求二次函数的关系式

二次函数关系式一、二次函数的定义二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

二、二次函数关系式1. 顶点式二次函数的顶点式为f(x) = a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。

2. 标准式二次函数的标准式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c分别表示抛物线的形状和位置。

3. 一般式二次函数的一般式为y = ax² + bx + c，其中x和y表示平面直角坐标系中某个点的横纵坐标。

三、二次函数图像特征1. 对称轴二次函数的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴方程为x = h。

2. 开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 最值当a>0时，最小值等于k；当a<0时，最大值等于k。

4. 零点二次函数在x轴上与x轴交点称为零点。

零点可以通过求解ax²+bx+c=0得到。

四、二次函数的应用1. 求解问题二次函数可以用来求解各种实际问题，如求解最大值、最小值、零点等。

2. 经济学应用在经济学中，二次函数可以用来表示成本、收益、利润等与产量相关的关系。

3. 物理学应用在物理学中，二次函数可以用来表示自由落体运动的高度和时间之间的关系。

五、二次函数的图像绘制1. 找出顶点坐标通过顶点式或标准式可以找到抛物线的顶点坐标。

2. 找出对称轴方程对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。

3. 找出零点通过一般式可以求得零点，也可以通过图像上与x轴交点得到。

4. 确定开口方向和最值根据a的正负性可以确定抛物线开口方向和最值。

5. 绘制图像根据以上步骤确定抛物线的各个特征后，就可以绘制出完整的二次函数图像了。

六、总结本文介绍了二次函数的定义、关系式、图像特征以及应用，并详细说明了如何绘制一个完整的二次函数图像。

二次函数根与系数的关系公式二次函数是代数中的一种重要函数类型，其形式为：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c是常数且a≠0。

二次函数的根是使得函数等于零的x值。

根据二次函数的定义，当f(x) = ax² + bx + c = 0时，求解x的值就是求二次函数的根。

求二次函数的根是我们经常需要做的一种数学问题。

在计算过程中，我们需要了解二次函数的根与系数之间的关系公式，以便更好地理解和解决这类问题。

从解二次方程的角度来看，二次函数的根可以通过求解相应的二次方程来获得。

对于一般的二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以使用以下公式来求解：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a这个公式称为二次方程的求根公式，它给出了二次方程的根与系数a、b、c之间的关系。

根据这个公式，可以看出：1. 根的个数：二次方程的根的个数由判别式决定，即b² - 4ac。

如果判别式大于零，则方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于零，则方程有两个相等的实数根；如果判别式小于零，则方程没有实数根。

2.根的取值：根的取值由公式中的正负号决定。

在求根公式中，我们可以看到±号，这表示在求解根的过程中，我们需要考虑两个可能的根。

取正号的根对应着加号，取负号的根对应着减号。

此外，二次函数的系数a、b、c之间也存在一定的关系。

我们可以看出：1.a的正负：二次函数的系数a的正负决定了抛物线开口的方向。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2.a的绝对值：二次函数的系数a的绝对值决定了抛物线的背离x轴的程度。

绝对值越大，抛物线与x轴的交点越远。

3.根的和与积：根的和可以通过系数b/a得到，根的积可以通过常数项c/a得到。

具体地，根的和为-b/a，根的积为c/a。

这些关系对于解决一些实际问题时，可以提供便利。

二次函数关系式的确定二次函数关系式的确定，听起来像是数学课上那些让人头疼的概念，实际上，它比想象中有趣多了。

想象一下你在公园里，看到小朋友们在滑滑梯，他们一滑下来，那种弯曲的轨迹就是一个典型的抛物线。

嘿，你可能没注意到，这就是二次函数的一种表现形式。

是不是觉得突然生活中多了点数学的味道？二次函数就像是一种魔法，能帮我们理解很多现实中的现象。

好了，接下来我们来聊聊怎么确定二次函数的关系式。

你可能会问，这到底是什么呢？简单来说，二次函数的标准形式是y = ax² + bx + c。

这几个字母可不是随便写的哦，a、b、c各自代表不同的意思。

特别是那个“a”，它决定了抛物线的开口方向，向上还是向下。

想象一下，开口向上就像一朵盛开的花，开口向下则像是个悲伤的小鸟，感觉一下子就不同了吧？接下来我们要如何找到这个关系式呢？其实很简单，先得知道几个点。

比如说，如果我们有一个小球，从某个高度自由落下，记录下它每一秒的高度。

这样，我们就能得到一组数据。

然后，把这些数据带入到公式里去，慢慢分析，最终就能找出那个神秘的a、b、c。

这就好比在拼拼图，找到了每一块，最后一看，哎呀，整个画面都清晰了。

还记得我们刚开始提到的小朋友吗？假如你在他们身边，观察他们滑下来，记录下时间和高度，那就是最直接的体验。

数学不是冷冰冰的，它其实是生活的一部分。

像是你做饭时的调料配比，掌握了其中的关系，才能做出美味的菜肴。

同样，掌握了二次函数的关系式，你就能更好地理解许多实际问题。

有趣的是，二次函数在我们生活中无处不在。

比如，开车时，汽车的加速过程就是一个二次函数的体现。

当你踩下油门，车子加速的那一瞬间，速度的变化就像那抛物线一样，开始慢慢增加，接着迅速上升，最后又逐渐平稳下来。

想象一下，在高速公路上飞驰的感觉，真是让人热血沸腾。

数学的魅力不止于此，二次函数还可以用来解决很多实际问题，比如计算物体的最高点、最远距离等等。

想要投一个篮球，你得计算好角度和力度，才能把球投进篮筐。

求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。

现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。

一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。

二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。

例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。

若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。

二次函数的三个公式
二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、
c是实数且a ≠ 0。

二次函数的图像是一个抛物线。

在数学中，有三个公式与二次函数密切相关，它们是顶点坐标公式、
对称轴公式和根与系数关系公式。

一、顶点坐标公式：
xv = -b / (2a)
yv = f(xv) = a(xv)^2 + b(xv) + c
其中，xv为二次函数的顶点横坐标，yv为二次函数的顶点纵坐标。

二、对称轴公式：
x=-b/(2a)
其中，x为二次函数的自变量。

三、根与系数关系公式：
二次函数与其根之间存在一个重要的关系，称为根与系数关系公式。

通过根与系数关系公式，可以通过二次函数的根来推导二次函数的系数。

设二次函数的两个根为x1和x2，则有以下关系：
x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a
其中，x1和x2分别为二次函数的两个根。

通过这两个根与系数a、b、c之间的关系，可以确定二次函数的具体形式。

总结：
通过以上三个公式，我们可以在已知二次函数的系数时，求解二次函数的顶点坐标、对称轴方程以及根与系数关系。

这些公式在求解二次函数相关问题时非常实用，能够帮助我们更好地理解和应用二次函数的性质。

二次函数的平行与垂直关系二次函数是高中数学中的重要内容，它在数理化等多个学科中都有广泛的应用。

在学习过程中，我们经常会遇到二次函数的平行与垂直关系问题，本文将详细介绍二次函数的平行与垂直关系，帮助读者更好地理解和应用该知识。

首先，让我们回顾一下二次函数的一般形式。

二次函数的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数且a不等于0。

二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，称为顶点为(h, k)的抛物线，其中h = -b / (2a)，k = f(h) = f(-b / (2a))。

关于这个顶点对称的两个点，可以通过平移到其他位置而在函数图像上。

这就是我们接下来要讨论的平行与垂直关系。

对于二次函数f(x)，如果存在另一个二次函数g(x)，它的图像与f(x)的图像平行，那么这两个函数的系数之间存在一定的关系。

我们可以通过观察函数的一般形式来推导这个关系。

首先考虑两个抛物线分别为f(x) = a1x^2 + b1x + c1 和 g(x) = a2x^2 + b2x + c2，如果它们平行，那么它们的斜率也应该相同。

我们知道，斜率可以通过求导来计算，对于二次函数来说，求导后得到的是一条直线。

通过求导，我们可以得到两个二次函数的导函数f'(x) = 2a1x + b1 和 g'(x) = 2a2x + b2。

由于这两个导函数相等，我们可以得到2a1x + b1 = 2a2x + b2。

接下来，我们令x = h1 = -b1 / (2a1) 和 x = h2 = -b2 / (2a2)，即两个抛物线的顶点。

由于顶点在二次函数的图像上对称，所以h1 = h2。

将h1 = h2代入等式2a1x + b1 = 2a2x + b2中得到-2a1b1 / (2a1) + b1 = -2a2b2 / (2a2) + b2，经过简化化简后得到b1 = b2。

这就是两个二次函数平行的条件。

27、2、3求二次函数的函数关系式【学习目标】1. 能根据条件合理选择二次函数关系式，会用待定系数法求二次函数关系式；2. 在解决某些实际问题时，能建立适当的直角坐标系，使所得函数关系式尽量简单；3. 通过经历自主探索与合作交流，培养数形结合的思想，体验方程的思想，进一步强化数学的应用与建模意识，体会数学在现实生活中广泛的应用。

【学习重点】求二次函数的关系式。

【学习难点】选择何种表达式确定二次函数关系式。

【学习过程】一、创设情景，引入新课引例：：学校想为学生建造自行车棚，如图，车棚的棚顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳棚顶。

它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。

施工前请你们帮建筑工人设计制造一个建筑模板，聪明的同学们，你们将如何画出模板的轮廓线呢?二、例题讲解，探求新知『自主探究打好基础』根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；分析：根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为c=2y++bxax的形式；（2）已知一个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，且与y轴交于点(0，1)，求这个二次函数的关系式。

分析：根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为9a=xy，再根据抛)8(2-物线与y轴的交点可求出a的值；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；分析:根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为=xxay，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；(-)5)(3+三、巩固新知，体验成功尝试用不同方法建立直角坐标系解决引例问题。

（根据你选择的方法，画出直角坐标系解决问题）四、课堂小结通过本节课的学习，谈谈你的收获与疑惑？五、课堂检测1、把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．22(1)y x =-+B ．22(1)y x =--C ．221y x =-+D ．221y x =--2、将抛物线y ＝2x 2先沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是________________。

求二次函数的函数关系式教学设计目录一、创设问题情境 (1)二、复习回顾 (2)三、新课探究 (2)四：巩固练习 (3)五:解答情景引入中问题 (4)六：小结 (5)七、作业： (6)八、板书设计： (6)求二次函数的函数关系式教学目标知识与技能：让学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数的关系式。

过程与方法：使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

情感态度与价值观：让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。

教学方法：讲授法、练习法、课堂讨论法、启发引导法重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式难点：通过将生活中的实际问题抽象成数学问题，利用已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。

教具准备：投影仪。

课时安排：一课时教学过程：一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。

它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m。

施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?（引出新课）二、复习回顾根据下列条件，分别写出相应的函数表达式1.y与x成正比，其图像过点p(2,1);2.函数y=2kx+k的图像过点（2，-5）3.一次函数的图像过点（1，2）、（-3，5）三、新课探究问题：解答上面的问题，运用了什么数学方法？运用这种数学方法的一般步骤是什么？说明：引导学生归纳用待定系数法确定一次函数的表达式的步骤。

例1.一个二次函数的图像过（0,1）（2,4）（3,10）三点，求这个二次函数的关系式.分析：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c过三个点，将这三点坐标代入，可得三元一次方程组，再解这个方程组即可求出a,b,c的值。

观察点（0,1），将其代入y＝ax2＋bx＋c，可得c=1再把另外两点代入即可得方程组，求出a，b的值.例2.一个二次函数的图像过点（0,-5），它的顶点坐标是（-2,3），求这个二次函数的关系式.问：1.图像的顶点坐标是（h,k）的二次函数的关系式是怎样的形式呢？分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a不为0）通过配方可得到什么形式的二次函数？这个二次函数的顶点坐标是什么？如何设它的关系式？如何确定a的值？让学生完成本例题解答，找一个学生上黑板作答，其他学生在练习本上完成。

二次函数关系式的三种形式1.引言1.1 概述二次函数是数学中的重要概念，在许多领域都有广泛的应用。

它是一个拥有二次项的多项式函数，通常用一般形式表示为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a、b和c分别代表函数的系数。

二次函数关系式可以通过三种形式来表示：标准形式、顶点形式和描点形式。

本文将对这三种形式进行详细介绍，包括定义和特点，并给出一些示例和应用。

在二次函数关系式的标准形式中，函数表达式会经过整理化简，常见形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

标准形式的特点是系数a、b和c可以直接体现函数的性质，例如a决定了函数的开口方向，b决定了函数的对称轴以及接触或穿过x轴的情况，c则是函数在y轴上的截距。

标准形式的示例和应用可帮助读者更好地理解和应用二次函数关系式。

另一种常见的表达形式是二次函数关系式的顶点形式。

顶点形式的函数表达式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)代表二次函数的顶点坐标。

顶点形式的特点是可以直观地描述二次函数的顶点位置及函数的凹凸性，方便进行图像的绘制和分析。

顶点形式的示例和应用将帮助读者更深入地理解二次函数的几何性质和图像特点。

此外，二次函数关系式还可以通过描点形式来表示。

描点形式的函数表达式为f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)，其中(x_1,y_1)和(x_2,y_2)分别为二次函数的两个描点坐标。

描点形式的特点是可以通过已知点的坐标，直接构造出二次函数的表达式，方便进行函数的推导和计算。

描点形式的示例和应用将帮助读者更好地理解和使用二次函数关系式。

总之，本文将详细介绍二次函数关系式的三种形式：标准形式、顶点形式和描点形式。

通过深入理解这三种形式的定义、特点和应用，读者将能够更好地掌握二次函数的性质和图像特点，进而在实际问题中灵活运用。

文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论。

首先，在引言部分，我们将简要概述本文的主题和目的，为读者提供一个整体了解的框架。

求二次函数的函数关系式1．已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（ ）（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y（C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y2．如图：△ABC 是边长为4的等边三角形，AB 在X 轴上，点C 在第一象限，AC 与Y 轴交于点D ，点A 的坐标为（-1，0）（1） 求 B 、C 、D 三点的坐标；（2） 抛物线c bx ax y ++=2经过B 、C 、D 三点，求它的解析式；3．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点（1，0）（0，3），对称轴x= -1。

① 求函数解析式；② 若图象与x 轴交于A 、B （A 在B 左）与y 轴交于C,顶点D ，求四边形ABCD 的面积。

4．已知：抛物线4)343(2++-=x m mx y 与X 轴交于两点A 、B ，与Y 轴交于C 点，若△ABC 是等腰三角形，求抛物线的上解析式。

5． 知抛物线c bx ax y ++=2经过P （-2，-2），且与X 轴交于点A ，与Y 轴交于点B ，点A 的横坐标是方程1114=--x x 的根，点B 的纵坐标是不等式组⎩⎨⎧>-≥-034012x x 的整数解，求抛物线的解析式。

6．已知：抛物线m x x y +--=232与X 轴分别交于A 、B 两点（点A 在B 的左边），点P 为抛物线的顶点，（1）若抛物线的顶点在直线313+=x y 上，求抛物线的解析式；3 o -1 3 y x D Y C X B O A（2）若AP∶BP∶AB=1∶1∶2，求抛物线的解析式。

7、二次函数的图象经过点)-Q，这个二次函数的解析式是__________。

,1(-10,1(P，顶点坐标为)28、求下列二次函数或抛物线解析式：①已知y是x的二次函数，当x=1时，y=6；当x=–1时，y=0；x=2时，y=12；②过点（0，3）（5，0）（–1，0）；③对称轴为x=1，过点（3，0），（0，3）；④过点（0，–5）（1，–8）（–1，0）；⑤顶点为（–2，–4），过点（5，2）；⑥与x轴交点横坐标为–3，–1，在y轴上的截距为–6；⑦过点（2，4），且当x=1时，y有最值6。

二次函数在数学中，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。

顶点式：y=a(x-h)^2+k;交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)。

二次函数的图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

如果令二次函数的值等于零，则可得一个二次方程。

该方程的解称为方程的根或函数的零点。

基本定义二次函数一般地，把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0，bc可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

x为自变量，y为因变量。

等号右边自变量的最高次数是2。

二次函数图像是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

顶点坐标[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]交点式为y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。

“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。

在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。

从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。

函数性质1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。

开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。

抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）[1]2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P 在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。