【语文版】中职数学基础模块上册：5.5《同角三角函数基本关系式》ppt课件(1)

3.已知tanα=
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
, 且角α是第二象限角, 求cosα和tanα．
, 且角α是第三象限角, 求sinα和tanα．
, 且角α是第一象限角, 求sinα和cosα．
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4. 化简：
(1) cosαtanα
(3)
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关系式
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
中的
是指终边在y轴上的角的正切值不存在.
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例1 已知sinα=
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
, 且角α是第二象限角, 求cosα和tanα．
解 因为sin²α+ cos²α =1, 所以
又因为角α是第二象限角, 所以cosα＜0, 因此
sin






c
t
+


根据上面的表格能否得出同一个角α的三个三角函数之间有什么关系?
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
一般地，设点P (x,y)是角α的终边与单位圆O的交点，则|OP|=1，
=
=
情境导入 探索新知
由此得到同角三角函数间的基本关系式：
注意：三角函
数值的符号
从而
知一求二：
知弦求切
情境导入 探索新知 例题辨析
变式1 已知cosα=
巩固练习 归纳总结 布置作业
,且角α是第四象限角，求sinα和tanα．
已知正弦（或余弦）
根据商数关系
求正切．
根据平方关系
求余弦（或正弦）

（4）奇偶性
正弦曲线关于原点O中心对称，因此正弦函数y=sin x是奇 函数．
（5）单调性
当x由－π/2增大到π/2时，正弦曲线逐渐上升，y=sin x的 值由－1增大到1；当x由π/2增大到3π/2时，正弦曲线逐渐下降， y=sin x的值由1减小到－1．
根据周期性可知，正弦函数在每一个区间
[－π/2＋2kπ， π/2＋2kπ]（k∈Z）上都是增函数，其函数值 由－1增大到1；在每一个区间[π/2＋2kπ，3π/2＋2kπ]（k∈Z）
学习目标：了解角的概念推广，理解弧度制的概念和意义， 理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数；掌握利用计算 器求三角函数的值，理解同角三角函数的基本关系，了解诱导 公式的推导及简单应用，理解正弦函数的图像和性质；了解余 弦函数的图像和性质，掌握利用计算器求角度；了解“已知一 个角的三角函数值，求在指定范围内的角”的方法。
因此，所有与30°角终边相同的角（包括30°角），都 可以表示成30°与360°的整数倍的和，即都可以写成
30°＋k ▪360°（ｋ∈Ｚ）的形式．所以，与30°角终边相
同的角的集合为
｛β｜ β=30°＋k ▪360°（ｋ∈Ｚ） ｝．
一般地，所有与角α终边相同的角（包括角α在内）都可
以写成α＋k ▪360°（ｋ∈Ｚ）的形式，它们所组成的集合为 ｛β｜ β=α＋k ▪360°（ｋ∈Ｚ） ｝
r
r
x
图5-8
根据相似三角形的知识，对于每一个确定的角α，其正弦、 余弦和正切（当x≠0时）的值都是唯一确定的，而与点P在角α 终边上的位置无关．
因此，正弦、余弦和正切都是以角α为自变量的函数，分 别称为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是角α的 三角函数．

利用同角三角函数的基本关系式， 可以将复杂的三角函数表达式进
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。

4
2
42
讨论交流：
公式sin 2 cos2 1, sin tan各自的特点 cos
{ 移项变形：
sin 2 1cos2 常用于正弦、余弦函数 cos2 1sin 2 的相互转化，相互求解。
注： 在开方时，由角 所在的象限来确定开方后的符号。
sin { 即
边都有意义的情况下，等式才成立
2
② 这两个公式的前提是“同角”，因此sin 2 cos2 1, tan sin cos
③sin2 是sin 2的简写，读作sin的平方，不能将sin2 写成sin 2
三、例题互动
类型一：
应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值问题
由cos x 0，1sin x 0可知
左边 cos x(1 sin x) (1 sin x)(1 sin x)
cos x(1 sin x)
1 sin 2 x cos x(1 sin x)
cos2 x
1 sin x 右边 cos x
所以原式成立
三角函数恒等式证明的一般方法
2、已知tan 2，求 sin cos 的值； sin cos
3、求证(cos 1)2 sin2 2 2cos ；
编者语
• 要如何做到上课认真听讲？
•
我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？
•
1、往前坐
sinα＋cosα＝yr＋xr＝
2＋ 1 ＝ 33
6＋ 3
2，
当 x<0 时，r＝ x2＋y2＝－ 3x，
sinα＋cosα＝yr＋xr＝－