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数学试卷一、选择题 1.设复数34iz i=-，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.已知集合{}{}226501M x x x N y y x =-+≥==+，，则M N I =( )A ．[)5+∞，B ．{}[)15+∞U ，C ．[]15，D ．R3.()612x -的展开式第三项为( ) A ．60B ．-120C ．260xD ．3120x -4.函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为( )A. B.C..D.5.设变量,x y 满足约束条件1,22,10,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则()223z x y =-+的最小值为( )A ．2 BC ．4D ．1656.公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为( )A ．120B ．145C ．270D ．2857.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与函数()()ln 1f x x =+的图象相切，则该双曲线离心率为( )AB C ．2D8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点()3,0对称，当()0,3x ∈时()xf x e =，则当[]2018,2019x ∈时，()f x 的最小值为（ ） A ．0B ．eC ．2eD ．3e9.设,m n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32B ．53C ．74 D ．9510.已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点.过点F 的直线l 交抛物线C 于A B ,两点，交准线于点M.若0BM BA +=u u u u r u u u r r，9AB =u u u r ，则p 为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．511.已知点()()()120,1,2,2A B x C x -,,在函数π()2sin()(00)2f x x ωφωφ=+><<，的图象上，且min 5BC =．给出关于()f x 的如下命题：:()p f x 的最小正周期为10 ， :()q f x 的对称轴为31()x k k Z =+∈， :(2020)(2019)r f f >，:s 方程()2lg f x x =有3个实数根，其中真命题的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．112.已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均为2，1AA ⊥平面ABC ，有一个过点B 且平行于平面1AB C 的平面α，则该三棱柱在平面α内的正投影面积是( )A B C D 二、填空题13.已知{}n a 是首项为1的等比数列，若124,2,n n n a a a ++成等差数列，则n a =________.14.执行如图所示的程序框图，若输出的y 值为1，则可输入的所有x 值组成的集合为____________.15.若,,A B C 三点满足6AB =u u u r ，且对任意R λ∈都有2AC AB λ-≥u u u r u u u r ，则CA CB ⋅u u u r u u u r的最小值为________.16.近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于r 个外卖店（外卖店的编号分别为1,2,,r L ，其中3r ≥），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余1r -个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的1r -个外卖店取单．设事件{k A =第k 次取单恰好是从1号店取单}，()k P A 是事件k A 发生的概率，显然1()1P A =，2()=0P A ，则3()P A =_______，1()k P A +与()k P A 的关系式为________．（k N *∈）三、解答题17.ABC △的内角A B C ,,的对边分别是a b c ，，，1b =，cos cos c B A C =-. （1）求B ；（2）若B AC ，，成等差数列，求ABC △的面积. 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，==1//,AB AD AB CD AB AD ⊥，，点E 为PC 的中点.平面ABE 交侧棱PD 于点F ，四边形EF AB 为平行四边形.（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；--的余弦值为，求PD与平面PAB所成角的正弦值.（2）若二面角A PB C19.中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量t（单位：mm）的数据，得到如下茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）.另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示.（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数；（2）以收集数据的频率作为概率.①估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；②若无灾害影响，每亩果树获利6000元；若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元．为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元.方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元. 方案3：不采取防控措施.问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M 且离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上存在三个不同的点AB P ，，,满足OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r,求弦长AB 的取值范围. 21.已知函数ln ()xx af x e +=． （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；（2）求证：111()ln(1)a xa e e f x x e+++'⋅⋅+<．22.在平面直角坐标系中，点P 是曲线12cos :(22sin x tC t y t =⎧⎨=+⎩为参数)上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将线段OP 顺时针旋转90︒得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C ． （1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点M 的坐标为π(4,)2，射线π:(0)6l θρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点，求M AB △的面积．23.已知函数()(1)1()f x x a x x x a =+++-+. （1）当0a =时，求()0f x ≥的解集；（2）若()0f x <在(),0-∞上恒成立，求a 的取值范围.参考答案1.答案：B 解析：()3443=342525i i ii z i +-+==-，所以z 在复平面内对应的点位于第二象限. 2.答案：B解析：{}{}151M x x x N y y =≤≥=≥或， 3.答案：C解析：22236(2)60T C x x =-= 4.答案：A解析：因为11()cos()cos ()11x x xx e e f x x x f x e e --++-=⋅-=-⋅=---，所以()f x 为奇函数， 排除C ，当0x +→时，()0f x >，排除B,D. 5.答案：D解析：画出可行域，可发现()223z x y =-+的最小值是(3,0)到220x y --=距离的平方.6.答案：B解析：记第n 个五角形数为n a ，由题意知：12132431,4,7,10a a a a a a a =-=-=-=⋅⋅⋅ 易知13(1)1n n a a n --=-+， 由累加法得(31)2n n na -=，所以10145a =. 7.答案：A解析：因为双曲线的渐近线过原点，且方程为by x a=±函数()()ln 1f x x =+图象也过原点，结合图形可知切点就是()0,0∴()01bk f a'===，e =8.答案：A解析：∵()f x 关于(3,0)对称 ∴()(6)0f x f x +-=∴()(6)(6)f x f x f x =--=- ∴()f x 的周期为6∴[]2018,2019x ∈时()f x 最小值即为[]2,3x ∈时()f x 最小值∵[)2min 2,3()(2)x f x f e ∈==，，(3)(3)(3)f f f =-=-∴(3)0f =，[]2,3x ∈，min ()0f x = 9.答案：D解析：当2m n +=时，13113511112121212n m n m n m n m n m n ++++=++=+=++++++⋅++⋅+（）（）（）（）, 因为212251224m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭（）（）， 当且仅当12m n +=+，即3122m n ==，时取等号，则139125n m n ++≥++． 10.答案：C解析：过,A B 做准线的垂线，垂足为11,,A B x 轴与准线交点为1F ，111,2BB MBAA MA == 设BF t =，则11,2BB t AA AF t ===， 11462FF MF t p AA MAt t===， 因为39AB AF BF t =+==u u u r ， 得3t =，4p =. 11.答案：C解析：∵(0)1f =∴1sin 2φ=，π6φ=∵32T ∴6T =，π3ω=， ∴ππ()2sin()36f x x =+∴6T =，所以p 为假命题对称轴为31()x k k Z =+∈，所以q 为真命题(2020)(4)2,(2019)(3)1f f f f ==-==-，所以r 为假命题方程()2lg f x x =有3个根，所以s 为真命题.12.答案：A解析：投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以我们就以平面1AB C 为投影面，然后构造四棱柱，得到投影为五边形1B MACN13.答案：12n n a -=解析：21124=4+,44,2,2n n n n n a a a q q q a -++=+∴=∴= 14.答案：12,,1010⎧⎫-⎨⎬⎩⎭解析：当0x >时，lg 1x =得12110,10x x ==, 当0x <时()211x +=得32=-x ， 所以答案为12,,1010⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.15.答案：-5解析：因为对任意R λ∈都有2AC AB λ-≥u u u r u u u r， 故点C 到AB 所在直线的距离为2, 设AB 中点为M ， 则()()()()2222111216365444CA CB CA CB CA CB CMAB ⎡⎤⎡⎤⋅=+--=-≥-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r当且仅当CM AB ⊥时等号成立. 16.答案：11r -;()()11[1]1k k P A P A r +=-- 解析：2{A =第2次取单恰好是从1号店取单}，由于每天第1次取单都是从1号店开始，根据题意，第2次不可能从1号店取单，所以2()0P A =，3{A =第3次取单恰好是从1号店取单}，因此323232211()()()(|)[1()]11P A P A A P A P A A P A r r ===-=-- ()()()11111()()()[1]()[1]1k k k k k k k k k k P A P A A P A P A A P A P A A P A r ++++===-=--17.答案：(1)∵cos cos c B A C =-∴22222222a c b a b c c A ac ab+-+-⋅=-又1b =，∴22221122a c a c A a a+-+--∴a A =∴sin sin A B b a =⋅=又0πB ∈（，） ∴π4B =或3π4B =(2)∵,,B A C 等差数列，∴π3A =， 由第1问知π4B =∴a A =∴11sin sin()22ABC S ab C ab B A ∆==+解析：18.答案：(1)∵四边形ABEF 为平行四边形. ∴//AB EF ，又//AB CD ∴//EF CD ，又点E 为PC 的中点 ∴222CD EF AB ===∴在直角梯形ABCD 中，1 2AB AD CD ===，可得连接BD ，易得BD BC ==222BD BC DC +=∴BD BC ⊥又PC ⊥底面ABCD BD ⊂，平面ABCDBD ⊥平面PBC BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PBC (2)由第1问知2CD =，∴在直角梯形中可得45DCB ∠=︒ 又PC ⊥底面ABCD∴以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示:则(2,1,0),(1,1,0),(2,0,0)A B D ,设(0,0,)(0)P h h > ∴(1,0,0),(1,1,),(2,0,),(1,1,0)BA BP h DP h BD ==--=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r∵BD ⊥平面PBC∴平面PBC 的法向量可取(1,1,0)BD =-u u u r设平面ABP 法向量为(,,)a x y z =r由0,0,a BA a BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 得x =0-x -y +hz =0⎧⎨⎩ ∴可取(0,,1)a h =r∴cos ,a BD ==u r u u u r ∴2h = ∴(2,0,2)DP =-u u u r ， (0,2,1)a =rcos DP,==a u u u r r∴PD 与平面PAB.解析：19.答案：（1）根据茎叶图，可得中位数为12.5，众数为10.（2）①根据图中的数据，可得该地区周降雨量t （单位：mm ）的概率： 15111(10),(1050)30230P t P t ≤==<≤=，311(50100),(100)301030P t P t <≤==≥=， 3()=(10)(50100)5P P t P t ≤+<≤=轻灾，1()=(100)30P P t >=重灾因此估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为130和 35，无灾害概率为1130② 方案1：设每亩的获利为1X （元），则1X 的可能取值为6000，-10800，则1X 的分布列如下：则()12960001080054403030E X =⨯-⨯=(元)，则每亩净利润为54404005040-=（元）； 方案2：设每亩的获利为2X （元），则2X 的可能取值为6000元，于是()260001P X ==，()26000E X =，净利润为600010804920-=（元）；方案3：设每亩的获利为3X （元），则3X 的可能取值为6000，-5400，-10800， 则3X 的分布列如下：则()311316000540010800140030530E X =⨯-⨯-⨯=-(元)，于是每亩亏损为1400（元）； 由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好 解析：20.答案：（1）由题意知(2222112c a a b =+=，，又因为222c b a +=，解得2216,12a b ==.则椭圆标准方程为2211612x y +=. （2）因为OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，则由向量加法的意义知四边形OAPB 为平行四边形.设直线l 过A B 、两点，①若直线l 垂直于x 轴，易得：()()()4,0,2,3,2,3P A B -或者()()()4,0,2,3,2,3P A B ----， 此时6AB =.②若直线l 不垂直于x 轴，设():0l y kx m m =+≠，()()112200(,),,,,A x y B x y P x y ，将直线y kx m =+代入C 的方程得()2223484480k x kmx m +++-=故212122284483434km m x x x x k k -+=-=++，， 因为OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以012012,x x x y y y =+=+，则02834km x k =-+，()0121226234m y y y k x x m k =+=++=+，即2286,3434kmm P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为P 在椭圆上，有222286343411612km m k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，化简得2234m k =+. 验证，222226416(34)(12)1440k m k m m ∆=-+-=>.所以221212222884484483434km k m m x x x x k m k m ---+=-===++，所以12AB x -===因为2343k +≥，则2110343k <≤+，即()21111443434k <+≤+，得6AB <≤综上可得，弦长AB的取值范围为⎡⎣．解析：21.答案：（1）当1a =时，ln 1()x x f x e +=，1ln 1()xx x f x e--'= 令1()ln 1g x x x=--，则()g x 在()0,+∞上为减函数，且(1)0g = 所以，当(0,1)x ∈时，()0,()0g x f x '>>，()f x 单调递增； 当(1,+)x ∈∞时，()0,()0g x f x '<<，()f x 单调递减. 故()f x 递增区间为()0,1；()f x 递减区间为()1,+∞. （2）1ln ()xx a x f x e --'=，1()ln xe f x x a x'=--只需证1111(ln )ln(1)a a e x a x x e +++--+< 即11ln(1)1(1ln )a a x e x x ax x e++++--<. 易证ln(1)(0)x x x +<>成立.记()1ln h x x x ax =--，则()ln 10h x x a '=---=,令()0h x '=，得(1)a x e -+=并且，当()(1)0,a x e -+∈时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当()(1),a x e-+∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减; 所以1(1)1111()()1a a a a e h x h ee e +-++++≤=+=即111()ln(1)a xa e e f x x e+++'⋅⋅+<，命题得证.解析：22.答案：(1)由题意可得1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=， 其极坐标方程为4sin ρθ=.设Q 点的极坐标为()ρθ，，则对应的P 点的极坐标为π()2ρθ+，又点P 在1C 上，所以π4sin()4cos 2ρθθ=+=即2C 的极坐标方程为4cos ρθ= ,(2)由题意知点M 到射线π6θ=的距离为π4sin 3d ==由第1问知1C 的极坐标方程为4sin ρθ=， )ππ4(cos sin )2166B A AB ρρ=-=-=，所以162MAB AB d =⋅=-△S 解析：23.答案：(1)当0a =时，()(1)1f x x x x x =++-.当1x ≥时，2()(1)(1)2f x x x x x x =++-=，此时()0f x ≥的解集为{}1x x ≥； 当01x ≤<时，()(1)(1)2f x x x x x x =++-=，此时()0f x ≥的解集为{}01x x ≤<； 当0x <时，2()(1)(1)2f x x x x x x =-+--=-，此时()0f x ≥的解集为∅. 综上所述()0f x ≥的解集为{}0x x ≥.(2)由第1问可知当0a =时，在(),0x ∈-∞内()0f x <恒成立；当0a <时，在(),0x ∈-∞内()()(1)(1)()2()0f x x a x x x a x x a =-++--+=-+<恒成立； 当0a >时，在(),0x a ∈-内()()(1)(1)()2()0f x x a x x x a x a =++--+=+>， 不满足()0f x <在(,0)-∞上恒成立的条件. 综上所述0a ≤. 解析：。
石家庄市2020届高三年级阶段性训练题答案数学理科一、选择题：1.B.【解析】由题意知{}|2B x x =>，故{}3≤<2=x x B A |I ，故选B.2. A.【解析】:p ⌝()0,0x ∃∈−∞，0023x x <，故选A.3. B.【解析】1(1)()11()1i i i i z i i i i −−−−−====−−⋅−，则1z i =−+，所以对应点在第二象限，故选B.4.C.【解析】由于x y 30=.在R 上单调递减，故1=30<30<0020...；由于x y 5=在R 上单调递增，故1=5>5030.；由于x y 20=.log 在()+∞0,上单调递减，故0=1<52020..log log .故b a c <<，故选C.5.D.【解析】由于sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此只需将函数x y 2=sin 的图象向右平移6π个单位，故选D.6.C.【解析】如图阴影部分为可行域，目标函数3+=x y z 表示可行域中点()y x ,与()0,3−连线的斜率，由图可知点()3,1P 与()0,3−连线的斜率最大，故z 的最大值为43，故选C.7.D.【解析】根据正弦定理知()()()B C c B A b a sin sin sin sin +=−+化为为()()()b c c b a b a +=−+，即bc c b a ++=222，故21−=2−+=222bc a c b A cos ，故32=πA ，则23=A sin .因为4=+c b ，bc c b 2≥+，所以4≤bc ，当且仅当2==c b ，等号成立，此时ABC Δ的面积3≤21=A bc S sin ，故ABC Δ的面积的最大值为3.故选D.8.C.【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的渐近线方程为b y x a =±，由对称性，不妨取b y x a =，即0bx ay −=．又曲线22420x y y +−+=化为()2222x y +−=，则其圆心的坐标为()0,2，半径为2． 由题得，圆心到直线的距离()22211d =−=，又由点到直线的距离公式．可得2221a d b a ==+． 解得223b a =，所以222222212c a b b e a a a +===+=，故选C. 9.A.【解析】由题意知||||5AC BD ==u u u r u u u r ,设C 到BD 的距离为d ，则有122555d ⨯==，故 ()BD CM BD AC BD CM AC BD AM ⋅+⋅=⋅+=⋅, 其中()()3−=+⋅+=⋅CD BC BC AB BD AC ,2=⋅≤⋅BD CM BD CM ,当且仅当CM 与BD 同向时，等号成立，故选A.10.D.【解析】由1+3=+1+n a a n n 得4+3=+1+2+n a a n n ，两式相减得3=−2+n n a a ，故Λ,,,531a a a 和Λ,,,642a a a 均为以3为公差的等差数列，11,a =，易求得()*2132k a k k N −=−∈.则9130=⎪⎭⎫ ⎝⎛911−131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1−1++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1−1+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1−131=1++1+16159533161595331a a a a a a a a a a a a ΛΛ，故选D.11.B.【解析】由()()x f x f −2=知()x f 关于1=x 对称，如图，令()0=x g ，即()x f x m =2−，设()2−=x m x h ，当0>x 时，()2−=mx x h ，设()x h 与()1≤=x x y ln 相切时的切点为()00x x P ln ,，x y 1='，则有0001=2+x x x ln ，解得e x 1=0，此时e x m =1=0，当()x h 过点()12,时，23=m ，故B 选项正确.若()x g 恰有两个零点，则0≤m 或e m =，故A 选项错误；若()x g 恰有四个零点，则23≤<0m ，故C 、D 选项错误.故选B.12. C.【解析】由题意知2+2+=2+2+=2+2+=323312211x x d x x d x x d ,,，带入2312=+d d d 得()31321+2=+2+x x x x x ，即312+=2x x x .由F 为321P P P Δ的重心，则有0=3++2=3++321321y y y x x x ,，即22−6=2x x ，即2=2x ，所以4−=2y ，因此有4=+31y y .故31P P 所在直线的斜率2=+8=−−=313131y y x x y y k ，故选C. 二、填空题:13. 255 【解析】由题意知225sin 55α==. 14.15.【解析】61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为33216C r r r T x −+=，33022r r −=⇒=，所以展开式的常数项为26C 15=.15. 4π；π40.【解法一】作⊥PE 平面ABCD ，由︒60=∠=∠PAD PAB 知点E 在线段AC 上，过E 作AB EH ⊥，连结PH ,因为E PE EH PE AB EH AB =⊥⊥I ,,，故⊥AB 平面PEH ,故PH AB ⊥.在PAH Rt Δ中，3=1=PH AH ,；在EAH Rt Δ中，1=2=EH AE ,；在PEH Rt Δ中，2=PE ,因此1=∠PAE tan ，故4=∠πPAE ；取M 为AC 中点，设该四棱锥的外接球的球心为O ，半径为R ，⊥OM 平面ABCD ，设d OM =，作OM PF ⊥，易知四边形PFME 为正方形.则有()⎪⎩⎪⎨⎧2+2+=8+=2222d R d R ，解得⎪⎩⎪⎨⎧10=2=R d ，故外接球表面积为πR πS 40=4=2.16. 515−1.【解析】由题意知，至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”的概率()()()43−1+−1=p p p p p f ，()()()2+10−5−1='22p p p p f ，令()0='p f ，解得515−1=p ，故()p f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛515−10,上单调递增，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1515−1,上单调递减，故当515−1=p 时，()p f 取得最大值. 三、解答题17.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ,由621S =得：()166212a a +=，所以167a a +=，………………………………2分又因为369a a +=，所以1d =.………………………………………………………4分于是11a =，故n a n =.……………………………………………………………………6分（Ⅱ）设{}n b 的前项和为n T ，因为12n n n a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2n n b n =⨯，……………………8分 依题1212222n n T n =⨯+⨯++⨯L ，则231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯L于是1211212122n n n T n +−=⨯+⨯+⨯−⨯L ()1122n n +=−⨯−………………………10分即()1122n n T n +=−⨯+故：()1122n n T n +=−⨯+.…………………………………………………………………12分18.证明：（Ⅰ）在图1△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边中点 所以DE ∥BC …………1分又因为AC ⊥BC 所以DE ⊥AC在图2中DE ⊥A 1D ， DE ⊥DC 且A 1D ∩DC =D ，则DE ⊥平面A 1CD …………3分又因为DE ∥BC 所以BC ⊥平面A 1CD又因为BC ⊂平面A 1BC ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1BC ………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE ⊥平面A 1CD 且DE ⊂平面BCDE所以平面A 1CD ⊥平面BCDE,又因为平面A 1CD ∩平面BCDE =DC在正△A 1CD 中过A 1作A 1O ⊥CD ，垂足为O . 所以A 1O ⊥平面BCDE分别以CD ，梯形BCDE 中位线，OA 1所在直线为x 轴， y 轴，z 轴建立如图坐标系 ………………………………………………………………………………7分则A 1(0,0,3) ，B (1,4,0) ，C (1,0,0)， E (-1,2,0) .)3,0,1(1−=C A ，)3,2,1(1−=EA ，)0,2,2(=EB . 设平面A 1BE 的法向量为n 111(,,)x y z =，则111111230220EA n x y z EB n x y ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r u u u r 取(1,1,3)=−−n .………………………………………………………………9分 设直线A 1C 与平面A 1BE 所成角为θ， 则sin θ =1111110(3)(3)cos ,13113⨯−⨯+−⨯−⋅==+⋅++⋅u u u u r u u u u r u u u u r A C A C A C n n n……………………11分255=. 所以直线A 1C 与平面A 1BE 所成角的正弦值为255. ………………12分 19.解：（Ⅰ）设()(),00F c c −> ，由条件知()0,B b ，所以△ABF 的面积为()13222c b +⋅= ○1……1分由2c a =得222a c =，从而2222b c c +=，化简得b c = ○2 ……………………………2分 ○1○2联立解得1b c ==， ……………………………4分从而a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=； …………………………… 5分 （Ⅱ）当l x ⊥轴时，不合题意，故设():2l y k x =−， ……………………………6分将()2y k x =−代入2212x y +=得()2222128820.k x k x k +−+−=由题()24240k ∆=−>得k << …………………………… 7分 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则22121222882,1212k k x x x x k k −+==++ ……………………………8分 因为13OP OQ ⋅=u u u r u u u r ， 所以()()()()22221212121212121221243x x y y x x k x x k x x k x x k +=+−−=+−++=……………… 9分从而()2222222828112412123k k k k k k k −+−+=++g g 解得1222k ⎛⎫=±∈− ⎪⎝⎭，…………………………11分 所以直线l 的方程为220x y +−=或220x y −−=. ……………………………12分（2）解法二：当l y ⊥轴时，其方程为0y =， 2OP OQ ⋅=−u u u r u u u r ，不合题意， ………………………………6分当l 与y 轴不垂直时，设:2l x my =+，将2x my =+代入2212x y +=得()222420.m y my +++=由题()2820m ∆=−>得m >或m <， …………………………… 7分 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12122242,22m y y y y m m −+==++ …………………………… 8分 因为13OP OQ ⋅=u u u r u u u r ， 所以()()()()21212121212121221243x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++=，…………9分从而()222241124223m m m m m −+++=++gg 解得(2,m =±∈−∞U ，……………11分所以直线l 的方程为220x y +−=或220x y −−=. ……………………………12分 20.解：（Ⅰ）以样本的频率作为概率，在昼批次中随机抽取1件为合格品的概率是910，在夜批次中随机抽取1件为合格品的概率是34，…………2分 故两个批次中分别抽取2件产品，其中恰有1件不合格产品的概率为22112219313981101044410200C C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………4分 （Ⅱ）①若对所有产品不做检测，设1Y 为昼批次中随机抽取1件的利润，1Y 的可能取值为10，-25， 所以1Y 的分布列为所以1250.1100.9 6.5EY =−⨯+⨯=,故在不对所有产品做检测的情况下，1000件产品的利润的期望值为110006500EY =，……… 6分设2Y 为夜批次中随机抽取1件的利润，2Y 的可能取值为10，-25， 所以2Y 的分布列为所以2250.25100.75 1.25EY =−⨯+⨯=，故在不对所有产品做检测的情况下，1000件产品的利润的期望值为210001250EY =，…………8分②若对所有产品做检测，昼批次1000件产品的合格品的期望为900件，不合格品的期望为100件，所以利润为90010 2.5100010056000⨯−⨯−⨯=，夜批次1000件产品的合格品的期望为750件，不合格品的期望为250件，所以利润为75010 2.5100025053750⨯−⨯−⨯=，……………………………… 10分综上，昼批次不做检测的利润期望6500大于做检测的利润期望6000，故昼批次不做检测为好；夜批次不做检测的利润期望1250小于做检测的利润期望3750，故夜批次做检测为优．………… 12分21. 解：（Ⅰ）由()b ee xf xx−2+−='−，得()b f −2=0'；由()ax x g 2='，得()a g 21='.………………………1分根据题意可得()⎩⎨⎧−++=+==b b a g a 212122，解得2=1=b a ,；………………………………………3分（Ⅱ）解法一：由不等式()()22+−≥k x kg x f 对任意R x ∈恒成立知022≥−−+−kx ee xx恒成立，令()2−−+=2−kx e e x F x x ，显然()x F 为偶函数，故当0≥x 时，()0≥x F 恒成立.……………………4分 ()kxe e x F x x 2−−='−，令()()02≥−−=−x kx e e x h x x ，()ke e x h x x 2−+='−，令()()()x x x x e e x H x k e e x H −−−='≥−+=,02，显然()x H '为()+∞,0上的增函数，故()()00='≥'H x H ，即()x H 在()+∞,0上单调递增，()k H 220−=.…………………………………………………………………………5分①当()0220≥−=k H ，即1≤k 时，()0≥x H ，则有()x h 在()+∞,0上单调递增，故()()00=≥h x h ，则()x F 在()+∞,0上单调递增，故()()0=0≥F x F ，符合题意；……………………………………6分 ②当()0220<−=k H ，即1>k 时，因为()0212ln >=kk H ，故存在()k x 2ln ,01∈，使得()01=x H ，故()x h 在()1,0x 上单调递减，在()+∞,1x 上单调递增.当()1,0x x ∈时，()()00=<h x h ，故()x F 在()1,0x 上单调递减，故()()0=0<F x F 与()0≥x F 矛盾.综上，1≤k .……………………………………………………………………………………8分 解法二：由不等式()()22−−≥k x kg x f 对任意R x ∈恒成立知022≥−−+−kx ee xx恒成立，当0=x 时，不等式成立；当0≠x 时，2−2−+≤x e e k x x ，令()2−2−+=xe e x h x x ，由于()x h 为偶函数，故只需考虑()+∞0,的情况即可.………………………………………………………………………………………………4分当()+∞0∈,x 时，()()()3−−2−+2−−='x e e e e x x h x x x x .令()()()2−+2−−=−−xx x x e e e e x x F ，()()()x x x x e e e e x x F −−−−+='，令()()()()()x x x x x x e e x x G e e e e x x G −−−−='−−+=,，当()+∞0∈,x 时，()0>'x G ，故()x G 在()+∞0,上单调递增，故()()0=0>G x G .……………………………………………………………………………………6分因此当()+∞0∈,x 时，()0>'x F ，故()x F 在()+∞0,上单调递增，即有()()0=0>F x F ，故()0>'x h ，所以()x h 在()+∞0,上单调递增，由洛必达法则有1=2+=2−=2−+−0→−0→2−0→xx x x x x x x x e e x e e x e e lim lim lim ，故1≤k .………………………………………………………………………………………………8分（Ⅲ）解法一：()()()()()21122121221121x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e x f x f +−−−+−−+++=++=⋅，由（2）知()()22212121++≥++−+x x e e x x x x ，当且仅当120x x +=时，等号成立；()22211221+−≥+−−x x e e x x x x ，当且仅当120x x −=时，等号成立.故()()422222121++≥⋅x x x f x f ，当且仅当120x x ==时等号成立.…………………………………………………………………………………………………………10分 因此有()()4cos 2sin 2cos sin 2121++>n n f f θθθθ，()()4cos 2sin 2cos sin 122212++>−−n n f f θθθθ，…， ()()4cos 2sin 2cos sin 1221++>θθθθn n f f以上n 个式子相加得()()()()()()()()n f f f f f f f f n n n n 6cos sin cos sin cos sin cos sin 121121>⋅+⋅++⋅+⋅−−θθθθθθθθΛ.……………………………………………………………………………………………12分解法二：由（Ⅱ）知()()()()42242222222122212221222121++≥+++=++≥x x x x x x x x x f x f ，当且仅当120x x ==时等号同时成立.……………………………………………………………10分故()()4cos 2sin2cos sin 2121++>n n f f θθθθ，()()4cos 2sin 2cos sin 122212++>−−n n f f θθθθ，…， ()()4cos 2sin 2cos sin 1221++>θθθθn n f f以上n 个式子相加得()()()()()()()()n f f f f f f f f n n n n 6cos sin cos sin cos sin cos sin 121121>⋅+⋅++⋅+⋅−−θθθθθθθθΛ.……………………………………………………………………………………………………12分 （二）选考题：22.解：（Ⅰ）曲线1C的参数方程为,322132x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩(t 为参数).消去t 得0x =,将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式得曲线1C 的极坐标方程cos sin 0,sin 62πρθθρθ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭整理得 … … … … … … 2分 因为 222221sin -2cos cos ϕϕϕ=−y x … … … … …4分=221-sin =1cos ϕϕ所以曲线2C 的普通方程为22y 2x −=1. … … … … … 5分（Ⅱ）因为233P ⎛⎫−⎪ ⎪⎝⎭在曲线1C 上,所以将1C的参数方程,322132x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩(t 为参数).代入到2C 的直角坐标方程得25480839t t +−=, ………………………………………… 8分则有126445t t ⋅=−,由参数t 的几何意义得1264.45PA PB t t ⋅=⋅= … … … … … … … … … … … … … … … … … … 10分23. 解：()1()31,2,13,2,2131,,2x x f x x x x x <<⎧⎪−−≤−⎪⎪=−+−⎨⎪⎪+≥⎪⎩… … … … … … … … … … … … 2分当2x ≤−时,()f x 5≥;当122x −<<时,5()52f x <<;当12x ≥时,()f x 52≥. ()5.2f x 所以的最小值为 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5分()()521=2 5.2M a b += 由知，即()()00111211111217121又因为，，所以+++⎛⎫=++++>>⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭a b a b a b a b… … … … … …… … … … … … …… 7分121127121++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭b a a b … … … … … … … … … … … … … …… … … … … … … …8分17⎛≥ ⎝4=.7114.1217a b +≥++所以… … … … … … …… … … … … … … … … … 10分。
第 1 页 共 11 页石家庄市2020届高三年级阶段性训练题答案数学理科一、选择题：1.B.【解析】由题意知{}|2B x x =>，故{}3≤<2=x x B A |I ，故选B.2. A.【解析】:p ⌝()0,0x ∃∈-∞，0023x x <，故选A.3. B.【解析】1(1)()11()1i i i i z i i i i -----====--⋅-，则1z i =-+，所以对应点在第二象限，故选B.4.C.【解析】由于x y 30=.在R 上单调递减，故1=30<30<0020...；由于x y 5=在R 上单调递增，故1=5>5030.；由于x y 20=.log 在()+∞0,上单调递减，故0=1<52020..log log .故b a c <<，故选C.5.D.【解析】由于sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此只需将函数x y 2=sin 的图象向右平移6π个单位，故选D.6.C.【解析】如图阴影部分为可行域，目标函数3+=x y z 表示可行域中点()y x ,与()0,3-连线的斜率，由图可知点()3,1P 与()0,3-连线的斜率最大，故z 的最大值为43，故选C.7.D.【解析】根据正弦定理知()()()B C c B A b a sin sin sin sin +=-+化为为()()()b c c b a b a +=-+，即bc c b a ++=222，故21-=2-+=222bc a c b A cos ，故32=πA ，则23=A sin .因为4=+c b ，bc c b 2≥+，所以4≤bc ，当且仅当2==c b ，等号成立，此时ABC Δ的面积3≤21=A bc S sin ，故ABC Δ的面积的最大值为3.故选D.。
2020届河北省石家庄市第二中学（南校区）高三下学期教学质量检测模拟数学（理）试题一、单选题 1．已知复数3213iz i-+=++则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】将z 整理成z a bi =+ 的形式,从而可求复数在复平面内对应的点. 【详解】 复数()()()()3133222131313i i iz i i i i -+--+=+=+=+++-,则复数z 在复平面内对应的点()2,1在第一象限. 故选:A. 【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的几何意义.2．设集合{}{}2|3,|4P x x Q x x =>=>,则下列结论正确的是（ ） A ．Q P ⊆ B ．P Q ⊆ C ．P Q = D ．P Q R =U【答案】B【解析】分别解出23,4x x >>,即可判断两个集合的关系. 【详解】解:集合{|}{33|P x x x x ＝＞＝＜﹣或3}x ＞,2{|}{42|Q x x x x ＝＞＝＜﹣或2}x ＞P Q ∴⊆故选:B. 【点睛】本题考查了绝对值不等式,考查了二次不等式,考查了集合的关系.判断集合关系前,一般需要对已知集合进行化简,通过解方程、解不等式、画图像等进一步明确元素. 3．若224,2()3,63a b log c log ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c ＜＜ B ．a c b ＜＜C ．c b a ＜＜D ．b c a ＜＜【解析】判断a 与1的大小关系,由4266c log log ＝＝可判断,,1b c 的大小关系,从而可选出正确答案. 【详解】 解:由已知可得419a =<,2log 31b =>,4266c log log ＝＝ 222log 2log 6log 3<<Q , 1c b ∴<<.即b c a >>.故选:B. 【点睛】本题考查了对数的运算,考查了对数函数的性质.两个对数型的数比较大小时,若底数一样,则构造对数函数,通过单调性判断;若真数一样,则可画对数函数的图像来比较;若底数和真数都不相同,则通过比较中间值来比较两数的大小. 4．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D【解析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】 解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D.本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz=+的形式,在可行域内通过平移y ax=找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.5．“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体.在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗.如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为（）立方分米.A．40 B．853C．30 D．733【答案】A【解析】由三视图还原出几何体,即可分析最小长方体的长宽高,从而可求出长方体的体积.【详解】由三视图还原,原几何体如图,要加工成如图所示散斗,则长方体木料长的最小值为4,宽的最小值为4,高的最小值为52，则长方体木料的最小体积为544402⨯⨯=立方分米.故选:A.本题考查了由三视图还原几何体,考查了几何体体积的求法.本题的关键在于对最小体积的理解.难点则为由三视图还原出几何体.6．不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（ ） A ．314B ．37C ．67D ．1328【答案】B【解析】先求出基本事件的总数28C ,再求出满足要求的基本事件的个数1162m C C =,则由古典概型可求概率. 【详解】解:由题意知,本题中基本事件总数2828n C ==,取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数:116212m C C ==.则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为123287m P n ===. 故选:B. 【点睛】本题考查了古典概型.求古典概型时,需要求出试验总的基本事件个数,以及满足要求的基本事件个数.常用的方法有列举法、排列组合法.在运用列举法时,通过明确写出每一个基本事件,从而得到数量,进行求解,有些题目这样做可能用时较长;有的问题我们可以结合排列组合的思想去求基本事件的个数,这样往往能提高做题速度.7．已知F 是抛物线2:8C y x ＝的焦点，M 是C 上一点，MF 的延长线交y 轴于点N .若2MF FN =u u u r u u u r，则MF 的值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A【解析】由抛物线的标准方程,可求出焦点()2,0F .由2MF FN =u u u r u u u r 可知13NF MN =,从而3326MA OF ⨯＝＝＝,继而可求出MF . 【详解】解:由抛物线的方程可得焦点()2,0F ,准线方程为:2x =-.作MA 垂直于y 轴交于A因为2MF FN =u u u r u u u r ,所以可得F 为线段MN 的三等分点,即13NF MN =.由NFO NMA ∆∆:,所以13OF MA =,即3326MA OF ⨯＝＝＝,所以628MF =+=故选:A.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程,考查了抛物线的定义.对于抛物线中焦点弦问题,在求长时,首先考虑抛物线的定义,其次才是联立抛物线与焦点弦直线方程,代入弦长公式进行求解.本题的关键是长度的转化.8．某函数的部分图象如下图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是（ ）A ．sin 2sin 2xxy e =B ．cos2cos 2xxy e =C ．cos2cos 2xx y e =D ．cos cos xx y e =【答案】C【解析】利用函数图象判断奇偶性，排除选项A ，根据周期性，排除选项D ，利用x ∈R 时，()f x 的值恒大于等于0，排除B ，则答案可求. 【详解】根据函数()f x 的部分图象，可得该函数的图象关于y 轴对称，故该函数为偶函数， 而A 中的函数sin 2sin 2xxy e=为奇函数，故排除A ；再根据图像可知()f x 的最小正周期4T <，而cos cos xx y e=的最小正周期是2π，大于4，故排除D ；又当x ∈R 时， ()f x 的值恒大于等于0，故排除B. 所以C 选项是正确的. 【点睛】题.9．如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度（如图），铁塔AB 垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B 在同一水平面上选择,C D 两观测点，且在,C D 两点测得塔顶的仰角分别为45o ,30o 并测得120BCD ∠=o ，,C D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是（ ）A ．300mB ．600mC ．3003mD ．6003m【答案】B【解析】设AB x =,则,3BC AB x BD x =＝＝,在BCD ∆中,结合余弦定理可列关于x的方程,求出后即可得到AB 的长. 【详解】解:设AB x =,由图利用直角三角形的性质可得:,3BC AB x BD x =＝＝.在BCD ∆中,由余弦定理可得:22236002600120x x xcos +⨯o ＝﹣ 化为:23001800000x x ﹣﹣＝,解得600x ＝. 故选:B . 【点睛】本题考查了解三角形.已知两角及一角的对边,常利用正弦定理解三角形;已知两边及其夹角或者三边,常利用余弦定理解三角形.10．已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD ∆与Rt BCD ∆）组成的三角形，如图所示.其中，45CAD ∠o ＝,60BCD ∠o ＝，现将Rt ACD ∆绕斜边AC 旋转至1D AC ∆处（1D 不在平面ABC 上）.若M 为BC 的中点，则在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角θ( )A ．(0,45)θ∈o oB ．(0,45]θ∈o oC ．(0,60]θ∈o oD ．(0,60)θ∈o o【答案】D【解析】由题意分析出1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠取得最大值为60o ,但取不到60o .进而可求出θ的取值范围. 【详解】解:作//AP DM ,1AD 可以看成以AC 为轴线，以45o 为平面角的圆锥的母线.由题意知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠取得最大值 则1PAD ∠的最大值为451560︒︒+=o ， 此时，1D ∈平面ABC .1D Q 不在平面ABC 上,()10,60PAD ∴∠∈o o .∴在ACD ∆旋转过程中，直线1AD 与DM 所成角()0,60θ∈o o .故选:D. 【点睛】本题考查了线线所成角.本题的难点在于分析出线线所成角上下限.对学生的空间想象能力有一定的要求.11．设符号{}min x y z ，，表示,,x y z 中的最小者，已知函数()22{||,}2,f x min x x x +＝﹣则下列结论正确的是（ ）A ．[)()()0,,2x f x f x ∀∈+∞->B ．[)()()1,,2x f x f x ∀∈+∞->C ．()()(),x R f f x f x ∀∈≤D ．()()(),x R ff x f x ∀∈>【答案】C【解析】分别画出22,,2y x y x y x =-==+的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确选项.解:如图所示:由题意可得A 中，[]()2,0,1()2,1,x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩. B 中，当12x ≤≤时，120x ≤≤﹣﹣，()()()222f x f x x f x --≤-＝＝. 当23x ≤＜时，021x -≤＜，()()22f x x f x -≤-=.当34x ≤＜时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=. 当4,22x x ≤-≥，恒有()()2f x f x -<，所以B 不正确，A 也不正确；C 中，从图象上看，[)()0,,x f x x ∈+∞≤.令()t f x =，则0t ≥所以()f t t ≤，即()()()f f x f x ≤，故C 正确，D 不正确.故选:C.【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了分段函数.本题关键是分别画出三个函数的图象.在画()y f x = 的函数图象时，一般地，先画出()y f x = 的图象，再将x 轴下方的图象向上翻折即可.二、填空题12．已知函数()22f x cosx sinx sin x +＝,给出下列三个命题： ①函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；②函数()f x 在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增； ③函数()f x 的最小正周期为π. 其中真命题的个数是（ ）【解析】讨论x的取值范围,去掉绝对值号,从而得到()30,2,222, 2sin2,2,222x k kf x k Zx x k kππππππππ⎧⎡⎤∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=∈⎨⎡⎫⎪∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩,结合图象即可判断三种命题的正确与否.【详解】解:()32cos sin sin2,2,222222cos sin sin2,2,222x x x x k kf x cosx sinx sin xx x x x k kππππππππ⎧⎡⎤-+∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦+=⎨⎡⎫⎪+∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩＝30,2,222,2sin2,2,222x k kk Zx x k kππππππππ⎧⎡⎤∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=∈⎨⎡⎫⎪∈-++⎪⎢⎪⎣⎭⎩,其大致图象如图所示①()f x的图象不关于直线4xπ=对称,即①错误;②()f x在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增,即②正确;③()f x的最小正周期为2π,即③错误.故选:B.【点睛】本题考查了分段函数,考查了三角函数的性质.对于含有绝对值的函数,在研究其性质时,通常讨论自变量的取值范围,将绝对值号去掉,从而得到分段函数.对于分段函数,最常用的方法就是画图像研究性质.本题使用了数形结合的数学思想.关键是去掉绝对值号. 13．函数lny x x=+在点()1,1处的切线方程为_____．【答案】210x y--=函数ln y x x =+ 则1'1y x=+由导数几何意义可知112k =+=根据点斜式可得直线方程为()121y x -=⨯- 化简可得210x y --= 故答案为：210x y --= 【点睛】本题考查了导数的几何意义，过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.14．已知向量,a b rr 满足2,1a b ==r r ，若()()a ab b a b ⋅++⋅-r r r r r r 的最大值为1，则向量,a b rr 的夹角θ的最小值为__________，2a b +r r 的取值范围为__________．【答案】23π[]0,2 【解析】分析：由题意()()1a a b b a b ⋅++⋅-≤r r r r r r ，求得23πθπ≤≤，所以θ的最小值为23π，再利用向量的模的计算公式，即可求解.详解：由题意2,1a b ==r r ，则()()22234cos 1a a b b a b a a b b θ⋅++⋅-=+⋅-=+≤r r r v v r r r v v ，解得11cos 2θ-≤≤-，所以23πθπ≤≤，所以θ的最小值为23π，所以[]222|2|4488cos 0,4a b a a b b θ+=+⋅+=+∈r v v r v v ，所以[]20,2a b +∈r r .点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．15．飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀.某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为45，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是_____ 【答案】124【解析】先求出该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率03034155C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率. 【详解】解:由题意知，该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率为03034155C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是：030341124155125P C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为: 124125. 【点睛】本题考查了独立事件的概率计算.利用对立事件的概率之和为1，可以减少本题的计算量.16．已知双曲线C 的方程为2218y x -=，右焦点为F ，若点()0,6N ，M 是双曲线C的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为_____ 【答案】2【解析】求出左右焦点的坐标()()3,0,'3,0F F -，从而可求NF ==；通过分析，将周长最小转化为求'MN MF +的最小值.当P 在左支上运动到,,'M N F共线时'MN MF +取得最小值'NF =. 【详解】解：双曲线的标准方程为2218y x -=，设双曲线的左焦点为'F ，由双曲线C 可得()()3,0,'3,0F F -，NF ==FMN ∆周长为MN MF NF MN MF ++=++由双曲线的定义可得'22MF MF a -==，即有'2MN MF MN MF +=++.当P 在左支上运动到,,'M N F 共线时，'MN MF +取得最小值'NF =则有FMN ∆周长的最小值为22=.故答案为: 2. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的几何意义.对于圆锥曲线中的三角形问题时，常根据椭圆、双曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理对三角形进行求解.本题的难点是将三角形周长最小值问题转化成两条线段之和最小.三、解答题17．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ≥，n *∈N 时，()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*nn na c n Nb =∈，，证明：12...2n c c c +++<. 【答案】（1）n a n =;2nn b =;(2)证明见解析.【解析】（1）用1a 和d 将已知22a =，36S a =表示出来即可求出首项公差,从而可求通项公式；由()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+可得()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）用错位相减法求出{}n c 的前n 项和212 (222)n n nT =+++，即可证明不等式. 【详解】解：（1）数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a = 设数列的首项为1a ，公差为d ，则：1112335a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，所以()11n a n n =+-=.因为()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+① 所以当2,n n N *≥∈ 时，()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+.② ①﹣②得：()()12224n n n n a b n b n b -=---，由于n a n =，整理得12nn b b -=（常数）. 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.所以1222n n n b -=⨯=.证明：（2）由（1）得2n n n n a nc b ==.所以212 (222)n n n T =+++①， 故231112 (2222)n n nT +=+++②①﹣②得： 23111111111122 (112222222212)n n n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++-==---.所以112222n n n nT -=--<.即12...2n c c c +++<.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了由递推数列求通项公式，考查了错位相减法.对于等差数列求通项公式时，常用的方法为基本量法，即用首项和公差表示出已知条件，从而求出首项和公差.本题的易错在于错位相减时的计算上，常算错数，或者最后忘记系数化1.18．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1，点M 、E 分别是PA 、PD 的中点(1)求证：CE //平面BMD(2)点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦值. 【答案】(1)见解析；（2）5cos θ=【解析】(1) 连接ME ，通过对边关系得到四边形BCEM 为平行四边形，所以CE BM P ，进而得到线面平行；（2）建立坐标系，进而得到直线PA 的方向向量，和面的法向量，进而得到线面角. 【详解】（1）连接ME ，因为点,M E 分别是,PA PD 的中点，所以1,2ME AD ME AD =P ，所以,BC ME BC ME =P ，所以四边形BCEM 为平行四边形，所以CE BM P .又因为BM ⊂平面BMD ，CE ⊂平面BMD ,所以CE P 平面BMD .（2）如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则又1,1,12CQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u v ，()1,0,1CE =-u u uv设平面CEQ 的法向量为(),,n x y z =，列方程组求得其中一个法向量为()2,1,2n =，设直线PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是22sin 3414001θ==++⨯++，进而求得5cos θ=. 【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．19．已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右顶点分别为A 、B ，且AB 4=，椭圆C 3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()()1,0M m m ≠ 在椭圆C 内，直线AM 与BM 分别与椭圆C 交于E 、F 两点，若AMF ∆面积是BME ∆面积的5倍，求m 的值.【答案】（1）2214x y +=;（2）12m =±.【解析】（1）由AB 4=可求a可求c ，由222a b c =+可求b ，进而可求标准方程.（2）由()()1,0M m m ≠可求出直线AM 与BM 的方程，与椭圆方程联立，进而可求E 、F 的纵坐标，由面积关系可得22412541494m mm m m =-++，从而可求m 的值.【详解】解：（1）由题意可得：22224a ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， ∴ 椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. （2）()()()1,,2,0,2,0M m A B -Q ，∴直线AM 的斜率3AM m k =， ∴ 直线AM 的方程为：()23my x =+.联立直线和椭圆的方程 ()222314m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294E m y m =+，同理可得2414F my m =+， 5AMF BME S S ∆∆=Q ，即()()5ABF ABM ABE ABM S S S S ∆∆∆∆-=-.54ABF ABE ABM S S S ∆∆∆∴=-22412541494m m m m m ∴=-++ ，又0m ≠Q ，42161630m m ∴+-=，解得214m =或34因为点M 在椭圆内，所以234m <.214m ∴=，12m ∴=±.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交问题.本题第二问的关键在于求出交点的纵坐标，以此为三角形的高列出方程.本题的易错点在于忽略点()()1,0M m m ≠在椭圆C 内这一条件，从而未对m 的值进行取舍.20．BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 时，我们说身高较高，身高小于170cm 时，我们说身高较矮.某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程ˆ0.875.9yx =-.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）；（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg ）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.参考公式： ()()()()221112222111ˆ1.()ˆnnnii ii i ii i i n nniiii i i yyxx y y x ynxyR yy xx n bxx ======----=-==---∑∑∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-.ˆˆˆi i ie y bx a =--. 参考数据：8178880i ii x y==∑，821226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，()821226i i y y =-=∑.【答案】（1）填表见解析;20.90R ≈;（2）ˆ0.67555.9yx =-. 【解析】（1）由表中的数据可求出线性回归方程为ˆ0.875.9yx =-，进而可完善所给表格，求出所有残差值.由()22121ˆ1()ni i i nii y yR yy ==-=--∑∑即可求出贡献值2R .（2）计算修订后8'177496i ii x y==∑以及'57.5y =，代入到818221ˆi ii ii x ynxyxx bn ==-=-∑∑，ˆˆ'ay bx =-进而可求出线性回归方程. 【详解】解：（1）由题意知线性回归方程为ˆ0.875.9yx =-，计算6570.816975.9ˆ 2.3e=-⨯+=-，7500.815875.9ˆ0.5e =-⨯+=-，8660.817375.ˆ9 3.5e=-⨯+=.完善下列残差表如下，计算()()22121ˆ1110.010.090.81 2.250.25 5.290.2512.250.90226()ni i i n ii yy R yy ==-=-=-⨯+++++++≈-∑∑ ，所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值20.90R ≈.（2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，且858y = 由8178880i ii x y==∑，计算修订后8'178880173661735877496i i i x y =-⨯+⨯==∑又821226112ii x ==∑，168x =，修订后()1'858.5665857.58y =⨯⨯-+=. 所以818222177496816857.50.6ˆ752261128168i ii ii x ynxyxbnx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ'57.50.67516855.9ay bx =-=-⨯=-. 所以x 关于y 的线性回归方程是ˆ0.67555.9yx =-. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解.易错点在于符号的规范书写，关键在于计算的精度和速度.合理代入已知的数据会大大减少计算量. 21．已知函数()()2ln f x ax b =+，其中,a b ∈R .（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数()()()()()211,0g x ax a ax f x a R a =+++-∈≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值.（参考数据50.2234ln≈：）【答案】（1）4e;（2）1-. 【解析】（1）利用导数的几何意义可得02222b a ax aaln a ∴＝-=﹣，因此()222220a a a b ln a a =>﹣，()22222,0g a a a ln a a =﹣＞利用导数研究其单调性，即可求出()g x 的最大值，即求出ab 的最大值.（2）根据题意，关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=利用导数得到存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭.则要使得关于t 的方程22ln 0)t ta t t-=(＞有两个不同的解，则()0a h t <，当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝经验证()p t 有两个不同的零点，即可证明. 【详解】解：（1）设直线y x =与曲线()y f x =相切于点()()00,2ln P x ax b +，2'()a f x ax b=+Q ，002'()1a f x ax b ∴==+，()020ax b a a ∴+=>. 又因为点P 在切线y x =上，所以()002ln ax b x +=.所以02ln 2a x =02222b a ax a aln a ∴＝-=﹣.因此()222220a a a b ln a a =>﹣设()22222,0g a a a ln a a =﹣＞，则()'2422122)g a a aln a a ln a ＝﹣＝(﹣ 令'()0g a >得，0a <<；令'()0g a <得，a >.()g a ∴在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭上单调递减. ()g a ∴的最大值为24e g ⎛= ⎝⎭.则ab 的最大值为4e.（2）函数()()21)(1)(,0)g x ax a ax f x a R a +++-∈≠=(有两个不同的零点,等价于方程22(1)1)(1)ln ax ax a ax ++++=(有两个不相等的实根. 设1t ax +＝，则等价于方程2200lnt t at t =﹣﹣（＞）有两个不同的解，即关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=, 则2222ln '()t t h t t--=.设2()22m t t lnt ＝﹣﹣，由0t >可知2'()20m t t t =--< ()m t ∴ 在()0,∞+上单调递减，又575(1)10,2ln 04164m m ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭∴存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00m t =，即200 22ln 0t t --=，则2002ln 2t t +=. 当()00,t t ∈时，()0m t >，'()0h t >，函数()h t 单调递增；当()0,t t ∈+∞时()0m t <，'()0h t <，函数()h t 单调递减.所以函数()h t 的极大值为()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭.要使得关于t 的方程()22ln 0t ta t t-=>有两个不同的解，则()0a h t <.当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝，则2'()21p t t t=-+ 可知()p t在10,4⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在14⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，又21(1)0,0,()204p p p e e e ⎛=>=-+<⎝⎭p （1）＝0所以()p t 有两个不同的零点，符合题意，所以a 的最大整数值为1-. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，以及函数与方程的关系.对于()()()f x h x g x =- 型的函数，()f x 的零点个数就等同于(),()g x h x 图像的交点个数.22．.极坐标系于直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为cos 3a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线6πθα=-，θα=，3πθα=+，2πθα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点,,,A B C D .（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程； （2）设()f OA OB OC OD α⋅+⋅＝，当63ππα≤≤时，求()fα的值域.【答案】（1）2a =，1C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=;2C 的直角坐标方程为40x -=;（2）⎡⎣.【解析】（1）由4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得22cos sin ρρθθ+＝进而可求1C 的直角坐标方程; 把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a +-=，由题意知，该直线过(，则可求出2a =.（2）4OA sin α＝，4()3OB cos πα-＝，4OC cos α＝，4sin()3OD πα-＝，则2)6(f OA OB OC OD ααπ⎛⎫⋅⋅=++ ⎪⎝⎭＝，结合63ππα≤≤则可求出62652πππα≤+≤，进而可求值域. 【详解】解：（1）1C ：4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即22cos sin ρρθθ+＝，化为直角坐标方程为()(2214x y -+-=.把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a +-=.因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线20x a -=经过圆心(解得2a =，故2C 的直角坐标方程为40x +-=. （2）由题意可得，当63ππα≤≤时，4OA sin α＝，4()3OB cos πα-＝，4OC cos α＝，4sin()3OD πα-＝则16sin cos 16cos )sin 33(f OA OB OC OD ππααααα⎛⎫⎛⎫⋅⋅=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ 28sin 28sin 212sin 2236ππααααα⎛⎫⎛⎫=--=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当63ππα≤≤时，62652πππα≤+≤，则26πα⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭故()fα的值域为43,83⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，考查了三角恒等变换，考查了三角函数的值域求解.已知极坐标方程求直角坐标方程时，代入公式sin ,cos y x ρθρθ== 即可；对于()sin()f x A x ωϕ=+ 在求值域时，往往先求出x ωϕ+ 的取值范围，结合正弦函数的图像和性质，即可求出所求值域. 23．已知函数．（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为m ，当a ，b ，c +∈R ，且a b c m ++=时，求212121a b c +++的最大值．【答案】（1）223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）23【解析】（1）根据x 的不同范围，去掉绝对值，然后求解不等式 （2）利用基本不等式的合理利用求最大值 【详解】（1）①当12x <时，()324f x x =-+≤ 2132x ∴-≤<②当112x ≤<时，()4f x x =≤ 112x ∴≤<③当1x ≥时，()324f x x =-≤ 12x ∴≤≤ 综上：()4f x ≤的解集为223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）法一：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =又*,,a b c R ∈且12a b c ++= 则2221a b c ++=，设21,21,21x a y b z c =+=+=+222x y xy +≥Q 2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=()2222222212121812x y z x y z xy yz zx a b c ∴++=+++++≤++++++=x y z ∴++≤当且仅当16a b c ===时取得最大值法二：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =又*,,a b c R ∈且12a b c ++=2=4442121213332222a b c ⎛⎫++++++ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当16a b c ===时取得最大值法三：由（1）可知()132,21,1232,1x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()min 12f x ∴=即12m =12a b c ∴++=2121214a b c ∴+++++= 由柯西不等式可知：()())2222222111111++⨯++≥++即：)211121≤≤当且仅当212121a b c +=+=+即16a b c ===时，取得最大值【点睛】考核绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用。
石家庄市二中2020年6月高三数学（理）高考模拟试题卷一、单选题 1．设集合(){}2|lg 34A x Z y xx =∈=-++，{}|24x B x =≥，则A B =（ ）A ．[)2,4 B ．{}2,4 C ．{}3D ．{}2,32．满足条件4z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线3．已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4．函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．5125．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种C ．100种D ．120种6．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()44||x xf x x -=+B ．()4()44log||x xf x x -=-C ．()14()44log ||x xf x x -=+ D ．()4()44log ||x x f x x -=+7．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?，100n >?D ．n 是奇数?，100n >?8．下列判断正确的个数是（ ） ①“2x <-”是“()ln 30x +<”的充分不必要条件②函数()22199f x x x =+++的最小值为2③当a ，R β∈时，命题“若a β=，则sin sin a β=”的逆否命题为真命题 ④命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤” A ．0B ．1C ．2D ．39．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()gx 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2 D ．311．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知22log (1),13()1235,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3412m m x x x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的取值范围( )A ．()0,10B ．[]0,10C ．()0,4D ．[]0,413．二项式51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的项的系数是__________.14．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =且当2n ≥时，1n n n a S S -=-⋅，则{}n a 的通项公式n a =_______. 16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若224SC ≤≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为_____．三、解答题 17．如图．在ABC 中，点P 在边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=．（1）求APB ∠； （2）若ABC 的面积为532．求sin PAB ∠18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且2PA PB ==，若点E ,F 分别为AB 和CD 的中点．（1）求证：平面ABCD ⊥平面PEF ； （2）若二面角P AB C 的平面角的余弦值为36，求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．19．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[)0.486,0.536、[)0.536,0.586、、[)0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.21．已知函数21()ln 22f x x x ax =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x （其中21x x >），且()()21f x f x -的取值范围为1532ln 2,ln 284⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求a 的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程． （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．23．（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c++； （2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：111c b a a b c++++.答案解析石家庄市二中2020年6月高三数学（理）高考模拟试题卷一、单选题 1．设集合(){}2|lg 34A x Z y xx =∈=-++，{}|24x B x =≥，则A B =（ ）A ．[)2,4 B ．{}2,4 C ．{}3D ．{}2,3【答案】D【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再利用交集的定义与集合B 求交集. 由2340x x -++>得2340x x --<， 则14x -<<，又由x ∈Z 得0,1,2,3x =. 所以{}0,1,2,3A =，而[)2,B =+∞.从而{}2,3A B ⋂=. 故选：D .【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．满足条件4z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】A【解析】先令z a bi =+，代入化简可得250b +=，从而可得其轨迹方程 【详解】解：设z a bi =+，则由4z i z i +=+得，(4)(1)a b i a b i ++=++，所以2222(4)(1)a b a b ++=++， 化简得250b +=，52b =-，所以复数z 在复平面内对应的点为5(,)2a -，所以z 对应点的轨迹为直线52y =-，故选：A 【点睛】此题考查复数的模，复数的几何意义，考查转化思想，属于基础题. 3．已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】因为(0,1)x ∈，所以log 50x a =<， 因为y cosx =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以，cos cos1cos 02b π<<<，所以01b << 因为函数3xy =在(0,1)上单调递增，所以0333x <<，即13c <<，比较大小即可求解【详解】 因为()0,1x ∈，所以0a <.因为12π>，所以01b <<， 因为()0,1x ∈，所以13c <<，所以a b c <<，故选：A. 【点睛】本题考查指数函数，对数函数和三角函数的单调性，以及利用单调性判断大小的题目，属于简单题 4．如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4．函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．512【答案】D【解析】分别由矩形面积公式与微积分的几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.【详解】由已知，矩形的面积为4，阴影部分的面积为()223233111115444224113333x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⨯-⨯-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰， 由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于553412P ==， 故选：D 【点睛】本题考查微积分的几何意义求面积，还考查了几何概型求概率，属于简单题.5．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种C ．100种D ．120种【答案】B【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况， 再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有=60种.故选B ． 6．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()44||x xf x x -=+B ．()4()44log||x xf x x -=-C ．()14()44log ||x xf x x -=+ D ．()4()44log ||x x f x x -=+【答案】D【解析】结合图像，利用特值法和函数的奇偶性，即可求解 【详解】A 项,(0)0f =,与所给函数图象不相符，故A 项不符合题意B 项，4()(44)log ||()xx f x x f x --=-=-，()f x 为奇函数，与所给函数图象不相符，故B 项不符合题意C 项，4414(2)(22)log 20f -=+<，与所给函数图象不符.故C 项不符合题意 综上所述,A 、B 、C 项均不符合题意,只有D 项符合题意， 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的概念与性质，属于简单题7．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?， 100n >?D ．n 是奇数?，100n >?【答案】D【解析】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，1,0;2,2;3,4;n s n s n s ====== 22991100...;99,100,;22n s n s -==== 101100n =>结束，所以第二个框应该填100n >，故选D.8．下列判断正确的个数是（ ） ①“2x <-”是“()ln30x +<”的充分不必要条件②函数()22199f x x x =+++的最小值为2③当a ，R β∈时，命题“若a β=，则sin sin a β=”的逆否命题为真命题 ④命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤” A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】对于①，由充分不必要条件的定义判断；对于②，利用基本不等式求解；对于③，由原命题的真假判断逆命题的真假；对于④，命题的否定是改量词，否结论. 【详解】解：对于①，当2x <-时，不能得到()ln 30x +<，所以“2x <-”不是“()ln 30x +<”的充分不必要条件，所以①错误；对于②，由基本不等式得，()221929f x x x =++≥+，而22199x x +=+不成立，所以取不到等号，所以②错误；对于③，命题“若a β=，则sin sin a β=”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以③正确； 对于④，命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定为“0x ∃>，020*******x +≤”，所以④错误 所以正确的有1个， 故选：B 【点睛】此题考查了充分不必要条件、逆否命题、命题的否定、基本不等式，综合性强，但难度不大，属于基础题. 9．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()gx 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 【答案】C 【解析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可.【详解】 因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象， 又因为()gx 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈，所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<， 所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确； 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2 D ．3【答案】D【解析】本题首先可以通过题意画出图像并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果．【详解】根据题意可画出以上图像，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ， 因为123MF MF ，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a ，即2232MF MF a ，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =，因为OMb =，2MF a =，2OFc =，222+=a b c ，所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ，ab cMH，即M 点纵坐标为ab c ， 将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b c x b ，解得2b cx，2,b ab ccM， 将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c ，化简得4422b a a c ，222422c aa a c ，223c a =，3c ae，故选D ．【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题．11．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】每条棱在平面α的正投影的长度都相等，等价于每条棱所在直线与平面α所成角都相等，从而棱AB ，AD ，1AA 所在直线与平面α所成的角都相等，三棱锥1A A BD -是正三棱锥,直线AB ，AD ，1AA 与平面1A BD 所成角都相等，过顶点A 作平面α平面1A BD ，由此能求出这样的平面α的个数.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，每条棱在平面α的正投影的长度都相等⇔每条棱所在直线与平面α所成的角都相等⇔棱1AB AD AA 、、所在直线与平面α所成的角都相等，易知三棱锥1A A BD -是正三棱锥，直线1AB AD AA 、、与平面1A BD 所成的角都相等.过顶点A 作平面α平面1A BD ，则直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.同理，过顶点A 分别作平面α与平面1C BD 、平面1B AC 、平面1D AC 平行，直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.所以这样的平面α可以作4个，故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中关于线面关系和面面关系的相关概念，属于简单题12．已知22log (1),13()1235,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3412m m x x x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的取值范围( )A ．()0,10B ．[]0,10C ．()0,4D ．[]0,4【答案】A【解析】分析：因为题设有5个变量，故利用分段函数的图像可得()()12111x x --=，3410x x +=，所以()3412m m x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭就可化成关于m 的函数，最后根据()f x m =有四个不同的实数根得到m 的取值范围即得()3412m m x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围． 详解：由题设，有()f x m =在(]1,3上有两个不同的解12,x x ，在()3,+∞上有两个不同的解34,x x ．当(]1,3x ∈时， ()()2log 1f x x =-，故()()2122log 1log 1x x -=-，因12x x <，故()()2122log 1log 1x x --=-，所以()()12111x x --=即1212x x x x =+且01m <≤．当()3,x ∈+∞时， ()2123522f x x x =-+， 3410x x +=且01m <<． 所以()()3412100,10m m x x m x x ⎛⎫++=∈ ⎪⎝⎭，故选A ．点睛：对于多变量函数的范围问题，降低变元的个数是首选方法，故需要利用函数图像找到各变量之间的关系．注意根据零点的个数判断m 的取值范围．二、填空题13．二项式51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的项的系数是__________. 【答案】5-【解析】根据二项展开式通项公式确定含x 的项的项数，进而确定含x 的项的系数. 【详解】因为53521551()()()(1)rrrr r r r T C x C x x--+=-=-，所以令5312r -=得1,r =因此含x 的项的系数为115(1) 5.C -=-【点睛】本题考查二项展开式的项的系数，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________.【答案】34π【解析】将|2|2a b +=两边同时平方后展开,结合平面向量数量积运算及模的运算,即可求得a 与b 的夹角的余弦值,进而求得a 与b 的夹角即可. 【详解】因为(1,1)a =-,则2a =因为|2|2a b +=,等式两边同时平方可得22442a a b b +⋅+=代入2a =,||1b =可得1a b ⋅=-设,a b 夹角为α,则由平面向量数量积的定义可得12221cos a b a bα⋅-==-⨯⋅=因为0απ≤≤所以34πα=故答案为: 34π 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及简单应用,向量夹角的求法,属于基础题.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =且当2n ≥时，1n n n a S S -=-⋅，则{}n a 的通项公式n a =_______. 【答案】11212(1)n n n n ⎧=⎪⎪⎨-⎪≥+⎪⎩【解析】根据n S 与n a 的关系，当2n ≥时，可得1nn n a S S -=-，从而可得11n n n n S S S S ---⋅-=，从而可得1111n n S S --=，进而求出n S ，再根据n S 与n a 的关系即可求解. 【详解】 当2n ≥时，1nn n a S S -=-⋅，则11n n n n S S S S ---⋅-=，1111n n S S -∴-=， 112a =，∴112S =，即112S =，()12111nn n S ∴=+-⨯=+， 所以11n S n =+， 所以当2n ≥时，()111111n n n a S S n n n n--=-=-=++， 当1n =时，112a =，不满足上式， 故11212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≥+⎪⎩，故答案为：11212(1)n n n n ⎧=⎪⎪⎨-⎪≥+⎪⎩【点睛】本题主要考查了n S 与n a 的关系、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题.16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若224SC ≤≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为_____．【答案】438,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示，四棱锥S ABCD -中，可得：;AD SA AD AB AD ⊥⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ，过S 作SO AB ⊥于O ，则SO ⊥平面ABCD ，故1433S ABCD ABCD V S SO SO -=⋅=，在SAB ∆中，2SA AB ==，设SAB θ∠=，则有，232cos SC θ=-,又224SC ≤≤112cos [,]2233ππθθ⇒-≤≤⇒∈，则2sin [3,2]SO θ=∈，四棱锥S ABCD -的体积取值范围为438[,]33.三、解答题 17．如图．在ABC 中，点P 在边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=．（1）求APB ∠； （2）若ABC 的面积为532．求sin PAB ∠ 【答案】（1）23APB ∠=π；（2）357sin 38PAB ∠=． 【解析】（1）在APC △中，设AC x =， 4AC PC ⋅=，得到4PC x=，再由余弦定理2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅⋅，解得x ，利用平面几何知识求解.（2）由ABC 的面积为532，利用153sin 232ABC S AC BC π=⋅⋅=△，解得BC ，得到则BP ，作AD BC ⊥交BC 于D ，得到AD ，PD ，进而得到AB ，然后在ABP △中，利用正弦定理求解. 【详解】（1）在APC △中，设AC x =， 因为4AC PC ⋅=，4PCx=， 又因为3C π=，2AP =，由余弦定理得：2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅⋅即：2224422cos 3x x x x π⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 解得2x =，所以AC PC AP ==，此时APC △为等边三角形，所以23APB ∠=π； （2）由153sin 232ABCS AC BC π=⋅⋅=△， 解得5BC =，则3BP =，作AD BC ⊥交BC 于D ，如图所示：由（1）知，在等边APC △中，3AD =，1PD =，在Rt △ABD 中2231619AB AD BD =+=+=．在ABP △中，由正弦定理得sin sin AB PB APB PAB=∠∠，所以333572sin 3819PAB ⨯∠==． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及平面几何知识，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且2PA PB ==，若点E ,F 分别为AB和CD 的中点．（1）求证：平面ABCD ⊥平面PEF ； （2）若二面角PAB C 的平面角的余弦值为36，求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）226【解析】（1）先由线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面PEF ，再由面面垂直的判定定理证得平面ABCD ⊥平面PEF ；（2）由二面角的定义及题意可知，3cos 6PEF ∠=，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量n ，PC ，利用sin cos ,n PC n PC n PCθ⋅=〈〉=⋅即可得解.【详解】 （1）PA PB =，E 为AB 中点，∴AB PE ⊥，又AB EF ⊥，PE ⊂平面PEF ，EF⊂平面PEF ，PE EF E ⋂=，∴AB ⊥平面PEF ，又AB平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PEF .（2）PE AB ⊥，EF AB ⊥，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，∴PEF ∠就是二面角PAB C 的平面角，所以3cos 6PEF ∠=， 如图作PO EF ⊥，垂足为O ， 则363OE OE PE ==，所以12OE =，32OF =，则112OP =，如图，建立空间直角坐标系，则11(0,0,)2P ，3(1,,0)2C ，1(1,,0)2A --，1(1,,0)2B -，设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，则00PB n AB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11102220x y z x ⎧--=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，则0111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 则(0,11,1)n =-是平面PAB 的一个法向量，311(1,,)22PC=-，则21122sin cos ,6126n PC n PC n PCθ⋅=〈〉===⋅⋅.所以PC 与平面PAB 所成角的正弦值226.【点睛】本题考查了线面垂直和面面垂直的判定定理以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的推理与运算能力，建立恰当的空间直角坐标系是解题的关键，属于中档题.19．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[)0.486,0.536、[)0.536,0.586、、[)0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．【答案】（Ⅰ）0.8；（Ⅱ）分布列详见解析，数学期望为31；（Ⅲ）方差变大了．【解析】（Ⅰ）利用频率分布直方图中矩形面积之和为1，求出a 的值，再结合频率分布直方图以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（Ⅱ）由题意可知，随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，由此可列出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望； （Ⅲ）根据离散型随机变量方差的性质可得出结论. 【详解】（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， 由图表，得()0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.40.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =，由图表，知“C 级”种子的频率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=，故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2．因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件， 所以事件M 的概率()10.20.8PM =-=；（Ⅱ）由题意，任取一颗种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为()4.4 1.20.40.050.3++⨯=，恰好是“B 级”康乃馨的概率为()4.0 6.00.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=．随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40，且()2200.20.04PX ===，()2520.50.20.2P X ==⨯⨯=，()2300.520.30.20.37P X ==+⨯⨯=，()350.30.520.3P X ==⨯⨯=， ()2400.30.09P X ===.所以X 的分布列为：X20 253035 40P0.04 0.20.370.3 0.09故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，同时也考查了离散型随机变量分布列及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）是定值，43【解析】（1）由三角形的面积、离心率列出方程组求解a 、b ，即可写出椭圆方程；（2）设出直线PQ 的方程与点,P Q 的坐标，求出直线BP 、BQ 的方程进而求出点M 、N 的横坐标，两横坐标相乘并化简为关于1x 、2x 的表达式，直线PQ 的方程与椭圆方程联立并利用韦达定理求出12x x 、12x x +，代入横坐标的乘积化简即可证明. 【详解】（1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,Aa Bb -由于ABC ∆的面积为3，1(2)32b a ∴+=①，又由23=12c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，化简得2a b =②， ①②两式联立解得：=1b 或=3b -（舍去），2,=1a b ∴=，∴椭圆方程为2214x y +=；（2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+， 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N xx y =+，1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++=，由韦达定理得1221214x x k =+，1221614kx x k+=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k+==-+++22212412489363k k k =-++，是定值． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用、椭圆的简单几何性质、直线的方程、椭圆中的定值问题，属于较难题. 21．已知函数21()ln 22f x x x ax =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x （其中21x x >），且()()21f x f x -的取值范围为1532ln 2,ln 284⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）325,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）对函数进行求导，将导数的正负转化成研究一元二次函数的根的分布问题； （2）利用韦达定理得到122x x a +=，121=x x ，将()()21f x f x -转化成关于12,x x 的表达式，再利用换元法令21(1)x t t x =>，从而构造函数11()ln 22h t t t t=-+，根据函数的值域可得自变量t 的范围，进而得到a 的取值范围. 【详解】解：（1）2121()2(0)x ax f x x a x x x-+'=+-=>.令2()21g x x ax =-+，则244a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤，即1a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增. ②当00a >⎧⎨∆>⎩，即1a >时，由()0f x '>，得201x a a <<--或21x a a >+-；由()0f x '<，得2211a a x a a --<<+-，∴()f x 在2(0,1)a a --和2(1,)a a +-+∞上单调递增，在22(1,1)a a a a --+-上单调递减.综上所述，当1a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当1a >时，()f x 在2(0,1)a a --和2(1,)a a +-+∞上单调递增，在22(1,1)a a a a --+-上单调递减.（2）由（1）得，当1a >时，()f x 有两极值点1x ，2x （其中21x x >）.由（1）得1x ，2x 为2()210g x x ax =-+=的两根，所以122x x a +=，121=x x .所以()()()()22221212111ln22x f x f x x x a x x x -=+--- 22222212212211112112ln ln ln 2222x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=-=-+.令21(1)x t t x =>，则()()2111()ln 22f x f x h t t t t-==-+， 因为2222211121(1)()02222t t t h t t t t t-+---'=--==<， 所以()h t 在(1,)+∞上单调递减，而3(2)ln 24h =-，15(4)2ln 28h =-， 所以24t ≤≤，又()212212142([2,4])x x a t t x x t+==++∈，易知1()2x t t ϕ=++在[2,4]上单调递增， 所以2925424a ≤≤，所以实数a 的取值范围为325,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、已知双元函数的值域求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元法的应用.22．选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程． （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．【答案】（1）222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）3 【解析】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),Mx y ，由2PM MQ =即得动点M 的轨迹方程；（2）由题得直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-，再利用直线参数方程t 的几何意义求解. 【详解】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ，则由2PM MQ =，得()()2,2cos sin θθ+=--x y x,y ， 即323cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩消去θ，得222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，此即为点M 的轨迹方程.（2）曲线C 的普通方程为221x y +=，直线l 的普通方程()5212y =x +， 设α为直线l 的倾斜角，则5tan 12α=，512sin ,cos 1313αα==， 则直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-， 由于24827612013169⎛⎫∴∆=--=> ⎪⎝⎭， 故可设点,A B 对应的参数为1t '，2t '，则21213PA PB t t t t ''''⋅=⋅==． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查动点的轨迹方程，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c++； （2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：111c b a a b c++++.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）结合1a b c ++=代人所证不等式的左边中的分子,通过变形转化，利用基本不等式加以证明即可 （2）结合不等式右边关系式的等价变形，通过基本不等式来证明即可 【详解】 证明：（1）111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 111b c a c a ba ab bc c =++++++++39b a b c a c a b c b c a=++++++， 当a b c ==时等号成立. （2）因为1111111111111122222a b c a b a c b c ab ac bc ⎛⎫⎛⎫++=+++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，111cb a a b c∴++++.当a b c ==时等号成立，即原式不等式成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，化归与转化思想。
河北省石家庄市中考数学二模试卷、选择题（本大题共 16小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题，各2分）1 .下列各对数是互为倒数的是（ ）A. 4 和—4B. - 3 和二C. — 2 和1D. 0 和 03 2\2 .如图，/ 1=40° ,如果 CD// BE,那么/ B 的度数为()A. 160° B, 140° C. 60° D, 50°3 .如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为（5 .下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（6 .函数y=工十6中自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的是（7 .若等腰三角形中有一个角等于 70。
，则这个等腰三角形的顶角的度数是（A. 70° B, 40° C. 70° 或 40° D, 70° 或 55°8 .如图，ABI BC, /ABD 的度数比/ DBC 的度数的2倍少15° ,设/ ABD 与/ DBC 的度数另为x > y ,A. a 2?a 2=2a 2B. a 2+a 2=a 4 C. (- a 2) 2=a 4 D. (a+1) 2=a 2+14.下列计算，正确的是（C. D.根据题意，下列的方程组正确的是（%中产90 「34产90D. 4产15”2V [耳:2产+159.小华班上比赛投篮，每人5次，如图是班上所有学生的投篮进球数的扇形统计图，则下列关于班上所有学生投进球数的统计量正确的是（）班般篁漫球数的扇烂计图A.中位数是3个B .中位数是2.5个C.众数是2个D.众数是5个12.（2分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=/s x+1的图象分别与X轴、y轴交于A B两点，以A为圆心，适当长为半径画弧分别交AR AO于点C、D,再分别以C、D为圆心，大于一CD的长为半径画弧，两弧交于点E,连接AE并延长交y轴于点F,则下列说法正确的个数是（）①AF是/ BAO勺平分线;②/ BAO=60 ;③点F在线段AB的垂直平分线上;13.（2分）如图，正十二边形AAT-A12,连接AA, A7A必则/ AAA0的度数为（）厂Ip *A B 4A.60°B. 65°C. 70° D, 75°14.（2分）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y=^- （x>0）的图象交于两点A、B,与x ……… 口，一—，………公……… 2 ，…、轴交于点C,且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数yL （x>0）的图象交于两点D、E,连接DE,则四边形ABEM面积为（）15. （2分）如图，正^ ABC 的边长为4,点P 为BC 边上的任意一点（不与点 B 、C 重合），且/ APD=60 ,PD 交AB 于点D.设BP=x, BD=y,则y 关于x 的函数图象大致是（ ）l : y=x - 1与x 轴交于点A,如图所示依次作正方形 AB 。
