北京市丰台区2020届高三数学第二学期统一练习(二) 理(丰台二模)

丰台区2023-2024学年度第二学期综合练习（二）高三数学 2024.4本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。

1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，{}2,3B =，则()()U U C A C B =A.{}3B.{}1,2C.{}4,5D.{}1,2,32. 在复平面内，复数z 对应的点为(1,1)Z −，则z 的共轭复数z = A.1i + B.1i − C.1i −+ D.1i −−3. 已知数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，都有p q p q a a a +=，若1a =4a =A.2B.C.4D.4. 下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递增的是 A.1()||f x x =B.(22x x f x −=+C.()sin f x x =D.()tan f x x =5. 若,a b ∈R ，且a b >，则 A.221111a b <++ B.22a b ab > C.22a ab b >>D.2a ba b +>>6. 已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是 A.//αβ，m α⊥，n β⊥ B.//αβ，m α⊂，n β⊥ C.αβ⊥，m α⊥，//n βD.αβ⊥，m α⊂，//n β7. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+ππ(0,)22ωϕ>−<<的导函数是()f x '，如果函数()()y f x f x '=−的图象如右图所示，那么,ωϕ的值分别为A.1,0B.π1,4−C.π1,4D.π2,4−8. 已知曲线2:||1C y x =+与直线:l y kx b =+，那么下列结论正确的是 A.当1k =时，对于任意的b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有两个公共点 B.当1k =时，存在b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有三个公共点 C.当2k =时，对于任意的b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有两个公共点 D.当2k =时，存在b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有三个公共点9. 已知等差数列{}n α的公差为d ，首项1π(0,)2α∈，那么“πd =”是“集合{}*sin ,n S x x n α==∈N 恰有两个元素”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10. “用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”. 利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直. 图2是一个射灯投影的直观图，圆锥PO 的轴截面APB 是等边三角形，椭圆1O 所在平面为α，PB α⊥，则椭圆1O 的离心率为图1 图2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年北京市丰台区高三二模试卷 数 学 2020.06第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1． 集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（A ）4 （B ）6 （C ）7 （D ）82． 函数()f x =（A ）(02),（B ）[02],（C ）(0)(2)-∞+∞U ,,（D ）(0][2)-∞+∞U ,,3． 下列函数中，最小正周期为π的是（A ）1sin 2y x =（B ）1sin2y x =（C ）cos()4y x π=+（D ）12tan y x =4． 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则23a a +=（A ）3（B ）6（C ）7（D ）85． 设，a b 为非零向量,则“⊥a b ”是“+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6． 已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A（B ）2（C ）（D ）47． 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()f x（A ）是奇函数，且在定义域上是增函数 （B ）是奇函数，且在定义域上是减函数 （C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数 （D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（A ）233 （B ）43（C ）433（D ）239. 在△ABC 中，3AC =，7BC =，2AB =，则AB 边上的高等于（A ）23 （B ）33（C ）26 （D ）3210. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是 （A ）每场比赛的第一名得分a 为4 （B ）甲至少有一场比赛获得第二名 （C ）乙在四场比赛中没有获得过第二名 （D ）丙至少有一场比赛获得第三名第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知复数2i z =-，则z = ．12. 已知直线10x y ++=的倾斜角为α，则cos α= ．13. 双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为 .14． 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 ┈ 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 ┈干支 纪年甲子年乙丑年丙 寅年丁 卯年戊 辰年己 巳年庚 午年辛 未年壬 申年癸 酉年甲 戌年乙 亥年丙子年┈ 纪年法，2049年是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.15．已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）；②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）如图，四边形ABCD 为正方形， MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB ⊥，1MA =，2AB PB ==.（Ⅰ）求证：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值.17.（本小题共14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520=S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅰ）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从Ⅰ2q =；Ⅰ12q =；Ⅰ1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查. 求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X 为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导. 规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.19.（本小题共15分）已知函数1()exx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 的面积为4. 过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围.21.（本小题共14分）已知无穷集合,A B ,且,A B ⊆⊆N N ，记{},A B a b a A b B +=+∈∈，定义：满足*()A B ⊆+N 时，则称集合,A B 互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合{}21,,A a a m m ==+∈N {}2,B b b n n ==∈N .判断2019和2020是否属于集合A B +，并说明理由； （Ⅱ）设集合{}2422024222+2+2++2++2,0,1;0,1,,,N ,i s i s i A x x i s s εεεεεε==⨯⨯⨯⨯==∈L L L {}132121*132121212+2++2++2,0,11,,,N i s i s i B x x i s s εεεεε-----==⨯⨯⨯⨯==∈L L L ；.(ⅰ)求证：集合,A B 互为“完美加法补集”；（ⅱ）记()A n 和()B n 分别表示集合,A B 中不大于*()n n ∈N 的元素个数，写出满足()A n ()1B n n =+的元素n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2020北京丰台高三二模数学参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCDBCDBABC11．5 12．22-13．2y x =±14. 己卯；60 15. ②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为MA BC ⊥ ，MA //PB ，所以PB BC ⊥，因为AB PB ⊥，AB BC B =I ，所以PB ⊥平面ABCD . ………5分 （Ⅱ）因为PB ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PB AB ⊥，PB AD ⊥. 因为四边形ABCD 为正方形， 所以AB BC ⊥.如图建立空间直角坐标系B xyz -，则(002)P ,,，(201)M ,,，(020)C ,,，(220)D ,,，(022)PC =-u u u r,,，(222)PD =-u u u r ,,，(201)PM =-u u u r,,.设平面PDM 的法向量为()x y z =,,u ，则00PD PM ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,u u 即222020x y z x z +-=-=⎧⎨⎩,. 令2z =，则1x =，1y =-.于是(112)=,,u . 平面PDM 的法向量为(112)=,,u . 设直线PC 与平面PDM 所成的角为θ，所以sin cos 6PC PC PC θ⋅=<>==u u u ru u u ru u u r,uu u. 所以直线PC 与平面PDM所成角的正弦值为6. ………14分17.（本小题共14分）解： （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+，且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =.所以1n a n =+. ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =.若选择条件①2q =，可得41312b b q==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--1(3)1222n n n -+=-+. ………14分若选择条件②12q =，可得41332b b q ==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--6(3)2642n n n -+=+-.若选择条件③1q =-，可得4134b b q==-，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--(3)+2(1(1))2n n n +=--.18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S ，参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共246C =种，所以242104322()109152C P S C ⨯===⨯. ………4分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.02462101(0)3C C P X C ⋅===，11462108(1)15C C P X C ⋅===，20462102(2)15C C P X C ⋅===.X 的分布列为：()012315155E X =⨯+⨯+⨯=. ………11分（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化． 答案示例2：无法确定．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化． ………14分19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为1()exx f x +=，定义域R ，所以'()exxf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值. ……5分（Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g xf x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()eeex xxxx g x x x x --+=-=.由0x >得e 10x->，于是'()0g x >，故函数()g x 是[0)∞,+上的增函数.所以当(0)x ∈∞,+时，()(0)0g x g >=，即21()12f x x >-+. ………9分（Ⅲ）当12a ≤-时，由（Ⅱ）知221()121f x x ax >-+≥+，满足题意.令221()()11e xx h x f x ax ax +=--=--，1'()2(2)eexxx x ax x a h =--=-+.当102a -<<时，若1(0ln())2x a∈-，，'()0h x <，则()h x 在1[0ln()]2a-，上是减函数.所以1(0ln())2x a∈-，时，()(0)0h x h <=，不合题意.当0a ≥时'()0h x <，则()h x 在(0)∞,+上是减函数， 所以()(0)0h x h <=，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围1(]2-∞-,. ………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C ab+=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB 的面积为4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=． ………3分（Ⅱ) 设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,．联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k的取值范围是)2+∞． ………7分（Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,, 所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--.令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,.同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,.所以11(01)1y PS x -=--u u r,,22(01)1y PT x -=--u u u r,,(01)PO =-u u u r,.由,,PO PT PO PS μλ==可得：12121111y y x x λμ---=--=---,，所以111111111y kx x x λ+=+=+--．同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121k x x x x k k +=-=++,，所以 121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)1 21k k k k k kk k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)． ………14分21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）由21a m =+，2b n =得2)1a b m n +=++（是奇数， 当210091a =⨯+，20=0b =⨯时，2019a b +=，所以2019A B ∈+，2020A B ∉+. ………4分（Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数p 可表示为唯一一数组012i k εεεεε（，，，，，，）L L ，其中0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ， 使得1210121+2+2++2+2++20101i i k i i k i p i k k εεεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯==∈N ,;,,,,，L L L ，由于12112101210+2+2++2+2++22+2++2++221i i k i k k i i k εεεεεε+++≤⨯⨯⨯⨯⨯≤=-L L L L这种形式的自然数p 至多有12k +个，且最大数不超过121k +-.由0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ，每个i ε都有两种可能， 所以这种形式的自然数p 共有1122222k k ++⨯⨯⨯=L 14444244443个个结果.下证1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L121121+2+2++2+2++2i i k i i kεεεεεε++''''''=⨯⨯⨯⨯⨯L L 其中010101i i i k k εε===∈'N ,；,；,,,,L ，则i i εε'= 假设存在i i εε'≠中，取i 最大数为j ，则12112101210121(+2+2++2+2++2)+2+2++2+2++2()i i k i i k i i k i i k εεεεεεεεεεεε++++''''''⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-L L L L1001111001111110111111=()+()2++()2()2()+()2++()2()2(+2++2))2(122)1j j j i j j j j j jj j j j j j j εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε-------'''--⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯≥-+++=L L L L所以01≥ 不可能.综上，任意正整数p 可唯一表示为1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L 2130213(+2)(2+2+)εεεε=⨯++⨯⨯L L显然2130213(+2)(2+2+)A B εεεε⨯+∈⨯⨯∈,L L ，满足*()A B ⊆+N ，所以集合,A B 互为“完美加法补集”. ………11分（ⅱ）{}*21k n n k =-∈N,. ………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

2020-2021北京丰台区第二中学高三数学下期末模拟试题及答案一、选择题1．若43i z =+，则zz=（ ） A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 2．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 3．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③4．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．15B ．20C ．30D ．355．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．176．函数32()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞C ．(,0)-∞D ．(0,2)7．函数()sin(2)2f x x π=-的图象与函数()g x 的图象关于直线8x π=对称，则关于函数()y g x =以下说法正确的是（ ）A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 8．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．9．设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A ．3-B ．3 C ．12D ．12-11．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v 则·BC OM u u u vu u u u v的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．012．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A ．A 与BB ．B 与CC ．A 与DD ．C 与D二、填空题13．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．15．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则12m n+的最小值为 16．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．17．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45︒，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30°，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则ACB =∠______________.18．若函数2()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________．19．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．20．设函数21()ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.三、解答题21．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程. 22．在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．23．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值. 24．已知函数()()2f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()1求()f x 的单调区间；()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．25．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，5π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． 26．已知0,0a b >>. (1)211a b≥+ ；(2)若a b >，且2ab =，求证：224a b a b+≥-．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【详解】 由题意可得：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A3．A解析：A 【解析】 【分析】分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解. 【详解】由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A. 【点睛】本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数. 【详解】根据二项式定理展开式通项为1C r n r rr n T a b -+=()()()66622111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭则()61x +展开式的通项为16r rr T C x +=则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭ 则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.5．B解析：B 【解析】 【分析】计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【详解】由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=， 样本在[)20,40的数据个数为459+=，因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915-=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.6．D解析：D 【解析】 【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-<⇒=+∴=<-<Q ，所以函数的单调减区间为(0,2)，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.7．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断. 【详解】设点P(x,y)是函数()y g x =图像上的任意一点，则点Q (x ,)4y π-+在函数y=f(x)的图像上，sin[2(-x+)]sin 2()42y x g x ππ=-=-=，对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是()012g π=≠±，所以图象不关于直线2x π=对称，所以该选项是错误的；对于选项B,()()g x g x -=-，所以函数g(x)是奇函数，解222+22k x k ππππ-≤≤得+44k x k ππππ-≤≤，)k Z ∈（,所以函数在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以该选项是正确的； 对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为3[+,]()44k k k Z ππππ+∈,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；对于选项D,函数的周期为π，解2,,2k x k x ππ=∴=所以函数图像的对称中心为,0)(k Z)2k π∈（,所以该选项是错误的. 故选：B 【点睛】本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．D解析：D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】当a=0时，如果b=0，此时0a bi +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a bi +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义10．B解析：B 【解析】 【分析】由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2ϕπ<求得ϕ的值，得到函数解析式即可求最值． 【详解】函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后， 得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得3πφk π-+=，k z ∈， ∵||2ϕπ<，∴3πϕ=，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，得42,333πππx ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴21,32πsin x ⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，∴函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2， 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．11．C解析：C 【解析】分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN ，由2,2BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点，则()33BC MN ON OM ==-u u u v u u u u v u u u v u u u u v，由题意可知：2211OM ==u u u u v ，12cos1201OM ON ou u u u v u u u v ⋅=⨯⨯=-，结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u u v .本题选择C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．12．C解析：C 【解析】分析：利用互斥事件、对立事件的概念直接求解判断即可. 详解：在A 中，A 与B 是对立事件，故不正确；在B 中，B 与C 能同时发生，不是互斥事件，所以不正确；在C 中，A 与D 两个事件不能同时发生，但能同时不发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的；在D 中，C 与D 能同时发生，不是互斥事件，所以是错误的. 综上所述，故选C.点睛：本题主要考查了命题的真假判定，属于基础题，解答时要认真审题，注意互斥事件与对立事件的定义的合理运用，同时牢记互斥事件和对立事件的基本概念是解答的基础.二、填空题13．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．14．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解.【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >， 综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题. 15．8【解析】∵函数（且）的图象恒过定点A ∴当时∴又点A 在一次函数的图象上其中∴又∴∴（当且仅当时取）故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值其失误解析：8【解析】∵函数log 11a y x =-+（）（0a ＞，且1a ≠）的图象恒过定点A ， ∴当2x =时，1y =，∴()21A ，，又点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0mn >，∴21m n +=，又0mn >，∴0m >，0n >，∴()12124 248n m m n m n m n m n+=+⋅+=++≥（），（当且仅当122n m ==时取“=”），故答案为8. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．16．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间 解析：6π-. 【解析】 分析：由对称轴得ππ()6k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT ω=；(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.17．【解析】【分析】作出立体图利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长再利用余弦定理求解即可【详解】如图所示在中∵∴在中∵∴在中∴故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题依据 解析：30°【解析】【分析】作出立体图,利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长,再利用余弦定理求解cos ACB ∠即可.【详解】如图所示,在Rt ACD V 中,∵10,45AC m DAC =∠=︒,∴10DC m =在Rt DCB △中,∵30DBC ∠=︒,∴BC =.在ABC V 中,2221010cosACB +-∠==30ACB ∠=︒.故答案为：30°【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题,依据题意正确画出立体图形,确定边的关系再利用余弦定理求解即可.属于基础题.18．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的 解析：18【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结果.【详解】Q 函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增()210a f x x x '∴=-+≥在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立 令()22g x x x =-，0x > 根据二次函数的性质可知：当14x =时， ()max 18g x = 18a ∴≥，故实数a 的最小值是18本题正确结果：18【点睛】 本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.19．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所 解析：1【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．【详解】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h ==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h ⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ，所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1．【点睛】本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为1V 3S h =n 底，本题是中档题． 20．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：【解析】试题分析：()f x 的定义域为()()10,,'f x ax b x +∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x+-=.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1x a=-.因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a->，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 三、解答题21．（Ⅰ）22413y x +=， 24y x =.（Ⅱ）330x +-=，或330x -=. 【解析】 试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为12，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △的面积为2m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =. （Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点21,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得()223460m y my ++=，解得0y =，或2634m y m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭.由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可学*科.网得直线BQ 的方程为()222623*********m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以222223613232m m AD m m -=-=++.又因为APD V ，故22162232m m m ⨯⨯=+，整理得2320m -+=，解得3m =3m =±.所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=.【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.22．(1) ∠A =π3 (2) AC 边上的高为33 【解析】 分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =2431cos B -=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A =43，∴sin A =3．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3． （2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =311432727⎛⎫⨯-+⨯ ⎪⎝⎭=33． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337⨯=，∴AC 边上的高为332．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.23．（1）()2239x y -+=（2）27【解析】分析：（1）将6cos ρθ=两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出PA PB +． 详解： （1）由26cos ,6cos ρθρρθ==得，化为直角坐标方程为226x y x +=， 即()2239x y -+=（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得()22cos sin 70t t αα+--= 因为0V >，可设12,t t 是上述方程的两根，()12122cos sin 7t t t t αα⎧+=--⎨⋅=-⎩所以 又因为（2，1）为直线所过定点，()1212212124324sin232427PA PB t t t t t t t t α∴+=+=-=+-⋅=-≥-=所以27PA PB 的最小值为∴+点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题．24．（1）见解析； （2）2e 2e a 2e 2-≥-. 【解析】【分析】()1求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求()f x 的单调区间；()2若()0f x ≤在区间[]1,e 上恒成立，则只需求出()f x 的最大值即可，求实数a 的取值范围．【详解】()()()21f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>Q ．()()()()22x 2a 1x 2a 2x 1x a f'x (x 0)x x-++--∴==>， 由得1x a =，2x 1=，当0a 1<<时，在()x 0,a ∈或()x 1,∞∈+时， 在()x a,1∈时，()f x ∴的单调增区间是()0,a 和()1,∞+，单调减区间是()a,1；当a 1=时，在()x 0,∞∈+时，()f x ∴的单调增区间是()0,∞+；当a 1>时，在()x 0,1∈或()x a,∞∈+时，在()x 1,a ∈时．()f x ∴的单调增区间是()0,1和()a,∞+，单调减区间是()1,a ．()2由()1可知()f x 在区间[]1,e 上只可能有极小值点，()f x ∴在区间[]1,e 上的最大值在区间的端点处取到，即有()()f 112a 10=-+≤且()()2f e e 2a 1e 2a 0=-++≤， 解得2e 2e a 2e 2-≥-． 即实数a 的取值范围是2e 2e a 2e 2-≥-． 【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．25．（1）340x y -+=；（2210 【解析】【分析】 （1）求得()04A ，，()22B --，，问题得解． （2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解．【详解】（1）分别将()π42A ，，()5π224B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．又直线A B 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r .又圆心到直线A B 22210431=+r 的值为2105． 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题．26．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1) 已知0,0a b >>直接对11a b+使用均值不等式；(2)不等式分母为-a b ，通过降次构造-a b ，再使用均值不等式．【详解】证明：(1)2 “”11a b a b ≤===+时取； (2)()()()2222244 4a b ab a b a b a b a b a b a b a b -+-++===-+≥=----，当且仅当11a b ==-+或11a b ==--【点睛】“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式．。

北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）(二模)数学试题一、单选题(★) 1. 集合的子集个数为（）A．4B．6C．7D．8(★★) 2. 函数的定义域为（）A．B．C．D．(★★) 3. 下列函数中，最小正周期为的是（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知数列的前 n项和，则（）A．3B．6C．7D．8(★★) 5. 设，为非零向量，则“ ”是“ ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 6. 已知抛物线 M：的焦点与双曲线 N：的一个焦点重合，则（）A．B．2C．D．4(★★) 7. 已知函数，则（）A．是奇函数，且在定义域上是增函数B．是奇函数，且在定义域上是减函数C．是偶函数，且在区间上是增函数D．是偶函数，且在区间上是减函数(★★★) 8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 在中，，，，则边上的高等于（）A．B．C．D．(★★★) 10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为 a， b， c（，且a， b，）；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（）A．每场比赛的第一名得分a为4B．甲至少有一场比赛获得第二名C．乙在四场比赛中没有获得过第二名D．丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题(★★) 11. 已知复数，则______.(★★) 12. 已知直线的倾斜角为，则______.(★★) 13. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_______. (★★★★) 14. 已知集合.由集合 P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：①“水滴”图形与 y轴相交，最高点记为 A，则点 A的坐标为；②在集合 P中任取一点 M，则 M到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与 y轴相交，最高点和最低点分别记为 C， D，则；④白色“水滴”图形的面积是.其中正确的有______.三、双空题(★★) 15. 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是______年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.四、解答题(★★★) 16. 如图，四边形为正方形，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.(★★★) 17. 已知等差数列的前 n项和为，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，且公比为 q，从① ；② ；③ 这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前 n项和.(★★★) 18. 为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记 X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求 X的分布列和数学期望；（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.(★★★★) 19. 已知函数.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）当时，若曲线在曲线的上方，求实数 a的取值范围.(★★★★) 20. 已知椭圆 C：（）经过，两点. O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为 k（）的直线 l与椭圆 C有两个不同的交点M， N，且直线，分别与 y轴交于点 S， T.（Ⅰ）求椭圆 C的方程；（Ⅱ）求直线 l的斜率 k的取值范围；（Ⅲ）设，，求的取值范围.(★★★★★) 21. 已知无穷集合 A， B，且，，记，定义：满足时，则称集合 A， B互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合，.判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；（Ⅱ）设集合，.（ⅰ）求证：集合 A， B互为“完美加法补集”；（ⅱ）记和分别表示集合 A， B中不大于 n（）的元素个数，写出满足的元素 n的集合.（只需写出结果，不需要证明）。

高考北京市丰台区高三数学统一练习二本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时刻120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题 ：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1) 设x x f →：是集合A 到集合B 的映射，若A ＝｛－2，0，2｝，则B A 可能是(A) ｛0｝ (B) ｛2｝ (C) ｛0，2｝ (D) ｛－2，0｝ (2) 设等于－则) tan(,53sin ),,2(απαππα=∈(A)43 (B) －43 (C) 34 (D) －34 (3) 连结椭圆1)1(a y ax 222>=+短轴的一个顶点与两个焦点组成正三角形,则椭圆的准线方程为 (A) 334x ±= (B) 332x ±= (C) 334y ±= (D) 332y ±= (4) 函数的最小值是－sinxcosx x sin f(x)2= (A) 0 (B)1 (C)2221+(D) 2221- (5) 在等差数列{}n a 中，若 a 31a , 120a a a a a 1191210864－则=++++的值为 (A)17 (B)16 (C)15 (D)14(6) 某校学生会由高一4名学生、高二5名学生、高三4名学生组成，现从中选出2名学生，参加一次活动，则此2名学生不属于同一个年级的选出方法有 (A)640种 (B)56种 (C)40种 (D)36种(7) 当2a 2)2(x x <∈时，，－，则a 的取值范畴是 (A)（1，2） (B)（22，1） (C) （22，1） （1，2） (D) （0，1） （1，2） (8) 如图，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则直线B 1C 与平面AB 1D 1所成的角是 (A)2π(B)33arccos(C)4π(D)63arccos第Ⅱ卷（ 共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直截了当写在试卷上。

丰台区 2020 年高三年级第二学期一致练习（二）数学（文科）一、本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．2- a}，则a= 1．若2∈{1，a，a(A) - 1 (B) 0 (C) 2 (D) 2 或-12．以下四个命题中，假命题为x(A) x R ，2 0 (B) x R ， 2 3 1 0x x(C) x R ，l g x 0 (D) x R ，x 12 23．已知a>0 且a≠1，函数y log a x ，xy a 在同一坐标系中的图象可能是(A) (B) (C) (D)3 4．已知数列{ a n} 中，a1 ，51a 1 (n 2)nan 1，则a2011(A) 12(B)23(C)35(D)52对于数列的观点是几次考试中第一次考，要注意惹起关注。

碰到这样既不可等差又不可等比的数列，求a，只好是周期性。

2011uu u r uu u r5．以下图，已知AB 2BCuu u r r，OA au u u r r，OB bu u u r r，OC c ，则以下等 C式中建立的是(A) r r r3 1c b a2 2 r r r(C) c 2a brrr(B)c2ba(D)r r r3 1c a b2 2ABO这样的问题是学生的难点和易错点，学生的问题常常是不知从何下手。

讲评时可再选一填空题进行复练。

6．已知函数y A sin( x ) 的图象以下图，则该函数的分析式可能是(A)(B)4 4 1y sin( x )5 5 53 1y sin(2 x )2 5y1(C)(D)4 4 1y sin( x )5 5 54 1y sin(2 x )5 5O 2- 1x此题就是观察正弦函数的图象变换。

最好采纳清除法。

观察的要点是A，ω，φ每一个字母的意义。

7．已知x，y 的取值以下表：x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7 从散点图能够看出y 与x 线性有关，且回归方程为$y0.95x a，则a(A) 3.25 (B) 2.6 (C) 2.2 (D) 0此题就是观察回归方程过定点(x, y) 。

2020年北京市丰台区高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x∈Z|x2≤4}，集合B={x|-1＜x＜3}，则A∩B=（）A. {0，1，2}B. {-1，0，1，2}C. {-1，0，1，2，3}D. {x|-1＜x≤2}2.若x，y满足则x-y的最大值为（）A. 3B. 0C. -1D. -33.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D. 44.已知i是虚数单位，a∈R，则“a=1”是“（a+i）2为纯虚数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[0，2]，那么输出的y值不可能为（）A. B. 0 C. 1 D. 26.已知函数的图象过点，现将y=f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度得到的函数图象也过点P，那么（）A. ，t的最小值为B. ，t的最小值为πC. ，t的最小值为D. ，t的最小值为π7.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若，则的最大值是（）A. B. C. D.8.某码头有总重量为13.5吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过0.35吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重1.5吨的卡车（）A. 12辆B. 11辆C. 10辆D. 9辆二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.双曲线的离心率为______．10.若在区间[-1，4]上随机选取一个数x，则事件x≥1发生的概率为______．11.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，能够说明“若数列{a n}是递减数列，则数列{S n}是递减数列”是假命题的数列{a n}的一个通项公式为______．12.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-1=0，圆心C到直线l的距离为______．13.把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有______种．14.已知点P，Q分别是抛物线C：y2=4x和直线x+6=0上的动点，点M是圆K：（x-1）2+y2=1上的动点．①抛物线C的焦点坐标为______；②的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求sin A+sin C的最大值．16.频率/组距75 80 85 90 95 100成绩/分0.060.050.040.030.02某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率成绩分组频数[75，80）2[80，85）6[85，90）16[90，95）14[95，100]2高二规定成绩不低于90分为“优秀”．（Ⅰ）估计高一年级知识竞赛的优秀率；（Ⅱ）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列；（Ⅲ）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X，Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差DX，DY的大小关系．（只需写出结论）17.在梯形ABCD中，AB∥CD，，AB=2AD=2CD=4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）．将△ACD沿AC折起到△ACD'的位置，使得二面角B-AC-D'为直二面角（如图2）．（Ⅰ）求证：BC∥平面POD'；（Ⅱ）求二面角A-BC-D'的大小；（Ⅲ）线段PD'上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD'所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18.已知函数f（x）=ln x+ax2-（2a+1）x+1（a≥0）．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值；（Ⅱ）函数f（x）在区间（1，+∞）上存在最小值，记为g（a），求证：．19.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，长轴长为4，离心率为．过右焦点F的直线l交椭圆E于C，D两点（均不与A，B重合），记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在常数λ，当直线l变动时，总有k1=λk2成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20.在数列{a n}中，记P（n）=|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a n-1-a n|（n∈N且n≥2）．（Ⅰ）若对任意的n∈N且n≥2，都有P（n）≤a n-a1，则称数列{a n}具有性质P．①请写出具有性质P的一个数列的前四项；②设数列{a n}具有性质P，证明：a n-1≤a n；（Ⅱ）若存在常数M，对任意的n∈N且n≥2，都有P（n）≤M，则称数列{a n}是Ω数列．设S n是数列{b n}的前n项和，且{S n}是Ω数列，证明：数列{b n}是Ω数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：解不等式x2≤4得：-2≤x≤2，又x∈Z，所以A=，又B={x|-1＜x＜3}，所以A∩B=，故选：A．由二次不等式的解法及交集的运算得：A=，又B={x|-1＜x＜3}，所以A∩B=，得解．本题考查了二次不等式的解法及交集的运算，属简单题．2.答案：B解析：解：令z=x-y，则y=x-z，由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当过点O（0，0）时，x-y取得最大值0，故选：B．令z=x-y，从而化简为y=x-z，作平面区域，结合图象求解即可．本题考查了学生的作图能力及线性规划的应用，同时考查了数形结合的思想应用．3.答案：B解析：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的三棱锥P-ABC，且PC⊥底面ABC，AC⊥BC；PC=BC=2，AC=2；所以，该三棱锥的体积为V=××2×2×2=．故选：B．根据几何体的三视图，得出该几何体底面为直角三角形的三棱锥，且侧棱垂直于底面，求出它的体积即可．本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目．4.答案：A解析：【分析】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：a∈R，（a+i）2=a2-1+2ai为纯虚数，则a2-1=0，2a≠0，解得a=±1．∴a∈R，则“a=1”是“（a+i）2为纯虚数”的充分不必要条件．故选：A．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查程序框图的识别和应用，结合程序求出对应函数的值域是解决本题的关键．根据程序框图，求出函数值域进行计算即可．【解答】解：当0≤x＜1时，y=2x∈[0，2），当1≤x≤2时，y=x2-2x=（x-1）2-1∈[-1，0]，综上-1≤y＜2，故y不可能的值是2，故选：D．6.答案：C解析：解：函数的图象过点，则：，解得：．所以：f（x）=．将y=f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度得到的函数图象也过点P，故：g（x）=，所以：，所以t的最小值为．故选：C．首先利用三角函数关系式的恒等变换求出θ的值，进一步利用关系式的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.答案：C解析：【分析】本题考查了平面向量的运算和几何应用，属中档题．由平面向量的运算结合圆的性质即可得解.【解答】解：由--==，由，则||=1，即点P在以点C为圆心，1为半径的圆周上运动，由点与圆的有关性质得||的最大值=2+1，故选：C．8.答案：B解析：解：【解法1】从第1辆卡车开始依次装上货物，每车一直装到再装一箱就超过1.5吨为止，把多出的这一箱先单独留出来不往后面装，因为13.5÷（1.5+0.35）≈7.3，所以这样至少能装到第7辆卡车（包括单独留出）之后还有剩余；①如果装到第7辆卡车剩余的已经不足1.5吨，那么第8辆卡车可以把剩余的装走，此时前7辆卡车单独留出的7个货箱可以分成两组，一组3个，一组4个，每组不超过0.35×4=1.4吨，这样再找2辆卡车就可以拉完，一共最多需要10辆卡车；②如果装到第7辆车剩余的货箱超过1.5吨，可以继续装第8辆卡车，此时8辆卡车上单独留出8个货箱可以分成两组，每组4个，每组都不超过0.35×4=1.4吨，再找2辆卡车就可以拉走；上面10辆卡车一共装了超过1.5×8=12吨货箱，所剩货箱不超过13.5-12=1.5吨，最多还需要1辆卡车就可以拉走，所以一共最多需要11辆卡车；综上，要保证任何情况都能一次性拉走，则至少需要11辆卡车．【解法二】由题意，将所有货箱任意排定顺序；首先将货箱依次装上第1辆卡车，并直到再装1个就超过载重量为止，并将这最后不能装上的货箱放在第1辆卡车之旁；然后按同样办法装第2辆、第3辆、…，直到第8辆车装完并在车旁放了1个货箱为止；显然前8辆车中每辆所装货箱及车旁所放1箱的重量和超过1.5吨；所以所余货箱的重量和不足1.5吨，可以全部装入第9辆卡车；然后把前8辆卡车旁所放的各1货箱分别装入后2辆卡车，每车4个货箱，显然不超载；这样装车就可用8+1+2=11辆卡车1次把这批货箱运走．故选：B．根据题意，建立适当的数学模型，按照一定的顺序把货箱装入每辆卡车，从而求出装入这批货物的货箱所需要的卡车数．本题考查了逻辑推理的实际应用问题，是难题．9.答案：解析：解：双曲线，a=1，b=，∴c=，∴双曲线的离心率为e==，故答案为：．根据双曲线的方程为标准形式，求出a、b、c的值，即得离心率的值．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的方程化为标准形式是解题的突破口．10.答案：解析：【分析】本题考查几何概型概率的求法，关键是注意测度比为长度比，是基础题．直接利用测度比为长度比求解．【解答】解：在区间[-1，4]上随机选取一个数x，x≥1的概率P=．故答案为：．11.答案：a n=-2n+7（答案不唯一）解析：解：由题意，如果递减的等差数列，若其前k（k≥2，k∈N*）项为正项，显然该数列的前n项和S n是先增后减，而不是递减的．故填：a n=-2n+7．对于递减的等差数列，若其前k（k≥2，k∈N*）项为正项，显然该数列的前n项和S n是先增后减，而非递减的．本题考查了等差数列的单调性，等差数列前n项和的单调性，属于基础题．12.答案：解析：解：由得圆C的普通方程为：x2+（y-1）2=1，由ρcosθ-ρsinθ-1=0得x-y-1=0，所以圆心（0，1）到直线的距离d==．故答案为：．先将圆和直线化成直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式可求得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．13.答案：36解析：解：根据题意，设5人为甲乙丙丁戊，①，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A22=2种情况，②，将这个整体与丁戊全排列，有A33=6种安排方法，③，排好后，有4个空位，由于甲乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个，安排甲，有A31=3种安排方法，不同的安排方案共有2×6×3=36种；故答案为：36．根据分步计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求出．本题考查了分类和分步计数原理，关键是分清是分步还是分类，属于中档题．14.答案：（1，0）16解析：解：y2=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1，要使|PM|取得最大，可得PM经过点F，即|PM|=|PF|+1，要使|PQ|取得最小，PQ必须垂直于直线x=-6，可得|PQ|=|PF|+5，由≥=（|PF|+1）++8≥2+8=16，当且仅当|PF|=3时上式取得最小值16．故答案为：（1，0），16．求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得要使|PM|取得最大，可得PM经过点F，即|PM|=|PF|+1，要使|PQ|取得最小，PQ必须垂直于直线x=-6，可得|PQ|=|PF|+5，再由基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和圆的位置关系，以及基本不等式的运用，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题．15.答案：解：（Ⅰ）因为，由正弦定理可得．因为在△ABC中，sin A≠0，所以．因为0＜B＜π，所以．（Ⅱ）因为A+B+C=π，所以sin A+sin C=．=．=．因为，所以．当，即时，sin A+sin C有最大值．解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得，结合sin A≠0，可求，结合范围0＜B＜π，可求B的值．（Ⅱ）由三角形的内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可求sin A+sin C=，结合范围，利用正弦函数的性质可求其最大值．16.答案：解：（Ⅰ）高一年级知识竞赛的优秀率为（0.04+0.02）×5=0.3．所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%．（Ⅱ）在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.3，选中成绩不优秀学生的概率为1-0.3=0.7；在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为=0.4，选中成绩不优秀学生的概率为1-0.4=0.6．ξ的所有可能取值为0，1，2；P（ξ=0）=0.7×0.6=0.42；P（ξ=1）=0.3×0.6+0.7×0.4=0.46；P（ξ=2）=0.3×0.4=0.12．所以随机变量ξ的分布列为：P012ξ0.420.460.12（Ⅲ）显然，均符合两点分布，且（），P（X=1）=0.3，P（Y=0）=0.6，P（Y=1）=0.4，∴DX=0.3×0.7=0.21，DY=0.6×0.4=0.24，∴DX＜DY．解析：（I）计算频率分别直方图最后两个小矩形的面积即可得出优秀率；（II）分别计算两年级的优秀率，利用相互独立事件的概率公式得出ξ的分布列；（III）计算DX，DY得出结论．本题考查了频率分布直方图，频率分布表，离散型随机变量的分布列与方差计算，属于中档题．17.答案：（共14分）证明：（Ⅰ）因为在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD=4，P为AB的中点，所以CD∥AP，CD=AP，所以四边形APCD为平行四边形，………………（1分）因为线段AC与DP交于O点，所以O为线段AC的中点，所以△ABC中，OP∥BC，………………（3分）因为OP⊂平面POD′，BC⊄平面POD′，所以BC∥平面POD′．………………（4分）解：（Ⅱ）因为平行四边形APCD中，AP=AD=2，所以四边形APCD是菱形，AC⊥DP，垂足为O，所以AC⊥OD′，AC⊥OP，因为OD′⊂平面ACD′，OP⊂平面ACB，所以∠D′OP是二面角B-AC-D′的平面角，因为二面角B-AC-D′为直二面角，所以，即OP⊥OD′．可以如图建立空间直角坐标系O-xyz，其中O（0，0，0），………………（6分）因为在图1菱形APCD中，，所以OD=OP=1，OA=OC=．所以B（-，2，0），C（-，0，0），D′（0，0，1）．所以=（），=（0，2，0）．………………（7分）设=（x，y，z）为平面BCD′的法向量，因为，∴取x=1，得=（1，0，-），平面ABC的法向量为=（0，0，1），………………（8分）所以cos＜＞==-，………………（9分）由图可知，二面角A-BC-D'为锐二面角，所以二面角A-BC-D'的大小为．………………（10分）（Ⅲ）线段PD′上存在点Q，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为，………………（11分）设=，（0≤λ≤1），因为，=（0，-1，1），所以==（）．………………（12分）因为cos＜＞===，………………（13分）由0≤λ≤1，解得．所以线段PD′上存在点Q，且=时，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为．………………（14分）解析：（Ⅰ）推导出CD∥AP，CD=AP，从而四边形APCD为平行四边形，推导出OP∥BC，由此能证明BC∥平面POD′．（Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量能求出二面角A-BC-D'的大小．（Ⅲ）设=，（0≤λ≤1），利用向量法能求出线段PD′上存在点Q，且=时，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为．本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足线面角的正弦值的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=ln x-x+1，则，因为x∈[1，+∞），所以f'（x）≤0．所以f（x）在区间[1，+∞）上单调递减，所以f（x）区间[1，+∞）上最大值为f（1）=0．（Ⅱ）由题可知==．①当a=0时，由（Ⅰ）知，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）无最小值，此时不符合题意；②当时，因为x∈（1，+∞），所以2ax-1＞0．此时函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）无最小值，此时亦不符合题意；③当时，此时．函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即．要证，只需证当时，成立．即证，设，h（t）=ln t-t+1（t＞1），由（Ⅰ）知h（t）＜h（1）=0，即成立．所以．解析：（I）对f（x）求导，根据f′（x）的符号得出f（x）的单调性，进而求出f（x）的最大值；（II）讨论a的范围，得出f（x）的单调性，进而得出f（x）的最小值g（a）的函数解析式，再构造函数证明不等式即可．本题考查了函数单调性的判断，考查分类讨论思想，考查函数单调性与不等式的证明，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由题知解得所以求椭圆E的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-2，0），B（2，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1．由解得或得或；均有．猜测存在．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），C（x1，y1），D（x2，y2）．由得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0．则故====0．所以存在常数使得恒成立．解析：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查计算能力，属于中档题．（Ⅰ）由题意由题知解得，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）根据椭圆的准线方程，设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得C及D，存在λ=，使得k1=λk恒成立．20.答案：解：（Ⅰ）①数列{a n}中，记P（n）=|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a n-1-a n|（n∈N且n≥2）．对任意的n∈N且n≥2，都有P（n）≤a n-a1，则称数列{a n}具有性质P．所以：利用赋值法得到：a1=1，a2=2，a3=3，a4=4．证明：②假设a i（i∈N*）是数列{a n}中，使得a i-1＞a i成立的最小的项，则|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a i-1-a i|=|a i-1-a i|+a i-1-a1≤a i-a1所以a i-1-a i+a i-1≤a i，所以a i-1≤a i，这与a i-1＞a i矛盾，所以假设不成立．所以a n-1≤a n．证明：（Ⅱ）因为{S n}是Ω数列，所以存在常数M，对于任意的n∈N且n≥2，都有|S1-S2|+|S2-S3|+…+|S n-1-S n|≤M，因为S n是数列{b n}的前n项和，所以所以|b2|+|b3|+…+|b n|≤M，因为|b1-b2|+|b2-b3|+…+|b n-1-b n|≤|b1|+|b2|+|b2|+|b3|+…+|b n-2|+|b n-1|+|b n-1|+|b n|=2（|b2|+|b3|+…+|b n-1|）+|b1|+|b n|≤2M+|b1|-|b n|≤2M+|b1|．所以数列{b n}是Ω数列．解析：（Ⅰ）①直接利用数列的性质的应用求出结果．②利用反证法进行证明．（Ⅱ）利用信息和绝对值不等式的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的性质的应用，信息题的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．。

丰台区 2020 年高三年级第二学期一致练习（二）数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8 小题 , 每题 5 分, 共 40 分。

在每题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。

（1） sin600 0等于（A）1（B） 1 （C） 3 （D） 3 2 2 2 2（2）已知数列{ a n}是等差数列，且a3 a9 4 ，那么数列 { a n } 的前11项和等于（A） 22 （B）24 （C）44 （D）48（3）将函数 f (x) sinx 图象全部的点向右挪动个单位长度，再将所得各点的横坐标缩31短到本来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数分析式为2（A）（C）y sin(1x )2 3ysin(2 )x 3（B）（D）y sin(1x )2 6ysin(2 )x 6（4）已知（A）（C）a 0.3 0.2 ,b log0.5 0.8,c log 0.5 3 ，那么a,b,c的大小关系是a b c （ B）c b ac a b （ D）a c b（5）圆C：（x+1）2+( y-3) 2=9 上有两点P, Q对于直线 x+my+4=0对称，则 m等于（ A）5 5（C）-1 （D） 1 3（B）3（6）已知实数a 0 ，函数 f ( x) x2 2a, x 1,若 f (1 a) f (1 a) ，则实数 a 的x, x 1.取值范围是（A）[2, 1] U(0,)（B）[-2，-1]（C）(,0)（D）(0,)（7）设 m , n 是两条不一样的直线，、 是两个不一样的平面 . 则以下命题中正确的选项是（ A ） m ⊥ ， n， m ⊥ n⊥（ B ） ⊥ ， ∩=m ，n ⊥ m n ⊥（ C ） ⊥ ， m ⊥ ， n ∥m ⊥ n（ D ） ∥ ， m ⊥ ， n ∥m ⊥ n（8）设函数 f x的定义域为 D ，假如 x D , y D ，使得 f xf y 建立，则称函数 f x 为“Ω函数” . 给出以下四个函数：①ysin x ；② y2x ；③ yx 1 ；④ f ( x) ln x , 则此中“Ω函数”共有1（A ）1 个（B ）2 个（C ）3 个（D ）4 个二、填空题 : 本大题共 6小题,每题 5分,共 30分。