．p -D ．16.（2024•山亭区一模）在实数：0(5)-，，15-，|5|-中，最小的数是( )A ．0(5)-B ．C ．15-D ．|5|-17.（2024春• 9．（填“>”、“ <”或“=” )18.（2023秋• 1.5．（用“>”“ <”“ =”填空）19.（2024春•新罗区月考）比较大小： ．（填“>、<、或=” )20.（2024春•张店区期末）比较大小：（填“>”、“ <”或“=” )．21.（2024春• 4.5（填“>”，“ <”或“=” )．22.（2024春•，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为227 227（填“>”或“<” )．23.（2024•河东区二模）比较大小：．题型二 估算无理数的值1.（2024春•1+的值在( )A ．3和4之间B ．4和5之间C ．5和6之间D ．6和7之间2.（2024春•1-的值在( )A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间3.（2024•( )A ．在4和5之间B ．在5和6之间C ．在6和7之间D ．在7和8之间4.（2024•滨州二模）已知3,a a =介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是( )A ．12a <<B ．23a <<C ．34a <<D ．45a <<5.（2024春•( )A ．2B ．3C ．4D ．56.（2024春•的值是在( )A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间7.（2023秋•( )A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间8.（2024春•汶上县期末）若m ，n 为连续整数，m n <<．则mn 的值是( )A ．6B ．12C ．20D ．429.（2023秋•任城区校级期末）若a b <<，且a 、b 是两个连续的整数，则()a b -的值为 ．10.（2024•历城区二模）若1a a -<<，且a 为整数，则a 的值是 ．题型三 确定无理数的整数部分与小数部分1.（2024春•的整数部分用a 表示，小数部分用b 表示，4的整数部分用c 表示，则a b c ++值为( )A ．2+B ．2-C ．2D ．12.（2024•枣庄一模）定义：不大于实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，例如[3.6]3,[2==-，按此规定，若13[]12x -=-，则x 的取值范围为( )A ．113x <…B ．113x <…C ．315x <…D ．513x <…3.（2024春•乐陵市校级月考）若6-的整数部分为x ，小数部分为y ，则2x y +的值是 ．4.（2024春•的小数部分是m n ，则(1)n m +的值是 ．5.（2024春•a =，b 是a 的小数部分，则a b -= ．6.（2024春•宁津县校级月考）（1）已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的平方根是4±，c 的整数部分，求2a b c +-的平方根．（2）已知225(1)4x +=，求x 的值．7.（2024春•沾化区校级月考）（1）已知52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 的整数部分，求3a b c -+的平方根．（2）一个正数x 的平方根分别是25a -和21a +的算术平方根．。

3.2 一定是直角三角形吗？◆勾股定理逆定理的定义：如果三角形的三边长满足222a b c += ，那么这个三角形是直角三角形．◆勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a 2+b 2=c 2中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数．题型一利用勾股定理的逆定理判定直角三角形1.（2024春•长清区期末）在ABC D 中，满足下面的条件时，ABC D 不是直角三角形的是( )A ．35A Ð=°，55B Ð=°B ．8AB =，15AC =，17BC =C ．::3:4:5AB AC BC =D ．::3:4:5A B C ÐÐÐ=2.（2022秋•市中区期中）满足下列条件的ABC D 不是直角三角形的是( )A ．1BC =，2AC =，AB =B ．::3:4:5BC AC AB =C ．A B C Ð+Ð=ÐD ．::3:4:5A B C ÐÐÐ=3.（2024春•天桥区期末）在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是( )A ．3a =，4b =，5c =B ．8a =，6b =，10c =C ．15a =，8b =，17c =D ．13a =，14b =，15c =4.（2024春•临沭县月考）下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是( )A B ．6，7，8C ．8，25，27D ．7，25，245.（2023秋•胶州市校级月考）下列各组数中，以a ，b ，c 为边长的三角形不是直角三角形的是( )A ． 1.5a =，2b =，3c =B ．7a =，24b =，25c =C ．6a =，8b =，10c =D ．9a =，40b =，41c =6.（2024春•东港区校级月考）下列条件中，不能判定ABC D 是直角三角形的是( )A ．AB CÐ=Ð-ÐB ．::7:24:25a b c =C ．2()()a b c b c =+-D ．::1:1:4A B C ÐÐÐ=7.（2024春•兖州区期末）以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是( )A ．2，2，3B ．4，5，7C ．5，12，13D ．10，10，108.（2023秋•崂山区期末）下列四组数，能组成直角三角形的一组是( )A ．2，3，4B ．4，5，6C ．3，6，8D ．5，12，139.（2024春•无棣县期中）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )A ．8，15，17B ．4，5，6C ．5，8，10D ．8，39，4010.（2024春•莘县期中）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345¼a 221-231-241-251-¼b 46810¼c 221+231+241+251+¼（1）请你分别观察a ，b ，c 与n 之间的关系，并用含自然数(1)n n >的代数式表示：a = ，b = ，c = ；（2）猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．题型二 利用勾股定理及其逆定理求面积1.（2023秋•城关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A 、B 、C 的面积依次为3、5、4，则正方形D 的面积为( )A ．15B ．12C ．27D ．452.（2023秋•开江县校级期末）如图：在四边形ABCD 中，90ABC Ð=°，3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，求四边形ABCD 的面积．题型三 利用勾股定理及其逆定理求线段、角度1.如图，在ABC D 中，8AB =，10BC =，6AC =，则BC 边上的高AD 为( )A ．8B ．9C ．245D ．102.（2023秋•商水县期末）如图，90BAC Ð=°，4AB =，4AC =，7BD =，9DC =，则DBA Ð= ．3.（2023秋•肥城市期末）如图，点A 、B 、C 分别在边长为1的正方形网格图顶点，则ABC Ð= ．题型四勾股数1.（2024春•庆云县月考）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；¼这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；¼若此类勾股数的勾为m m>，m为正整数），则弦是（结果用含m的式子表示）( )2(0A．21m-C．22m+B．21m+m+D．232.（2023秋•薛城区期末）下列各组数中，是勾股数的是( )A．0.3，0.4，0.5B．5，12，13C．9，16，25D．1，2，33.（2024春•嘉祥县期末）若8，15，x是一组勾股数，则x的值为 ．4.（2024•桓台县二模）观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；¼根据上面的规律，写出第8组勾股数： ．5.（2024春•高密市月考）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；¼，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；¼，若此类m m…，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．勾股数的勾为2(36.（2024春•阳谷县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．【应用举例】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；¼可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+；当勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+；当勾为7时，股124(491)2=-，弦125(491)2=+．请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾用(3n n …，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股= ，弦= ．【问题解决】（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果2a m =，21b m =-，21(c m m =+为大于1的整数），则a 、b 、c 为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2221(a a a ++为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？。

勾股定理时间：100分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.直角三角形的斜边为20cm，两直角边比为3：4，那这个直角三角形的周长为()A. 27cmB. 30cmC. 40cmD. 48cm2.如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为()A. 8B. 9C. 10D. 113.适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为()①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45∘；③a=2，b=2，c=2√2；④∠A=38∘，∠B=52∘．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是()A. 2，3，4B. 4，6，5C. 14，13，12D. 7，25，245.在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=( )A. 5B. 4C. 6D. 、106.在△ABC中，已知AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的周长为()A. 14B. 42C. 32D. 42或327.△ABC的三边为a、b、c且满足a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，则△ABC是()A. 等腰三角形或直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形8.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90∘，E是AB上一点，且DE⊥CE.若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是()A. CE=√3DEB. CE=√2DEC. CE=3DED. CE=2DE二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）9.如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为______ ．10.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______ 元钱．11.在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______ ．12.如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍______放入(填“能”或“不能”)．13.如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=______cm．14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，若AC=4，BC=3，则AD=______ ．15.如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠B=45∘，AC=2，则BC=______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）16.已知如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积．17.如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．18.公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=20米，∠A=45∘，∠B=∠C=120∘，请求出这块草地面积．19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60∘，∠C=45∘．(1)求∠BAC的度数．(2)若AC=2，求AB的长．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）20.如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90∘，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90∘后得到△CBQ．(1)求∠PCQ的度数；(2)当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小；(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A重合)，请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．21.如图，Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=3cm，BC=4cm.点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动.两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．(1)点Q的速度为______cm/s(用含x的代数式表示)．(2)求点P原来的速度．答案和解析【答案】1. D2. C3. C4. D5. C6. D7. A8. B9. 2410. 61211. 13或√11912. 能13. 414. 16515. √216. 解：连接AC，如图所示：∵∠B=90∘，∴△ABC为直角三角形，又AB=4，BC=3，∴根据勾股定理得：AC=√AB2+BC2=5，又AD=13，CD=12，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90∘，则S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×12×5=36．17. 解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，在△ABD和△ECD中{AD=DE∠ADB=∠EDC BD=DC，∴△ABD≌△ECD，∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90∘，由勾股定理得：CD=√DE2+CE2=√61，∴BC=2CD=2√61，答：BC的长是2√61．18. 解：连接BD，过C作CE⊥BD于E，如图所示：∵BC=DC=20，∠ABC=∠BCD=120∘，∴∠1=∠2=30∘，∴∠ABD=90∘．∴CE=12CD=10，∴BE=10√3，∵∠A=45∘，∴AB=BD=2BE=20√3，∴S四边形ABCD =S△ABD+S△BCD=12AB⋅BD+12BD⋅CE =12×20√3×20√3+12×20√3×10=(600+100√3)m2．19. 解：(1)∠BAC=180∘−60∘−45∘=75∘．(2)∵AC=2，∴AD=AC⋅sin∠C=2×sin45∘=√2；∴AB=ADsin∠B =√2sin60∘=2√63．20. 解：(1)由题意知，△ABP≌△CQB，∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45∘，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90∘，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90∘，∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．(2)当AB=4，AP：PC=1：3时，有AC=4√2，AP=√2，PC=3√2，∴PQ=√PC2+CQ2=2√5．(3)存在2PB2=PA2+PC2，由于△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ=√2PB，∵AP=CQ，∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2，故有2PB2=PA2+PC2．21. 43x【解析】1. 解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm，根据勾股定理得：(3x)2+(4x)2=202，整理得：x2=16，解得：x=4，∴两直角边分别为12cm，16cm，则这个直角三角形的周长为12+16+20=48cm．故选D根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2. 解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90∘；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90∘，即∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，{∠ABC=∠DEC=90∘∠ACB=∠CDEAC=DC，∴△ACB≌△DCE(AAS)，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即S b=S a+S c=1+9=10，∴b的面积为10，故选C．运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明△ACB≌△DCE．3. 解：①a=3，b=4，c=5，∵32+42=25=52，∴满足①的三角形为直角三角形；②a=6，∠A=45∘，只此两个条件不能断定三角形为直角三角形；③a=2，b=2，c=2√2，∵22+22=8=(2√2)2，∴满足③的三角形为直角三角形；④∵∠A=38∘，∠B=52∘，∴∠C=180∘−∠A−∠B=90∘，∴满足④的三角形为直角三角形．综上可知：满足①③④的三角形均为直角三角形．故选C．根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”或“有一个角是直角”，由此即可得出结论．本题考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，解题的关键是根据勾股定理的逆定理和直角三角形的定义验证四组条件.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方(或寻找三角形中是否有一个角为直角)”是关键．4. 解：∵72+242=49+576=625=252．∴如果这组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形．故选：D．根据勾股定理的逆定理，对四个选项中的各组数据分别进行计算，如果三角形的三条边符合a2+b2=c2，则可判断是直角三角形，否则就不是直角三角形．此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握.此题难度不大，属于基础题．5. 解：如图，∵图中的四边形为正方形，∴∠ABD=90∘，AB=DB，∴∠ABC+∠DBE=90∘，∵∠ABC+∠CAB=90∘，∴∠CAB=∠DBE，∵在△ABC和△BDE中，{∠ACB=∠BED ∠CAB=∠EBD AB=BD，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴AC=BE，∵DE2+BE2=BD2，∴ED2+AC2=BD2，∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．故选C．先根据正方形的性质得到∠ABD=90∘，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有ED2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1= AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4= 3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等.也考查了勾股定理和正方形的性质．6. 解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=5+9=14．∴△ABC的周长为：15+13+14=42；(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=9−5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．故选D．本题应分两种情况进行讨论：(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD 的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD 的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．7. 解：∵a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，∴(a−b)(a2+b2−c2)=0，∴a=b或a2+b2=c2．当只有a−b=0成立时，是等腰三角形．当只有a2+b2−c2=0成立时，是直角三角形．当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形．故选：A．因为a，b，c为三边，根据a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，可找到这三边的数量关系．本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及对三角形形状的掌握．8. 解：过点D作DH⊥BC，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，DH=AB=√CD2−CH2=√32−12=2√2，∵AD//BC，∠ABC=90∘，∴∠A=90∘，∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90∘，∵∠AED+∠ADE=90∘，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴ADBE =AEBC=DECE，设BE=x，则AE=2√2−x，即1x =2√2−x2，解得x=√2，∴ADBE =DECE=1√2，∴CE=√2DE，故选：B．过点D作DH⊥BC，利用勾股定理可得AB的长，利用相似三角形的判定定理可得△ADE∽△BEC，设BE=x，由相似三角形的性质可解得x，易得CE，DE的关系．本题主要考查了相似三角形的性质及判定，构建直角三角形，利用方程思想是解答此题的关键．9. 解：作辅助线：连接AB，因为△ABD是直角三角形，所以AB=√AD2+BD2=√32+42=5，因为52+122=132，所以△ABC是直角三角形，则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，即12×12×5−12×3×4=30−6=24．先连接AB，求出AB的长，再判断出△ABC的形状即可解答．巧妙构造辅助线，问题即迎刃而解.综合运用勾股定理及其逆定理．10. 解：由勾股定理，AC=√AB2−BC2=√132−52=12(m)．则地毯总长为12+5=17(m)，则地毯的总面积为17×2=34(平方米)，所以铺完这个楼道至少需要34×18=612元．故答案为：612．地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积．本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．11. 解：①若12为直角边，可得5为直角边，第三边为斜边，根据勾股定理得第三边为√52+122=13；②若12为斜边，5和第三边都为直角边，根据勾股定理得第三边为√122−52=√119，则第三边长为13或√119；故答案为：13或√119．分两种情况考虑：若12为直角边，可得出5也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边，即为第三边；若12为斜边，可得5和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边．此题主要考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．12. 解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900<5000，所以能放进去．故答案是：能．在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较．本题考查了勾股定理的应用.解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．13. 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理.关键要熟知等腰三角形的三线合一可得.先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=12BC=12×6=3cm，在直角△ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，所以，AD=√AB2−BD2=√52−32=4cm．故答案为4．14. 解：∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∵S△ABC=12×3×4=12×5×CD，∴CD=125．∴AD=√AC2−CD2=√16−14425=165，故答案为：165．根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD，然后再利用勾股定理计算出AD长即可．此题主要考查了直角三角形面积及勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．15. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵AC=2，∠A=30∘，∴CD=12AC=1，∵在Rt△BCD中，∠B=45∘，∴CD=BD=1，则BC=√CD2+BD2=√2，故答案为：√2．作CD⊥AB，由AC=2、∠A=30∘知CD=1，由∠B=45∘知CD=BD=1，最后由勾股定理可得答案．本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．16. 连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．17. 延长AD到E使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=90∘，根据勾股定理求出CD即可．本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转化成一个直角三角形，题型较好．18. 易得∠CDB的度数，连接BD可得一个等腰三角形和一个直角三角形，作出等腰三角形底边上的高，利用∠CDB的正弦值可得等腰三角形底边上的高，进而求得两个三角形的面积，让它们相加即可．本题考查解直角三角形在实际生活中的应用；把四边形问题整理为三角形问题是解决本题的突破点，作等腰三角形底边上的高，是常用的辅助性方法．19. (1)根据三角形的内角和是180∘，用180∘减去∠B、∠C的度数，求出∠BAC的度数是多少即可．(2)首先根据AC=2，AD=AC⋅sin∠C，求出AD的长度是多少；然后在Rt△ABD中，求出AB的长是多少即可．此题主要考查了勾股定理的应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．20. (1)由于∠PCB=∠BCQ=45∘，故有∠PCQ=90∘．(2)由等腰直角三角形的性质知，AC=4√2，根据已知条件，可求得AP，PC的值，再由勾股定理求得PQ的值．(3)由于△PBQ也是等腰直角三角形，故有PQ2=2PB2=PA2+PC2．本题利用了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理求解．21. 解：(1)设点Q的速度为ycm/s，由题意得3÷x=4÷y，∴y=43x，故答案为：43x；(2)AC=√AB2+BC2=√32+42=5，CD=5−1=4，在B点处首次相遇后，点P的运动速度为(x+2)cm/s，由题意得3+14x3=4+4x+2，解得：x=65(cm/s)，答：点P原来的速度为65cm/s．(1)设点Q的速度为ycm/s，根据题意得方程即可得到结论；(2)根据勾股定理得到AC=√AB2+BC2=√32+42=5，求得CD=5−1=4，列方程即可得到结论．本题考查了分式方程的应用，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．。

3.1 探索勾股定理◆勾股定理的定义：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：222a b c += ．题型一 应用勾股定理求线段长1.（2024春•嘉祥县期中）如图，在ABC D中，90C Ð=°，若1AC =，2AB =，则BC 的长是( )A ．1BC ．2D 【分析】直接根据勾股定理列式计算即可．【解答】解：90C Ð=°Q ，1AC =，2AB =，BC \===即BC 故选：B ．2.（2023秋•临淄区期末）如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，3BC =，4AC =，CD AB ^于点D ，E是AB 的中点，则DE 的长为( )A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.9【分析】由勾股定理求出AB 长，由三角形面积公式求出CD 长，由勾股定理求出BD 长，由线段中点定义求出BE 长，即可得到0.7DE BE BD =-=．【解答】解：90ACB Ð=°Q ，3BC =，4AC =，5AB \==，CD AB ^Q 于点D ，ABC \D 的面积1122BC CA AB CD =×=×，345CD \´=，2.4CD \=，1.8BD \==，E Q 是AB 的中点，1 2.52BE AB \==，0.7DE BE BD \=-=．故选：B ．题型二 应用勾股定理求面积1.（2024春•齐河县校级月考）如图，字母B 所代表的正方形的面积是( )A ．12 2cmB ．15 2cmC ．144 2cmD ．306 2cm 【分析】如图，利用勾股定理得到222a b c +=，再根据正方形的面积公式得到281a =，2225c =，则可计算出2144b =，从而得到字母B 所代表的正方形的面积．【解答】解：如图，222a b c +=Q ，而281a =，2225c =，222581144b \=-=，\字母B 所代表的正方形的面积为2144cm ．故选：C ．2.（2022秋•郓城县期中）如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当4AC =，2BC =时，则阴影部分的面积为( )A ．4B ．4pC ．8pD ．8【分析】根据勾股定理得到222AB AC BC =+，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：由勾股定理得，22220AB AC BC =+=，则阴影部分的面积2221111()((2222222AC BC AB AC BC p p p =´´+´´+´´-´´22211124()224AC BC AB p =´´+´´´+-4=，故选：A ．3.（2024春•济南期末）已知，如图长方形ABCD 中，3AB cm =，9AD cm =，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF ，则ABE D 的面积为( )A ．23cmB ．24cmC ．26cmD ．212cm 【分析】根据折叠的条件可得：BE DE =，在直角ABE D 中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，BE ED \=．9AD cm AE DE AE BE ==+=+Q ．9BE AE \=-，根据勾股定理可知222AB AE BE +=．解得4AE =．ABE \D 的面积为23426()cm ´¸=．故选：C ．4.（2023秋•阳信县期末）如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，若15AB =，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )A ．225B ．200C ．150D ．无法计算【分析】根据勾股定理得222215225AC BC AB +===，从而得出答案．【解答】解：在Rt ABC D 中，90C Ð=°，由勾股定理得，222215225AC BC AB +===，\正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为225，故选：A ．5.（2024春•沂水县校级月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是( )A ．50B ．16C ．25D ．41【分析】根据勾股定理求出2AB ，再根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得，222131225AB =-=，22225CD BD BC \+==，\阴影部分的面积252550=+=，故选：A ．6.如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是( )A．16B．25C．144D．169【分析】根据勾股定理解答即可．【解答】解：AB===，根据勾股定理得出：5\==，EF AB5\阴影部分面积是25，故选：B．题型三勾股定理的证明1.（2024春•历下区期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可．【解答】解：A ．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，222()2a b a ab b \+=++，以上公式为完全平方公式，A \选项不能说明勾股定理；B ．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，\21111()()2222ab ab c a b a b ++=++，整理得222a b c +=，B \选项可以证明勾股定理；C ．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，2214()2ab c a b \´+=+，整理得222a b c +=，C \选项可以证明勾股定理；D ．整个图形的面积等于边长为b 的正方形的面积+边长为a 的正方形面积2+个直角三角形的面积，也等于边长为c 的正方形面积2+个直角三角形的面积，222112222b a abc ab \++´=+´，整理得222a b c +=，D \选项可以证明勾股定理，故选：A ．2.（2024春•梁山县校级月考）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a ，较短直角边的长为b ，若7ab =，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为( )A ．16B ．8C ．4D ．2【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a b -，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a b -，Q 每一个直角三角形的面积为：1177222ab =´=，\214()302ab a b ´+-=，2()301416a b \-=-=，4a b \-=，故选：C ．3.（2024春•阳谷县校级月考）如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b ，较短直角边为a ，则a b +的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】根据勾股定理求出22a b +等于大正方形的面积，求出四个直角三角形的面积，得出ab 的值，求解．【解答】解：Q 大正方形的面积是29，小正方形的面积是9．\一个小三角形的面积是1(299)54´-=\152ab =．2229a b +=．222()249a b a b ab \+=++=．7a b \+=．故选：C ．4.（2024春•嘉祥县期中）如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值是( )A ．25B ．17C ．29D ．22【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．【解答】解：由条件可得22171175240a b ab a b ì+=ï-ï=íï>>ïî，即2217a b +=，212ab =，则222()2171229a b a b ab +=++=+=，所以2()29a b +=，故选：C ．5.（2023秋•邹平市期末）下面图形能够验证勾股定理的有( )A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题．【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积221()42c a b ab =+-´；化简得222c a b =+，可以证明勾股定理．第二个图形：中间小正方形的面积221()42b ac ab -=-´；化简得222a b c +=，可以证明勾股定理．第三个图形：梯形的面积2111()()2222a b a b ab c =++=´´+，化简得222a b c +=；可以证明勾股定理．故能够验证勾股定理的有3个．故选：D ．6.（2022春•兖州区期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．【解答】解：A 、大正方形的面积为：2c ；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：22214()2ab b a a b ´+-=+，222a b c \+=，故A 选项能证明勾股定理．B 、梯形的面积为：2211()()()22a b a b a b ab ×++=++；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：221112222ab c ab c ´+=+，\22211()22ab c a b ab +=++，222a b c \+=，故B 选项能证明勾股定理．C 、大正方形的面积为：2()a b +；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：221422ab c ab c ´+=+，22()2a b ab c \+=+，222a b c \+=，故C 选项能证明勾股定理．D 、大正方形的面积为：2()a b +；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：222a b ab ++，222()2a b a b ab \+=++，D \选项不能证明勾股定理．故选：D ．7.（2024春•齐河县校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，那么2()a b +的值为 ．【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到22a b +的值，由已知条件得到ab 的值，根据完全平方公式即可求解．【解答】解：Q 大正方形的面积为16，2216a b \+=，由题意143162ab ´+=，213ab =，222()2161329a b a ab b \+=++=+=，故答案为：29．8.（2015秋•滕州市校级期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为 ．【分析】分两种情况：①5为斜边时，由勾股定理求出另一直角边长为4，小正方形的边长431=-=，即可得出小正方形的面积；②3和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长2=，即可得出小正方形的面积；即可得出结果．【解答】解：分两种情况：①5为斜边时，由勾股定理得：另一直角边长4==，\小正方形的边长431=-=，\小正方形的面积211==；②3和5为两条直角边长时，小正方形的边长532=-=，\小正方形的面积224=；综上所述：小正方形的面积为1或4；故答案为：1或4．9.（2024春•河东区校级月考）阅读下列材料，并完成相应任务．教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a 、b 、c ，将它们拼成如图2的大正方形．（1）观察：图2中，大正方形的面积可以用2()a b +表示，也可以用含a 、b 、c 的代数式表示为 2142ab c ´+　，那么可以得到等式： ．整理后，得到a 、b 、c 之间的数量关系：222a b c +=，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边a 、b 与斜边c 所满足的关系式．（2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可）（3）应用：如图3，在直角三角形ABC 中，90C Ð=°，3AC =，4BC =，那么AB = ，点D 为射线BC 上一点，将ACD D 沿AD 所在直线翻折，点C 的对应点为点1C ，如果点1C 在射线BA 上，那么CD = ．（直接写出答案）【分析】（1）将正方形的面积表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即可用含a 、b 、c 的代数式表示出大正方形的面积；根据同一个图形用不同方法表示出其面积，面积不变即可得到等式；（2）此题的方法很多，这里只举一种例子即可，比如把两个直角三角形和一个等腰直角三角形组成一个梯形；（3）分两种情况：点D 在BC 上和点D 在BC 延长线上，并分别画出图形，在Rt BDC ¢D 中利用勾股定理列方程解出即可．【解答】解：（1）由图形可知：正方形的面积也可表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即2142ab c ´+，Q 用不同的方法表示同一个图形的面积，面积不变，221()42a b ab c \+=´+，故答案为：2142ab c ´+，221()42a b ab c +=´+；（2）答案不唯一，比如：（3）在直角三角形ABC 中，90C Ð=°，3AC =，4BC =，由勾股定理，得5AB ===，点D 为射线BC 上一点，分两种情况：①点D 在BC 上时，如图，设CD x =，由翻折可知C D x ¢=，4BD BC CD x =-=-，532BC AB AC AB AC ¢¢=-=-=-=，在Rt BDC ¢D 中，由勾股定理，得222BD BC DC ¢¢=+，即222(4)2x x -=+，解得32x =；②点D 在BC 的延长线上时，如图，设CD y =，由翻折可知C D y ¢=，4BD BC CD y =+=+，538BC AB AC AB AC ¢¢=+=+=+=，在Rt BDC ¢D 中，由勾股定理，得222BD BC DC ¢¢=+，即222(4)8y y +=+，解得6y =．故答案为：32或6．10.（2024春•兰山区校级月考）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a ，()b a b <，斜边长为c ．（1）探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②)．①小正方形的边长为c ，大正方形的边长为 ；②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式 ，整理得 ，从而验证勾股定理；（2）应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使BC 和CD 在一条直线上，连接AE ．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可；（2）利用等积法进行证明即可．【解答】解：（1）①由图和题意可知：大正方形的边长为a b +；故答案为：a b +；②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式221()42a b ab c +=´+，整理得222a b c +=；故答案为：221()42a b ab c +=´+，222a b c +=；（2）90BAC ACB Ð+Ð=°Q ，BAC ECD Ð=Ð，90ECD ACB \Ð+Ð=°，90ACE \Ð=°用两种不同的方法表示出梯形ABDE 的面积，可得：2111()()2222a b a b ab c ++=´+，22222a ab b ab c \++=+，222a b c \+=．11.（2024春•昌乐县期中）公元3世纪，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边a 、b 与斜边c 满足关系式222a b c +=．还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足222a b c +=，则这个三角形是直角三角形．（1）小明发现证明勾股定理的新方法：如图1，在正方形ACDE 边CD 上取点B ，连接AB ，得到Rt ACB D ，三边分别为a ，b ，c ，剪下ACB D 把它拼接到AEF D 的位置，如图2所示，请利用面积不变证明勾股定理．（2）一个零件的形状如图3，按规定这个零件中A Ð和C Ð都应是直角，小明测得这个零件各边尺寸（单位：)cm 如图③所示，这个零件符合要求吗？【分析】（1）连接BF ，由图1可得正方形ACDE 的面积为2b ，由图2可得四边形ABDF 的面积为三角形ABF 与三角形BDF 面积之和，再利用正方形ACDE 的面积与四边形ABDF 的面积相等即可证明；（2）利用反证法，根据勾股定理的逆定理验证A Ð，C Ð是否为直角即可判断这个零件是否符合要求．【解答】（1）证明：如图，连接BF ，AC b =Q ，\正方形ACDE 的面积为2b ，CD DE AC b ===Q ，BC a =，EF BC a ==，BD CD BC b a \=-=-，DF DE EF a b =+=+，90CAE Ð=°Q ，90BAC BAE \Ð+Ð=°，BAC EAE Ð=ÐQ ，90EAF BAE \Ð+Ð=°，BAF \D 为等腰直角三角形，\四边形ABDF 的面积为：2222()()()c b a a b c b a +-+=+-，Q 正方形ACDE 的面积与四边形ABDF 的面积相等，2222()b c b a \=+-，2222b c b a \=+-，222a b c \+=，222a b c \+=．（2）解：这个零件不符合要求．理由如下：连接BD ，如图，由勾股定理逆定理，知只有当22222BC DC AB AD BD +=+=时，A Ð和C Ð都是直角，22221520225400625BC DC +=+=+=Q ，222223852964593AB AD +=+=+=，且625593¹，2222BC DC AB AD \+¹+，所以A Ð和C Ð不可能都是直角．因此，这个零件不符合要求．12.（2024春•长清区期中）（1）计算：(2)()a b a b ++= ；（2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式：图2: ；图3: ；（3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系：做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，再做1个长分别为c 的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：222a b c +=．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即222a b c +=．（4）如图5，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD 是AB 边上高，4AC =，3BC =，求CD 的长度．【分析】（1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（2）根据图形的两种面积计算方法即可得出的答案；（3）在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和得出221()42a b c ab +=+´，然后化简即可求证；（4）先求出5AB =，再根据等面积法即可求得．【解答】解：（1）原式22222223a ab ab b a ab b =+++=++．故答案为：2223a ab b ++．（2）222()2a b a ab b -=-+，(a b + 22)()a b a b -=-，故答案为：222()2a b a ab b -=-+；(a b + 22)()a b a b -=-．（3）在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即221()42a b c ab +=+´，化简，得222a b c +=．（4）在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°Q ，\由勾股定理得222224325AB AC BC =+=+=5AB \=，CD AB^Q，\1122ABCS AC BC AB CDD=×=×，\431255 CD´==．。

21D CB AD CBA鲁教版初二上数学知识点梳理第一章 三角形⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义．⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；三角形 等腰三角形不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C_B _AD CB A③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.4．三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．5. 三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ;（三角形的内角和定理） (2) 直角三角形的两个锐角互余.6．三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性． 注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.7．三角形全等：全等形：能够完全重合的图形叫做全等形.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.图5图6图7图8三角形全等的判定方法：1. 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.4. 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）.⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理三角形全等的应用：测距离要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。