求二次函数的函数关系式

二次函数所有公式二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是一种简单而常用的函数形式。

它的标准形式可表示为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。

在这篇文章中，我将介绍二次函数的一些重要公式和性质。

一、基本概念和定义1. 定义：二次函数是一种具有形式f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。

2.顶点：二次函数的图像是一个抛物线，它的顶点是图像的最低点（如果a>0）或最高点（如果a<0）。

（h，k）表示顶点的坐标，其中h=-b/（2a），k=f(h)。

3.轴对称：二次函数的图像是关于顶点所在的直线x=h对称的。

4.开口方向：如果a>0，则图像开口向上；如果a<0，则图像开口向下。

二、常用公式1. 零点：二次函数的零点是函数值为0时对应的x值。

可以使用求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a 来求解二次方程ax² + bx + c = 0的根。

2. 判别式：判别式是二次方程的求解公式中的一部分，其定义为D = b² - 4ac。

判别式可以判断二次方程的根的性质：a)如果D>0，则方程有两个不相等的实数根。

b)如果D=0，则方程有两个相等的实数根。

c)如果D<0，则方程没有实数根。

3. 平移公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，若向左平移h个单位，得到函数y = a(x - h)² + bx + c；若向右平移h个单位，得到函数y = a(x + h)² + bx + c；若向上平移k个单位，得到函数y = a(x - h)² + bx + c + k；若向下平移k个单位，得到函数y = a(x - h)² +bx + c - k。

4. 拉伸和压缩公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，若a > 1，则函数的图像在x轴方向上被缩短；若0 < a < 1，则函数的图像在x轴方向上被拉长；若a < 0，则函数的图像上下翻转。

二次函数关系式一、二次函数的定义二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

二、二次函数关系式1. 顶点式二次函数的顶点式为f(x) = a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。

2. 标准式二次函数的标准式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c分别表示抛物线的形状和位置。

3. 一般式二次函数的一般式为y = ax² + bx + c，其中x和y表示平面直角坐标系中某个点的横纵坐标。

三、二次函数图像特征1. 对称轴二次函数的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴方程为x = h。

2. 开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 最值当a>0时，最小值等于k；当a<0时，最大值等于k。

4. 零点二次函数在x轴上与x轴交点称为零点。

零点可以通过求解ax²+bx+c=0得到。

四、二次函数的应用1. 求解问题二次函数可以用来求解各种实际问题，如求解最大值、最小值、零点等。

2. 经济学应用在经济学中，二次函数可以用来表示成本、收益、利润等与产量相关的关系。

3. 物理学应用在物理学中，二次函数可以用来表示自由落体运动的高度和时间之间的关系。

五、二次函数的图像绘制1. 找出顶点坐标通过顶点式或标准式可以找到抛物线的顶点坐标。

2. 找出对称轴方程对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。

3. 找出零点通过一般式可以求得零点，也可以通过图像上与x轴交点得到。

4. 确定开口方向和最值根据a的正负性可以确定抛物线开口方向和最值。

5. 绘制图像根据以上步骤确定抛物线的各个特征后，就可以绘制出完整的二次函数图像了。

六、总结本文介绍了二次函数的定义、关系式、图像特征以及应用，并详细说明了如何绘制一个完整的二次函数图像。

求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。

下面将详细介绍这四种方法。

方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。

对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。

1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。

其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。

所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。

方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。

1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。

求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。

现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。

一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。

二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。

例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。

若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。

二次函数的解析式三种方法二次函数是一种常见的函数类型，在数学学习中，学生们需要对其进行深入的了解和掌握，以便于解决与二次函数相关的问题。

本文将介绍三种求解二次函数的解析式的方法，包括公式法、顶点法和描点法。

每种方法的步骤和注意事项都将被详细介绍。

一、公式法公式法是一种求解二次函数解析式的基本方法。

二次函数的标准形式可以表示为 y = ax²+bx+c，其中 a、b、c 都是实数常数，而 x 是自变量。

一个常见的二次函数的例子为y = x²。

1. 求取 a、b、c 的值在使用公式法求解二次函数的解析式之前，需要先计算出二次函数中的 a、b、c 值。

通常情况下，这些值可以从已知的条件中直接得到。

如果已知二次函数经过点 (2,4) 和 (−1,3)，则可以根据这些坐标计算出 a、b、c的值。

可以得到两个方程：4 = a(2)²+b(2)+c3 = a(−1)²+b(−1)+c然后，可以将这些方程化简为：4 = 4a+2b+c3 = a−b+c接下来，可以使用代数法或消元法来求解 a、b、c 的值。

可以将第二个方程中的 a解出来，然后带入第一个方程中，得到：a = 2b−14 = 8b−4+2b+cc = −8b+8可以得到二次函数的解析式为：y = (2b−1)x²+bx+8−8b2. 使用公式法求解二次函数一旦确定了二次函数中的 a、b、c 值，可以使用公式法求解二次函数的解析式。

具体而言，可以使用以下公式：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)这个公式可以得到二次函数的解析式中的两个根。

如果二次函数的解析式没有实数根，则说明这个二次函数不存在。

在上面的例子中，可以将 a、b、c 的值带入到公式中，得到：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)x = (-b ± √(b²-4(2b−1)(8−8b)))/(2(2b−1))根据这个公式，可以得到二次函数的解析式的两个实数根，也就是二次函数与 x 轴相交的点。

解二次函数的三种方法一、根据二次函数函数表示式求解方法二次函数函数表示式是$y = ax^2 + bx + c$，其中a，b，c都是常数。

以此公式求一般二次函数的几何意义主要包括：判断拐点、确定单调性（即函数的上下单调性，对称轴，极值）和计算函数的极限值：（1）判断拐点可以用一元二次函数的判别式来判断拐点，它的形式为：$D = b^2 - 4ac$，如果$D>0$，则这个函数有唯一的拐点，即$(-b \pm \sqrt{D})/2a$；如果$D=0$，则这个函数有一个重拐点，即$(-b \pm \sqrt{D})/2a$；如果$D<0$，则这个函数没有拐点。

（2）确定单调性即确定函数$y=ax^2+bx+c$在任意一点上的单调性，主要就是通过求a的取值来判断：当a>0时，此函数是一个开口向上的抛物线，即在a>0的任一x处的函数值都大于其附近的函数值，此时此二次函数是单调递增的；（3）确定对称轴由于一元二次函数$y=ax^2+bx+c$有关于$x$轴的对称性，因此我们可以求出它的对称轴。

其斜率为：$m=-b/2a$，求出斜率之后，根据斜率公式可以得到对称轴的方程为：$y+b/2a=ax^2$，即$x = -b/2a，y = -b/4a$。

（4）确定极值在求极值之前，首先需要找到函数的极值点，要找到极值点首先要求求导，函数$y=ax^2+bx+c$的一阶导数为：$y'=2ax+b$，称$2ax+b=0$为导函数的根，即为求极值点。

它的极值值可以通过函数的表达式替换形式求得，即用$2ax+b=0$的根代替$x$求函数$y=ax^2+bx+c$的值就是该函数的极值。

（5）计算函数的极限一元二次函数的极限的形式为：$\lim\limits_{x \to-\infty}ax^2+bx+c=+\infty$，$\lim\limits_{x \to+\infty}ax^2+bx+c = +\infty$，可以根据极限的运算规则去计算极限。

27、2、3求二次函数的函数关系式【学习目标】1. 能根据条件合理选择二次函数关系式，会用待定系数法求二次函数关系式；2. 在解决某些实际问题时，能建立适当的直角坐标系，使所得函数关系式尽量简单；3. 通过经历自主探索与合作交流，培养数形结合的思想，体验方程的思想，进一步强化数学的应用与建模意识，体会数学在现实生活中广泛的应用。

【学习重点】求二次函数的关系式。

【学习难点】选择何种表达式确定二次函数关系式。

【学习过程】一、创设情景，引入新课引例：：学校想为学生建造自行车棚，如图，车棚的棚顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳棚顶。

它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。

施工前请你们帮建筑工人设计制造一个建筑模板，聪明的同学们，你们将如何画出模板的轮廓线呢?二、例题讲解，探求新知『自主探究打好基础』根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；分析：根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为c=2y++bxax的形式；（2）已知一个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，且与y轴交于点(0，1)，求这个二次函数的关系式。

分析：根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为9a=xy，再根据抛)8(2-物线与y轴的交点可求出a的值；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；分析:根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为=xxay，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；(-)5)(3+三、巩固新知，体验成功尝试用不同方法建立直角坐标系解决引例问题。

（根据你选择的方法，画出直角坐标系解决问题）四、课堂小结通过本节课的学习，谈谈你的收获与疑惑？五、课堂检测1、把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．22(1)y x =-+B ．22(1)y x =--C ．221y x =-+D ．221y x =--2、将抛物线y ＝2x 2先沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是________________。

求二次函数解析式的四种方法一、根据函数的顶点坐标和开口方向求解析式方法：设二次函数解析式为 y = ax^2 + bx + c，已知顶点坐标为 (h, k)。

1.根据开口方向求a的取值：-若二次函数开口向上，则a>0；-若二次函数开口向下，则a<0。

2.根据已知点求解a、b、c的值：将已知顶点坐标代入解析式，得到方程 k = ah^2 + bh + c。

由此，可得到关系式：- 若 a = 0，则b ≠ 0，方程为 kh + c = k；- 若a ≠ 0，则方程为 ah^2 + bh + c = k。

解方程组，得到a、b、c的值。

3.根据a、b、c的值写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入解析式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。

二、根据已知的三个点求解析式方法：设已知的三个点为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)。

1.求解a的值：通过使用待定系数法，假设解析式为 y = ax^2 + bx + c，将三个点代入解析式得到一个方程组：{a(x₁)² + bx₁ + c = y₁{a(x₂)² + bx₂ + c = y₂{a(x₃)² + bx₃ + c = y₃解方程组，得到a的值。

2.求解b、c的值：将求得的a的值带入上述方程组中，并解方程组，得到b、c的值。

3.写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入二次函数的一般形式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。

三、根据已知的顶点坐标和另一点求解析式方法：设已知的顶点坐标为(h,k)，另一点坐标为(x,y)。

1.求解a的值：代入已知顶点坐标 (h, k)，得到方程 k = ah^2 + bh + c。

再代入另一点坐标 (x, y)，得到方程 y = ax^2 + bx + c。

消去c，并利用两个方程，可以解得a的值。

求二次函数的函数关系式教学设计目录一、创设问题情境 (1)二、复习回顾 (2)三、新课探究 (2)四：巩固练习 (3)五:解答情景引入中问题 (4)六：小结 (5)七、作业： (6)八、板书设计： (6)求二次函数的函数关系式教学目标知识与技能：让学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数的关系式。

过程与方法：使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

情感态度与价值观：让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。

教学方法：讲授法、练习法、课堂讨论法、启发引导法重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式难点：通过将生活中的实际问题抽象成数学问题，利用已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。

教具准备：投影仪。

课时安排：一课时教学过程：一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。

它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m。

施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?（引出新课）二、复习回顾根据下列条件，分别写出相应的函数表达式1.y与x成正比，其图像过点p(2,1);2.函数y=2kx+k的图像过点（2，-5）3.一次函数的图像过点（1，2）、（-3，5）三、新课探究问题：解答上面的问题，运用了什么数学方法？运用这种数学方法的一般步骤是什么？说明：引导学生归纳用待定系数法确定一次函数的表达式的步骤。

例1.一个二次函数的图像过（0,1）（2,4）（3,10）三点，求这个二次函数的关系式.分析：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c过三个点，将这三点坐标代入，可得三元一次方程组，再解这个方程组即可求出a,b,c的值。

观察点（0,1），将其代入y＝ax2＋bx＋c，可得c=1再把另外两点代入即可得方程组，求出a，b的值.例2.一个二次函数的图像过点（0,-5），它的顶点坐标是（-2,3），求这个二次函数的关系式.问：1.图像的顶点坐标是（h,k）的二次函数的关系式是怎样的形式呢？分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a不为0）通过配方可得到什么形式的二次函数？这个二次函数的顶点坐标是什么？如何设它的关系式？如何确定a的值？让学生完成本例题解答，找一个学生上黑板作答，其他学生在练习本上完成。

二次函数关系式的三种形式1.引言1.1 概述二次函数是数学中的重要概念，在许多领域都有广泛的应用。

它是一个拥有二次项的多项式函数，通常用一般形式表示为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a、b和c分别代表函数的系数。

二次函数关系式可以通过三种形式来表示：标准形式、顶点形式和描点形式。

本文将对这三种形式进行详细介绍，包括定义和特点，并给出一些示例和应用。

在二次函数关系式的标准形式中，函数表达式会经过整理化简，常见形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

标准形式的特点是系数a、b和c可以直接体现函数的性质，例如a决定了函数的开口方向，b决定了函数的对称轴以及接触或穿过x轴的情况，c则是函数在y轴上的截距。

标准形式的示例和应用可帮助读者更好地理解和应用二次函数关系式。

另一种常见的表达形式是二次函数关系式的顶点形式。

顶点形式的函数表达式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)代表二次函数的顶点坐标。

顶点形式的特点是可以直观地描述二次函数的顶点位置及函数的凹凸性，方便进行图像的绘制和分析。

顶点形式的示例和应用将帮助读者更深入地理解二次函数的几何性质和图像特点。

此外，二次函数关系式还可以通过描点形式来表示。

描点形式的函数表达式为f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)，其中(x_1,y_1)和(x_2,y_2)分别为二次函数的两个描点坐标。

描点形式的特点是可以通过已知点的坐标，直接构造出二次函数的表达式，方便进行函数的推导和计算。

描点形式的示例和应用将帮助读者更好地理解和使用二次函数关系式。

总之，本文将详细介绍二次函数关系式的三种形式：标准形式、顶点形式和描点形式。

通过深入理解这三种形式的定义、特点和应用，读者将能够更好地掌握二次函数的性质和图像特点，进而在实际问题中灵活运用。

文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论。

首先，在引言部分，我们将简要概述本文的主题和目的，为读者提供一个整体了解的框架。

二次函数的三种表示方式1．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．二次函数的顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x 1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a( )= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．二次函数的交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．。

二次函数的几个公式二次函数的一般形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

1.顶点坐标公式：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

2.轴对称公式：二次函数的轴对称线方程为x = -b/2a。

3.判别式公式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac，判别式可以用来判断二次函数的图像与x轴的交点情况。

当Δ > 0时，二次函数与x轴有两个不同的交点；当Δ = 0时，二次函数与x轴有一个重复的交点；当Δ < 0时，二次函数与x轴没有实数解。

4.对称性质公式：二次函数在轴对称线上的函数值相等，即f(x) = f(-b/2a + t)，其中t为任意实数。

5.开口方向公式：二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。

当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。

6.最值公式：二次函数的最值可以通过寻找顶点的纵坐标得到。

当a > 0时，最小值为f(-b/2a)，当a < 0时，最大值为f(-b/2a)。

拓展：1.零点公式：二次函数的零点为函数与x轴的交点，可以通过求解f(x) = 0得到。

根据一元二次方程求根公式，当Δ > 0时，一般解为x = (-b ± √Δ)/(2a)；当Δ = 0时，解为x = -b/2a；当Δ < 0时，无实数解。

2.平移变换公式：二次函数可以通过平移变换改变其图像的位置。

例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，进行垂直平移h个单位和水平平移k个单位后，得到的函数为f(x - k) + h。

3.模型应用公式：二次函数在数学建模中有广泛的应用。

例如，可以使用二次函数来建模抛物线运动、汽车行驶距离与时间关系、弹体抛射运动等实际问题。

总结一下，二次函数的公式包括顶点坐标公式、轴对称公式、判别式公式、对称性质公式、开口方向公式和最值公式。

此外，还有拓展的零点公式、平移变换公式和模型应用公式等。

求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。

熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

二次函数的解析式有三种基本形式:1、一般式:y=ax 2+bx ＋ｃ (ａ≠０)。

２、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠０），其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=ｈ。

３、交点式：y=a(x-x 1)（x －x 2） (a ≠0）,其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。

4．对称点式： y=a(x-ｘ1)（x －x 2)＋ｍ （a ≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式:１、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式。

３、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与ｘ轴的交点距离，通常可设交点式。

4.若已知二次函数图象上的两个对称点(x 1、ｍ)(x 2、m),则设成: y=a （x-x 1)(x-x 2)+ｍ (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中,求出ａ的值，再化成一般形式即可。

探究问题，典例指津:例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(.求这个二次函数的解析式. 分析:由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax 2+ｂｘ＋c (a ≠０)。

解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2＋bx ＋c (a ≠0） 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得:⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2ｘ2+3ｘ-４。

例２、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。

分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式ｙ＝a(x-h)2+k （a ≠0),其中点（ｈ，ｋ）为顶点。

二次函数在数学中，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。

顶点式：y=a(x-h)^2+k;交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)。

二次函数的图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

如果令二次函数的值等于零，则可得一个二次方程。

该方程的解称为方程的根或函数的零点。

基本定义二次函数一般地，把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0，bc可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

x为自变量，y为因变量。

等号右边自变量的最高次数是2。

二次函数图像是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

顶点坐标[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]交点式为y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。

“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。

在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。

从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。

函数性质1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。

开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。

抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）[1]2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P 在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。