第四节 高阶导数

n
C
k n
u(
n
k
)v
(
k
)
k 0
莱布尼兹公式
例10
设y
x
1 2
1
,
求y(
n)
.
解 y 1 1( 1 1 ) x2 1 2 x 1 x 1
y(n) 1 [( 1 )(n) ( 1 )(n) ]
2 x1
x1
1 (1)n n! (1)n n!
[ 2 (x
1)n1
(x
1)n1
]
(1)n n! 2
e x (sin x cos x) 2 e x sin( x )
4
y 2 [e x sin( x ) e x cos(x )]
4
4
2 e x[sin( x ) cos(x )]
4
4
( 2)2 e x sin( x 2 )
4
y(n)
n
22
ex
sin( x
y x 1, y ( x 1 ) ( 1)x 2 , ,
y(n) ( 1) ( n 1)x n (n 1)
特别, ( 1 )(n) x
(1)(2)(n) x 1n
(1)n n! x n1
(2)若 为自然数m,则
m(m 1) (m n 1)x mn ,
y(n)
(xm
)(n)
n! ,
0,
nm nm nm
对于n次多项式
有 y(n) n !an
例3. 设 y e a x , 求 y ( n ) .
解 y a e a x , y a 2 e a x ,
y a 3 e a x , ,
y(n) a n e a x
特别有: ( e x ) ( n ) e x
[ (x
1 1)n1
(x
1 1)n1
]
例11 设 y sin 6 x cos 6 x, 求 y(n) .
解 y (sin 2 x)3 (cos 2 x)3
(sin 2 x cos 2 x)(sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x)
(sin 2 x cos 2 x)2 3sin 2 x cos 2 x
n
)
4
例7 设
由方程
确定 , 求
解法一: 方程两边对 x 求导，得
e y y y x y 0
①
再求导, 得
e y y 2 e y y y y x y 0
②
当 x 0 时, y 1 , 故由 ① 得
y(0) 1 e
再代入 ② 得
y ( 0 )
1 e2
解法二: 方程两边对 x 求导，得
一般有: ( a x ) ( n ) a x ln n a ( a 0 )
注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例4 设 y ln(1 x), 求y(n) .
解 y 1 ,
1 x
y
(1
1 x)2
,
y
(1)2
1 (1
f (n)(2)
提示:
n!
(x 2)n(x 1)n
各项均含因 子(x–2)
n !(x 1)n
(2) 已知 f ( x ) 任意阶可导, 且 f ( x ) [ f ( x )] 2 , 则当
n 2 时 f (n)( x ) n ! [ f ( x )]n1
提示: f ( x ) 2 f ( x ) f ( x ) 2 ! [ f ( x )] 3 f ( x ) 2 ! 3 [ f ( x )] 2 f ( x ) 3 ! [ f ( x )] 4
3. 求下列函数的 n 阶导数
(1) y 1 x 1 x
解:
y(n)
2 (1)n
n! (1 x )n1
x3 (2) y
1 x
解:
y(n)
n! (1 x )n1
,
n3
1 (3) y x 2 3 x 2
解:
y
1 x2 3x 2
1
( x 2)( x 1)
( x 1) ( x 2) 1 1 ( x 2)( x 1) x 2 x 1
22
2
, y (n) sin( x n )
2
类似求得 (cos x )(n) cos( x n )
(s in
ax )(n)
an
sin( ax
2
n
)
2
(cos ax )(n) a n cos(ax n )
2
例6 设 y e x sin x , 求y(n) .
解 y e x sin x e x cos x
2 x)3
,
,
y (n) (1)n1 (n 1)! (1 x )n
(n 1, 0! 1)
思考: y ln(1 x),
例5 设 y sin x, 求y(n) .
解
y cos x
sin( x ),
2
y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ),
2
e y y y x y 0
整理，得
y
x
y e
y
①
再求导, 得
y
y( x
e y ) y(1 e y y) (x e y )2
②
当 x 0 时, y 1 ,
故由 ① 得
y(0) 1 e
再代入 ② 得
y ( 0 )
1 e2
例8
设函数y
y(
x)由
x y
(t )确定,其中 (t )与 (t)
作业
P111习题2_4 1(单)，2，3(单)，4，5，6(单)
(t)
二阶可导,
且
(t
)
0,
求
d2y dx2
.
解 dy (t )
dx (t )
d2 dx
y
2
d dx
(dy ) dx
d dt
(t ) (t )
dt dx
d dt
(t ) (t )
dx
dt
(t) (t) (t) (t) 1
2(t)
(t )
即
d2 dx
y
2
(t )
(t ) (t ) 3 (t )
f
(
x)

12x 2 , 6x2,
x0 x0
又
f (0)
lim
x0
6x2 x
0
f (0)
lim
x0
12x2 x
0
f
(
x)
24 12
x x
, ,
x0 x0
但是 f (0) 12 , f (0) 24 , f (0) 不存在 .
5. (填空题) (1) 设 f ( x ) ( x 2 3 x 2 ) n , 则
(t
)
.
例9
设
x a cos3 t
y
a sin3
t
,
求
d2y dx2 .
解
dy dx
y(t ) x(t )
3a sin 2 t cos t tan t
3a cos2 t( sin t)
d2y dx2
( tan (a cos3
t ) t )
sec2 t 3a cos2 t sin
t
sec4 t 3a sin t
求 f (a) .
解 g( x) 可导
f ( x) 2( x a)g( x) ( x a)2 g( x)
g( x) 不一定存在 故用定义求 f (a)
f (a) lim f ( x) f (a)
xa
xa
f (a) 0
lim
xa
f ( x) xa
lim[2g( x) ( x a)g( x)] 2g(a) xa
，由
dy (t) dx (t)
((t) 0)
可知
d 2 y (t) dx2 (t)
，对吗？
解答: 不对．
d2y dx2
d dx
dy dx
d ( dy ) dt dx
dx
(t ) (t )
t
.
(t )
dt
2. 设 g( x) 连续，且 f ( x) ( x a)2 g( x) ，
1 3 sin 2 2x 4
1 3 1 cos 4x 42
5 3 cos 4x 88
y(n) 3 4n cos(4 x n ).
8
2
例12 设 y x 2e2 x , 求y(20) .
解 设u e2x , v x2 ,则由莱布尼兹公式知
y(20) (e ) 2 x (20) x 2 20(e 2 x )(19) ( x 2 ) 20(20 1) (e2x )(18) ( x 2 ) 0 2!
y(n)
(1)n n!
(
x
1 2)n1
(x
1 1)n1
4. 设 f ( x ) 3 x 3 x 2 x , 求使 f ( n ) ( 0 ) 存在的最高
阶数
2
分析:
f
(x)
4x 2x
3 3
, ,
x0 x0
f (0)
lim
x 0
2x3 0 x
0
f (0)
lim
x 0
4x3 0 x
0
2.间接法:
利用高阶导数的运算法则和已知的高阶导数公 式求高阶导数.
运算法则 设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (C1u C2v)(n) C1u(n) C2v(n)