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第3章 导数的应用学习了导数的概念后，本章将介绍微分学中值定理、利用导数求极限的方法 洛必达法则、利用导数研究函数的单调性、凹凸性等性质及函数的作图等方面的知识．3.1 中值定理目的要求：1. 理解罗尔定理的内容，会求定理中的；2. 理解拉格朗日中值定理的内容，会求定理中的，能利用其证明一些不等式；3. 了解柯西中值定理。
重点：柯西中值定理。
难点：中值定理的应用。
3.1.1 罗尔定理定理3.1 如果函数()y f x =满足：(1) 在闭区间[, ]a b 上连续； (2) 在开区间(, )a b 内可导； (3) ()()f a f b =．那么，在(, )a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=．这就是罗尔(Rolle )定理．图3-1这个定理的几何解释如图3-1所示，如果连续曲线()y f x =在开区间(, )a b 内的每一点处都存在不垂直于x 轴的切线，并且两个端点A 、B 处的纵坐标相等，即连结两端点的直线AB 平行于x 轴，则在此曲线上至少存在一点( ())C f ξξ,，使得曲线()y f x =在点C 处的切线与x 轴平行．例1 验证函数234y x x =--在区间[1, 4]-上满足罗尔定理，并求出相应的ξ点．解 函数234y x x =--为初等函数，在闭区间[1, 4]-上连续，且导数'23y x =-在开区间(1, 4)-内存在，且(1)(4)0f f -==，所以函数234y x x =--在区间[1, 4]-上满足罗尔定理的三个条件．因此，在开区间(1, 4)-内一定存在ξ点，使得()0f ξ'=．事实上，令()230f x x '=-=，解得32x =，且3(1, 4)2∈-，即32ξ=，使得 (3())02f f ξ''==．3.1.2 拉格朗日中值定理定理3.2 如果函数()y f x =满足：(1) 在闭区间[, ]a b 上连续； (2) 在开区间(, )a b 内可导．那么，在(, )a b 内，至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-． （3-1）也可以写成()()()()f b f a f b a ξ'-=-．这就是拉格朗日(Lagrange )中值定理．在此定理中，如果区间[, ]a b 的两个端点处的函数值相等，就变成了罗尔定理．也就是说，罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况． 拉格朗日定理的几何解释如图3-2所示，若()y f x =是闭区间[, ]a b 上的连续曲线弧段AB ，连接点(, ())A a f a 和点(, ())B b f b 的弦AB 的斜率为()()f b f a b a--，而弧段AB上某点(, ())C f ξξ的斜率为()f ξ'．定理3.2的结论表明：在曲线弧段AB 上至少存在一点( ())C f ξξ,，使得曲线在点C 处的切线与曲线的两个端点连线AB 平行．图3-2拉格朗日定理有两个推论：推论1 如果在区间(, )a b 内，函数()y f x =的导数()f x '恒等于零，那么在区间(, )a b 内，函数()y f x =是一个常数．证明 在区间(, )a b 内任取两点1212, ()x x x x <，在12[, ]x x 上，用拉格朗日中值定理，有2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- 12()x x ξ<<．由于函数()y f x =的导数()f x '恒等于零，所以21()()f x f x =．这说明在区间(, )a b 内，函数()y f x =的在任何两点处的函数值都相等．故在区间(, )a b 内，函数()y f x =是一个常数．推论2 如果在区间(, )a b 内，()()f x g x ''≡，则在区间(, )a b 内，()f x 与()g x 只相差一个常数，即()()f x g x C =+ (C 为一常数)．证 令()()()h x f x g x =-，则'()'()'()0h x f x g x =-=，由推论1知，()h x 为一常数，于是有()()f x g x C =+ (C 为常数)．例2 对于函数()ln f x x =，在闭区间[1, e]上验证拉格朗日定理的正确性． 解 对于函数()ln f x x =在闭区间上[1, e]连续，在区间(1, e)内可导，又1(1)ln10, (e)ln e 1, ()f f f x x'=====，由拉格朗日中值定理，存在(1, e)ξ∈，使得ln e ln11e 1ξ-=-，从而解得1(1, )e e ξ=-∈．例3 若0a b <<，证明ln b a b b ab a a--<<． 证 设()ln , [, ]f x x x a b =∈．因为()ln f x x =在区间[, ]a b 上连续，在(, )a b 内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，于是()()()()f b f a f b a ξ'-=-，而1()ln , ()ln , ()f a a f b b f x x'===， 代入上式为1ln ln ln() ()b b a b a a b a ξξ-==-<<． 又因为111b aξ<<， 所以ln b a b b ab a a--<<． *3.1.3 柯西中值定理定理3.3 设函数()f x 与函数()g x 满足：(1) 在闭区间[, ]a b 上连续；(2) 在开区间(,)a b 内可导； (3) 在区间(, )a b 内()0g x '≠． 那么，在(, )a b 内，至少存在一点ξ，使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-． （3-2）这就是柯西(Cauchy )中值定理．在此定理中，若()g x x =，则其就变成了拉格朗日定理，说明拉格朗日定理是柯西定理的特殊情况．课堂练习：1．验证函数sin y x =在区间3, 44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足罗尔定理，并求出ξ值． 2．验证函数lnsin y x =在区间5, 66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足罗尔定理，并求出ξ值． 3．验证函数arctan y x =在区间[]0, 1上满足拉格朗日定理，并求出ξ值．3.2 洛必达法则学时：2学时 目的要求：1. 理解并掌握洛必达法则；2. 能够用洛必达法则求00或∞∞型极限。
中值定理与导数的应用20728第三章中值定理与导数的应用§3. 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意x∈U(x0),有f(x)≤f(x0) (或f(x)≥f(x0)),那么f'(x0)=0.罗尔定理如果函数«Skip Record If...»满足：（1）在闭区间«Skip Record If...»上连续,（2）在开区间«Skip Record If...»内可导,（3）在区间端点处的函数值相等，即«Skip Record If...»,那么在«Skip Record If...»内至少在一点«Skip Record If...»,使得函数«Skip Record If...»在该点的导数等于零，即«Skip Record If...».例:设函数«Skip Record If...»在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，«Skip Record If...»，证明：在(0,1)内存在«Skip Record If...»，使得«Skip RecordIf...»．【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析：«Skip Record If...»【证明】令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且«Skip Record If...»,«Skip Record If...»由罗尔中值定理知，存在«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»．即«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢17例：设函数f(x), g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令«Skip Record If...»，则问题转化为证明«Skip Record If...», 只需对«Skip Record If...»用罗尔定理，关键是找到«Skip Record If...»的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»，则在区间«Skip Record If...»上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对«Skip Record If...»用罗尔定理即可。
