高考数学总复习 阶段性测试题三 新人教B版

高考数学总复习 1-3 充分条件与必要条件但因为测试新人教B版1.(文)(2011·福建文，3)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]a＝1成立，则|a|＝1成立．但|a|＝1成立时a＝1不一定成立，所以a＝1是|a|＝1的充分不必要条件．(理)(2011·大纲全国文，5)下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3[答案] A[解析]∵a>b＋1⇒a－b>1⇒a－b>0⇒a>b∴a>b＋1是a>b的充分条件又∵a>b⇒a－b>0⇒／a>b＋1∴a>b＋1不是a>b的必要条件∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件．[点评]如a＝2＝b，满足a>b－1，但a>b不成立；又a＝－3，b＝－2时，a2>b2，但a>b不成立；a>b⇔a3>b3.故B、C、D选项都不对．2．(2011·湖南湘西州联考)已知条件p：a<0，条件q：a2>a，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]由a2>a得，a<0或a>1.所以q是p成立的必要不充分条件，其逆否命题綈p也是綈q的必要不充分条件3．(文)(2011·聊城模拟)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]k＝1时，圆心O(0,0)到直线距离d＝12<1，∴直线与圆相交；直线与圆相交时，圆心到直线距离d＝|k|2<1，∴－2<k<2，故选A.(理)(2011·通化模拟)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的充分不必要条件是() A．－3<m<1 B．－4<m<2C．0<m<1 D．m<1[答案] C[解析] 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0x 2＋y 2－2x －1＝0，得x 2＋(x ＋m )2－2x －1＝0，即2x 2＋(2m －2)x ＋m 2－1＝0，直线与圆有两个不同交点的充要条件为Δ＝(2m －2)2－4×2(m 2－1)>0，解得－3<m <1，只有C 选项符合要求．[点评] 直线与圆有两个不同交点⇔－3<m <1，故其充分不必要条件应是(－3,1)的真子集． 4．(文)(2011·太原模考)“α≠β”是“sin α≠sin β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 命题“若α≠β，则sin α≠sin β”等价于命题“若sin α＝sin β，则α＝β”，这个命题显然不正确，故条件是不充分的；命题“若sin α≠sin β，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sin α＝sin β”，这个命题是真命题，故条件是必要的．故选B.(理)(2011·沈阳二中月考)“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 解法1：∵θ＝2π3为方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ成立的充分条件； 又∵θ＝8π3也是方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3不是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的必要条件，故选A. 解法2：∵tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ，∴sin θcos θ＝－2sin θ， ∴sin θ＝0或cos θ＝－12，∴方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解集为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π或θ＝2k π±23π，k ∈Z ， 显然⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3A ，故选A.5．“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直的充要条件是3m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝－1.∴“m ＝－1”是上述两条直线垂直的充分不必要条件．6．(文)已知数列{a n }，“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝3x ＋2上”是“{a n }为等差数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 点P n (n ，a n )在直线y ＝3x ＋2上，即有a n ＝3n ＋2，则能推出{a n }是等差数列；但反过来，{a n }是等差数列，a n ＝3n ＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.(理)(2011·海南五校联考)下列说法错误．．的是( ) A ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥0D ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 [答案] A[解析] ∵sin θ＝12⇒θ＝k ·360°＋30°，反之当θ＝30°时，sin θ＝12，∴“sin θ＝12”是“θ＝30°”的必要不充分条件．故选A.7．(2010·江苏省南通市调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________.[答案] －23[解析] x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8垂直⇔ 1·m ＋(m ＋1)·2＝0， 得m ＝－23.8．给出下列命题：①“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件． ②对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |，n ＝1,2，…”是{a n }为递增数列的充分不必要条件．③已知a ，b 为平面上两个不共线的向量，p ：|a ＋2b |＝|a －2b |；q ：a ⊥b ，则p 是q 的必要不充分条件． ④“m >n ”是“(23)m <(23)n ”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________． [答案] ①②[解析] ①∵m >n >0，∴0<1m <1n ，方程mx 2＋ny 2＝1化为x 21m ＋y 21n ＝1，故表示焦点在y 轴上的椭圆，反之亦成立．∴①是真命题；②对任意自然数n ，a n ＋1>|a n |≥0，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列；当取a n ＝n －4时，则{a n }为递增数列，但a n ＋1>|a n |不一定成立，如a 2>|a 1|就不成立．∴②是真命题；③由于|a ＋2b |＝|a －2b |⇔(a ＋2b )2＝(a －2b )2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此p 是q 的充要条件，∴③是假命题； ④∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x是减函数，∴当m >n 时，⎝⎛⎭⎫23m <⎝⎛⎭⎫23n ，反之，当(23)m <⎝⎛⎭⎫23n 时，有m >n ，因此m >n ⇔⎝⎛⎭⎫23m <⎝⎛⎭⎫23n ，故④是假命题．9．(2011·济南三模)设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12，q ：x 2＋y 2>r 2(x ，y ∈R ，r >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则r的取值范围是________．[答案] (0，125][解析] 设A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>r 2，x ，y ∈R ，r >0}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆的外部，设原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为d ，则d ＝|4×0＋3×0－12|5＝125，∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，则0<r ≤125. 10．(2010·浙江温州十校联考)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1， ∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥1，m ＋1<5.或⎩⎪⎨⎪⎧m －1>1m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.11.(文)(2011·湖南高考)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 显然a ＝1时一定有N ⊆M ，反之则不一定成立，如a ＝3.故是充分不必要条件． [点评] 若N ⊆M ，则应有a 2＝1或a 2＝2，∴a ∈{－1,1，2，－2}，由于－1,1，2，－2}，∴应选A.(理)(2011·杭州二检)已知α，β表示两个不同的平面，m 是一条直线且m ⊂α，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析]⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βm ⊂α⇒α⊥β；但α⊥β时，设α∩β＝l ，当m ∥l 时，m 与β不垂直，故选B. 12．(文)(2011·浙江五校联考)已知不重合的直线a ，b 和不重合的平面α，β，a ⊥α，b ⊥β，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥bb ⊥β，∴a ∥β或a ⊂β，∵a ⊥α，∴α⊥β；反之，由α⊥β也可以推出a ⊥b ，故选C.(理)(2011·山东济宁一模)已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2＋ 2B ．m ≤2＋ 2C ．m ≥2D ．m ≥6[答案] D[解析] 由x －1x≤0，得0<x ≤1；∵p 是q 的充分条件，设A ＝(0,1]，B 是不等式4x ＋2x －m ≤0的解集，则A ⊆B ， ∴当x ∈A 时，不等式4x ＋2x －m ≤0恒成立， 由4x ＋2x －m ≤0得，m ≥4x ＋2x ＝(2x ＋12)2－14，因为0<x ≤1，所以m ≥(2＋12)2－14＝6，即m ≥6.13．(文)(2011·福建质检)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 注意到z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 在复平面内对应的点为M (a ＋2,1－2a )．当a >12时，有a ＋2>0,1－2a <0，故点M 在第四象限；反过来，当点M 在第四象限时，有a ＋2>0且1－2a <0，由此解得a >12.所以“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件，故选C.(理)(2011·宁夏三市联考)设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y >2 C ．x 2＋y 2>2 D ．xy >1[答案] B[解析] 命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”．若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x ＋y >2.对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1.对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，不能推出x >1或y >1.对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1.故选B.14．(文)(2011·广州二测)已知p ：k >3；q ：方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，则p 是q 的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] A[解析] 由k >3得3－k <0，k －1>0，方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，因此p 是q 的充分条件；反过来，由方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线不能得到k >3，如k ＝0时方程x 23－k ＋y 2k －1＝1也表示双曲线，因此p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件，选A.(理)(2011·黑龙江铁岭六校第二次联考)命题P ：不等式lg[x (1－x )＋1]>0的解集为{x |0<x <1}，命题Q ：在△ABC 中，A >B 是cos 2(A 2＋π4)<cos 2(B 2＋π4)成立的必要不充分条件，则( )A ．P 真Q 假B ．P ∧Q 为真C ．P ∨Q 为假D ．P 假Q 真[答案] A[解析] 由lg[x (1－x )＋1]>0，得x (1－x )＋1>1， 解得0<x <1，即命题p 正确； 由cos 2(A 2＋π4)<cos 2(B 2＋π4)得，1＋A ＋π22<1＋B ＋π22，化简得sin A >sin B .因为A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，即命题q 不正确．15．(2011·日照模拟)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． [解析] (1)a ＝1时，p ：x 2－4x ＋3<0，即p ：1<x <3，q ：⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3x <－4或x >2，即q ：2<x ≤3， 由p ∧q 为真知，2<x <3.(2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －a )(x －3a )<0， 若a <0，则3a <x <a ，不合题意； 若a >0，则a <x <3a ，由题意知，a,3a )，∴⎩⎨⎧a ≤23a >3，∴1<a ≤2.*16.(2011·蚌埠质检)设函数f (x )＝ln x －px ＋1.(1)当p >0时，若对任意的x >0，恒有f (x )≤0，求p 的取值范围； (2)证明：当x >0时，1＋ln x x≤1.[解析] (1)显然函数定义域为(0，＋∞)． 且f ′(x )＝1x －p ＝1－px x.当p >0时，令f ′(x )＝0，∴x ＝1p ∈(0，＋∞)，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：↗↘从上表可以看出：当p >0时，有唯一的极大值点x ＝1p.当p >0时在x ＝1p 处取得极大值f ⎝⎛⎭⎫1p ＝ln 1p ，此极大值也是最大值， 要使f (x )≤0恒成立，只需f ⎝⎛⎭⎫1p ＝ln 1p ≤0，即p ≥1. ∴p 的取值范围为[1，＋∞)．(2)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1.由(1)可知，函数f (x )在x ＝1处取最大值，即f (x )≤f (1)＝0，即ln x ≤x －1. 故当x >0时，1＋ln xx≤1.1．△ABC 中“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C ，∴cos(B －C )＝0.∴B －C ＝π2.∴B ＝π2＋C >π2，故为钝角三角形，反之显然不成立，故选B.2．(2010·山东聊城模拟)设不等式|2x －a |<2的解集为M ，则“0≤a ≤4”是“1∈M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 解绝对值不等式可得M ＝⎝⎛⎭⎫a －22，a ＋22，故0≤a ≤4时，不一定推出1∈M ，反之若1∈M ，则有⎩⎨⎧a －22<1a ＋22>1⇒0<a <4，故“0≤a ≤4”是“1∈M ”的必要但不充分条件．3．(2010·上海十三校联考)“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间(－∞，1]上为减函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1－xx，所以f (x )在区间(－∞，1]上是减函数；若f (x )在区间(－∞，1]上是减函数，结合图象可得a ≥1，所以前者是后者的充分不必要条件．4．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( )[答案] C[解析] 直线x ＋y ＝0与直线x －a y ＝0垂直⇔1×1＋1×(－a )＝0⇔a ＝1. 5．(2010·北京东城区)“x ＝π4”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] x ＝π4时，y ＝sin2x 取最大值，但y ＝sin2x 取最大值时，2x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，不一定有x ＝π4.6．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由“m ＝2”可知A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，所以可以推得A ∩B ＝{4}，反之，如果“A ∩B ＝{4}”可以推得m 2＝4，解得m ＝2或－2，不能推得m ＝2，所以“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．7．(2010·辽宁文，4)已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0) [答案] C[解析] ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， 又2ax 0＋b ＝0，∴有f ′(x 0)＝0 故f (x )在点x 0处切线斜率为0 ∵a ＞0 f (x )＝ax 2＋bx ＋c ∴f (x 0)为f (x )的图象顶点的函数值 ∴f (x )≥f (x 0)恒成立 故C 选项为假命题，选C. [点评] 可以用作差法比较．8．(2011·成都二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xxx ＋cx ，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )[答案] A[解析] 当c ＝－1时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xxx －x ，易知函数f (x )在(－∞，1)、(1，＋∞)上分别是增函数，且注意到log 21＝1－1＝0，此时函数f (x )在R 上是增函数；反过来，当函数f (x )在R 上是增函数时，不能得出c ＝－1，如c ＝－2，此时也能满足函数f (x )在R 上是增函数．综上所述，“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的充分不必要条件，选A.9．(2011·山东济南一中阶段考试)给出如下四个命题： ①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题；②命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”； ③“若x ∈R ，则x 2＋1≥1”的逆否命题是真命题； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件． 其中假命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] D[解析] 若“p 且q ”为假命题，则p 和q 中至少有一个为假命题，故①错；根据否命题的定义，易知②正确；因为原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题，故③正确；在△ABC 中，因为A >B ，所以a >b ，由正弦定理asin A ＝bsin B，知sin A >sin B ，反之亦成立，故④正确．。

高考数学总复习 7-3 简单的线性规划问题但因为测试新人教B版1.(文)(2010·北京东城区)在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(0,1)[答案] B[解析]∵点O(0,0)使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方⇔－2－2t＋4<0，∴t>1.[点评]可用B值判断法来求解，令d＝B(Ax0＋By0＋C)，则d>0⇔点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的上方；d<0⇔点P在直线下方．由题意－2(－2－2t＋4)>0，∴t>1.(理)(2010·惠州市模拟)若2m＋2n<4，则点(m，n)必在()A．直线x＋y－2＝0的左下方B．直线x＋y－2＝0的右上方C．直线x＋2y－2＝0的右上方D．直线x＋2y－2＝0的左下方[答案] A[解析]∵2m＋2n≥22m＋n，由条件2m＋2n<4知，22m＋n<4，∴m＋n<2，即m＋n－2<0，故选A.2．(2010·四川广元市质检)在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为()A．95B．91C．88D．75[答案] B[解析]由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；y ＝1时，0≤x≤13；y ＝2时，0≤x≤12； y ＝3时，0≤x≤10；y ＝4时，0≤x≤9； y ＝5时，0≤x≤7；y ＝6时，0≤x≤6； y ＝7时，0≤x≤4；y ＝8时，0≤x≤3； y ＝9时，0≤x≤1，y ＝10时，x ＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个． 3．(2011·天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．4[答案] D [解析]该线性约束条件所代表的平面区域如上图，易解得A(1,3)，B(1，53)，C(2,2)，由z ＝3x－y 得y ＝3x －z ，由图可知当x ＝2，y ＝2时，z 取得最大值，即z 最大＝3×2－2＝4.故选D.4．(文)(2011·安徽示范高中皖北协作区联考)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，y －x≥0，x≥0.目标函数z ＝ax ＋y 只在点(1,1)处取最小值，则有( )A ．a>1B ．a>－1C ．a<1D ．a<－1[答案] D[解析] 作出可行域如下图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z.只在点(1,1)处z 取得最小值，则斜率－a>1， 故a<－1，故选D.(理)(2011·宝鸡质检)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0x ＋2y －1≥03x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．0<a<13B ．a≥13C ．a>13D ．0<a<12[答案] C[解析] 作出可行域如下图，∵目标函数z ＝x ＋ay 恰好在点A(2,2)处取得最大值，故－1a >－3，∴a>13.5．(2011·泉州质检)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤20≤y≤3x ＋2y －2≥0所表示的平面区域为S ，若A 、B 为区域S 内的两个动点，则|AB|的最大值为( )A ．2 5 B.13 C ．3 D. 5 [答案] B[解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合下图观察不难得知，位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB|的最大值是13，选B.6．(2011·兰州模拟)设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N(x ，y)满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤02x ＋y －12≤0x≥1，则使OM →·ON →取得最大值的点N 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数个[答案] D[分析] 点N(x ，y)在不等式表示的平面区域之内，U ＝OM →·ON →为x ，y 的一次表达式，则问题即是当点N 在平面区域内变化时，求U 取到最大值时，点N 的个数．[解析] 如下图所示，可行域为图中阴影部分，而OM →·ON →＝2x ＋y ，所以目标函数为z ＝2x ＋y ，作出直线l ：2x ＋y ＝0，显然它与直线2x ＋y －12＝0平行，平移直线l 到直线2x ＋y －12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x ＋y －12＝0上每一点都能使目标函数取得最大值，故选D.7．如下图，若由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤my ＋n x －3y≥0y≥0(n>0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝________.[答案] －33[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上， ∴OA 为外接圆的直径，∴直线x ＝my ＋n 与x －3y ＝0垂直， ∴1m ×13＝－1，即m ＝－33. 8．(2011·浏阳模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥－1x ＋y≥13x －y≤3，则目标函数z ＝4x ＋y 的最大值为________．[答案] 11[解析] 如下图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z ＝4x ＋y 在P(2,3)处取得最大值，最大值为11.9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：2()，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．[答案] 15[解析] 设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x≥0y≥00.5x ＋0.7y≥1.9x ＋0.5y≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为：z min＝3×1＋6×2＝15.10．(2011·福建厦门外国语学校月考)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？[解析] 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤10，0.3x ＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如下图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，此时z 取得最大值，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6.此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∴当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值．答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.11.(文)(2010·揭阳市模考、重庆南开中学模考)已知正数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0x －3y ＋5≥0，则z＝⎝⎛⎭⎫14x ·⎝⎛⎭⎫12y的最小值为( )A ．1 B.324C.116 D.132[答案] C[解析] 如下图易得2x ＋y 的最大值为4，从而z ＝4－x·⎝⎛⎭⎫12y ＝⎝⎛⎭⎫122x ＋y 的最小值为116，选C.(理)(2011·重庆一诊)设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0x －2y ＋8≥0x≥0，y≥0，若目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113 D ．4[答案] A[解析] 如下图由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1，∴2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·(a 3＋b 2)＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256，故选A. 12．(文)(2010·山师大附中模考)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元[答案] D[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x 吨，y 吨， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y≤132x ＋3y≤18x≥0y≥0，获利润ω＝5x ＋3y ，画出可行域如下图，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝132x ＋3y ＝18，解得A(3,4)． ∵－3<－53<－23，∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27.(理)(2011·四川文，10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元[答案] C[解析] 设该公司派甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y≥72，2x ＋y≤19，x ＋y≤12，0≤x≤8，x ∈N 0≤y≤7，y ∈N利润z ＝450x ＋350y ，可行域如下图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝19x ＋y ＝12得A(7,5)． 当直线350y ＋450x ＝z 过A(7,5)时z 取最大值， ∴z max ＝450×7＋350×5＝4900(元)．故选C.13．(2011·广州一测)某校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≥5，x －y≤2，x<6.则该校招聘的教师最多是________名． [答案] 10[解析] 如下图在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ∈N ，y ∈N ，所以当平移到经过该平面区域内的整点(5,5)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时x ＋y 取得最大值，x ＋y 的最大值是10.14．(2011·苏北四市三调)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤10≤y≤22y －x≥1下，x －1 2＋y 2的最小值为________．[答案]255[解析] 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到x －1 2＋y 2可视为该区域内的点(x ，y)与点(1,0)之间距离，结合下图可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2y －x ＝1的距离，即为|－1－1|5＝255.15．(文)(2010·吉林省质检)某单位投资生产A 产品时，每生产1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；投资生产B 产品时，每生产1百米需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元．现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米，如果利用这些资金和场地用来生产A 、B 两种产品，那么分别生产A 、B 两种产品各多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？[解析] 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，共获得利润S 百万元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y≤142x ＋y≤9x≥0y≥0，目标函数为S ＝3x ＋2y. 作出可行域如上图，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝92x ＋3y ＝14解得直线2x ＋y ＝9和2x ＋3y ＝14的交点为A ⎝⎛⎭⎫134，52，平移直线y ＝－32x ＋S 2，当它经过点A ⎝⎛⎭⎫134，52时，直线y ＝－32x ＋S 2在y 轴上截距S2最大，S 也最大． 此时，S ＝3×134＋2×52＝14.75.因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5百米，可获得最大利润，最大利润为1475万元．(理)(2010·茂名模考)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？[解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲－P 乙＝0.251－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲＝0.65P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y≤3220x ＋5y≤55x≥0y≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如上图阴影部分)，即可行域．作直线l ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝84x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.51．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥x －1，y≤－3|x|＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．2[答案] B[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥x －1y≤－3|x|＋1的图形如下图．解得：A(0,1) D(0，－1) B(－1，－2) C(12，－12)S △ABC ＝12×|AD|×|x C －x B |＝12×2×(12＋1)＝32，故选B. 2．(2010·重庆市南开中学)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥22x －y≤4x －y≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2B ．6 2C ．6D ．3[答案] D[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt △ABC ，易求B(4,4)，A(1,1)，C(2,0)∴S △ABC ＝S △OBC －S △AOC ＝12×2×4－12×2×1＝3.3．(2010·南昌市模拟)已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] ∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴0<a<1，设t ＝2a ，则t ∈(1,2)，M ＝2a ＋2b ＝2a ＋21－a＝t ＋2t≥22，等号在t ＝2时成立，又t ＝1或2时，M ＝3，∴22≤M<3，故选B.4．(2010·广东中山)实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤4x ＋y≥1y≥0，则3x ＋5y 的最大值为( )A ．12B ．9C ．8D ．3[答案] A[解析] 由下图可知，当z ＝3x ＋5y 经过点A(4,0)时，z 取最大值，最大值为12，故选A.5．(2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x －y≥－2，4x ＋3y≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] B[解析] 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如下图所示，故直线与此区域的公共点只有1个，选B.6．(2011·黄山期末)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a>0，a≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9][答案] C[解析] 作出不等式表示的平面区域如下图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝0x －y ＋8＝0得A(1,9)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝02x ＋y －14＝0得B(3,8)，当函数y ＝a x 过点A 时，a ＝9，过点B 时，a ＝2，∴要使y ＝a x 的图象经过区域M ，应有2≤a≤9.7．如下图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB(含边界)，若C(23，45)是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是________．[答案] (－125，－310)8．某人有楼房一幢，室内面积共计180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？[解析] 设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元， 则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y≤1801000x ＋600y≤8000x≥0，y≥0，x ，y ∈Z ，且z ＝200x ＋150y.约束条件可化简为： ⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y≤605x ＋3y≤40x≥0，y≥0，x ，y ∈Z可行域为如下图所示的阴影部分(含边界)作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线l ：4x ＋3y ＝0把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过点B ，且与原点的距离最大，此时z ＝200x ＋150y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝605x ＋3y ＝40，得到B(207，607)．由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y)中的x ，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B(207，607)不是最优解，通过检验，当经过的整点是(0,12)和(3,8)时，z 取最大值1800元．于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益． [点评] 当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解．。

模块综合检测（时间120分钟满分160分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1 •某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品•从一箱产品中随机抽取 1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为 0.65, “抽到二等品”的概率为0.3,则“抽到不合格品”的概率为（）A • 0.95B . 0.7C . 0.35D . 0.05解析：选D “抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以 “抽到一等品或二等 品”的概率为0.65+ 0.3 = 0.95, “抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件， 故其概率为 1 — 0.95= 0.05.2.某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg ）数据进行整理后分为五组， 并绘制频率分布直方图（如 图所示）.根据一般标准，高三男生的体重超过 65 kg 属于偏胖， 低于55 kg 属于偏瘦•已知图中从左到右第一、第三、第四、生总数和体重正常的频率分别为（ ）A • 1 000,0.50 C • 800,0.60解析：选D 第二小组的频率为 0.40，所以该校高三年级的男生总数为 040 = 1 000（人）；体重正常的频率为 0.40 + 0.20= 0.60.3 •执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）B • 4D • 16解析：选 C 执行程序 S = 1, k = 0; S = 1, k = 1; S = 2, k = 2; S = 8, k = 3,输出 S频率丨丨丨一O 50 5560657075体甫/翊第五小组的纵坐标分别为 0.05,0.04,0.02,0.01，第二小组的频数为400,则该校高三年级的男B . 800,0.50 D . 1 000,0.60[4-0 S=l 否14.现有甲、乙两颗骰子，从1点到6点出现的概率都是，掷甲、乙两颗骰子，设分别出现的点数为a ,b 时，则满足a v |b 2— 2a|<10的概率为（ ）a1A币1 B~ 12C 1C.91 %解析：选B •••试验发生包含的总的基本事件有 36种，满足条件的事件需要进行讨论.若a = 1时， b = 2 或 3;若 a = 2 时，b = 1;•••共有3种情况满足条件,5•为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三（1）班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个 最低分后，算得平均分为91,复核员在复核时，发现有一个数字 （茎叶图中的x ）无法看清,若记分员计算无误，则数字x 应该是（）评委给高三（1）班打出的分数解析：选A T 由题意知记分员在去掉一个最高分 94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，即89+ 88+ 92+ 90+ x + 93+ 92+ 91 7 • - 635+ x = 91X 7 = 637 ,• x = 2.B .— 5D . 5 或一5•••概P=361 12.A.2 C . 48 979 2X342B . 3D .5=91.6.为了在运行下面的程序之后输出 16,键盘输入的x 应该是（A . 3 或—3C . 5或一3所以选C.9.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同•现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）10.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为 20的样本，将160名学生随机地从1〜160 编号，按A.10 1 B・1 1 C.；10 1D.— 12解析：选A 随机取出2个小球得到的结果数有 10种，取出的小球标注的数字之和为 3解析：选D 该程序先对x 进行判断，当x<0时，执行y = （x + 1） x （x + 1）计算语句，要 使输出值为16,则输入的x 为—5.当x>0时，执行y = （x - 1）x （x - 1）计算语句，要使输出值 为16,则输入的x 为5.7 .点P 在边长为1的正方形 ABCD 内运动，则动点 P 到定点A 的距离|PA|V 1的概率 为（）nC・解析：选C 如图所示，动点P 在阴影部分满足|PA| v 1，该阴影是半径为1,圆心角为直角的扇形， 其面积为s ' =n,又正方形的面积是 S = 1,4 S '则动点P 到定点A 的距离|PA|v 1的概率为S —= n .S 48.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示（如右图）.S 1, S>分别表示甲、乙选手分数的标准差，则S 1与S 2的关系是A . S 1> S 2B . S |= s D .不确定解析：选C 由茎叶图可知：甲得分为 78,81,84,85,92 ;乙得分为 76,77,80,94,93.贝U x 甲=84, x 乙=84,—84 2 +…+ (92 — 84 2]=/22，同理 S 2=V 62,故S 2_3 10.编号顺序平均分成20组（1〜8,9〜16,…，153〜160）,若第16组得到的号码为126, 则第1组中用抽签的方法确定的号码是（）B. 6D. 2解析：选B ^~20=8,二抽样间隔为8, •••第1组中号码为126 — 15X 8 = 6. 11 •对一位运动员的心脏跳动检测了8次，得到如下表所示的数据:检测次数 1 2 3456 78 检测数据a i （次/分钟）394042 42 43 454647对上述数据的统计分析中，一部分计算见如下图所示的程序框图 的平均数），该程序框图输出的值是 （）(W)B .7 D . 56解析：选B 该程序框图的功能是输出这 8个数据的方差，因为这8个数据的平均数 a =39 + 40 + 42 + 4牛 43 + 45 + 46+ 47 = 43,故其方差为 1 X [(39 — 43) 2 + (40 — 43)2 + (42 — 8 843) 2 + (42 — 43) 2+ (43 — 43) 2 + (45 — 43)2 + (46 — 43) 2 + (47 — 43) 2] = 7,所以输出的 s 的值 为7.故选B.12.某公司共有职工 8 000名，从中随机抽取了 100名，调查上、下班乘车所用时间, 得下表： 所用时间 份钟） [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]人数25501555公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴， 补贴金额y （元）与乘车时间t （分钟）的关系是y = 200 + 40^20，其中盘表示不超过20的最大整数.以样本频率为概率，则公司（其中a 是这8个数据j=a+ d)L，4^8 是7一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为()B . 0.7C . 0.8 解析：选D 由题意知y w 300,即 20 w 2.5,解得 0 w t<60 , 由表可知t € [0,60)的人数为90人，90故所求概率为--=0.9.100二、填空题(本大题共4个小题，每小题 5分，共20分•把答案填在题中的横线上 )13. 将参加数学竞赛的 1 000名学生编号如下：0 001 , 0 002，…，1 000 ,打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成 50个部分，从第一部分随机抽取一个号码为0 015，则第40个号码为 __________ .解析：根据系统抽样方法的定义，得第 40个号码对应15+ 39 X 20= 795,即得第40个号码为0 795.答案：0 795114.有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于 ；米的概率为 ________ .解析：如图，将细绳八等分， C , D 分别是第一个和最后一个等 …** 分点，则在线段 CD 的任意位置剪断此绳得到的两截细绳长度都大于11 8 3 8米•由几何概型的概率计算公式可得，两截的长度都大于1米的概率为P =8=:15.盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ________ (结果用最简分数表示).解析：从中任意取出两个的所有基本事件有 (1,2), (1,3), (1,4),…，(2,3), (2,4),…，(6.7) 共 21 个•而这两个球编号之积为偶数的有(1,2), (1,4), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),15 5 (2.7) , (3,4), (3,6), (4,5), (4,6), (4,7), (5,6), (6,7)共 15 个.故所求的概率P =齐=答案：D . 0.9即 200+ 4016.某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据:解由表中数据得x — 4 , y —9,代入回归直线方程得a—4.6，…当x—9时，y —析：1.1 X 9+ 4.6 = 14.5.答案：14.5三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）某校夏令营有3名男同学A, B, C和3名女同学X , Y, Z,其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.（1）用表中字母列举出所有可能的结果；⑵设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.解: （1）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A, B}, {A, C}, {A, X}, {A, Y}, {A, Z}, {B, C}, {B, X}, {B, Y}, {B, Z} , {C , X} , {C , Y} , {C , Z} , {X , Y} , {X , Z} , {Y , Z},共15 种.⑵选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A , Y}, {A , Z} , {B , X} , {B , Z} , {C , X} , {C , Y},共6 种.因此，事件M发生的概率P（M）= 2.15 518. （本小题满分12分）某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm）,将数据分组如下：分组频数频率[39.95,39.97)10[39.97,39.99)20[39.99,40.01)50[40.01,40.03]20合计组距252010-5，。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作阶段检测试题三一、选择题(本大题有10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中，是随机事件的有( )A ．某人投篮3次，投中4次B ．标准大气压下，水加热到100°C 时沸腾C ．掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”D ．抛掷一颗骰子，出现7点解析 A 、D 中的事件是不可能事件，B 中的事件是必然事件，C 中的事件是随机事件，故选C .答案 C2．掷一颗骰子，出现点数是2或4的概率是( ) A .16 B .13 C .12 D .14解析 掷一颗骰子，出现的基本事件总数为6，即n ＝6，出现点数是2或4包含两个基本事件，所以P(A)＝m n ＝26＝13.答案 B3．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③解析 从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A “两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A 不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A 发生时，③可以发生，故不是互斥事件．答案 A4．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )A .π4B .π8C .π6D .π12解析 设棱长为2a ，则V 正方体＝(2a)3＝8a 3，V 球＝43πa 3.∴P ＝V 球V 正方体＝π6. 答案 C5．甲通过英语听力测试的概率为23，乙通过英语听力测试的概率为34，甲、乙两人同时通过英语听力测试的概率为12，则甲、乙两人中至少有一人通过英语听力测试的概率为( )A . 1112B .712C .512D .56解析 由概率一般加法公式，得P ＝23＋34－12＝1112.答案 A6．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别，现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出一个球是黑球的概率为P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则( )A ．P 10＝110P 1B ．P 10＝19P 1C ．P 10＝0D ．P 10＝P 1解析 概率与顺序无关．答案 D7．小明同学的QQ 密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中不同的6个数字组成的六位数码，由于长时间未登录QQ ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ 时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是( )A .1105B .1104C .1100D .110解析 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一个数字有10个基本事件，恰巧是密码最后一位数字有1个基本事件，则恰好能登录的概率为110.答案 D8．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )A ．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B ．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C ．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲胜，是黑色的则乙胜D ．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜解析 对于A 、C 、D 甲胜，乙胜的概率都是12，游戏是公平的；对于B ，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平．答案 B9．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是27，则男运动员应抽取( )A ．12人B ．14人C ．16人D ．18人解析 (98－42)×27＝16，故选C .答案 C10．执行如图所示的算法，若输入的x ∈[－1,4]，则输出的y ∈(0,1]的概率为( )A .12B .13C .14D .15解析 根据框图可知：当x ∈[－1,0]时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ∈[1,2]， 当x ∈(0,4]时，y ＝x ∈(0,2]，∴使y ∈(0,1]的x 的范围是x ∈(0,1]．∴P ＝15.答案 D二、填空题(本大题有4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)11．从含有4个次品的10000个螺钉中任取1个，它是次品的概率为__________．解析 由公式P(A)＝m n ，得P(A)＝410000＝12500.答案 1250012．一个路口有红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则汽车到达路口不用停直接通过的概率为__________．解析 汽车不停所以是绿灯或黄灯，应用几何概型．设事件“绿灯或黄灯”＝A.∴P(A)＝40＋575＝35.答案 3513．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB ︵的长度小于1的概率为______________．解析 如图，设弧AD ︵＝弧AD ′︵＝1，则弧DD ′︵＝1，要使劣弧AB︵的长度小于1，则点B 需在弧AD ︵或弧AD ′︵上选取，故P ＝23.答案 2314.已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．解析 设所求的面积为S ，由题意得6001000＝S 5×12，∴S ＝36. 答案 36三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(12分)宋老师在某大学连续5年主讲经济学院的高等数学，下表是宋老师这门课5年来的考试成绩分布：经济学院一年级的学生王小慧下学期将修宋老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)：(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．解 根据公式可计算出修宋老师的高等数学课的人考试成绩在各个段上的频率依次为(总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645)：43645≈0.067，182645≈0.282，260645≈0.403，90645≈0.140，62645≈0.096，8645≈0.012.用已有的信息可以估计出王小慧下学期修宋老师的高等数学课得分的概率如下：(1)“90分以上”记为事件A ，则P(A)＝0.067；(2)“60分～69分”记为事件B ，则P(B)＝0.140；(3)“60分以上”记为事件C ，则P(C)＝0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.16.(12分)射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm .运动员在70 m 外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解 在该试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点，如题图所示，记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22cm 2的黄心内时，事件B发生，于是事件B 发生的概率为P(B)＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01，即射中黄心的概率是0.01.17．(12分)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当时空气质量优良的概率是613.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为4 13.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．18．(14分)2011年武汉电视台问政直播节日首场内容是“让交通更顺畅”，A、B、C、D四个管理部门的负责人接受问政，分别负责问政A、B、C、D四个管理部门的现场市民代表(每一名代表只参加一个部门的问政)人数的条形图如下，为了了解市民对武汉市实施“让交通更顺畅”几个月来的评价，对每位现场市民都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：满意 一般 不满意 A 部门50% 25% 25% B 部门80% 0 20% C 部门50% 50% 0 D 部门 40% 20% 40%(1)若市民甲选择的是A 部门，求甲的调查问卷被选中的概率；(2)若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出2人进行电视访谈，求这两人中至少有一人选择的是D 部门的概率．解 (1)由条形图可得，分别负责问政A ，B ，C ，D 四个管理部门的现场市民代表共有200人，其中负责问政A 部门的市民为40人．由分层抽样可得从A 部门问卷中抽取了20×40200＝4份．设事件M ＝“市民甲被选中进行问卷调查”，所以P(M)＝440＝0.1.∴若甲选择的是A 部门，甲被选中问卷调查的概率是0.1.(2)由图表可知，分别负责问政A ，B ，C ，D 四部门的市民分别接受调查的人数为4,5,6,5.其中不满意的人数分别为1,1,0,2个，对记A 部门不满意的市民是a ；对B 部门不满意的市民是b ；对D 部门不马鸣风萧萧 满意的市民是c ，d.记事件N ＝“从填写不满意的市民中选出2人，至少有一人选择的是D 部门的”．从填写不满意的市民中选出2人，共有(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(b ，c)，(b ，d)，(c ，d)共6个基本事件；而事件N 有(a ，c)，(a ，d)，(b ，c)，(b ，d)，(c ，d)共5个基本事件，所以P(N)＝56.∴这两人中至少有一人选择的是D 部门的概率是56。