《高阶导数》PPT课件

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2-3 隐函数及参数方程及高阶导数_图文.ppt

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数计算，是微积分中的重要内容。对于隐函数，我们可以通过对方程两边同时求导次进行求导，注意此时要运用复合函数的求导法则。对于由参数方程所确定的函数，其一阶导数可以通过参数方程中各变量对参数的导数关系求得。而二阶导数则需要在一阶导数的基础上，进一步对参数求导，并结合链式法则进行计算。掌握这些方法和步骤，能够有效解决隐函数及参数方程相关的高阶导数问题，提升微积分学习的效果和应用能力。

高阶导数PPT

y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即二阶导数，记作函数二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖南对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择第二个模型. 第二个模型
湖南对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
外
经
济
贸
易
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职
业
Trade
学
院
Hunan
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高等数学-§2.3 高阶导数

n
其中公式(2)称为莱布尼茨(Leibniz)公式.
高等数学第2章导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.7
y sin x cos x
4 4
2 2 2 2
, 求
y
n
.
解将 y 变形得
y sin x cos x
1 cos 4 x 3 1 1 cos 4 x 4 4 4
2 2x 2 2 x x2 1 x 2x x2
y
y
2 1 x 2 x x 1 x

2
2x x2

2x x
2

2
2 x x 1 x 2x x
2
2 2x 2 2x x
2
高等数学第2章导数与微分
x
n
k
k n
高等数学第2章导数与微分
2.3 高阶导数
如果函数 u u x 和 v v x 在点 x 处具有 n 阶导数, 那么
u x v x 和 u x v x 在点 x 处也都具有
n 阶导数（ , 是常数）, 且
n
n 1 ! 1 n 1 x
n 1
通常规定 0! 1 , 因此这个公式当 n 1 时也成立.
高等数学第2章导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.6
解
求
yx
1

(
是任意常数)的 n 阶导数.
y 1 x 2
,
y x

y sin x cos( x ) sin( x 2 ) 2 2

2.5高阶导数(1-14)

解 y'(x) 2xarctan x 1
x y''( x) 2(arctan x 1 x2 )
例 y f (x2 ) , 求 y''( x) , y'''( x)
解 y'( x) f '( x2 ) 2x
y''( x) 2( f '( x2 ) x f ''( x2 ) 2x) 2 f '(x2) 4x2 f ''(x2 )
解采用找规律的方法求解问题
(1) y e x , y' e x , y" e x y(n) e x
即
(e x )(n) e x
(1)
(2) y' sinx cos(x ) y" cosx cos(x 2 )
2
2
y"' sinx
cos(x 3 )
y(n) cos(x n )
在上式中令常数 (-b) = b , 得
所以 , 有
a
1 bx
(n)
(1)n bnn! (a bx)n1
y(n) ( x)
1 2a
(a
bnn! bx)n1
(1)n bnn! (a bx)n1
例设 f ( x) ln(1 x) , 求 f (n)(x)
解
f '(x) 1 , 1 x
表示的
x ln cost dy t cost dx
d2y dx2
d dx
dy dx
d dy dt dx
dx
dt
相当于对导函数的参数方程再用一次参数方程求导公式
(cost t sint) 1 ( sint )

《高阶导数》课件

高阶导数
在这个PPT课件中，将会介绍高阶导数的概念和运用。从一阶导数到高阶导数，深入了解导数的定义、性质和应用。
什么是导数
导数是描述函数变化率的工具，它可以帮助我们了解函数在不同点的斜率或变化速率。导数的定义和意义是我们学习导数的起点。
一阶导数
一阶导数是导数的基础，它可以告诉我们函数曲线的斜率和变化趋势。一阶导数的定义、性数的进一步延伸，它可以告诉我们函数变化的更多细节和特性。高阶导数的定义、意义、性质和计算方法将会在这一节中探讨。
应用举例
通过一些实际的例子，我们可以更好地理解导数的应用。在这一节中，我们将讨论函数极值问题、函数凸凹性问题以及根据导数表述函数形态。
总结
通过本PPT课件，我们可以深入了解导数的重要性和高阶导数的作用。同时，也可以对导数在实际应用领域中的意义有一个总体的了解。

§3. 高阶导数

1
机动目录上页下页返回结束
(1)二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数. 二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数 dy df y′ f ′( x ) dx dx 2 2 d y d f f ′′( x ) y′′ 2 2 dx dx 3 3 d y d f f ′′′( x ) y′′′ 3 3 dx dx 4 4 d y d f (4) (4) f ( x) y 4 4 dx dx ……………………………………… dny dn f (n) ( n) f ( x) y n n dx dx
k +L+ Cn u(k)v(n−k) +
规定：莱布尼兹(Leibniz) 公式莱布尼兹
10
机动目录上页下页返回结束
例7.
2
求
2x
解: 设 u = x , v = e , 则
u′ = 2x , u′′ = 2,
u
(k )
=0
(k = 3 ,L 20) ,
v(20−k) = 220−k e2x
第三节高阶导数
一、高阶导数的概念定义函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) 称为函数 f ( x ) 的二阶导数二阶导数. 二阶导数的导数称为 f ( x )的三阶导数三阶导数. 三阶导数的导数称为 f ( x )的四阶导数. 四阶导数 LLLLLLLLLLLLLLLL
n − 1 阶导数的导数称为 f ( x )的n阶导数阶导数. 阶导数
机动目录上页下页返回
13
结束
思考与练习
如何求下列函数的 n 阶导数? 1− x (1) y = 解: 1+ x
1 (n) n! n ( ) = (−1) ( x + a )n +1 x+a

2-3高阶导数

dy dy du eu e ln x
dx du dx
x
x
x x1. 证毕
x
例5 求y=f(x2)的导数(其中f(x)可导).
解可分解为 y f (u), u x2 ,
y dy du f (u)(2x) 2 xf ( x 2 ). du dx
7
复合函数的求导法则有三个步骤：（1）分解复合函数，分解到基本初等函数或
复合而成，
dy dy du eu (cos x ln x sin x )
dx du dx
x
xsin x (cos x ln x sin x ). x
注意：对幂指函数需要变形后才能进行求导，
否则无法求出.
6
例4 证明：( x ) x 1 ( R).
证 y x e ln x由 y eu，u ln x 复合而成，
7.
f
x
2
3
x3,
x 1 .
x2 , x 1
解
由题可得f
x
2
x
2
,
2x,
x 1 x 1
作业
f
x0
lim f x x0
x
所以 f(1) 2, f 1 2，左右导数都存在错
错误原因：
lim
x1
f ( x)
f (1 )
f(1)
lim
x1
f ( x) f (1) x 1
f x0 f x0
简单函数为止. （2）按锁链法则进行计算. （3）把中间变量回代到原来的变量. 注意：（1）关键是分解，分解原则：各个分函数的
导数可求.
（2）熟练后这种分解可省去，即省去中间变量
（3）该法则可推广到多（有限）层复合函数，

《D23高阶导数》课件

培养学生对数学的兴趣和热情
教学方法与手段
讲解法：通过讲解D23高阶导数的概念、性质、计算方法等，让学生理解并掌握相关知识。
练习法：通过布置习题，让学生进行练习，巩固所学知识。
讨论法：组织学生进行讨论，让学生互相交流学习心得，提高学习效果。
实验法：通过实验，让学生亲自动手操作，加深对D23高阶导数的理解。
学习建议：结合实际案例，进行实践操作，提高应用能力
注意事项
适用对象：高等数学、微积分等课程的学生和教师
使用建议：建议在讲解D23高阶导数时，结合实例进行讲解，以便学生更好地理解和掌握
注意事项：在使用课件时，注意保护知识产权，不得擅自修改或传播课件内容
反馈建议：在使用过程中，如有任何问题或建议，请及时反馈给课件制作者，以便改进和完善课件内容
高阶导数的微分方程和积分
高阶导数的几何意义和物理意义
高阶导数的综合练习和习题解答
高阶导数的总结和复习
课件的演示方式
幻灯片演示：通过幻灯片展示D23高阶导数的概念、公式、应用等
视频讲解：通过视频讲解D23高阶导数的概念、公式、应用等
互动问答：通过互动问答的方式，让学生更好地理解和掌握D23高阶导数的概念、公式、应用等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
可微性：导数在定义域内是可微的
导数的极限性质：导数是原函数在某一点的极限值
导数在数学中的应用
微积分：导数是微积分的基础，用于计算极限、积分等
优化问题：导数用于求解函数的极值和最值，如求函数的最大值和最小值
物理应用：导数在物理学中用于描述物体的运动状态，如速度、加速度等经济学：导数在经济学中用于描述经济变量之间的关系，如需求曲线、供给曲线等

高阶导数PPT课件

1 3 sin2 2x 4
sin2 1 cos 2
2
y(n)
3 8
4n
cos(4x
n
2
)
a3 b3 (a b) (a2 ab b2 )
第19页/共26页
机动目录上页下页返回结束
2. (填空题) 设
(1)
f (x) (x2
3x
2)n
cos
x2
16
,则
f (n) (2)
例4. 设
求
y 1 1 x
y
1 (1 x)2
解:
y 1 , 1 x
y
1 (1 x)2
,
y
(1)2
1 (1
2 x)3
,
,
y(n)
(1)n1
(n 1)!
(1 x)n
规定 0 ! = 1
思考:
第6页/共26页
机动目录上页下页返回结束
例5 设 y sin x, 求y(n) .
解 y cos x sin( x ) 2
第11页/共26页
例8 设 y 1 , 求y(5) . x2 1
解 y 1 1( 1 1 ) x2 1 2 x 1 x 1
y(5) 1 [ 5! 5! ] 2 ( x 1)6 ( x 1)6
1
1
60[
]
( x 1)6 ( x 1)6
第12页/共26页
例9 设 y sin6 x cos6 x, 求y(n) .
第23页/共26页
练习题答案
一、1、 2e t cos t ；
2、2 sec2 x tan x ；
3、2arctan x 2x ； 1 x2

《高阶导数练习》课件

高阶导数练习题解析
1
填空题
2
根据题目要求，利用高阶导数的计
算方法填写空缺。
3
选择题
通过分析问题条件和选项特点，灵活运用高阶导数计算和性质。
应用题
结合实际问题求解高阶导数，并分析问题的意义和结果。
高阶导数练习题的练习方法
1 理论学习
深入学习高阶导数的相关概念、原理和计算方法。
2 实例演练
各类题型的例题演练，加深对高阶导数的理解和熟练度。
3 自主思考
尝试解决一些较难的高阶导数问题，培养独立思考和解决问题的能力。
结论和总结
高阶导数是进一步探索函数变化规律和特性的重要工具。通过对高阶导数的学习和练习，我们可以更好地理解和应用数学在实际问题中。
高阶导数的计算方法
过迭代的方式计算高阶导数。
2
链式法则
链式法则在计算复杂函数的高阶导数时特别有用，简化计算过程。
3
递推公式
通过利用高阶导数的递推关系，可以更加高效地计算出任意阶的导数。
高阶导数的性质
对称性
高阶导数在偶函数和奇函数中具有特殊的对称性。
极值点
《高阶导数练习》PPT课件
本课件介绍高阶导数的概念和定义，高阶导数的计算方法，以及高阶导数的性质。探讨高阶导数在实际问题中的应用，并提供高阶导数练习题解析和练习方法。最后进行结论和总结。
高阶导数的概念和定义
定义：
高阶导数是函数的导数的导数，表示函数的变化率的变化率。
概念：
高阶导数描述了函数更加详细的变化规律，帮助我们理解函数的趋势和特征。
高阶导数的零点可以帮助我们找到函数的极值点。
导数与原函数关系
高阶导数揭示了原函数的更多特性和性质。

25高阶导数-PPT精品文档

2 x y ( 0 ) 0 0; 22x ( 1 x)
2 2 ( 3 x 1 ) 2 . ( y 0 ) 0 23 x ( 1 x )
x 例4 求指数函数 y e 的 n 阶导数。
解：
x x x ( 4 ) x y' e , y" e , y''' e , y e ,
( n 1 )
即
( n 1 )! [ln( 1 x )] ( 1 ) . n ( 1 x )
( n )
返回
例7
( n ) 设 y x ( R ), 求 y .
1 x 解 y
1 2 y ( x ) ( 1 ) x
2 3 y ( ( 1 ) x ) ( 1 )( 2 ) x

( n ) n y ()
( n ) n( n ) ( n 1 ) 若为自然数 n ,则 0 n ! , y ( x) y ( n ! ) .
d y d f ( x ) f ( x ), y, n 或n . dx dx
( n ) ( n )
n
n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 返回
二、高阶导数求法举例
例1
解
y ax b . 求 y" .
y' a , y" 0 .
sin t , 求 s" 。例2 s
解
s' cos t , s" sin t .
• • • 一般地，函数 y f（ x ）的导数 y' f' (x)仍然

《偏导数与高阶导数》PPT课件

fz(x,y,z) lz i 0f m (x ,y ,z z z ) f(x ,y ,z )
第二节偏导数与高阶偏导数
注意！
全导数
dy f(x) dx
dy f(x)dx
偏导数的符号
z , x
z y
是一个整体记号,
不能像一元函数那样将z , z 看成是
x y
z 与 x, y的商.
2.偏导数的计算
实质上是
df(x,y0) dx
xx0
2.偏导数的计算
2.偏导数的计算
多元函数的偏导数的计算方法, 没有任何技术性的新东西.
方法: 求偏导数时,只要将 n 个自变量中的某一个看成变量, 其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数的求导方法进展计算即可 .
2.偏导数的计算
例1 求函数 zxy(x0) 的偏导数.
z f(x x ,y ) f(x ,y )
l i m
x x 0
x
可以看出: 定义 z 时, 变量 y 是不变的, 实际上, x
是对函数 f(x, y), 将 y 视为常数, 关于变量 x 按一元
函数导数的定义进展的：
x z(x 0 ,y 0 ) lx i 0fm (x 0 x , y 0 x ) f(x 0 ,y 0 )
解将 y 看成常数时, 是对幂函数求导.
z yxy1.
x
(xa)axa1
将 x 看成常数时, 是对指数函数求导.
z xylnx. (ax)axln a y
例2 求函数 zex2y2的偏导数.
2.偏导数的计算
例2 求函数 zex2y2的偏导数.
解
z x
ex2y2(x2y2)x 2xex2y2.

课件(PPT版)3.4_解析函数的高阶导数

证 (1) 由于 f (z) 在 | z | 2内解析，根据高阶导数定理可得在 | z | 2 内，f (z) 也解析；
(2) 由 | f (z) 2| | z| 可得在 | z | 2内，f (z) 0 ， z f (z) 在 | z | 2 内解析； f (z)
摩勒拉(Morera)定理
柯西积分定理说明，只要 f (z)在单连通区域D内解析，则对D内任一围线均有C f (z)dz 0。我们现在证明其逆也是正确的．
摩勒拉定理设函数 f (z)在单连通区域D内连续，且对
D内任一围线C，有 C f (z)dz 0 ，则f (z) 在D内解析．

f (n)(z0 )
n! 2πi
| z z0 | R1
f (z) (z z0 )n1
dz ,
(n 1,
2, ).

| f (n)(z0 )|
n! 2π
| f (z)|
n! M
| zz0 | R1 | z z0 |n1 ds R1n ,
令 R1 R ,
2!
zi
πi cos i πi (e e1 ) .
2
例计算
ez
| z| 1 z100 dz .
解
ez
| z| 1 z100 dz

2πi (ez )99
99!
z0

2πi 99!
.
例
计算 I
|z|2
ez
(z2 1)2
dz .
解
(1)
令
f (z)

1
C (z 2)2 z3 dz C1

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y sin4 x cos4 x
(sin2 x cos2 x)2 2sin2 x cos2 x
1 1 sin2 2x 1 1 1 cos 4 x
2
2 2
3 1 cos4x 44
(cos x)(n) cos( x n ) 2
例设 y ln(1 x)( x 1), 求y(n).
解 y 1
1 x
y

(1
1 x
)
2
y

(1
2! x)3
y(4)

(1
3! x
)4

y(n) (1)n1 (n 1)! (1 x)n
(n 1, 0! 1)
6
例设 y sin x, 求y(n) .
函数的n阶导数公式,使问题简化.
几个常用高阶导数公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0) (e x )(n) e x
(2) (sin kx)(n) k n sin( kx n ) 2
(3) (cos kx)(n) k n cos(kx n ) 2
依次类推 , 可得
y(n) n!an
4
几个基本初等函数的n阶导数
例设 y x ( R), 求y(n). 解 y x1
y (x1) ( 1)x2
y (( 1)x2 ) ( 1)( 2)x3

d2 y 或 d2 y d (dy) dx2 d x 2 d x dx
2
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
f (n)( x),
y(n),
dn y dx n
或
dn f (x) dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
3
由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数, 只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去, 而不需要新的方法.
例. 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
解 y cos x sin( x ) 2
y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 )
2
22
2
y cos( x 2 ) sin( x 3 )

2
2
y(n) sin( x n ) 即 (sin x)(n) sin( x n )
a(t) v(t) [s(t)]' 这就是二阶导数的物理意义
定义如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
( f ( x)) lim f'( x x) f'( x)
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f ( x), y,
y(n) 1 4n cos 4 x n
4

2
10
例设y ( x 2)(2x 3)2(3x 4)3, 求y(6). 分析此函数是6次多项式, 又是求6阶导数,
故不需将函数因式全乘出来. 解因为
y x(2x)2(3x)3 p5( x) 108x6 p5( x)
用此公式可以简便地求
2!
出乘n(积n 的1)高阶(n导数k 1) u(nk)v(k) uv(n)
k!
n
可类比着Newton二项公
Cnku(nk )v(k )
式加强记忆
k0
Leibniz公式
12
n
例设 y x2 sin x, 求y(100) . (u v)(n)
y(n) ( 1)( n 1)xn
(n 1)
若为自然数n, 则
y(n) ( x n )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
5
例设 y e x , 求y(n) .
解 y e x , y e x , y e x , , (e x )(n) e x .
(4) ( x )(n) ( 1)( n 1)xn
(5)
(ln
x)(n)

(1)n1
(n 1)! xn

1 x
(n)

(1)n
n! x n1
9
例 y sin4 x cos 4 x, 求y(n) .
解若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律, 所以将式子恒等变形.
§2.3 高阶导数
高阶导数的定义几个基本初等函数的n阶导数莱布尼茨(Leibniz)公式小结思考题作业
1
第二章导数与微分
一、高阶导数的定义高阶导数也是由实
问题:变速直线运动的加速度. 际需要而引入的.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是速度v对时间t的变化率
2
2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n )
2
7
注求n阶导数时, 关键要寻找规律, 一般求至三阶, 便可看出规律; 另外在求导过程中不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n 阶导数.
8
求n阶导数需要运用技巧 (通过四则运算,
变量代换,恒等变形) 尽可能化为求某些熟知
其中 p5( x) 为x的5次多项式, 故 y(6) 108 6!.
11
二、莱布尼茨公式
设莱布函尼数茨u和(Lve具ib有ninz,阶16导46数—,1则716)
(1) (u德国பைடு நூலகம்v数)(学n) 家.u(n) v(n)
(2) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v