【世纪金榜】高三数学总复习阶段滚动检测(三)文 新人教A版

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

滚动评估检测(三)(第一至第八章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x(x-2)<0},B={x|x+1<2),则A∩B= ( )A.(-∞,2)B.(0,1)C.(0,+∞)D.(1,2)【解析】选B.因为A={x|0<x<2},B={x|x<1},所以A∩B=(0,1).2.(2019·大庆模拟)已知i是虚数单位,若z(1+i)=,则z的虚部为( )A. B.-C.iD.-i【解析】选B.由z(1+i)=,得z====--i,所以z的虚部为-.3.已知向量a=(-1,2),b=(3,1),c=(x,4),若(a-b)⊥c,则x= ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选A.a-b=(-4,1),c=(x,4),且(a-b)⊥c;所以(a-b)·c=-4x+4=0.所以x=1.4.已知m∈R,若p:m≤0;q:∃x∈R,m≤sin x.那么p是q的( )A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件【解析】选C.因为y=sin x具有有界性质即sin x∈[-1,1],所以由p:m≤0能推出q:∃x∈R,m≤sin x成立,充分性满足;反之,由q:∃x∈R,m≤sin x成立,不一定能推出p:m≤0成立,即必要性不满足,故由充分条件必要条件的定义可知p是q的充分不必要条件.5.(2020·三明模拟)观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128, 28=256……用你所发现的规律可得22 019的末位数字是( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.通过观察可知,末尾数字周期为 4,2 019=4×504+3,故 22 019的末位数字与 23末尾数字相同,都是8.6.若a=20.2,b=logπ3,c=log2,则( )A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a【解析】选C.因为20.2>20=1,0<logπ3<logππ=1,log2<log21=0,所以a>b>c.7.等差数列有如下性质:若数列{a n}为等差数列,则当b n=时,数列{b n}也是等差数列;类比上述性质,相应地,若数列{c n}是正项等比数列,当d n=________时,数列{d n}也是等比数列,则d n的表达式为( )A.d n=B.d n=C.d n=D.d n=【解析】选C.在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们一般的思路有:由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法,由算术平均数类比推理为几何平均数等,故我们可以由数列{a n}是等差数列,则当b n=时,数列{b n}也是等差数列.类比推断:若数列{c n}是各项均为正数的等比数列,则当d n=时,数列{d n}也是等比数列.8.已知函数f(x)=sin,将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ的最小值为( )A. B. C. D.【解析】选B.函数f(x)=sin=sin,将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后得到的函数g(x)=sin=sin为偶函数,可得:-2φ=k π+,k∈Z,即:φ=-kπ-,k∈Z,由于:φ>0,故φ的最小值为. 9.(2020·临沂模拟)已知x,y满足约束条件且不等式2x-y+m≥0恒成立,则实数m的取值范围为( )A.m≥3B.m≥1C.m≥0D.m≥-3【解析】选A.由约束条件作出可行域如图,令t=2x-y,则当直线t=2x-y过点A(0,3)时,t有最小值-3,由不等式2x-y+m≥0恒成立,得-3+m≥0,即m≥3.10.(2019·宁波模拟)设数列{a n}的前n项和为S n,=(n ∈N*),且a1=-,则= ( )A.2 019B.-2 019C.2 020D.-2 020【解析】选D.==(n∈N*),化为:-=-1. 所以数列是等差数列,首项为-2,公差为-1.所以=-2-(n-1)=-1-n.则=-1-2 019=-2 020.11.已知函数f(x)=+ln-1,若定义在R上的奇函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x),且g(1)=f(log2 25)+f(lo),则g(2 019)= 世纪金榜导学号( )A.2B.0C.-1D.-2【解析】选A.因为f(x)+f(-x)=++ln+ln-2=++0-2=-2,f(x)+f(-x)=-2,因为log 225=log2(52)=2·log25,lo=lo(5-1)=-2·log25,所以g(1)=f(log225)+f(lo)=f(2·log25)+f(-2·log25)=-2.又因为g(1-x)=g(1+x),即g(x)=g(2-x),且g(x)为奇函数,所以g(x)=-g(-x),所以g(2-x)=-g(-x),可知函数g(x)的周期T=4.所以g(2 019)=g(505×4-1)=g(-1)=-g(1)=2.12.如果函数y=f(x)在区间I上是减函数,而函数y=在区间I上是增函数,那么称函数y=f(x)是区间I上“缓减函数”,区间I叫做“缓减区间”.若函数f(x)=x2-2x+1是区间I上的“缓减函数”,则下列区间中为函数f(x)的“缓减区间”的是世纪金榜导学号( )A.(-∞,2]B.[0,]C.[,2]D.[1,]【解析】选C.根据题意,对于f(x)=x2-2x+1,是二次函数,其对称轴为x=2,在区间(-∞,2]上为减函数,对于y==+-2,在区间[-,0)和(0,]上为减函数,在区间(-∞,-]和[,+∞)为增函数,若函数f(x)=x2-2x+1是区间I上“缓减函数”,则f(x)在区间I上是减函数,函数y==+-2在区间I上是增函数,区间I为(-∞,-]或[,2];分析选项可得[,2]为I的子集.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.执行程序框图,如果输入的n是4,则输出的p=________.【解析】第一次:p=1,s=1,t=1,k=2;第二次:p=2,s=1,t=2,k=3;第三次:p=3,s=2,t=3,k=4;第四次:此时不满足k<4.所以输出p=3.答案:314.(2019·驻马店模拟)已知等比数列{a n}满足a1=1,a4a6=4(a5-1),则a3=________.【解析】等比数列{a n}满足a1=1,a4a6=4(a5-1),所以q3q5=4(q4-1),解得q2=,所以a3=q2=.答案:15.(2020·运城模拟)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin ∠BAC =,AB=3,AD=,则BD的长为________. 世纪金榜导学号【解析】因为AD⊥AC,所以∠DAC=90°,所以∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°,所以sin∠BAC=sin(∠BAD+90°)=cos∠BAD=,在△ABD中,AB=3,AD=,根据余弦定理得:BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=9+3-2×3××=6,则BD=.答案:16.已知正实数a,b满足a+b=1,则+的最小值为________.世纪金榜导学号【解析】因为a+b=1,所以+=2a+2b++=2++,因为+=(a+b)=1+4++≥5+2=5+4=9,当且仅当=时即a=,b=时取等号,故+≥2+9=11.答案:11三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a∈R).(1)若不等式的解集为(x1,x2),且x2-x1=,求实数a的值.(2)若a<0,解关于x的不等式.【解析】(1)根据题意,不等式的解集为(x1,x2),则方程x2-2ax-8a2=0的两根为x1,x2,则x1+x2=2a,x1x2=-8a2,又由x2-x1=,则(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=36a2=6,解得a=±.(2)根据题意,方程x2-2ax-8a2=0的两根为x=4a,或x=-2a,若a<0,则4a<-2a,则x2-2ax-8a2<0的解集为(4a,-2a).18.(12分)(2020·达州模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,关于x 的不等式a1x2-S3x+5<0的解集为(1,5).(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足b n=,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)设公差为d,关于x的不等式a1x2-S3x+5<0的解集为(1,5).即:1和5为关于x的方程a1x2-S3x+5=0的解,所以=5,=1+5=6,解得a1=1,S3=6,所以d=1,故a n=1+n-1=n.(2)由于a n=n,所以数列{b n}满足b n==2n,则T n=21+22+23+…+2n==2n+1-2.19.(12分)(2019·六安模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bcos A.(1)求角B的大小.(2)若△ABC为锐角三角形,且c=2,求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bcos A,可得2sin Ccos B-sin Acos B=sin Bcos A,即2sin Ccos B-sin(A+B)=0,可得cos B=,所以B=60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC= a.由正弦定理得a===+1.由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°,由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故1<a<4,从而<S△ABC<2.因此,△ABC面积的取值范围是.20.(12分)(2020·泉州模拟)已知复数z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d ∈R).(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,求|z1|,|z2|,|z1·z2|.(2)根据(1)的计算结果猜想|z1|·|z2|与|z1·z2|的关系,并证明该关系的一般性.【解析】(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,|z1|=|1+2i|=,|z2|=|3+4i|=5,|z1·z2|=|(1+2i)(3+4i)|=|-5+10i| =5.(2)由(1)猜测,|z1|·|z2|=|z1·z2|.证明如下:因为z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).所以|z1|=,|z2|=,|z1|·|z2|==;z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,所以|z1·z2|==.所以|z1|·|z2|=|z1·z2|.21.(12分)已知函数f(x)=ln x-ax+1. 世纪金榜导学号(1)当a=1时,证明:f(x)≤0.(2)若f(x)在[2,3]的最大值为2,求a的值.【解析】(1)当a=1时,f(x)=ln x-x+1,f′(x)=-1=(x>0),当x∈(0,1)时,f′(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=0,即f(x)≤0.(2)由f(x)=ln x-ax+1,得f′(x)=-a=(x>0),若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在[2,3]上为增函数,由f(x)max=f(3)=ln 3-3a+1=2,得a=,与a≤0矛盾;若a>0,由f′(x)=0,得x=.所以f(x)在上为增函数,在上为减函数.若0<≤2,即a≥,则f(x)在[2,3]上单调递减,f(x)max=f(2)=ln2-2a+1=2,即a=(舍去);若≥3,即0<a≤,则f(x)在[2,3]上单调递增,f(x)max=f(3)=ln3-3a+1=2,即a=;若2<<3,即<a<,f(x)max=f=-ln a=2,即a=(舍).综上,a=.22.(12分)若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,则称函数f(x)在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”. 世纪金榜导学号(1)判断函数f(x)=log2x是否是“2-利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由.(2)若函数f(x)=(1≤x≤4)是“k-利普希兹条件函数”,求常数k的最小值.(3)若y=f(x)(x∈R)是周期为2的“1-利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤1.【解析】(1)函数f(x)=log2x不是“2-利普希兹条件函数”;理由如下:f(x)=log2x的定义域为(0,+∞),令x1=,x2=,则==|-1-(-2)|=1,而2|x1-x2|=,所以|f(x1)-f(x2)|>2|x1-x2|,所以函数f(x)=log2x 不是“2-利普希兹条件函数”. (2)若函数f(x)=(1≤x≤4)是“k-利普希兹条件函数”,则对于定义域[1,4]上任意两个x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,不妨设x1>x2,则k≥=恒成立.因为1≤x2<x1≤4,所以<<,所以k的最小值为.(3)设f(x)的最大值为M,最小值为m,在一个周期内f(a)=M,f(b)=m, 则|f(x1)-f(x2)|≤M-m=f(a)-f(b)≤|a-b|.若|a-b|≤1,显然有|f(x1)-f(x2)|≤|a-b|≤1.若|a-b|>1,不妨设a>b,则0<b+2-a<1,所以|f(x1)-f(x2)|≤M-m=f(a)-f(b+2)≤|a-b-2|<1.综上,对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤1.关闭Word文档返回原板块莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

2． sin2α＝________； cos2α＝________＝________＝________； tan2α＝________.
二倍角公式中的sin2α，cos2α能否用tanα来表示？
❖Leabharlann 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则： (1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的 拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称 之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分 析结构特征，找到变形的方向． 2．公式的逆用，变形用十分重要，常用通过三角变换消去或 约去一些非特殊角的三角函数，“1”的代换，正切化弦，和积 互化，异角化同角等手段．
1正弦公式概括为“正余，余正符号同”．余弦公式概 括为“余余，正正符号异”．
2. 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其 手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．
3. 变式：根据式子的结构特征进行变形，其手法通常有：“ 常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配 方与平方”等.
C
C
C
A
C
✓
1. sin(α±β)＝____________； cos(α±β)＝____________； tan(α±β)＝____________.
(1)sin24°cos36°＋cos24°sin36°＝________. (2)cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝________. (3)cos295°sin70°－sin115°cos110°＝________.
【金榜教程】2021高三 总复习人教A版数学配套
课件：第3章第5讲
2020/8/31
1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式 ． 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正 切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内 在联系.

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测三 导数及其应用第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·赣州联考)函数f (x )＝3ln x ＋x 2－3x ＋3在点(3，f (3))处的切线斜率是( )A ．－2 3 B. 3 C ．2 3 D ．4 32．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln22 D ．ln23．(2016·黑龙江双鸭山一中期中)若函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3x －2，则函数g (x )＝x 2＋f (x )的图象在点(1，g (1))处的切线方程为( )A ．5x －y －3＝0B ．5x －y ＋3＝0C ．x －5y ＋3＝0D ．x －5y －3＝04．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．05．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( ) A.112 B.16C.13D.126．(2015·河北衡水中学调考)函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )A ．0<b <1B ．b <1C ．b >0D ．b <127．(2016·辽宁丹东五校协作体期末)若曲线y ＝12ex 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则实数a 等于( )A ．－2B.12 C ．1 D ．28．设函数f (x )＝ax 3＋3x ，其图象在点(1，f (1))处的切线l 与直线x －6y －7＝0垂直，则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．1B ．3C ．9D ．129．(2016·淄博一模)曲线f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1上的点到直线2x －y ＝3的距离的最小值为( ) A.55 B. 5 C.255D ．2 5 10．(2016·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1 B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34 C.⎣⎡⎭⎫32e ，34 D.⎣⎡⎭⎫32e ，1 11．(2015·广东阳东一中摸底)曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋3B ．y ＝12x －3C ．y ＝2x ＋3D ．y ＝3x －212．(2015·西安模拟)设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，12第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是________．14．(2015·百色模拟)已知a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数y ＝f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标为________． 15．(2016·豫东、豫北十所名校联考)若0<x <1，a ＝sin x x ，b ＝sin x x ，c ＝sin x x，则a ，b ，c 的大小关系为__________．16．(2016·湖南雅礼中学5月一模)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 在(0，＋∞)上存在公共点，则a 的取值范围为____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2015·河北保定第一中学模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2f ′(1)＋1，且f ′(－1)＝9.(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若存在x ∈(1，＋∞)使得函数f (x )<m 成立，求实数m 的取值范围．18．(12分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值． (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性．19.(12分)(2015·赣州联考)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )＋2x ，若g (x )在[1，e]上不单调且仅在x ＝e 处取得最大值，求a 的取值范围．20．(12分)(2015·南宁联考)已知函数f (x )＝－a ln x ＋(a ＋1)x －12x 2(x >0)． (1)若x ＝1是函数f (x )的极大值点，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )≥－12x 2＋ax ＋b 恒成立，求实数ab 的最大值．21.(12分)(2015·安徽)已知函数f (x )＝ax (x ＋r )2(a >0，r >0)． (1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性；(2)若a r＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．22．(12分)(2015·豫东、豫北十所名校联考)已知函数f (x )＝a e x ＋a x＋ln x ，a ∈R . (1)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值；(2)当a ＝1e －1时，求证：∀x ∈(0，＋∞)，f (x )＋1x ≥ln x ＋2a ＋2.答案解析1．C 2.B 3.A4．A [因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，可知f (x )在x ＝±1处取得极值．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.]5．B [求导得y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)， 于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B.] 6．A [设f ′(x )＝3(x 2－b )，∵函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)<0f ′(1)>0，解得0<b <1.故选A.] 7．C [由y ＝12e x 2，得y ′＝x e. 由y ＝a ln x ，得y ′＝a x. ∵它们在点P 处有公共切线，∴x e ＝a x ，解得x ＝e a ，代入两曲线得12e ·e a ＝a 2(ln a ＋1)， ∴ln a ＋1＝1，解得a ＝1，故选C.]8．B [f ′(x )＝3ax 2＋3，由题设得f ′(1)＝－6，所以3a ＋3＝－6，a ＝－3.所以f (x )＝－3x 3＋3x ，f (1)＝0，切线l 的方程为y －0＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋6.所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×1×6＝3.选B.] 9．B [f ′(x )＝e x ＋2x ＋1，设与直线2x －y ＝3平行且与曲线f (x )相切于点P (s ，t )的直线方程为2x －y ＋m ＝0，则e s ＋2s ＋1＝2，解得s ＝0.∴切点为P (0,2)．∴曲线f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1上的点到直线2x －y ＝3的距离的最小值为点P 到直线2x －y ＝3的距离d ，且d ＝|0－2－3|5＝ 5.故选B.] 10．D [由已知函数关系式，先找到满足f (x 0)<0的整数x 0，由x 0的唯一性列不等式组求解． ∵f (0)＝－1＋a <0，∴x 0＝0.又∵x 0＝0是唯一的使f (x )<0的整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≥0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧e －1[2×(－1)－1]＋a ＋a ≥0，e (2×1－1)－a ＋a ≥0，解得a ≥32e . 又∵a <1，∴32e ≤a <1，经检验a ＝34，符合题意． 故选D.]11．C [因为f ′(x )＝cos x ＋e x ，所以f ′(0)＝2，所以曲线在x ＝0处的切线方程为y －3＝2(x －0)，即2x －y ＋3＝0.故选C.]12．D [设g (x )＝f (x )＋x ，依题意，存在x ∈[1,4]，使g (x )＝f (x )＋x ＝ax 2－2x －a ＋52＝0.当x＝1时，g (1)＝12≠0；当x ≠1时，由ax 2－2x －a ＋52＝0得a ＝4x －52(x 2－1).记h (x )＝4x －52(x 2－1)(1<x ≤4)，则由h ′(x )＝－2x 2＋5x －2(x 2－1)2＝0得x ＝2或x ＝12(舍去)．当x ∈(1,2)时，h ′(x )>0；当x ∈(2,4)时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x ＝2时，h (x )取得最大值，最大值是h (2)＝12，故满足题意的实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12，选D.]13．(－1,0)解析 当a ＝0时，则f ′(x )＝0，函数f (x )不存在极值．当a ≠0时，令f ′(x )＝0，则x 1＝－1，x 2＝a .若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0，函数f (x )不存在极值；若a >0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意； 若－1<a <0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )>0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极大值；若a <－1，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，－1)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意．所以a ∈(－1,0)．14．ln2解析 由题意可得，f ′(x )＝e x －a e x 是奇函数， ∴f ′(0)＝1－a ＝0，∴a ＝1，f (x )＝e x ＋1e x ，f ′(x )＝e x －1e x ， ∵曲线y ＝f (x )在(x ，y )的一条切线的斜率是32， ∴32＝e x －1e x ， 解方程可得e x ＝2，∴x ＝ln2.15．a >b >c解析 易知当0<x <1时，0<sin x <x ，则0<sin x x <1，∴sin x x <sin x x .设f (x )＝sin x x，则f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，设h (x )＝x cos x －sin x ，则h ′(x )＝－x sin x ．当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴当x ∈(0,1)时，h (x )<h (0)＝0，∴f ′(x )<0在(0,1)上恒成立，∴f (x )在(0,1)上单调递减，又∵0<x <1，∴0<x <x <1，∴sin x x >sin x x. 综上：sin x x >sin x x >sin x x ，即a >b >c . 16.⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞ 解析 由题意知方程ax 2＝e x(a >0)在(0，＋∞)上有解，则a ＝e xx 2，x ∈(0，＋∞)， 令f (x )＝e xx2，x ∈(0，＋∞)， 则f ′(x )＝x e x －2e xx 3，x ∈(0，＋∞)， 由f ′(x )＝0得x ＝2，当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx2在区间(0,2)上是减函数， 当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx2在区间(2，＋∞)上是增函数， 所以当x ＝2时，函数f (x )＝e x x 2在(0，＋∞)上有最小值f (2)＝e 24，所以a ≥e 24. 17．解 (1)∵f (x )＝ax 3＋x 2f ′(1)＋1，∴f ′(x )＝3ax 2＋2xf ′(1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3a ＋2f ′(1)，f ′(－1)＝3a －2f ′(1)＝9.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，f ′(1)＝－3.∴f (x )＝x 3－3x 2＋1， ∴f (1)＝－1.故曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－3(x －1)－1＝－3x ＋2，即3x ＋y －2＝0.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.则函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增，f (x )≥f (2)＝－3. 则由题意可知，m >－3，即所求实数m 的取值范围为(－3，＋∞)．18．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4.当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数；当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数；当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数；当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．19．解 (1)f ′(x )＝x 2－a x(x >0)， 当a ≤0时，f ′(x )≥0，增区间为(0，＋∞)，当a >0时，f ′(x )≥0⇒x >a ，f ′(x )<0⇒0<x <a ，∴f (x )的增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a )．(2)g ′(x )＝x －a x ＋2＝x 2＋2x －a x(x >0)， 设h (x )＝x 2＋2x －a (x >0)，若g (x )在[1，e]上不单调，则h (1)h (e)<0，(3－a )(e 2＋2e －a )<0，∴3<a <e 2＋2e ，同时g (x )仅在x ＝e 处取得最大值，所以只要g (e)>g (1)．即可得出：a <e 22＋2e －52， 则a 的范围：(3，e 22＋2e －52)． 20．解 (1)求导数可得，f ′(x )＝(x －a )(－x ＋1)x， ∵x ＝1是函数f (x )的极大值点，∴0<a <1，∴函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，(1，＋∞)；(2)∵f (x )≥－12x 2＋ax ＋b 恒成立， ∴a ln x －x ＋b ≤0恒成立，令g (x )＝a ln x －x ＋b ，则g ′(x )＝a －x x(可验证当a ≤0时，不合题意)， ∴g (x )在(0，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝g (a )＝a ln a －a ＋b ≤0，∴b ≤a －a ln a ，∴ab ≤a 2－a 2ln a ，令h (x )＝x 2－x 2ln x (x >0)，则h ′(x )＝x (1－2ln x )，∴h (x )在(0，e 12)上单调递增，在(e 12，＋∞)上单调递减， ∴h (x )max ＝h (e 12)＝e 2， ∴ab ≤e 2，即ab 的最大值为e 2. 21．解 (1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)．f (x )＝ax(x ＋r )2＝ax x 2＋2rx ＋r 2， f ′(x )＝a (x 2＋2rx ＋r 2)－ax (2x ＋2r )(x 2＋2rx ＋r 2)2＝a (r －x )(x ＋r )(x ＋r )4. 所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0；当－r <x <r 时，f ′(x )>0.因此，f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞)；f (x )的单调递增区间为(－r ，r )．(2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减．因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar (2r )2＝a 4r ＝4004＝100. 22．(1)解 依题意，知f (x )＝e x ＋1x＋ln x . 则f ′(x )＝e x －1x 2＋1x ＝x 2e x ＋x －1x 2， 易知在[1，e]上，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故f (x )max ＝f (e)＝ee ＋1e＋1. (2)证明 要证f (x )＋1x≥ln x ＋2a ＋2，x ∈(0，＋∞)， 即证a e x ＋a x ＋1x－(2a ＋2)≥0，x ∈(0，＋∞)， 令g (x )＝a e x ＋a x ＋1x－(2a ＋2)，x ∈(0，＋∞)， 下证当a ＝1e －1，且x >0时，g (x )≥0恒成立， g ′(x )＝a e x－a ＋1x 2，令h (x )＝a e x ·x 2－(a ＋1)， 易知h (x )在(0，＋∞)上单调递增．注意到h (1)＝a e －a －1＝e e －1－1e －1－1＝0， 故当x ∈(0,1)时，h (x )<0，即g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0，即g ′(x )>0，g (x )单调递增．故g (x )min ＝g (1)＝ee －1＋1e －1＋1－2e －1－2＝0，故当a＝1e－1时，∀x∈(0，＋∞)，g(x)≥0恒成立，即a＝1e－1时，f(x)＋1x≥ln x＋2a＋2在(0，＋∞)上恒成立．。

阶段滚动检测（三）一、选择题1．(2016·某某“四地六校”联考)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}，则A ∩B 等于() A ．(2,3] B ．(2,3) C ．(－3，－2)D ．[－3，－2)2．(2016·)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的() A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2016·某某质检)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x－x －1≤0”，则綈p 为() A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<04．(2016·某某)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)等于()A ．－2B ．－1C ．0D ．25．设a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4log 2(－x )，x <0，|x 2＋ax |，x ≥0.若f [f (－2)]＝4，则f (a )等于()A ．8B ．4C ．2D ．16．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是()7．(2017·某某质检)已知函数f (x )＝32,2,(1),2,x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值X 围是() A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(0,1]D ．(－1,0)8.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若DB →＝x ·DC →＋y ·DA →，x >0，y >0，则x ，y 的值分别为()A.3，1 B ．1＋3， 3 C ．2， 3D.3，1＋ 39．已知sin(x －2 017π)＝13，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan 2x 等于() A.24B ．－24C.427D ．4 210．已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cos A 等于()A.32 B ．－22 C ．－24D ．－3411．(2015·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值X 围是()A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 12．已知O 是锐角△ABC 的外心，tan A ＝22，若cos B sin C AB →＋cos C sin BAC →＝2mAO →，则m 等于() A.33B.32 C ．3 D.53二、填空题13．若f (x )＝x ＋2⎠⎛01f (t )d t ，则f (1)＝________.14．若tan α＝3，则sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5＝________.15．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →·BD →＝－14，则AD →·BC →＝________.16．关于函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x ，有下列命题： ①对任意x 1，x 2∈R ，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增；③函数f (x )的图象关于点(π12，0)对称；④将函数f (x )的图象向左平移5π12个单位长度后所得到的图象与函数y ＝2sin 2x 的图象重合．其中正确的命题是________．(注：把你认为正确的序号都填上) 三、解答题17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x <－2，x ＋3，－2≤x ≤12，5x ＋1，x >12.(1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意x ∈R 恒成立，q ：函数y ＝(m2－1)x是增函数，若p 正确，q 错误，某某数m 的取值X 围．18．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)若c ＝t a ＋(1－t )b ，且b·c ＝0，求t 及|c |.19．设向量a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，记f (x )＝a·b . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)试用“五点法”画出函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，11π12上的简图，并指出该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到；(3)若函数g (x )＝f (x )＋m ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3的最小值为2，试求出函数g (x )的最大值．20.已知函数f (x )＝x 2x －a，a ∈R .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(1,2)上是单调函数，求a 的取值X 围．21．在△ABC 中，AB →＝(－3sin x ，sin x )，AC →＝(sin x ，cos x )． (1)设f (x )＝AB →·AC →，若f (A )＝0，求角A 的值；(2)若对任意的实数t ，恒有|AB →－tAC →|≥|BC →|，求△ABC 面积的最大值．22.某地棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB ＝AD ＝4万米，BC ＝6万米，CD ＝2万米．(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及AC 的长；(2)因地理条件的限制，边界AD ，DC 不能变更，而边界AB ，BC 可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造后的新建筑用地APCD 的面积最大，并求出最大值． 答案精析1．A[因为A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x －3)(x ＋1)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}＝[－1,3]，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}＝{x |x 2－x >2}＝{x |x <－1或x >2}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，所以A ∩B ＝(2,3]． 故选A.]2．D[若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立．所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．]3．C[已知全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，则否定为綈p ：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，故选C.] 4．D[∵当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1)．当x <0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.] 5．A[由f (－2)＝4log 22＝2，f (2)＝|4＋2a |＝4，解得a ＝－4，所以f (a )＝f (－4)＝4log 24＝8，故选A.]6．C[∵函数y ＝a x与y ＝log a x 互为反函数，∴它们的图象关于直线y ＝x 对称，∴选项B 的图象不正确；当0<a <1时，y ＝log a x 与y ＝a x都随x 的增大而减小，y ＝x ＋a 的图象与y 轴的交点在y ＝1的下方，只有选项C 的图象正确；当a >1时，y ＝log a x 与y ＝ax都随x 的增大而增大，y ＝x ＋a 的图象与y 轴的交点在y ＝1的上方，没有选项符合要求．] 7．B[根据题意作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，?x －1?3，x <2的图象，如图．关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根等价于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，?x －1?3，x <2的图象与直线y ＝k 有两个不同的公共点，则由图象可知当k ∈(0,1)时，满足题意．故选B.] 8．B[设AD ＝DC ＝1，则AC ＝2，AB ＝22，BC ＝ 6.在△BCD 中，由余弦定理，得DB 2＝DC2＋CB 2－2DC ·CB ·cos(45°＋90°)＝7＋2 3.以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则D (0,0)，A (1,0)，C (0,1)，由DB →＝x ·DC →＋y ·DA →，得B (y ，x )，∴CB →＝(y ，x －1)，DB →＝(y ，x )，∴6＝(x －1)2＋y 2，x 2＋y 2＝7＋23，∴x ＝1＋3，y ＝ 3.] 9．C[因为sin(x －2 017π)＝13，所以sin x ＝－13，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos x ＝－223，所以tan x ＝24， 所以tan 2x ＝2×241－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝427.]10．C[设△ABC 面积为S ⇒a ＝4S ，b ＝22S ，c ＝2S ⇒cos A ＝(22)2＋22－422×22×2＝－24，故选C.]11．D[由已知函数关系式，先找到满足f (x 0)<0的整数x 0，由x 0的唯一性列不等式组求解． ∵f (0)＝－1＋a <0，∴x 0＝0.又∵x 0＝0是唯一的使f (x )<0的整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧e －1[2×(－1)－1]＋a ＋a ≥0，e(2×1－1)－a ＋a ≥0，解得a ≥32e.又∵a <1，∴32e≤a <1，经检验a ＝34，符合题意，故选D.]12．A[取AB 的中点D ，连接OD ， 则OD ⊥AB ， ∴OD →·AB →＝0， ∵AO →＝AD →＋DO →，∴cos B sin C AB →＋cos C sin B AC →＝2mAO → ＝2m (AD →＋DO →)，∴cos B sin C AB →2＋cos C sin B AC →·AB → ＝2mAD →·AB →＋2mDO →·AB →，∴cos B sin C |AB →|2＋cos C sin B |AC →||AB →|cos A ＝2m ·12|AB →|2＝m |AB →|2， 由正弦定理可得cos B sin C sin 2C ＋cos C sin B sin B sin C cos A ＝m sin 2C ，即cos B ＋cos C cos A ＝m sin C ，又cos B ＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝m sin C ，∴m ＝sin A ， 又tan A ＝22，∴m ＝sin A ＝33.] 13．0解析 记a ＝⎠⎛01f (t )d t ，则f (x )＝x ＋2a ，故⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋2a )d x ＝12＋2a ，所以a ＝12＋2a ，a ＝－12，故f (x )＝x －1，f (1)＝0.14．－1235解析 由题意知cos α≠0， ∵sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5＝sin 2α＋3cos 2α－4sin 2α＋2sin αcos α－5cos 2α ＝tan 2α＋3－4tan 2α＋2tan α－5， ∴tan 2α＋3－4tan 2α＋2tan α－5＝9＋3－36＋6－5＝－1235， 即sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5＝－1235. 15．－2解析 ∵AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·(BC →＋CD →)＝AD →·BC →＋(AD →－BC →－CD →)·CD →＝AD →·BC →＋(AD →＋DC →＋CB →)·CD →＝AD →·BC →＋AB →·CD →， ∴AD →·BC →－6×2＝－14⇒AD →·BC →＝－2. 16．①③解析 f (x )＝cos 2x －23sin x cos x ＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 因为f (x 1)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x 2＋π)＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2＋π3＝f (x 2)，故①正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ＋π3∈[0，π]，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减，故②错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝2cos π2＝0，故③正确；函数f (x )的图象向左平移5π12个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式为y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＋π3＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，易知该图象与函数y ＝2sin 2x 的图象不重合，故④错误．17．解 (1)作出函数f (x )的图象，如图所示．可知函数f (x )在x ＝－2处取得最小值1.(2)若p 正确，则由(1)得m 2＋2m －2≤1，即m 2＋2m －3≤0， 所以－3≤m ≤1.若q 正确，则函数y ＝(m 2－1)x是增函数， 则m 2－1>1，解得m <－2或m > 2.又p 正确q 错误，则⎩⎨⎧－3≤m ≤1，－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1.即实数m 的取值X 围是[－2，1]．18．解 (1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，得a·b ＝－6， ∴cos θ＝a·b |a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)∵b·c ＝b ·[t a ＋(1－t )b ]＝t a·b ＋(1－t )b 2＝－15t ＋9＝0，∴t ＝35，∴|c |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35a ＋25b 2＝10825，∴|c |＝635.19．解 (1)f (x )＝a·b ＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin(2x ＋π6)＋12，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)列表如下：x－π12 2π12 5π12 8π12 11π12 2x ＋π6π2 π3π2 2πsin(2x ＋π6)0 1 0 －1 0 y123212－1212描点，连线得函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，11π12上的简图如图所示：y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin(x ＋π6)的图象，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12后得到y ＝sin(2x ＋π6)的图象，最后将y ＝sin(2x ＋π6)的图象向上平移12个单位长度后得到y ＝sin(2x ＋π6)＋12的图象． (3)g (x )＝f (x )＋m ＝sin(2x ＋π6)＋12＋m . ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3， ∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴sin(2x ＋π6)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ，32＋m . 又函数g (x )的最小值为2，∴m ＝2，∴g (x )max ＝32＋m ＝72. 20．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠a }．f ′(x )＝x (x －2a )(x －a )2. ①当a ＝0时，f ′(x )＝1，则f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．②当a >0时，由f ′(x )>0，得x >2a 或x <0，此时0<a <2a ；由f ′(x )<0，得0<x <a 或a <x <2a ，则f (x )的单调递增区间为(2a ，＋∞)，(－∞，0)，单调递减区间为(0，a )，(a,2a )．③当a <0时，由f ′(x )>0，得x >0或x <2a ，此时2a <a <0；由f ′(x )<0，得2a <x <a 或a <x <0， 则函数f (x )的单调递增区间为(－∞，2a )，(0，＋∞)，单调递减区间为(2a ，a )，(a,0)．(2)①当a ≤0时，由(1)可知，f (x )在(1,2)上单调递增，满足题意；②当0<2a ≤1，即0<a ≤12时，由(1)可知，f (x )在(2a ，＋∞)上单调递增，即在(1,2)上单调递增，满足题意；③当1<2a <2，即12<a <1时，由(1)可得，f (x )在(1,2)上不具有单调性，不满足题意； ④当2a ＝2，即a ＝1时，由(1)可知，f (x )在(a,2a )上单调递减，即在(1,2)上单调递减，满足题意；⑤当1<a <2时，因为f (x )的定义域为{x |x ≠a }，显然f (x )在(1,2)上不具有单调性，不满足题意；⑥当a ≥2时，由(1)可知，f (x )在(0，a )上单调递减，即在(1,2)上单调递减，满足题意．综上所述，a ≤12或a ＝1或a ≥2. 21．解 (1)f (x )＝AB →·AC →＝－3sin 2x ＋sin x cos x ＝－3×1－cos 2x 2＋sin 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32. ∵f (A )＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝32， 又2A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π＋π3， ∴2A ＋π3＝2π3，∴A ＝π6. (2)由|AB →－tAC →|≥|BC →|，得|CB →＋(1－t )AC →|≥|BC →|，则|CB →|2＋2(1－t )CB →·AC →＋(1－t )2|AC →|2≥|BC →|2，故对任意的实数t ，恒有2(1－t )CB →·AC →＋(1－t )2|AC →|2≥0，故CB →·AC →＝0，即BC ⊥AC .∵|AB →|＝4sin 2x ≤2，|AC →|＝1，∴BC ＝AB 2－AC 2≤3，∴△ABC 的面积S ＝12BC ·AC ≤32， ∴△ABC 面积的最大值为32. 22．解 (1)根据题意知，四边形ABCD 内接于圆，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos∠ABC ，即AC 2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC .在△ADC 中，由余弦定理，得 AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos∠ADC ，即AC 2＝42＋22－2×4×2×cos∠ADC .又cos ∠ABC ＝－cos ∠ADC ，∴cos ∠ABC ＝12，AC 2＝28， 即AC ＝27万米，又∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝π3. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×4×6×sin π3＋12×2×4×sin 2π3＝83(平方万米)． (2)由题意知，S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ，且S △ADC ＝12AD ·CD ·sin 2π3＝23(平方万米)． 设AP ＝x ，CP ＝y ，则 S △APC ＝12xy sin π3＝34xy . 在△APC 中，由余弦定理，得AC 2＝x 2＋y 2－2xy ·cosπ3＝x 2＋y 2－xy ＝28， 又x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，∴xy ≤28.∴S 四边形APCD ＝23＋34xy ≤23＋34×28＝93(平方万米)， 故所求面积的最大值为93平方万米，此时点P 为ABC 的中点．。