9.3 椭圆及其性质(讲解部分) 高考数学(课标版,理科)复习课件

椭圆的性质课件椭圆的性质椭圆是数学中一种重要的几何图形，它具有许多独特的性质和特点。

在本文中，我们将探讨椭圆的性质，包括其定义、方程、焦点、直径和切线等方面。

一、椭圆的定义和方程椭圆可以通过一对焦点和到焦点距离之和等于常数的点的集合来定义。

具体而言，给定两个焦点F1和F2，以及一个正常数2a（a>0），椭圆是满足以下条件的点P的集合：PF1 + PF2 = 2a。

椭圆的方程可以通过焦点和到焦点距离之和的定义来推导。

假设椭圆的焦点分别为F1（c,0）和F2（-c,0），其中c为正常数。

椭圆上的任意一点P（x,y）到焦点F1和F2的距离分别为PF1和PF2，根据定义，我们有PF1 + PF2 = 2a。

根据距离公式，我们可以得到椭圆的方程：√[(x-c)²+y²] + √[(x+c)²+y²] = 2a二、椭圆的焦点和直径椭圆的焦点是椭圆上特殊的点，它们对于椭圆的性质起着重要的作用。

根据椭圆的定义，焦点F1和F2分别位于椭圆的长轴上，并且到焦点距离之和等于常数2a。

椭圆的中点O为焦点F1和F2连线的中点，也是椭圆的对称中心。

椭圆的直径是椭圆上通过中心点O的线段，且两端点都在椭圆上。

椭圆的长轴是通过焦点F1和F2的直径，而短轴是与长轴垂直的直径。

椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。

三、椭圆的切线和法线椭圆上的切线是与椭圆相切的直线，它与椭圆的曲线只有一个交点。

椭圆上的任意一点P处的切线可以通过求解椭圆的方程和切线的斜率来确定。

根据导数的定义，我们可以得到椭圆上任意一点P（x,y）处的切线的斜率为：dy/dx = -x/√[(a²-x²)/b²]椭圆上的法线是与切线垂直的直线，它与切线的交点为切点。

椭圆上任意一点P处的法线可以通过求解椭圆的方程和法线的斜率来确定。

根据切线的斜率和法线的斜率的关系，我们可以得到椭圆上任意一点P（x,y）处的法线的斜率为：dy/dx = √[(a²-x²)/b²]/x四、椭圆的性质和应用椭圆具有许多重要的性质和应用。

专题9.3 椭圆【考纲解读与核心素养】1.掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.2.会解决直线与椭圆的位置关系的问题.3.了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法.4.理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用.5．培养学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理、数学抽象、数据分析等核心数学素养. 6. 高考预测：高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等. 7.备考重点：（1）掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质，关注椭圆的“特征三角形”； （2）熟练运用方程思想及待定系数法； （3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题.【知识清单】知识点1．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合1212P={M||MF|+|MF |=2a |FF |=2c.} ①若a c >，则集合P 为椭圆； ②若a c =，则集合P 为线段； ③若a c <，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在x 轴时，2222=1(a>b>0)x y a b +；焦点在y 轴时，2222=1(a>b>0)y x a b+知识点2．椭圆的标准方程1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴，2222+=1(a>b>0)x y a b ；（2）焦点在y 轴，2222y +=1(a>b>0)x a b.2．满足条件：22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞知识点3．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞图形标准方程2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a b范围x a y b ≤≤,x b y a ≤≤,对称性曲线关于,x y 轴、原点对称 曲线关于,x y 轴、原点对称 顶点 长轴顶点(),0a ± ,短轴顶点()0,b ±长轴顶点()0,a ± ,轴顶点(),0b ±焦点 (),0c ±()0,c ±焦距 222122()F F c c a b -＝＝离心率() 0,1ce a∈＝，其中c ＝22a b -通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为22b a知识点4．直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点1122()()M x y N x y ，，，，则弦长公式为MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-或MN ＝2121221(1)[(y )4]y y y k++-． （2）弦中点问题，适用“点差法”.【典例剖析】高频考点一 ： 椭圆的定义及其应用【典例1】（2020·湖南益阳�高三三模（理））如图，已知1F ，2F 为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，过原点O 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（22AF BF >），若1212==4AF AF AF AF +-，124AF BF S =，则2tan BAF ∠=（ ）A ．14B ．13C ．23D ．23【答案】D 【解析】由1212=AF AF AF AF +-两边平方得12=0AF AF ⋅，所以12AF AF ⊥，由椭圆的对称性知四边形12AF BF 为矩形，又因为1212==4AF AF AF AF +-，所以12==4AB FF ， 又因为124AF BF S =，由矩形的面积公式与椭圆的定义得12122221212=24AF AF aAF AF AF AF F F ⎧+⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得：a=所以12124AF AF AF AF ⎧+⎪⎨=⎪⎩，即12,AF AF 是方程240x -+= 的实数根， 又因为22AF BF >，所以21AF AF >所以1AF =2AF =所以2128tan 24B A AF AF F -∠====故选：D .【典例2】（2018·全国高考真题（文））已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A.1-B.21【答案】D 【解析】在12F PF ∆中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒ 设2PF m =，则12122,c F F m PF ===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=则离心率22312(31)c c m e a a m====-+， 故选D.【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 2.对焦点三角形12F PF △的处理方法，通常是运用⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF |）(2c)|PF|+|PF ||PF||PF |cos |PF||PF |sin . 【变式探究】1.（山东省威海市2018届二模）已知椭圆左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 由题得所以当AB⊥x 轴时，|AB|最小，|A 最大.当AB⊥x 轴时，|AB|=所以|A 最大值为故答案为：D.2.已知1F 、2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥.若12PF F ∆的面积为9，则b =____________. 【答案】3【解析】由12PF PF ⊥知01290F PF ∠=，则由题意，得12122221221924PF PF a PF PF PF PF c ⎧=⎪⎪⋅=⎨⎪⎪=⎩＋＋，可得224364c a +=，即229a c -=，所以3b =,应填3.【总结提升】 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 高频考点二 ： 椭圆的标准方程【典例3】（黑龙江省海林市朝鲜族中学）焦点在x 轴上的椭圆的长轴长等于4，离心率等于，则该椭圆的标准方程为( )A ． ＋y 2＝1 B ． ＋y 2＝1 C ． D ．【答案】B 【解析】由题意可知，椭圆方程为且2a=4，得a=2，又，得∴椭圆的标准方程为．故选：B ．【典例4】（2020·全国高三其他（理））设1F 、2F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，经过1F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，若2F AB ∆的面积为43则椭圆C 的方程为______________.【答案】22196x y +=【解析】设椭圆C 的焦距为()20c c >，如下图所示：由于2F AB ∆是面积为432213sin 43234AB π⨯==， 得AB 4=，即2F AB ∆是边长为4的等边三角形，该三角形的周长为1212124AF AF BF BF a =+++=，可得3a =， 由椭圆的对称性可知，点A 、B 关于x 轴对称，则216AF F π∠=且AB x ⊥轴，所以，2124AF AF ==，12AF ∴=，221221223c F F AF AF ∴==-=3c ∴=226b a c -=C 的标准方程为22196x y +=. 故答案为：22196x y +=.【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为221mx ny ＋＝ (0)0m n m n ≠＞，＞且． (3)找关系：根据已知条件，建立关于a b c m n 、、或、的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程2222y +=1x a b 与2222y +=(>0)x a bλλ有相同的离心率．(2)与椭圆2222+=1(a>b>0)x y a b 共焦点的椭圆系方程为22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．【变式探究】1.（山西省大同市与阳泉市2018届二测）已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的标准方程为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 由左焦点为，可得，即， 过点作倾斜角为的直线的方程为，圆心到直线的距离，由直线与圆相交的弦长为， 可得，解得，则椭圆方程为，故选B.2.求与椭圆22y +=143x 有相同离心率且经过点(2,-3)的椭圆标准方程． 【答案】22y +=186x 或22=1252534y x + 【解析】法一：∵222231e= =1 =142c a b b a a a -=--=，设所求椭圆方程为2222+=1(m>n>0)x y m n ，则211-()4n m =，从而233(),4n n m m ==又222243=1,m =8,n =6m n+∴， ∴方程为22y +=186x . 若焦点在y 轴上，设方程为2222+=1(m>n>0)y x m n则2234=1m n +，且3n m =，解得222525m =,n =34.故所求方程为22=1252534y x +. 法二：若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为22y +=t(t>0)43x，将点代入，得22t=4， 故所求方程为22y +=186x . 若焦点在y 轴上，设方程为22x +=(>0)43y λλ代入点，得25=12λ，∴22=1252534y x +. 综上知，所求椭圆的标准方程为22y +=186x 或22=1252534y x +. 高频考点三 ： 椭圆的几何性质【典例5】（2020·山东泰安�高三其他）【多选题】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P在椭圆C 上，点Q 在圆()()22:344E x y ++-=上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若PQ PF -的最小值为6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为2B ．椭圆CC ．PQ PF +的最小值为D ．过点F 的圆E的切线斜率为43-± 【答案】AD 【解析】圆E 的圆心为()3,4E -，半径长为2，由于椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则24a =，可得2a =，设椭圆的左焦点为点1F ，由椭圆的定义可得124PF PF a +==，14PF PF ∴=-，所以，()111144246256PQ PF PQ PF PF PQ PF PE EF -=--=+-≥+--≥-=， 当且仅当P 、Q 、E 、1F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段1EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立， 则()()()222134031625EF c c =-++-=-+=02c a <<=，解得1c =，所以，椭圆C 的焦距为22c =，A 选项正确；椭圆C 的短轴长为222223b a c =-=，B 选项错误；()()222231402422PQ PF PE PF EF +≥+-≥-=--+-=，当且仅当P 、Q 、E 、F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立，C 选项错误；若所求切线的斜率不存在，则直线方程为1x =，圆心E 到该直线的距离为3142--=>，则直线1x =与圆E 相离，不合乎题意；若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，223441211k k k k k ---+==++，整理得23830k k ++=，解得47k -±=D 选项正确. 故选：AD.【典例6】（2019·浙江高考模拟）已知P 是椭圈()222210,0x y a b a b +=>>上的动点，过P 作椭圆的切线l 与x轴、y 轴分别交于点A 、B ，当AOB ∆（O 为坐标原点）的面积最小时，123cos 4F PF ∠=（1F 、2F 是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率为__________． 【答案】23【解析】 如图所示，设切点()()0000,,0P x y x y >直线AB 的方程为：()00y y k x x -=-．()0k >联立()0022221y y k x x x ya b ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，化为：()()()222222222000020b a k x a k y kx x a y kx a b ++-+--=． 由直线AB 与椭圆相切，可得：()()()2422222220044?0a k b a ka y kx ab ⎡⎤∆=-+--=⎢⎥⎣⎦．化为：()222200y kx b a k -=+．()200022222=a k y kx xb a k --∴+，化为：222200b x a y =．由2200221x y a b+=，可得：22222222000b x a y a b b x ==-，解得02x =，02y =由直线AB 的方程为：()00y y k x x -=-．()0k >． 可得()0000,0,0,y A x B y kx k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．()()()22222002220000112222AOBy kx y b a k b S x y kx a k a b k kk k ∆--⎡⎤+⎛⎫=--===+-≥⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎣⎦．当且仅当b ak =-时取等号．设1PF m =，2PF n =，2m n a +=．()22222212423442cos 4222m n c mn m n c b mn F PF mn mn mn+--+--∠====，化为：278mn b =．mn == 代入化为：2279b a =，c e a ∴===．故答案为：3． 【规律方法】1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． (2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．2.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用,c e e a =＝.【变式探究】1.（2019·宁波市第四中学高二期中）设椭圆22221x y a b+=0)a b >>（的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -，，点(,)2a N c 在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足11232MF MN F F +<恒成立，则椭圆离心率e 的取值范围是A ．(02， B ．1)2C ．5()26， D ．5(,1)6【答案】D 【解析】∵点,2a N c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆的外部，∴222214c a a b +＞，2212b a ＜ ，由椭圆的离心率2c e a ===，122MF MN a MF MN +=-+， 又因为2MF MN -+≤2NF ，且22aNF =，要11232MF MN F F +<恒成立，即22a MF MN -+≤32222a a c +<⨯，则椭圆离心率的取值范围是5,16⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 2.（2019·浙江高考模拟）已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线b y x a =交椭圆于A 、B 两点，若13cos AFB ∠=，则椭圆C 的离心率是_____．【解析】设椭圆的左焦点为1F ，由对称性可知113cos F AF cos AFB ∠=-∠=-，设A 1m F =，AF=n ，在1A F F 中，由余弦定理可得22c （）=2m +21n 2mncos F AF -∠，又m+n=2a ，所以244a 3mn =-42c ，即mn=32b ,联立直线b y x a =与椭圆22221x y a b +=，得A （22a ，）,B （22a --，）,则AB 又在A FB 中，由余弦定理可得222a 2b +=2m +2n 2mncos AFB -∠ =()28m n 3mn +-， 得到23a 4mn =-23b 4， 所以有23b =23a 4-23b 4，即2a =5222b b 4b =+，2c =42b ，所以e=255. 故答案为255.【总结提升】1.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为2222e?b b c a =等．(2)设椭圆2222+=1(a>b>0)x y a b上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 2．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征． 高频考点四 ： 直线与椭圆的位置关系【典例7】（2020·北京高考真题）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1. 【解析】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112ab a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦ ()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==. 【典例8】（2019·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --. 【规律方法】1.涉及直线与椭圆的基本题型有： （1）位置关系的判断 （2）弦长、弦中点问题 （3）轨迹问题（4）定值、最值及参数范围问题 （5）存在性问题2．常用思想方法和技巧有：（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系3. 若直线与椭圆有两个公共点1122()()M x y N x y ，，，，可结合韦达定理，代入弦长公式MN 221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++- 【变式探究】1.（2020·邢台市第八中学高二期末）设椭圆()222210x y C a b a b+=>>：过点(0,4)，离心率为35 .(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率45k =的直线被椭圆C 所截线段的中点坐标． 【答案】（1）2212516x y +=；（2）36(,)25-． 【解析】（1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得=1，∴b=4，由e==，得1﹣=，∴a=5， ∴椭圆C 的方程为+=1．（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x ﹣3）， 设直线与椭圆C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线方程y=（x ﹣3）代入椭圆C 方程，整理得x 2﹣3x ﹣8=0， 由韦达定理得x 1+x 2=3，y 1+y 2=（x 1﹣3）+（x 2﹣3）=（x 1+x 2）﹣=﹣．由中点坐标公式AB 中点横坐标为，纵坐标为﹣， ∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．2.（2015·陕西高考真题（理））已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． （Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）221123x y +=．【解析】（Ⅰ）过点()(),0,0,c b 的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O 到直线的距离bcd a==，由12d c =，得2a b ==c e a ==. （Ⅱ）由（1）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=.依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且AB =易知，AB 不与x 轴垂直.设其直线方程为()21y k x =++，代入（1）得()()()22221482142140k xk k x k b +++++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，则()12282114k k x x k ++=-+，()22122421414k b x x k+-=-+.由124x x +=-，得()2821=414k k k +--+，解得12k =. 从而21282x x b =-.于是12AB x =-==.由AB ==23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=.【总结提升】1.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率．2．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．3.提醒：(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况．(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．21 / 21。