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事件的相互独立性练习1．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( C )2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于（ C ） 2个球都是白球的概率 2个球都不是白球的概率2个球不都是白球的概率 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ B ）0.128 0.096 0.104 0.3844．某道路的、、三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（ A ）5．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．解：(1) , (2) ,7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是1415()A 320()B 15()C 25()D 920131256()A ()B ()C ()D ()A ()B ()C ()D A B C ()A 35192()B 25192()C 35576()D 651921320.560.010.160.9990.9360.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.解： P=8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？解： P=9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？解： 提示： 220.790.810.404⨯≈0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈86461121212122P =⋅+⋅=。
2.2.2 事件的相互独立性A组1.两个射手彼此独立射击一目标,甲射中目标的概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,在一次射击中,甲、乙同时射中目标的概率是()A.0.72B.0.85C.0.1D.不确定解析:甲、乙同时射中目标的概率是0.9×0.8=0.72.答案:A2.一袋中有除颜色外完全相同的3个红球,2个白球,另一袋中有除颜色外完全相同的2个红球,1个白球,从每袋中任取1个球,则至少取1个白球的概率为()A. B. C. D.解析:至少取1个白球的对立事件为从每袋中都取得红球,从第一袋中取1个球为红球的概率为,从另一袋中取1个球为红球的概率为,则至少取1个白球的概率为1-.答案:B3.从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为,视力合格的概率为,其他标准合格的概率为,从中任选一名学生,则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)()A. B. C. D.解析:该生三项均合格的概率为.答案:B4.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为,两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是()A. B. C. D.1解析:设事件A表示“甲通过听力测试”,事件B表示“乙通过听力测试”.依题意知,事件A和B 相互独立,且P(A)=,P(B)=.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C,则C=AB,且AB互斥.故P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=.答案:C5.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军,若两队每局获胜的概率相同,则甲队获得冠军的概率为()A. B. C. D.解析:根据题意,由于甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军,根据两队每局中胜出的概率都为,则可知甲队获得冠军的概率为.答案:D6.加工某一零件需经过三道工序,设第一、第二、第三道工序的次品率分别为,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为.解析:加工出来的零件的正品率是,因此加工出来的零件的次品率为1-.答案:7.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是.解析:设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,至少两颗预报准确的事件有AB,AC,BC,ABC,这四个事件两两互斥.∴至少两颗卫星预报准确的概率为P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.答案:0.9028.计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为;在上机操作考试中合格的概率分别为.所有考试是否合格相互之间没有影响.(1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大?(2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率.解:记“甲理论考试合格”为事件A1,“乙理论考试合格”为事件A2,“丙理论考试合格”为事件A3;记“甲上机考试合格”为事件B1,“乙上机考试合格”为事件B2,“丙上机考试合格”为事件B3.(1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A,记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B,记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C,则P(A)=P(A1)P(B1)=,P(B)=P(A2)P(B2)=,P(C)=P(A3)·P(B3)=,有P(B)>P(C)>P(A),故乙获得合格证书的可能性最大.(2)记“三人计算机考试都获得合格证书”为事件D.P(D)=P(A)P(B)P(C)=.所以,三人计算机考试都获得合格证书的概率是.9.在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,且三个项目是否成功互相独立.(1)求恰有两个项目成功的概率;(2)求至少有一个项目成功的概率.解:(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为,只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为,只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为,故恰有两个项目成功的概率为.(2)三个项目全部失败的概率为,故至少有一个项目成功的概率为1-.B组1.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲指针指的数为x,转盘乙指针指的数为y,x,y构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为()A. B. C. D.解析:满足xy=4的所有可能如下:x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1.∴所求事件的概率为P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)=.答案:C2.在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片跳到另一片),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A片上,则跳三次之后停在A片上的概率是()A. B. C. D.解析:由题意知逆时针方向跳的概率为,顺时针方向跳的概率为,青蛙跳三次要回到A只有两条途径: 第一条:按A→B→C→A,P1=;第二条,按A→C→B→A,P2=,所以跳三次之后停在A上的概率为P1+P2=.答案:A3.已知甲袋中有除颜色外大小相同的8个白球,4个红球;乙袋中有除颜色外大小相同的6个白球,6个红球,从每袋中任取一个球,则取得同色球的概率为.解析:设从甲袋中任取一个球,事件A:“取得白球”,则此时事件:“取得红球”,从乙袋中任取一个球,事件B:“取得白球”,则此时事件:“取得红球”.∵事件A与B相互独立,∴事件相互独立.∴从每袋中任取一个球,取得同色球的概率为P(AB+)=P(AB)+P()=P(A)P(B)+P()P()=.答案:4.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响,已知在某一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为0.05,甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为,,.解析:记“机器甲需要照顾”为事件A,“机器乙需要照顾”为事件B,“机器丙需要照顾”为事件C,由题意可知A,B,C是相互独立事件.由题意可知得所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.答案:0.20.250.55.有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛.每场都要分出胜负,已知甲队胜乙队的概率是0.4,甲队胜丙队的概率是0.3,乙队胜丙队的概率是0.5,现规定比赛顺序是:第一场甲队对乙队,第二场是第一场中的胜者对丙队,第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者,以后每一场都是上一场中的胜者对前场中的败者,若某队连胜四场则比赛结束,求:(1)第四场结束比赛的概率;(2)第五场结束比赛的概率.解:(1)∵P(甲连胜4场)=0.4×0.3×0.4×0.3=0.014 4.P(乙连胜4场)=0.6×0.5×0.6×0.5=0.09,∴P(第4场结束比赛)=0.014 4+0.09=0.104 4.(2)第5场结束比赛即某队从第2场起连胜4场,只有丙队有可能.∵P(甲胜第一场,丙连胜4场)=0.4×0.7×0.5×0.7×0.5=0.4×0.122 5,P(乙胜第一场,丙连胜4场)=0.6×0.5×0.7×0.5×0.7=0.6×0.122 5.∴P(第5场结束比赛)=0.4×0.122 5+0.6×0.122 5=0.122 5.6.已知A,B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效,若在一个试验组中,服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组,设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.(1)求一个试验组为甲类组的概率;(2)观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.解:(1)设A i表示事件“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.B i表示事件“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.据题意有:P(A0)=,P(A1)=2×,P(A2)=,P(B0)=,P(B1)=2×.所求概率为P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=.(2)所求概率为1-.7.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率;(2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的可能取值及对应的概率.解:(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”,A2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A 表示事件“第4局甲当裁判”,则A=A1·A2.故P(A)=P(A1·A2)=P(A1)·P(A2)=.(2)X的可能取值为0,1,2.B1表示事件“第1局乙和丙比赛结果乙胜”,B2表示事件“第2局乙参加比赛结果乙胜”,B3表示事件“第3局乙参加比赛结果乙胜”.则P(X=0)=P(B1·B2·B3)=P(B1)P(B2)P(B3)=,P(X=2)=P()=P()P()=,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-.。
10.2 事件的相互独立性——高一数学人教A 版（2019）必修第二册洞悉课后习题【教材课后习题】1.掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系为( ) A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等2.假设()0.7P A =，()0.8P B =，且A 与B 相互独立，则()P AB = _______，()P A B =_______.3.若()0P A >，()0P B >，证明：事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥不能同时成立.4.甲、乙两人独立地破译份密码，已知各人能破译的概率分别是13，14，求：（1）两人都成功破译的概率； （2）密码被成功破译的概率.5.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{1,2,3,4,5,6,7,8}Ω=.构造适当的事件A ，B ，C ，使()()()()P ABC P A P B P C =成立，但不满足A ，B ，C 两两独立.6.分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题.1E ：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件A =“两枚都正面朝上”.2E ：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为0.6；事件B =“命中两次目标”.3E ：从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球；事件C “两次都摸到红球”.（1）用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间； （2）指出这三个试验的共同特征和区别； （3）分别求A ，B ，C 的概率.【定点变式训练】7.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( ) A.25B.1225C.1625D.458.某校组织《最强大脑》PK 赛，最终A ，B 两队进入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为( ) A.827B.49C.1627D.20279.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是( ) A.23B.C.49D.10.某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23B.0.2C.0.16D.0.1131911.如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )A.B.316C.D.131612.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作抛骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，得到所有12张游戏牌，并结束游戏.比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )A.甲得9张，乙得3张B.甲得6张，乙得6张C.甲得8张，乙得4张D.甲得10张，乙得2张13.设某批电子手表的正品率为23，次品率为13，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次检测到次品的概率为___________.14.事件A ，B ，C 是互相独立的事件，若1()6P AB =，1()8P BC =，1()8P ABC =，则()P B =_______________.15.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.16.第五届移动互联网创新大赛，于2019年3月到10月期间举行，为了选出优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一名种子选手甲，再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛，根据以往经验，甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为332,,453，且各场输赢互不影响.11614求甲恰好获胜两场的概率.17.小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率.(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.答案以及解析1.答案：C解析：因为A ，B 中有相同的样本点，如(1,2)，故选项A 、B 错误；因为A 中含有B 中没有的样本点，如，故选项D 错误； 因为1()2P A =，，91()364P AB ==，所以()()()P AB P A P B =，故选项C.正确.2.答案：0.56；0.94解析：，.. 3.答案：见解析解析：若事件A ，B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>，所以()0P AB ≠，即A ，B 不互斥.若事件A ，B 互斥，则()0P AB =，因为()()0P A P B ⋅>，所以()()()P AB P A P B ≠，即A ，B 不独立.所以事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥不能同时成立. 4.答案：（1）112（2）12解析：设A =“甲能破译密码”，B =“能破译密码”，则A ，B 相互独立.由题意知1()3P A =，1()4P B =. （1）111()()()3412P AB P A P B ==⨯=；（2）1111()()()()34122P A B P A P B P AB =+-=+-=.5.答案：A 与B ，A 与C ，B 与C 都不相互独立解析：设{1,2,3,4}A =，{1,2,3,5}B =，{1,6,7,8}C =，则{1}ABC =，{1,2,3}AB =，(1,1)1()2P B =()()()0.70.80.56P AB P A P B ==⨯=()()()()0.70.80.560.94P A B P A P B P AB =+-=+-={1}AC =，{1}BC =，所以1()()()2P A P B P C ===，3()8P AB =，1()()8P AC P BC ==，1()8P ABC =.所以()()()()P ABC P A P B P C =⋅，但()()()P AB P A P B ≠，()()()P AC P A P C ≠，()()()P BC P B P C ≠，即A 与B ，A 与C ，B 与C 都不相互独立.6.答案：（1）1E 的空间可表示为1{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=；2E 的样本空间可表示为2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=； 3E 的样本空间可表示为3){(0,0),(0,1,(1,0),(1,1)}Ω=（2）三个试验的共同特征：完成一次试验都要观察两个指标，即样本点中包含两个要素，并且每个要素都只有两种可能结果.所以它们的样本点都可以用有序数对来表示，并且具有相同的表达形式.三个试验的区别：1E 中的样本点具有等可能性，2E ，3E 中的样本点不是等可能的. （3）1()4P A =；()0.36P B =；1()10P C = 解析：（1）1E 中用有序数对(,)m n ，m ，{0,1}n ∈表示样本点，其中0表示“反面朝上”，1表示“正面朝上”.其样本空间可表示为1{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.2E 中用有序数对()12,x x ，1x ，2{0,1}x ∈表示样本点，其中0表示“末命中”，1表示“命中”.其样本空间可表示为2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.3E 中用有序数对(,)x y ，x ，{0,1}y ∈表示样本点，其中0表示“摸到红球”，1表示“摸到黄球”.其样本空间可表示为3){(0,0),(0,1,(1,0),(1,1)}Ω=. （3）1()4P A =；()0.60.60.36P B =⨯=；1()10P C =. 7.答案：C解析：设“甲同学收到李老师的信息”为事件A ，“收到张老师的信息”为事件B ，A ，B 相互独立，，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 8.答案：C解析：比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分包含三种情况：①A 全胜；②第一局A 胜，第二局B 胜，第三局A 胜；③第一局B 胜，第二局A 胜，第三局A 胜.所以比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率. 故选C. 9.答案：A解析：用事件A 表示“旅行团选择去百花村”，事件B 表示“旅行团选择去云洞岩”，A ，B 相互独立，则4()9P AB =，.设()P A x =，，则4,9(1)(1),xy x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得或2,323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是.故选A. 10.答案：A解析：A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A 射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.20.20.04⨯=或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为，因此若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23++=.故选A.11.答案：D解析：由题意，灯泡不亮包括4个开关都断开；甲、丙、丁都断开，乙闭合；乙、丙、丁都断开，甲闭合，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是42()()105P A P B ===3221212216333333327P ⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭()()P AB P AB =()P B y =2,323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩230.90.10.09⨯=相互独立的，所以灯泡不亮的概率为，所以灯亮的概率为31311616-=.故选D. 12.答案：A解析：由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等，所以甲获胜的概率是11132224+⨯=， 乙获胜的概率是.所以甲得到的游戏牌为31294⨯=（张）， 乙得到的游戏牌为（张）.故选A. 13.答案：427解析：因为第3次首次检测到次品，所以第1次和第2次检测到的都是正品，第3次检测到的是次品，所以第3次首次检测到次品的概率为. 14.答案：12解析：设，()P B b =，， 因为1()6P AB =，1()8P BC =，1()8P ABC =，所以1,61(1),81(1),8ab b c ab c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩所以1,31,21.4a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以1()2P B =.15.答案：16；23解析：甲，乙两球都落入盒子的概率为111236⨯=.方法一：甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为121233⨯=；②甲未落入，乙落入的概率为111236⨯=；③甲，乙均落入的概率为111236⨯=.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11123663++=.111111111111322222222222216⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12111224⨯=11234⨯=221433327⨯⨯=()P A a =()P C c =方法二：甲，乙两球均未落入盒子的概率为121233⨯=，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为12133-=. 16.答案：概率为920解析：设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A ，B ，C ， 则， 则甲恰好获胜两场的概率为：()()()()()()()()()()()()P P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ .17.答案：(1)概率为0.398. (2)概率为0.994.解析：(1)用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则()0.8,()0.7,()0.9P A P B P C ===，所以. 由题意得A ，B ，C 之间互相独立， 所以恰好有两列火车正点到达的概率为1()()()P P ABC P ABC P ABC =++0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为.332(),(),()453P A P B P C ===332332332911145345345320⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()0.2,()0.3,()0.1P A P B P C ===()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =+⋅+21()1()()()10.20.30.10.994P P ABC P A P B P C =-=-⋅=-⨯⨯=。
事件的相互独立性试题及答案1事件的互相独立性1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有( )A.A 与AB.A 与BC.A 与B D A 与B2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是( )A.0.12B.0.88C.0.28D.0.423.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1,乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A.P 1P 2B.P 1(1-P 2)+P 2(1-P 1)C.1-P 1P 2D.1-(1-P 1)(1-P 2)4.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为51，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）( ) A.94 B.901 C.54 D. 95 5.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为____________.6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31，那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是_______________. 7.某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.。
10.2事件的相互独立性例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？解：因为样本空间{(,)|,{1,2,3,4},}m n m n m n Ω=∈≠且，{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}A =，{(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}B =，所以61()()122P A P B ===，21()126P AB ==.此时()()()P AB P A P B ≠，因此，事件A 与事件B 不独立.例2甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.分析：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”.从要求的概率可知，需要先分别求A ，B 的对立事件A ，B 的概率，并利用A ，B ，A ，B 构建相应的事件.解：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，则A =“甲脱靶”，B =“乙脱靶”.由于两个人射击的结果互不影响，所以A 与B 相互独立，A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立.由已知可得，()0.8P A =，()0.9P B =，()0.2P A =，(0.1P B =.（1）AB =“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=.（2）“恰好有一人中靶”AB AB =⋃，且AB 与AB 互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得()()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B ⋃=+=+0.80.10.20.90.26=⨯+⨯=.（3）事件“两人都脱靶”AB =，所以(()()(10.8)(10.9)0.02P AB P A P B ==-⨯-=.（4）方法1：事件“至少有一人中靶”AB AB AB =⋃⋃，且AB ，AB 与AB 两两互斥，所以()()()()P AB AB AB P AB P AB P AB =++ ()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=.方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为1()10.020.98P AB -=-=.例3甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生.解：设1A ，2A 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，1B ，2B 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得()13132448P A =⨯⨯=，()2239416P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭.()12142339P B =⨯⨯=，()222439P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭.设A =“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则1221A A B A B = ，且12A B 与21A B 互斥，1A 与2B ，2A 与1B 分别相互独立，所以()()()()()()12211221()P A P A B P A B P A P B P A P B =+=+349458916912=⨯+⨯=.因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是512.练习1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第1枚正面朝上”，事件B =“第2枚正面朝上”，事件C =“2枚硬币朝上的面相同”，A B C ，，中哪两个相互独立？【答案】A 与B ，A 与C ，B 与C 都相互独立【解析】【分析】分别计算出()()(),,P A P B P C ,进而求得()()(),,P AB P AC P BC .由独立事件概率性质即可判断A B C ，，中哪两个相互独立.【详解】可求()()()111,,222P A P B P C ===()()()111,,444P AB P AC P BC ===所以()()()P AB P A P B =⋅()()()P AC P A P C =⋅()()()P BC P B P C =⋅由独立事件概率性质可知A 与B ,A 与C ,B 与C 都相互独立.【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法,根据概率判断事件的独立性,属于基础题.2.设样本空间{},,,a b c d Ω=含有等可能的样本点，且{}{}{},,,,,A a b B a c C a d ===，请验证A ，B ，C 三个事件两两独立，但()()()()P ABC P A P B P C ≠.【答案】见解析【解析】【分析】分别计算出()()(),,P A P B P C ,进而求得()()(),,P AB P AC P BC .由独立事件概率性质即可判断A B C ，，中两两事件相互独立.再计算出()P ABC 与()()()P A P B P C ,即可判断结论.【详解】可求得()()()111,,222P A P B P C ===()()()()1111,,4444P AB P AC P BC P ABC ====所以()()()()()()()()(),,P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C =⋅=⋅=⋅即A ,B ,C 两两独立但()()()1184P A P B P C ⋅⋅=≠,所以()()()()P ABC P A P B P C ≠【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法,根据概率判断事件的独立性,属于基础题.3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都降雨的概率；（2）甲、乙两地都不降雨的概率；（3）至少一个地方降雨的概率.【答案】（1）0.06（2）0.56（3）0.44【解析】【分析】（1）根据独立事件概率性质()()()P AB P A P B =⋅,代入即可求解.（2）根据互斥事件概率的求法,()()()()()11P AB P A P B P A P B =⋅=-⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,代入即可求解.（3）根据对立事件概率性质,“至少一个地方降雨”与“甲乙两地都不降雨”互为对立事件,即可代入求解.【详解】设事件A =“甲地降雨”,事件B =“乙地降雨”,则事件A 与B 相互独立.由题意知()()0.2,0.3P A P B ==.（1）()()()0.20.30.06P AB P A P B ==⨯=；（2）()()()()()10.210.30.56P AB P A P B ==-⨯-=；（3）()()110.560.44P A B P AB =-=-= .【点睛】本题考查了独立事件概率的求法,互斥事件与对立事件概率性质的应用,属于基础题.4.证明必然事件Ω和不可能事件∅与任意事件相互独立.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据独立事件概率性质,由()()1,0P P Ω=∅=代入化简运算即可.【详解】设任意事件记作A ,则,A A A Ω=∅=∅ .因为()()1,0P P Ω=∅=所以()()()()()1P A P A P A P A P Ω==⨯=Ω()()()()()00P A P P A P A P ∅=∅==⋅=∅所以A 与Ω,A 与∅都相互独立【点睛】本题考查了独立事件概率的性质及简单应用,属于基础题.习题10.2复习巩固5.掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系为（）．A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等【答案】C【解析】【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可.【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，事件A 与B 能同时发生，故事件A 与B 既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A ，B 错误；()3162P A ==，()3162P B ==，()331664P AB =⨯=，()()111224P A P B ⋅=⨯=，因为()()()P A P B P AB ⋅=，所以A 与B 独立，故选项C 正确；事件A 与B 不相等，故选项D 错误.故选：C.6.假设()0.7P A =，()0.8P B =，且A ，B 相互独立，则()P AB =______；()P A B = ______.【答案】①.0.56②.0.94【解析】【分析】（1）由A 与B 相互独立知()()()P AB P A P B =⨯，代入求解即可，（2）()()()()P A B P A P B P AB =+- ，代入求解即可．【详解】解：（1）∵()0.7P A =，()0.8P B =，且A 与B 相互独立，∴()()()0.70.80.56P AB P A P B =⨯=⨯=；（2）()()()()0.70.80.560.94P A B P A P B P AB =+-=+-= ，故答案为：0.56；0.94．7.若()0P A >，()0P B >，证明：事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥不能同时成立．【答案】详见解析【解析】【分析】根据独立事件和互斥事件的概率证明.【详解】证明：若事件A ，B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>；若事件A ，B 互斥，则()0P AB =，所以事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥不能同时成立．综合运用8.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是13，14求；（1）两人都成功破译的概率；（2）密码被成功破译的概率．【答案】（1）112；（2）12.【解析】【分析】记“甲译出密码”的事件为A ，“乙译出密码”的事件为B ，“密码被成功破译”的事件为C ，结合独立事件，对立事件的概率公式，进而求出相应概率.【小问1详解】解：记“甲译出密码”的事件为A ，“乙译出密码”的事件为B ，则()13P A =，()14P B =，所以()()()1113412P AB P A P B =⋅=⨯=.则两人都成功破译的概率为112.【小问2详解】记“甲译出密码”的事件为A ，“乙译出密码”的事件为B ，“密码被成功破译”的事件为C ，()13P A =，()14P B =，则事件A 的对立事件的概率()12133P A =-=，事件B 的对立事件的概率()13144P B =-=，则甲乙两人都没有成功破译密码的概率()()()231342P AB P A P B =⋅=⨯=所以()()111122P C P AB =-=-=.则密码被成功破译的概率为12.9.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{}1,2,3,4,5,6,7,8Ω=．构造适当的事件A ，B ，C ，使()()()()P ABC P A P B P C =成立，但不满足A ，B ，C 两两独立．【答案】答案见解析.(答案不唯一)【解析】【分析】设事件{}1,2,3,4A =，{}1,2,3,5B =,{}1,6,7,8C =,分别求出事件,,A B C ，事件,,,AB AC BC ABC 的概率，验证,,A B C 不是相互独立的事件.【详解】设事件{}1,2,3,4A =，{}1,2,3,5B =,{}1,6,7,8C =则{}{}{}{}1,1,2,3,1,1ABC AB AC BC ====则()()()12P A P B P C ===,()()()()3111,,,,8888P AB P AC P BC P ABC ====满足()()()()P ABC P A P B P C =，由于()()()P AB P A P B ≠,()()()P BC P B P C ≠,()()()P AC P A P C ≠即A 与B ,B 与C ,A 与C 都不相互独立，即不满足A ，B ，C 两两独立拓广探索10.分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题．1E ：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件A =“两枚都正面朝上”．2E ：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为0.6；事件B =“命中两次目标”．3E ：从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球；事件C =“两次都摸到红球”（1）用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间；（2）指出这三个试验的共同特征和区别；（3）分别求A ，B ，C 的概率．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）分别用有序数对，(),m n ，()12,x x ，(),x y ，列举出样本空间；（2）由完成一次实验都要观察两个指标和是否等可能分析；（3）分别由（1）的样本空间求解；【小问1详解】解：1E 中用有序数对(),m n ，{},0,1m n ∈表示样本点，其中“0”表示正面朝上，“1”表示反面朝上，其样本空间为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；2E 中用有序数对()12,x x ，{}12,0,1x x ∈表示样本点，其中“0”表示未命中，“1”表示命中，其样本空间为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；3E 中用有序数对(),x y ，{},0,1x y ∈表示样本点，其中“0”表示摸到红球，“1”表示摸到黄球反面朝上，其样本空间为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；【小问2详解】三个实验的共同特征：完成一次实验都要观察两个指标，即样本点中包含两个要素，并且每个要素都只有两种可能结果，所以它们的样本点都可以用有序数对来表示，并且具有相同的表达形式；三个试验的区别：1E 中的样本点具有等可能性，2E ，3E 中的样本点不具有等可能性.【小问3详解】因为基本事件共有4个，所以两枚都正面朝上()14P A =.因为每次命中目标的概率为0.6；所以命中两次目标的概率为：()0.60.60.36P B =⨯=，因为是从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球；所以两次都摸到红球的概率是()2115410P C ⨯==⨯.变式练习题11.假定生男孩和生女孩是等可能的，令A =｛一个家庭中既有男孩又有女孩｝，B =｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性.（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩.【答案】（1）A ，B 不相互独立（2）A 与B 是相互独立【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率性质,利用列举法得事件A 与事件B ,即可得()()(),,P A P B P AB ,即可判断家庭中有两个小孩时事件A 与事件B 是否独立.（2）根据独立事件的概率性质,利用列举法得事件A 与事件B ,即可得()()(),,P A P B P AB ,即可判断家庭中有三个小孩时事件A 与事件B 是否独立.【详解】（1）有两个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={（男,男）,（男,女）,（女,男）,（女,女）},它有4个样本点由等可能性可知每个样本点发生的概率均为14这时A ={（男,女）,（女,男）},B ={（男,男）,（男,女）,（女,男）},AB ={（男,女）,（女,男）}于是()()()131,,242P A P B P AB ===由此可知()()()P AB P A P B ≠所以事件A ,B 不相互独立.（2）有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={（男,男,男）,（男,男,女）,（男,女,男）,（女,男,男）,（男,女,女）,（女,男,女）,（女,女,男）,（女,女,女）}.由等可能性可知每个样本点发生的概率均为18,这时A 中含有6个样本点,B 中含有4个样本点,AB 中含有3个样本点.于是()()()63413,,84828P A P B P AB =====,显然有()()()P AB P A P B =成立,从而事件A 与B 是相互独立的.【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法,独立事件概率性质及应用,属于基础题.12.小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.【答案】（1）0.398；（2）0.994.【解析】【分析】结合独立事件的乘法公式即可.【详解】解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件.则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.13.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．【答案】（1）5 16（2）5 16，316【解析】【分析】（1）先求得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率，甲、乙两人所付的租车费用相同，则则分甲乙都不超过2小时，甲乙都超过2小时不超过3小时，甲乙都超过3小时甲不超过4小时，利用互斥事件和独立事件的概率求解；（2）若ξ＝4，则分甲不超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙不超过2小时甲超过3小时不超过4小时，或甲乙都超过2小时不超过3小时，利用互斥事件和独立事件的概率求解；若ξ＝6，则分甲超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙超过2小时甲超过3小时不超过4小时，利用互斥事件和独立事件的概率求解；【小问1详解】解：因为甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12，14，所以甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为14，14，记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P（A）＝1111115 42244416⨯+⨯+⨯=，所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为5 16 .【小问2详解】若ξ＝4，则甲不超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙不超过2小时甲超过3小时不超过4小时，或甲乙都超过2小时不超过3小时，所以P(ξ＝4)＝1111115 44242416⨯+⨯+⨯=，若ξ＝6，则甲超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙超过2小时甲超过3小时不超过4小时，所以P(ξ＝6)＝11113 442416⨯+⨯=.14.如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是A.49B.29C.23D.13【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由图知，每个转盘均为6个区域，其中有4个是奇数的区域，由几何概型概率公式，得两个转盘中指针落在奇数所在区域的概率均为4263=．由独立事件同时发生的概率，得所求概率224339P =⨯=，故选A ．考点：1、几何概型；2、相互独立事件的概率．【方法点睛】求几何概型的基本步骤：第一步，明确取点的区域Ω，确定要求概率的事件A 中的点的区域A ；第二步，求出区域Ω的几何度量μΩ；第三步，求出区域A 的几何度量A μ；第四步，计算所求事件的概率()P A ＝AμμΩ．15.已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则()P AB =________；P (AB )＝________.【答案】①.16②.16【解析】【分析】由题先求出()12P A =，()13P B =，再结合()()()P AB P A P B =，()()()P AB P A P B =计算即可【详解】因为P (A )＝12，P (B )＝23.所以()12P A =，()13P B =，所以()()()111236P AB P A P B ==⨯=，()()()111236P AB P A P B ==⨯=故答案为：16；16【点睛】本题考查相互独立事件乘法公式的应用，属于基础题16.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话．【答案】（1）110（2）310【解析】【分析】（1）由第一次，第二次没接通，第三次接通，利用独立事件的概率求解；（2）分第一次接通，第一次没接通第二次接通和第一次，第二次没接通，第三次接通，利用互斥事件和独立事件的概率求解.【小问1详解】解：设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3．第3次才接通电话可表示为123A A A ，所以第3次拨号才接通电话的概率为()1239811109810p A A A =⨯⨯=.【小问2详解】拨号不超过3次而接通电话可表示为112123A A A A A ++，所以拨号不超过3次而接通电话的概率为()112123p A A A A A ++，()()()112123p A p A A p A A A =++，191981310109109810=+⨯+⨯⨯=.。
相互独立事件课后作业一．选择题： 1．设A 与B 是相互独立事件，则下列事件中不相互独立的是 ( )A ．A 与B － B.A －与B C.A －与B － D ．A 与A －2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标， 则他们都中靶的概率是 ( )A.1425B.1225C.34D.35 3．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响) ( )A.49B.190C.45D.59 4．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是 ( )A.13B.23C.12 D ．15.在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是 ( )A.18B.38C.14D.78二．填空题：6．一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则该产品的正品率为________．7．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．8．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A ＝“抽得老K ”，B ＝“抽得红牌”，判断事件A 与B 是________________事件（填相互独立，互斥，对立其中一项） 9．某条道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分别为 25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是________． 三．解答题：10．有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛．每场都分出胜负，已知甲队胜乙队的概率是 0.4，甲队胜丙队的概率是0.3，乙队胜丙队的概率是0.5，现规定比赛顺序是：第一场甲队 对乙队，第二场是第一场中的胜者对丙队，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者，以 后每一场都是上一场中的胜者对前场中的败者，若某队连胜四场则比赛结束，求： (1)第四场结束比赛的概率； (2)第五场结束比赛的概率．11．计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为35，34，23；在上机操作考试中合格的概率分别为910，56，78.所有考试是否合格相互之间没有影响．(1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大？ (2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率．独立重复试验，二项分布作业 一．选择题：1．已知随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (ξ＝2)＝ ( )A.316B.4243C.13243D.80243 2．一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，在5次测量中恰好2次出现正误差的概率是 A.516 B.25 C.58D. ( )3．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)＝ A ．C 23⎝⎛⎭⎫142×34 B ．C 23⎝⎛⎭⎫342×14 C.⎝⎛⎭⎫142×34 D.⎝⎛⎭⎫342×14 ( ) 4．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为35，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是 ( ) A ．C 45⎝⎛⎭⎫354×25 B ．C 55⎝⎛⎭⎫355C ．C 45⎝⎛⎭⎫354×25＋C 55⎝⎛⎭⎫355D ．1－C 35⎝⎛⎭⎫353×⎝⎛⎭⎫2525．每次试验的成功率为p (0＜p ＜1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为 ( )A ．C 310p 3(1－p )7B ．C 310p 7(1－p )3C ．p 3(1－p )7D ．p 7(1－p )3 6．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.则质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率为A.⎝⎛⎭⎫125B ．C 25⎝⎛⎭⎫125C ．C 35⎝⎛⎭⎫123D ．C 25C 35⎝⎛⎭⎫125( ) 二．填空题：7．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1－0.14.其中正确结论的序号为________(写出所有正确结论的序号)．8．设X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝59，则p ＝________．9．(2010·湖北文，13)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．（保留2位有效数字）10．如果X ～B (20，p )，当p ＝12且P (X ＝k )取得最大值时，k ＝________.11．甲、乙两人投篮命中的概率分别为p 、q ，他们各投两次，若p ＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于736，则q 的值为________．三．解答题：12．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中，(1)至少有1棵成活的概率； (2)两种大树各成活1棵的概率．.13.(2012·淮安高二检测)为提高学生的素质，某校决定开设一批选修课程，分别为文学、艺术、竞赛三类，这三类课程所含科目的个数分别占总数的12、14、14，现在3名学生独立地从中任选一个科目参加学习．(1)求他们选择的科目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的科目属于文学或竞赛的人数，求ξ的分布列．14．在一次测试中，甲、乙两人独立解出一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率是0.36，写出解出该题人数X的分布列．16．9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种的费用，写出X的分布列．17.(2010·全国Ⅰ理，18)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列．。
