相互独立事件教案

关于两个事件相互独立性的教学设计
一、教学目标：
1. 了解并理解两个事件相互独立性的概念；
2. 能够判断两个事件是否相互独立；
3. 能够应用相互独立性的概念解决实际问题。

三、教学步骤：
步骤一：概念讲解（20分钟）
1. 教师引导学生思考并回顾事件的概念。

2. 教师出示两个骰子，并扔出一个骰子，让学生预测掷出的点数。

3. 教师解释事件A为第一个骰子的点数为奇数，事件B为第二个骰子的点数为偶数。

4. 教师解释相互独立性的概念：事件A的发生与事件B的发生互不影响。

5. 教师让学生思考事件A和事件B是否相互独立，并引导学生得出结论：事件A和事件B相互独立。

步骤二：判断练习（30分钟）
1. 教师出示几个判断题，让学生判断两个事件是否相互独立，并解释他们的判断依据。

2. 学生进行小组讨论，然后展示自己的判断结果，通过班内讨论来确认正确答案。

3. 教师对学生的回答进行点评，并解释正确答案。

步骤三：应用问题解决（30分钟）
1. 教师提供一些实际问题，引导学生应用相互独立性的概念解决问题。

例如：有两个红球和两个蓝球，每次从中随机取出一个球，不放回，求第一个球是红球第二个球是蓝球的概率。

2. 学生在小组内进行讨论和解答，然后展示自己的解答过程。

3. 教师对学生的解答进行点评，并给出正确的解答。

四、教学评价：
1. 教师观察学生在概念讲解、判断练习和应用问题解决中的参与情况和表现。

2. 学生通过小组讨论和展示，检验和评价自己和他人的回答。

3. 教师对学生的回答和解答进行点评和评价，给予及时的反馈。

关于两个事件相互独立性的教学设计【摘要】本文旨在探讨两个事件相互独立性的教学设计。

在介绍了两个事件相互独立性的概念，并阐述了教学设计的重要性。

在详细设计了教学内容、教学方法、教学评估方式、教学资源和教学实践活动。

结论部分总结了教学设计在理解两个事件相互独立性方面的重要性，并展望了未来的发展，强调了教学设计的价值。

通过本文的阐述，希望能够帮助读者深入理解两个事件相互独立性的概念，提高他们的教学水平和教学能力，促进教育事业的发展。

【关键词】关键词：两个事件相互独立性、教学设计、教学内容、教学方法、教学评估方式、教学资源、教学实践活动、教学的重要性、未来发展、教学设计的价值。

1. 引言1.1 介绍两个事件相互独立性两个事件的相互独立性是指一个事件的发生不会影响另一个事件的发生，它们之间不存在任何因果关系。

在统计学中，两个事件相互独立是指它们的概率是独立的，即一个事件的发生不会影响另一个事件的概率。

了解和掌握两个事件相互独立性的概念对于进行统计分析和推断是非常重要的。

在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的事件，有些事件可能相互影响，而有些事件则是相互独立的。

理解两个事件的相互独立性有助于我们更准确地分析和解释事件之间的关系，帮助我们做出科学的决策。

教学设计中引入两个事件相互独立性的概念，有助于学生理解事件之间的关联性，培养他们的逻辑思维能力和判断能力。

通过教学设计，学生不仅可以掌握相关知识，还可以运用这些知识解决实际问题，提高他们的综合素质和应用能力。

引入两个事件相互独立性的教学内容具有重要的意义和价值。

1.2 说明教学设计的重要性教学设计在教育中扮演着至关重要的角色，特别是在探讨两个事件相互独立性这一主题时。

通过精心设计的教学活动和资源，可以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。

教学设计可以帮助教师在教学过程中有条不紊地引导学生学习，确保他们获得全面的知识和技能。

教学设计也可以激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。

事件的相互独立性【教学重难点】【教学目标】【核心素养】相互独立事件的概念理解相互独立事件的概念及意义数学抽象相互独立事件同时发生的概念能记住相互独立事件概率的乘法公式；能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题数学运算、数学建模【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．事件的相互独立性的定义是什么？2．相互独立事件有哪些性质？3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？二、基础知识1．相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P （A ）P （B ），则称事件A 与事件B 相互独立．2．相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么A 与B － ，A － 与B ，A － 与B －也都相互独立．■名师点拨 （1）必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．（2）事件A ，B 相互独立的充要条件是P (AB )＝P （A ）·P （B ）．三、合作探究1．相互独立事件的判断一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩．【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P （A ）＝12，P （B ）＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P （A ）P （B ），所以事件A ，B 不相互独立．（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件．于是P （A ）＝68＝34，P （B ）＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝38＝P （A ）P （B ）成立．从而事件A 与B 是相互独立的．判断两个事件是否相互独立的两种方法（1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；（2）定义法：通过式子P (AB )＝P （A ）P （B ）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A ，B 相互独立，这是定量判断.2．相互独立事件同时发生的概率王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．【解】 用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件．则P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，P （C ）＝0.9，所以P (A － )＝0.2，P (B － )＝0.3，P (C －)＝0.1．（1）由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A － BC )＋P (A B － C )＋P (AB C － )＝P (A － )P （B ）P （C ）＋P （A ）P (B － )P （C ）＋P （A ）P （B ）P (C － )＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (A － B － C － )＝1－P (A － )P (B － )P (C －)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．1．[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．解：恰有一列火车正点到达的概率为P 3＝P (A B － C － )＋P (A － B C － )＋P (A － B － C )＝P （A ）P (B － )P (C － )＋P (A － )P （B ）P (C － )＋P (A － )P (B －)P（C ）＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092．2．[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P (ξ≤20)．解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P (ξ≤20)＝1－P (ABC )＝1－P （A ）P （B ）P （C ）＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496．与相互独立事件有关的概率问题的求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．一般地，已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P （A ），P （B ），那么：（1）A ，B 中至少有一个发生为事件A ＋B ．（2）A ，B 都发生为事件AB ．（3）A ，B 都不发生为事件A － B －.（4）A ，B 恰有一个发生为事件A B － ＋A －B ．（5）A ，B 中至多有一个发生为事件A B － ＋A － B ＋A － B －.它们之间的概率关系如表所示：A ，B 互斥A ，B 相互独立P (A ＋B )P （A ）＋P （B ）1－P (A － )P (B － )P (AB )0P （A ）P （B ）P (A B )1－[P （A ）＋P （B ）]P (A － )P (B －)3．相互独立事件的综合应用本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P (ξ＝4)和P (ξ＝6)的值．【解】（1）由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P （A ）＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516.（2）P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516，P (ξ＝6)＝14×14＋12×14＝316.概率问题中的数学思想（1）正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P （A ）＋P (A －)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．（2）化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．（3）方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．四、课堂检测1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A ．49B ．29C ．23D ．13解析：选A ．左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.2．已知A ，B 是相互独立事件，且P （A ）＝12，P （B ）＝23，则P (A B － )＝________；P (A －B －)＝________．解析：因为P （A ）＝12，P （B ）＝23.所以P (A － )＝12，P (B － )＝13.所以P (A B － )＝P （A ）P (B － )＝12×13＝16，P (A － B － )＝P (A － )P (B － )＝12×13＝16.答案：16163．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话．解：设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3．（1）第3次才接通电话可表示为A 1－ A 2－A 3，于是所求概率为P (A 1－ A 2－ A 3)＝910×89×18＝110.（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1－ A 2＋A 1－ A 2－A 3，于是所求概率为P (A 1＋A 1－ A 2＋A 1－ A 2－A 3)＝P (A 1)＋P (A 1－ A 2)＋P (A 1－ A 2－A 3)＝110＋910×19＋910×89×18＝310.。

关于两个事件相互独立性的教学设计教学目标：1. 学生能够理解两个事件相互独立的概念。

2. 学生能够应用相互独立的概念解决相关问题。

3. 学生能够通过实际例子理解相互独立性的重要性。

教学重难点：1. 相互独立事件的定义和特点。

2. 通过实际例子理解相互独立事件的概念。

教学过程：第一步：引入教师用一个简单的实际例子引入相互独立性的概念，例如投掷硬币的结果和掷骰子的结果是否互相影响。

通过这个例子，让学生认识到相互独立事件的概念。

第二步：讲解教师对相互独立事件进行详细的讲解，包括定义、特点和应用。

通过具体的例子和计算方法，让学生逐步理解相互独立性的概念，并能够应用到实际问题中。

第三步：示范教师通过几个实际例子进行示范，让学生学会如何判断两个事件是否相互独立，以及如何计算相互独立事件的概率。

第四步：练习教师布置一些相关的练习题，让学生独立完成并相互交流讨论。

通过练习，加强学生对相互独立性概念的理解和应用能力。

第五步：讨论教师安排小组讨论，让学生就相互独立性在日常生活中的应用进行讨论。

通过讨论，加深学生对相互独立性的认识，并能够发现身边的实际例子。

第六步：总结教师对本节课的内容进行总结，强调相互独立性的重要性和应用。

鼓励学生在日常生活中积极应用相关知识，加深对相互独立性的理解。

教学方法：1. 实例教学法：通过具体的例子引入、讲解和示范，让学生更容易理解相互独立性的概念。

2. 组织讨论法：通过小组讨论，激发学生的学习兴趣，加深对相互独立性的理解。

教学手段：1. 实物或图片：如硬币、骰子等实物或图片，用于示范相互独立事件的概念。

2. 黑板或幻灯片：用于讲解和示范相互独立性的相关概念和计算方法。

3. 练习题：布置相关的练习题，让学生巩固和应用所学知识。

教学评估：1. 学生课堂表现：包括对问题的回答和参与讨论的情况。

2. 练习成绩：学生完成的练习题的得分情况。

3. 讨论质量：学生小组讨论的深度和广度。

教学反思：1. 教学设计要力求形象生动，引入的实例要贴近学生的日常生活。

事件的相互独立性的教案第一篇：事件的相互独立性的教案2.2.2事件的相互独立性一、教学目标：1、知识与技能：①理解事件独立性的概念②相互独立事件同时发生的概率公式2、过程与方法：通过实例探究事件独立性的过程，学会判断事件相互独立性的方法。

3、情感态度价值观：通过本节的学习，体会数学来源于实践又服务于实践，发现数学的应用意识。

二、教学重点：件事相互独立性的概念三、教学难点：相互独立事件同时发生的概率公式四，教学过程：1、复习回顾：（1）条件概率（2）条件概率计算公式（3）互斥事件及和事件的概率计算公式2、思考探究：三张奖券只有一张可以中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一位同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”。

事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？分析：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。

于是：P(B|A)=P(B)ΘP(AB)=P(A)P(B|A)∴P(AB)=P(A)P(B)3、事件的相互独立性设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B 相互独立。

即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。

注：①如果A与B相互独立，那么A与B,B与A，A与B都是相互独立的。

（举例说明）②推广：如果事件A1,A2,...An相互独立，那么P(A1A2...An) P(A1)P(A2)...P(An)4、例题：例1、判断下列事件是否为相互独立事件1、分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚为正面”为事件A，“第二枚为正面”为事件B。

2、袋中有3个红球，2个白球，采取有放回的取球：事件A：从中任取一个球是白球事件B：第二次从中任取一个球是白球3、袋中有3个红球，2个白球，采取无放回的取球：事件A：从中任取一个球是白球事件B：第二次从中任取一个球是白4、篮球比赛的“罚球两次”中：事件A：第一次罚球，球进了件事B：第二次罚球，球没进例2、在乒乓球团体比赛项目中，我们的中国女队夺冠的概率是0.9,中国男队夺冠的概率是0.7,那么男女两队双双夺冠的概率是多少? 例3、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。

2．2．2事件的相互独立性教案目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。

过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。

教案重点：独立事件同时发生的概率教案难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课课时安排：4课时教 具：多媒体、实物投影仪教案过程：一、复习引入： 1事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一实验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复实验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次实验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()(n P A P A P A +++探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”.事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系： ()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025. (2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=， ∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.72P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅ [][][]1()1()1()P A P B P C =---(10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦） 变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除CJ 开且A J 与B J 至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得113lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习：1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320()B 15()C 25()D 9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （）()A 35192()B 25192()C 35576()D 651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为；此穴无壮苗的概率为．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为；此穴有壮苗的概率为．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4.A 5.(1)132(2)0.56 6.(1)0.01 ,0.16 (2)0.999,0.9367.P=220.790.810.404⨯≈8.P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9.提示：8646121212122P =⋅+⋅= 五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：课本58页练习1、2、3第60页习题2. 2A组4. B组1七、板书设计（略）八、教案反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。

关于两个事件相互独立性的教学设计一、教学目标1. 知识目标：通过本节课的学习，使学生能够理解两个事件相互独立的概念；2. 技能目标：培养学生判断事件是否相互独立的能力；3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：学生理解什么是两个事件相互独立；2. 教学难点：学生能够判断两个事件是否相互独立。

三、教学方法与教具准备1. 教学方法：讲述法、示例法、启发式教学法；2. 教具准备：课件、黑板、白板笔、练习题。

四、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过一个实际生活中的例子引入本节课的主题，如抛硬币、掷骰子等，让学生了解事件和概率的基本概念。

2. 概念讲解（15分钟）教师通过课件和黑板，简要介绍两个事件相互独立的概念，并给出相应的定义和数学符号表示。

要求学生注意概念的内涵和外延，并对概念进行各种情况的分析。

3. 示例讲解（15分钟）教师通过多个例子来讲解两个事件相互独立的情况，如抛掷两个硬币、抽取两张扑克牌等，让学生能够清楚地感受到两个事件是否相互独立的特点和条件。

4. 共同探讨（20分钟）教师将学生分成小组，每个小组讨论并总结两个事件相互独立的特点和条件，并在黑板上进行梳理和总结。

然后学生可以通过举一反三的方法，来思考和讨论其他的例子，判断其中两个事件是否相互独立。

5. 锻炼与应用（20分钟）教师通过练习题的形式来让学生独立解决问题，并展示和讨论解题过程和答案。

教师还可以组织学生进行小组间的竞赛，增加学生的积极性和参与度。

6. 总结与拓展（10分钟）教师可以通过总结本节课的主要内容，让学生再次回顾并进一步理解两个事件相互独立的概念和特点。

教师也可以引导学生探讨两个事件不相互独立的情况，进一步扩展学生对概率的认识。

五、教学反思通过本节课的设计，学生能够了解和理解两个事件相互独立的概念，并能够判断事件是否相互独立。

通过讨论和例子的引导，学生的思维能力得到锻炼，对概率问题的解决能力也得到提高。

关于两个事件相互独立性的教学设计教学设计：探讨事件的相互独立性一、教学目标1.了解事件相互独立的定义和特点；2.掌握计算事件相互独立的方法；3.能够应用事件相互独立的知识解决实际问题。

二、教学重点和难点三、教学内容四、教学过程1.导入（5分钟）教师引入事件相互独立的概念和重要性，让学生了解什么是事件相互独立以及为什么要研究事件相互独立性。

教师简要讲解事件相互独立的定义和特点，让学生通过故事、实例等方式理解事件相互独立的概念。

3.案例分析（30分钟）教师通过具体的案例分析，让学生掌握事件相互独立的计算方法，引导学生逐步理解事件相互独立的计算过程。

4.综合应用（20分钟）教师设计一些实际问题，让学生应用所学的事件相互独立的知识，解决实际问题，提高学生的实际运用能力。

5.课堂讨论（20分钟）教师组织学生进行课堂讨论，让学生针对事件相互独立的实际问题展开讨论，激发学生的思维，加深对事件相互独立性的理解。

6.概念回顾和小结（10分钟）教师对本节课的内容进行回顾和小结，强调事件相互独立的重要性和应用，确保学生对事件相互独立的知识有深刻的理解。

五、教学手段1.多媒体课件、教材；2.案例分析；3.小组讨论；4.课堂互动。

六、教学效果评估1.课后作业：布置相关的事件相互独立的习题，检验学生的掌握程度；2.课堂讨论：评价学生在课堂讨论中的表现；3.考试测验：通过考试测验评价学生对事件相互独立知识的掌握情况。

七、教学反思与改进1.针对学生的学习情况和反馈意见，及时调整教学方法，提高教学效果；2.不断丰富案例，增强学生对事件相互独立性的理解和应用能力；3.关注学生的学习兴趣，激发学生的学习动力，增强他们对学习的积极性。

§10.2事件的相互独立性学习目标1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一相互独立事件的概念对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称独立．知识点二相互独立事件的性质如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．1．不可能事件与任何一个事件相互独立．(√)2．必然事件与任何一个事件相互独立．(√)3．“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．(√)4．如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的．(√)一、事件独立性的判断例1判断下列事件是否为相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．解(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．反思感悟两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件．跟踪训练1分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________．(填序号)①A，B；②A，C；③B，C.答案①②③解析根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C 相互独立．二、相互独立事件概率的计算例2根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．解记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与B，A与B，B与A都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝A B，所以P(D)＝P(A B)＝P(A)·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.延伸探究本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？解记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，方法一则事件E包括A B，A B，AB，且它们彼此为互斥事件．所以P(E)＝P(A B＋A B＋AB)＝P(A B)＋P(A B)＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.方法二事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件．所以P (E )＝1－P (A B )＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.反思感悟(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤①首先确定各事件之间是相互独立的．②求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．跟踪训练2甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：(1)两人都能破译的概率；(2)恰有一人能破译的概率；(3)至多有一人能破译的概率．解记事件A 为“甲独立地破译出密码”，事件B 为“乙独立地破译出密码”．(1)两个人都破译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112.(2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A B ＋A B ，∴P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝13××14＝512.(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，∴其概率为1－P (AB )＝1－112＝1112.三、相互独立事件概率的综合应用例3计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．解(1)记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则P (A )＝45×12＝25，P (B )＝34×23＝12，P (C )＝23×56＝59.因为P (C )>P (B )>P (A )，所以丙获得合格证书的可能性最大．(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，由题易知三人是否获得合格证书相互独立，则P (D )＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×12×49＋25×12×59＋35×12×59＝1130.反思感悟求较复杂事件的概率的一般步骤如下(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式．(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．跟踪训练3三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立．在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？解记T 1正常工作为事件A ，T 2正常工作为事件B ，T 3正常工作为事件C ，则P (A )＝12，P (B )＝P (C )＝34，电路不发生故障，即T 1正常工作且T 2，T 3至少有一个正常工作，T 2，T 3至少有一个正常工作的概率P 1＝1＝1516，所以整个电路不发生故障的概率为P ＝P (A )×P 1＝12×1516＝1532.方程思想在相互独立事件概率中的应用典例甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29，分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率．解记事件A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品．P (A )·[1－P (B )]＝14，P (B )·[1－P (C )]＝112，P (A )·P (C )＝29，解方程组并舍去不合题意的根，得P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝23.即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.[素养提升]对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式等构造方程(组)，通过解方程(组)解决问题，提升数学抽象素养．1．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A 1表示第1次摸到白球，A 2表示第2次摸到白球，则A 1与A 2()A ．是互斥事件B ．是相互独立事件C ．是对立事件D ．不是相互独立事件答案D解析互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A ，C 错．而事件A 1的发生对事件A 2发生的概率有影响，故两者不是相互独立事件．2．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为()A ．1B ．0.629C ．0D ．0.74或0.85答案B解析设“甲保险丝熔断”为事件A ，“乙保险丝熔断”为事件B ，则P (A )＝0.85，P (B )＝0.74，由事件A 与B 相互独立，得“两根保险丝都熔断”为事件AB ，∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.85×0.74＝0.629.3．(多选)下列各对事件中，不是相互独立事件的有()A ．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B ．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C ．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”D ．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”答案ACD解析在A 中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在B 中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C 中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在D 中，设“至少有1人射中目标”为事件A ，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B ，则AB ＝B ，因此当P (A )≠1时，P (AB )≠P (A )·P (B )，故A ，B 不独立．故选A ，C ，D.4．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，且3人是否击中目标相互独立．若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为________．答案0.009解析3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目标没有被击中的概率P＝(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.85)＝0.3×0.2×0.15＝0.009.5．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．答案370解析＝6770，因此加工出来的零件的次品率为1－6770＝370.1．知识清单：(1)相互独立事件的判断．(2)相互独立事件概率的计算．2．方法归纳：构造方程(组)、通过解方程(组)求概率，正难则反思想求概率．3．常见误区：相互独立事件与互斥事件易混淆．1．掷一枚骰子一次，设事件A：“掷出偶数点”，事件B：“掷出3点或6点”，则事件A，B的关系是()A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥答案B解析事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，所以P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16＝12×13，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此事件A与B相互独立．当“掷出6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．2．某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是() A．0.64B．0.56C．0.81D．0.99答案C解析A i表示“第i次击中目标”，i＝1,2，则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81.3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A．0.12B．0.42C．0.46D．0.88答案D解析设“甲被录取”记为事件A，“乙被录取”记为事件B，则两人至少有一人被录取的概率P＝1－P(A B)＝1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－0.4×0.3＝0.88.4．从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12，从两袋中各摸出1个球，则23可能是()A．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率答案C解析记4个选项中的事件分别为A ，B ，C ，D ，则：P (A )＝1－13×12＝56，P (B )＝13×12＝16，P (C )＝1＝23，P (D )＝13××12＝12.5．(多选)下列各对事件中，M ，N 是相互独立事件的有()A ．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M ＝“出现的点数为奇数”，事件N ＝“出现的点数为偶数”B ．袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M ＝“第1次摸到白球”，事件N ＝“第2次摸到白球”C ．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ＝“第1枚为正面”，事件N ＝“两枚结果相同”D ．一枚硬币掷两次，事件M ＝“第一次为正面”，事件N ＝“第二次为反面”答案CD解析在A 中，M ，N 是互斥事件，不相互独立；在B 中，M ，N 不是相互独立事件；在C中，P (M )＝12，P (N )＝12，P (MN )＝14，P (MN )＝P (M )P (N )，因此M ，N 是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M ，N 是相互独立事件．故选C ，D.6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．答案35解析设此队员每次罚球的命中率为P ，则1－P 2＝1625，所以P ＝35.7．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．答案35解析从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因为事件M，N相互独立，所以能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝160200×180240＝35.8．两人打靶，甲中靶的概率为0.8，乙中靶的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是________，它们都不中靶的概率为________．答案0.560.06解析设A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，A与B相互独立，利用P(AB)＝P(A)P(B)得P(AB)＝0.8×0.7＝0.56，P(A B)＝P(A)P(B)＝(1－0.8)(1－0.7)＝0.06.9．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”；记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”．(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)易知D＝(A B)∪(A B)，则P(D)＝P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(3)易知E＝A B，则P(E)＝P(A B)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2.故P(E)＝1－P(E)＝0.8.10．为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表：200元300元400元500元老年0.40.30.20.1中年0.30.40.20.1青年0.30.30.20.2某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点．(1)求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率；(2)求这三人的消费总额大于或等于1300元的概率．解(1)设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P 1，则P 1＝(0.7)2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448.(2)消费总额为1500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002，消费总额为1400元的概率是(0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1＝0.010，消费总额为1300元的概率是(0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋0.23＋2×0.22×0.1＝0.033，所以消费总额大于或等于1300元的概率是0.045.11.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y (若指针停在边界上则重新转)，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中，满足xy ＝4的概率为()A.116B.18C.316D.14答案C解析满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.∴所求事件的概率为P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1)＝14×14＋14×14＋14×14＝316.12．设两个相互独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )等于()A.29B.118C.13D.23答案D解析由题意知，P (A )·P (B )＝19，P (A )·P (B )＝P (A )·P (B )．设P (A )＝x ，P (B )＝y ，－x )(1－y )＝19，－x )y ＝x (1－y )，－x －y ＋xy ＝19，＝y .∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.13.如图，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为()A.316B.34C.1316D.14答案C 解析灯不亮包括四个开关都断开，或下边的2个都断开且上边的2个中有一个断开，这两种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴灯不亮的概率为12×12×12×12＋12×12×12×12＋12×12×12×12＝316.∵灯亮与不亮是对立事件，∴灯亮的概率是1－316＝1316.14．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．答案0.128解析由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A ，则P (A )＝0.8，故P ＝P [(A ＋A )A AA ]＝[1－P (A )]·P (A )·P (A )＝0.128.15．(多选)如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A ，B ，C ，D ，E .箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是()A ．A ，B 两个盒子串联后畅通的概率为13B ．D ，E 两个盒子并联后畅通的概率为130C ．A ，B ，C 三个盒子混联后畅通的概率为56D ．当开关合上时，整个电路畅通的概率为2936答案ACD 解析由题意知，P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，P (D )＝15，P (E )＝16，所以A ，B 两个盒子畅通的概率为12×23＝13，因此A 正确；D ，E 两个盒子并联后畅通的概率为1－15×16＝1－130＝2930，因此B 错误；A ，B ，C 三个盒子混联后畅通的概率为1－23×14＝1－16＝56，C 正确；当开关合上时，电路畅通的概率为2930×56＝2936，D 正确．故选A ，C ，D.16．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．解甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14，1－12－14＝14.(1)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况．都付0元的概率为P 1＝14×12＝18；都付2元的概率为P 2＝12×14＝18；都付4元的概率为P 3＝14×14＝116.所以，甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝5 16 .(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元．所以可得P(ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516 .。

关于两个事件相互独立性的教学设计一、教学目标1. 知识目标：通过本节课的学习，学生能够掌握两个事件相互独立的定义、判断和应用。

2. 能力目标：培养学生逻辑思维能力和数学推理能力，能够进行事件的概率计算和分析。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作精神和团队意识。

二、教学重点和难点1. 重点：学生能够理解两个事件相互独立概念，掌握判断两个事件相互独立的方法，能够运用相互独立的事件进行概率计算。

2. 难点：学生能够将相互独立的概念运用到实际问题中解答。

三、教学内容和过程1. 教学内容本节课主要讲解两个事件相互独立的概念，包括相互独立事件的定义、判断方法和应用。

通过案例分析和练习，让学生掌握两个事件相互独立的概率计算方法。

2. 教学过程（1）导入引入老师可以通过一个小故事或者问题引入，如“小明生日时父母给他买了两个不同的礼物，问他收到的第二个礼物与第一个礼物是相互独立的事件吗？”引导学生思考。

（2）概念讲解（3）案例分析设计一些生活中的实际案例，让学生通过分析问题判断事件是否相互独立，并进行解答。

（4）练习训练提供一些相关的练习题，让学生通过自主练习巩固概念和方法，同时培养他们的逻辑思维和数学推理能力。

（5）讨论交流教师可以给学生提供一些思考题，组织学生进行小组讨论，分享他们的思考和解答。

通过交流讨论，激发学生的学习兴趣，加深他们对概念的理解。

四、教学手段1. 多媒体教学：利用PPT或者课件进行概念讲解和案例分析，使学生更直观地理解概念和方法。

2. 案例分析：设计生活中的实际案例，引导学生运用相互独立的概念进行思考和解答。

3. 合作学习：组织学生进行小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流和合作，提高学生的学习兴趣。

五、教学资源1. PPT或者课件：用于概念讲解和案例分析。

2. 教材和练习题：用于学生自主练习和巩固。

3. 小组讨论题目：用于引导学生进行交流讨论。

六、教学评价1. 课堂讨论：通过学生的讨论表现和回答问题的情况，评价学生是否掌握了概念和方法。