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苏州大学《线性代数》课程试卷库（第十八卷）共4 页学院 专业 成绩 年级 学号 姓名 日期题号 一 二 三 四 五 六 七 八 得分 1、 下列命题正确的是 [ ] (a) 若矩阵E AB =，则A 可逆且B A =-1。
(b) 若矩阵B A ,均为n 阶可逆，则B A +必可逆。
(c) 若矩阵B A ,均为n 阶不可逆，则B A +必不可逆。
(d) 若矩阵B A ,均为n 阶不可逆，则AB 必不可逆。
2、设A 为n m ⨯阶矩阵，B 为s m ⨯阶矩阵，已知矩阵方程B AX =有解，则有[ ] (a) )()(B r A r ≤ (b) )()(B r A r ≥ (c) 0)(>A r (d) 0)(>B r 3、下列命题不正确的是 [ ] (a) 若n 维向量组m ααα,,,21 中没有零向量，则向量组必线性无关。
(b) 若向量组m ααα,,,21 满足01=∑=i mi i k α，则必有021====m k k k 。
(c) 向量组m ααα,,,21 线性无关，即不存在不全为0的数m k k k ,,,21 ，使得01=∑=imi i k α。
(d) 向量组m ααα,,,21 线性无关，即对任意一组不全为0的数m k k k ,,,21 ，必有01≠∑=i mi i k α。
4、已知321,,ααα都是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，那么基础解系还可以是 [ ] (a) 332211αααk k k ++ (b) 133221,,αααααα+++ (c) 3221,αααα-- (d) 233211,,αααααα-+-5、下列2阶矩阵可对角化的是 [ ](a) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3403 (b)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5141 (c) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4033 (d) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6330 二、 填空题：（每题4分，共20分）1、设4阶方阵()γβαξ,,,=A ，()αγβη,,,=B ，已知,1=A ,2=B 则=+B A 。
苏州大学《线性代数》课程试卷库（第四卷）共 4 页 学院 专业 成绩 年级 学号 姓名 日期一、 1、若方阵A 与B 相似，且B 与C 相似，则A 与C 相似。
（ ）2、若向量组321,,ααα 线性相关，则3α能由1α和2α线性表示。
（ ）3、可逆方阵A 的转置矩阵 T A 必可逆。
（ ）4、设有矩阵A 、B ，且A B 有意义，则B A +必有意义。
（ ）5、若方程组)0(≠=b b Ax 有无穷多解，则0=Ax 也有无穷多解。
（ ） 选择题6、设B A ,均为n 阶方阵，则必有 。
(a) BA AB = (b) BA AB =(c) B A B A +=+ (d) 111)(---+=+B A B A7、若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=132121111λA 的秩为2，则 =λ 。
(a) 0 (b) 2 (c) -1 (d) 18、设有两个向量组321,,:αααA 和:B 4321,,,αααα，则 结论是正确的。
(a)若A 线性无关，则B 线性无关 (b)若A 线性相关，则B 线性相关 (c)若B 线性无关，则A 线性相关 (d)若B 线性相关，则A 线性相关9、设非齐次线性方程组b Ax =中，系数矩阵A 为n m ⨯矩阵，且r A r =)(，则下列结论正确的是 。
(a) n m =时方程组有唯一解 (b) n r = 时方程组有唯一解(c) m r =时方程组有解 (d) n r < 时方程组有无穷多解。
10、设矩阵,2221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=A 则下列矩阵中非奇异矩阵是 。
(a) A I +-2 (b) A I - (c) A I -2 (d) A I --3二、 计算题（每题10分，共20分）1、求行列式的值 dc b a c b a b a ad c b a c b a b a a dc b a c b a b a a dc b a D ++++++++++++++++++=36103632342322、已知,543022001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求1)(-*A三、（10分）设矩阵,11334221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=t A 三阶矩阵0,0=≠AB B ，求：t 和)(B r四、（10分）设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321,7453433231211211x x x x x A ，求：齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系和全部解。
苏州大学《线性代数》课程试卷库（第十五卷）共4页学院 专业 成绩 年级 学号 姓名 日期 题号 一二三四五六七八九得分1、已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则=*A [ ] （A ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321 （B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4231 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1324 （D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13242、设n 阶矩阵A 与B 相似，则下列结论必成立的是 [ ] （A ）B E A E -=-λλ，其中λ为A 与B 的特征值 （B ）对于任意常数t ，有B tE A tE -=- （C ）存在对角矩阵Λ，使得A 与B 都相似于Λ（D ）当0λ是A 与B 的特征值时，n 元齐次线性方程组0)(0=-x A E λ 与 0)(0=-x B E λ同解3、设A 为n 阶矩阵，且0=k A （k 为正整数），则 [ ] （A ）0=A （B ）A 有一个不为零的特征值 （C ）A 的特征值全为零 （D ）A 有n 个线性无关的特征向量4、设A 为n 阶方阵，3)(-=n A r ，且向量组321 , ,ααα是0=Ax 的三个线性 无关的解向量，则0=Ax 的基础解系可以是 [ ]（A ）133221 , ,αααααα+++ （B ）312312 ,,αααααα---（C ）312312 ,21,2αααααα--- （D ）1323321 2- , ,ααααααα--++5、设向量组n ααα , , ,21 （2≥n ）线性相关，那么向量组内 [ ] 可由向量组内其余向量线性表示。
（A ）任何一个向量 （B ）没有一个向量 （C ）至少有一个向量 （D ）至多有一个向量二、填空题：（每题3分，共计15分）1、设向量()b a ,,1=α与()2,2,2=β，()3,1,3=γ都正交，则=a ， =b 。
2、设A ，B 为3阶方阵，且2,1=-=B A ，则=-21)(2B A T 。
3、设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随阵*A 的秩是 。
苏州大学2016年硕士研究生招生考试
高等代数试题
招生单位代码及名称：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
考试科目代码及名称：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
一、（25’）设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=3-103-011-00A ，求2016A 二、（25’）设复数α是][x Q 中一个非零多项式的根，令集合
0}
)f(:Q[x]{f(x)=∈=αW （1）证明：在W 中存在一个首项系数为1的多项式)(x p ，使得)(x p 整除W 中每一个多
项式)(x f ，其中Q 是有理数域.
（2）证明：)(x p 在)(x Q 中不可约.
（3）如果3-2=α，求)(x p .
三、（20’）设A 为n 阶方阵，18=A ，且n E A A 153=+*，其中*
A 为A 的伴随矩阵（1）求A
得最小多项式；
（2）求A 的若尔当标准型.
四、（20’）设S 是n 阶非零的实反对称矩阵，证明：
（1）S 的特征值为0或纯虚数；
（2）,0>+S E n 其中n E 是n 阶单位阵；
（3）若A 为n 阶正定阵，则A S A >+.
五、（20’）设V 为数域P 上的n 维线性空间，σ是V 上的线性变换，证明：存在正整数k ，
使得)(ker V V k k σσ⊕=，其中k ker σ表示k
σ的核六、（20’）设τσ，均为对称变换，且有τσστ=，试证在某个标准正交基下的矩阵均为对
角阵
七、（20’）设A,B 是数域P 上的n 阶复方阵，满足A BA AB =-，证明：
（1）对任意正整数k ，k A 的迹)(k A Tr 都为0；
（2）A 只有0特征值；
（3）A,B 有公共的特征向量.。
2000年真题1．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P 上的一元多项式，并且满足：4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x ++-+-= （1）4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x +++++= （2） 证明：41x+能整除()g x 。
2．（14分）设A 是n ⨯r 的矩阵，并且秩（A ）= r ，B ，C 是r ⨯m 矩阵，并且AB=AC ，证明：B=C 。
3（15分）求矩阵321222361A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的最大的特征值0λ，并且求A 的属于0λ的特征子空间的一组基。
４(14分)设⨯-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，计算行列式611n A A E -+3．５(14分)设A,B 都是实数域R 上的n n ⨯矩阵,证明:AB,BA 的特征多项式相等．证明：要证明AB,BA 的特征多项式相等，只需证明：E A E B λλ-=-６．(14分)设A 是n n ⨯实对称矩阵,证明：257n A A E -+是一个正定矩阵．证明：A 是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．７．(15分)设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,设1,n V A α-∈≠使0,但是()n A α=0,其中n>1．证明：21{,,,,}n A A A αααα-K 是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．2000年真题答案1、证明：1(2)(1):2()4()0()()2g x h x h x g x -+=⇒=- （3） 将（3）带入（1）中，得到：41(1)()()2x f x xg x +=- 441()x x x g x ∴+Q +1与互素，．注：本题也可以把g,h 作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。
2、证明：,()0.AB AC A B C =∴-=Q(),A n r R A r A ⨯=∴Q 是的矩阵,是列满秩的矩阵，即方程0AX =只有零解．0,B C B C∴-==即3、解：()()224E A λλλ-=-+，02λ∴= 当02λ=时，求出线性无关的特征向量为()()12101012ξξ==，，＇，，，＇， 则()120,,L ξξλ构成的特征子空间12ξξ，是0λ的特征子空间的一组基．4、解：⨯Q -2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，不妨设1232,3,1,λλλ=-==-则矩阵611n A A E -+3对应的特征值为：12315,20,16ξξξ=== 故6111520164800n A A E -+=⨯⨯=35、利用构造法，设0λ≠，令1E B H A E λ=， 11010E BE E B A E A E E AB λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，两边取行列式得 11()n H E AB E AB λλλ=-=-．（１） 11100E E B E BA B A E A E E λλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边取行列式得 11()n H E BA E BA λλλ=-=-．（２）由（１），（２）两式得1()n E AB λλ-＝1()n E BA λλ-E AB E BA λλ∴-=-．（３） 上述等式是假设了0λ≠，但是（３）式两边均为λ的n 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0λ≠），从而一定是恒等式． 注：此题可扩展为Ａ是m n ⨯矩阵，Ｂ是n m ⨯矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：n m m n E AB E BA λλλλ-=-，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester ）公式．6、设λ为Ａ的任意特征值，则257n A A E -+的特征值为225357()024ξλλλ=-+=-+>． 故257n A A E -+是一个正定矩阵．7、证明：1n n AA α-≠Q 0,=0.令()()10110n n l l A l A ααα--+++=K ．（１） 用1n A -左乘（１）式两边，得到10()0n l A α-=．由于1n A -≠0，00l ∴=，带入（１）得()()1110n n l A l A αα--++=K ．（２） 再用2n A -左乘（２）式两端，可得10l =．这样继续下去，可得到0110n l l l -====K ．21,,,,n A A A αααα-∴K 线性无关．21,,,,)n A A A A αααα-K (＝21,,,,)n A A A αααα-K (0000100001000010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭KK K K K ． ∴Ａ在此基下的矩阵为0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K K K K K ， 可见,()1R A n =-,dimker(1)1A n n ∴=--=即A 的核的维数为1．2001年真题2002年真题1．（15分）设A =1111101111001110001100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L LL L L L L L L ，123101221001320001200001n n n n n n B -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L L L L L 都是n n ⨯矩阵。
苏州大学《线性代数》课程试卷库（第二卷）共 页学院 专业 成绩 年级 学号 姓名 日期题号 一 二 三四五六七八得分一、 （每题3分，共计30分）单项选择：1、设0211111111)(≠−−=x xx f 的充要条件是 [ ] (a) 或 (b) 且0≠x 1≠x 0≠x 1≠x (c) 1≠x 或2≠x (d) 1≠x 且 2≠x 2、已知 均为n 阶方阵， B A ,I 为单位阵，I BCA =，则 [ ] (a) (b) (c) I ABC =I ACB =I BAC = (d)I CBA =3、已知阶矩阵n m ×A 的秩为1−n ，21,αα是非齐次线性方程组的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组b Ax =0=Ax 的通解可表示为 [ ](a) 21ααk + (b) 12ααk + (c) )(21αα+k (d) )(21αα−k 4、n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 [ ](a) 矩阵A 有n 个特征值 (b) 矩阵A 有个线性无关的特征向量 n (c) 0≠A (d) 矩阵A 为实对称矩阵 填空题5、二次型222324f x y xy yz =+−+对应的矩阵为[ ]6、设05203120021=A ，则[ ]。
=−1A 7、若均为n 阶矩阵，且有B A ,,2−=A ,3=B 则=−−∗1B A [ ]。
8、已知(2,1,1=)β不能由(),1,2,21−=α(),8,4,02=α()3,,13k −=α 线性表出，则k =[ ]。
9、设阶方阵n A 满足每行元素之和都是0，如果秩1)(−=n A r ，则齐次方程组的通解是[ ]。
0=Ax 10、设3阶矩阵A 的特征值是 1，2，-1，设矩阵，则235A A B −==B [ ]。
二、 （10分）计算行列式： D n =aa a a 001000000100L L M MO M M L L三、（10分）讨论k 为何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=−+=−+−kx x kx x kx x k kx x x 3213213211有唯一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时利用基础解系求其全部解。
苏州大学
2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
1、（20分）设A,B均为n阶方阵,A中的所有元素均为1,B中的除元素为1外,其余元素均为0.问A,B是否等价?是否合同?是否相似?为什么?
2、（20分）设A=。
v是的A最大的特征值。
求A的属
于v的特征子空间的基。
3、（20分）设f（x）是一个整系数多项式。
证明：如果存在一个偶数m和一个奇数n使得f（m）和f（n）都是奇数，则f（x）没有整数根。
4、（20分）设A是一个2n×2n的矩阵。
证明：如果对于任意的2n×2矩阵B，矩阵方程AX=B都有解，则A是可逆的。
5、（20分）证明实系数线性方程组AX=B有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B与它所对应的齐次线性方程组AX=0的解空间正交。
6、（20分）设A，B是n×n实对称矩阵，且A+B=E,E为单位矩阵。
证明下列结论等价：
（1）AB=O,O为零矩阵
（2）秩(A)+秩(B)=n
7、（20分）设V是复数域上的n维线性空间，q，p是V上的两个可对角化的线性变换，且qp=pq。
证明：
（1）如果k是q的特征值，那么V（k）是的不变子空间。
（2）存在一组基使得q、p在这组基下的矩阵都是对角矩阵。
8、（10分）设A，B，C分别是m×m,n×n,m×n矩阵（m>n）,且AC=CB,C的秩为r.
证明: A和B至少有r个相同的特征值。
注意：7题中V(k)在原题中k为V的下标。
苏州大学《线性代数》课程试卷库（第八卷）共 4 页学院 专业 成绩 年级 学号 姓名 日期题号 一二三四五六七八得分1、=+2221121b b ab b a a a 。
2、若n 阶矩阵C B A ,,，满足I ABC =，则 =-1C 。
3、设 A 为 2001阶矩阵，且满足A A T -=，则=A 。
4、设A A ,分别为线性方程组b Ax =的系数矩阵与增广矩阵，则b Ax =有解的充分必要条件是 。
5、设B A ,均为n m ⨯矩阵，若A 的列向量组n ααα,,,21 可由B 的列向量组n βββ,,,21 线性表示，则)(A r 与)(B r 的关系为 。
6、已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333322221111333222111222c b c a c b c a c b c a X c b a c b a c b a ，则初等矩阵X = 。
7、已知向量组()()()3,0,0,2,1,0,3,2,1321=-=-=αααt 的秩为2 ，则=t 。
8、若3阶矩阵A 的3个特征值分别为 –1，1，8，则=A 。
9、已知2=λ是三阶矩阵 A 的一个特征值，()()TT 1,0,1,0,2,121==αα是对应于λ的特征向量，212ααβ-=，则=βA 。
10、设A 为实对称矩阵，21,αα分别为对应于两个不同特征值21,λλ的特征向量，则21,αα的内积=),(21αα 。
二、（10分）如果 ,333222111m c b a c b a c b a = 则求333333222222111111232323a c c b b a a c c b b a a c c b b a +++++++++三、（10分）设矩阵B A ,满足 I BA BA A 82-=*，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100020001A ， 求B四、（10分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11334221t A ，B 是非零的3阶矩阵，且0=AB ，求：t 的值五、（10分）线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++--+=--+-=++-=--+44511133621252234321432143214321x x x x a x x x x x x x x x x x x当a 为何值时有解？在有解的情况下，利用基础解系求其全部解。
2000年真题1．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P 上的一元多项式，并且满足：4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x ++-+-= （1）4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x +++++= （2） 证明：41x+能整除()g x 。
2．（14分）设A 是n ⨯r 的矩阵，并且秩（A ）= r ，B ，C 是r ⨯m 矩阵，并且AB=AC ，证明：B=C 。
3（15分）求矩阵321222361A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的最大的特征值0λ，并且求A 的属于0λ的特征子空间的一组基。
４(14分)设⨯-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，计算行列式611n A A E -+3．５(14分)设A,B 都是实数域R 上的n n ⨯矩阵,证明:AB,BA 的特征多项式相等．证明：要证明AB,BA 的特征多项式相等，只需证明：E A E B λλ-=-６．(14分)设A 是n n ⨯实对称矩阵,证明：257n A A E -+是一个正定矩阵．证明：A 是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．７．(15分)设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,设1,n V A α-∈≠使0,但是()n A α=0,其中n>1．证明：21{,,,,}n A A A αααα-K 是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．2000年真题答案1、证明：1(2)(1):2()4()0()()2g x h x h x g x -+=⇒=- （3） 将（3）带入（1）中，得到：41(1)()()2x f x xg x +=- 441()x x x g x ∴+Q +1与互素，．注：本题也可以把g,h 作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。
2、证明：,()0.AB AC A B C =∴-=Q(),A n r R A r A ⨯=∴Q 是的矩阵,是列满秩的矩阵，即方程0AX =只有零解．0,B C B C∴-==即3、解：()()224E A λλλ-=-+，02λ∴= 当02λ=时，求出线性无关的特征向量为()()12101012ξξ==，，＇，，，＇， 则()120,,L ξξλ构成的特征子空间12ξξ，是0λ的特征子空间的一组基．4、解：⨯Q -2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，不妨设1232,3,1,λλλ=-==-则矩阵611n A A E -+3对应的特征值为：12315,20,16ξξξ=== 故6111520164800n A A E -+=⨯⨯=35、利用构造法，设0λ≠，令1E B H A E λ=， 11010E BE E B A E A E E AB λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，两边取行列式得 11()n H E AB E AB λλλ=-=-．（１） 11100E E B E BA B A E A E E λλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边取行列式得 11()n H E BA E BA λλλ=-=-．（２）由（１），（２）两式得1()n E AB λλ-＝1()n E BA λλ-E AB E BA λλ∴-=-．（３） 上述等式是假设了0λ≠，但是（３）式两边均为λ的n 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0λ≠），从而一定是恒等式． 注：此题可扩展为Ａ是m n ⨯矩阵，Ｂ是n m ⨯矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：n m m n E AB E BA λλλλ-=-，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester ）公式．6、设λ为Ａ的任意特征值，则257n A A E -+的特征值为225357()024ξλλλ=-+=-+>． 故257n A A E -+是一个正定矩阵．7、证明：1n n AA α-≠Q 0,=0.令()()10110n n l l A l A ααα--+++=K ．（１） 用1n A -左乘（１）式两边，得到10()0n l A α-=．由于1n A -≠0，00l ∴=，带入（１）得()()1110n n l A l A αα--++=K ．（２） 再用2n A -左乘（２）式两端，可得10l =．这样继续下去，可得到0110n l l l -====K ．21,,,,n A A A αααα-∴K 线性无关．21,,,,)n A A A A αααα-K (＝21,,,,)n A A A αααα-K (0000100001000010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭KK K K K ． ∴Ａ在此基下的矩阵为0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K K K K K ， 可见,()1R A n =-,dimker(1)1A n n ∴=--=即A 的核的维数为1．2001年真题2002年真题1．（15分）设A =1111101111001110001100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L LL L L L L L L ，123101221001320001200001n n n n n n B -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L L L L L 都是n n ⨯矩阵。
解矩阵方程AX B =。
2．（20分）设143253442A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，A 是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵C ，使得1C AC -是一个对角矩阵。
3．（10分）设,,,k m r s 都是非负整数。
设23()1,f x x x x =+++4414243()k m r s g x x x x x +++=+++。
证明：()f x 整除()g x 。
4．（10分）设A ，B 都是n n ⨯矩阵，G 是n m ⨯矩阵，并且G 的秩是n 。
证明：如果AG BG =，则A B =。
5．（10分）设A 是n n ⨯矩阵，并且A 是可逆的。
证明：如果A 与1A -的所有的元素都是整数，则A 的行列式是-1或1。
6．（10分）设A 是n n ⨯反对称矩阵，证明：2A -是半正定的。
7．（15分）设A 是n n ⨯矩阵。
如果2n A E =，并且()n A E -的秩是r ，A 是否相似于一个对角矩阵？如果是，求这个对角矩阵。
8．（10分）设V 是有理数域¤上的线性空间，V 的维数是n ，A 与B 是V 的线性变换。
其中B 可对角化，并且AB BA A -=。
证明：存在正整数m ，使得m A 是零变换。
2003年真题2004年真题2004年真题答案111115'10112101021350101021252353120110111102122210210110112101521010213501031010102X X X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭一(）求满足下列条件的解；1101021102411511222-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭--⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭15∂∂1212i 12二（‘）设P 是一个数域，p （x)是P[x]中次数大于0的多项式，证明：如果对于任何多项式f(x),g(x),由p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x),那么p(x)是不可约多项式。
证明：假设p(x)是可约多项式，则存在p (x),p (x)使得p(x)=p (x)p (x),且（p (x))<(p(x)),i=1,2取f(x)=p (x),g(x)=p (x),因此f(x)g(x)=p(x)则p(x)|f(x)g(x)但p(x)不整除f(x)且不整除g(x)与题设矛盾！所以p(x)是不可约多项式21112112510{|}200()()000{|}P n V V V V σσσσασαασστσστσττσασασασασασασαασασσασααβσ-----==-∈=⊕∀∈-==-∈⇒⊇-∈∈三（’）设是数域上的维向量空间的一个线性变换，，证明：（）（）（）（）（）(V)(3)如果是V 的线性变换，（），(V)都是的不变子空间，则有=证明：（1）V,则(（）)=()-()-则（）（）（）（）又取1211111120()0,{|}0{|}0{|}2,0000V V V V V σβββσββασαασασαασασαααασασαασασασσσσβσσσβαβσαβσασασσασ-------==-⇒∈-∈⇒⊆-∈=-∈∀∈-∈-∈++∈⋂∀∈==（）,（）（）（）（）所以（）（）（）则（）（）=（）+（）（）(V)即V=（）(V)任取（）(V)，则()=0，使得()从而()=()=（()）=(1111100000V βσσσσσστασβσγγαβταστβσσταστβτβστγστγσταβστατβστβτβσασββτσγ-----⋂=⊕∀∈∈∈∈∈==)=0所以（）(V)={0}因此（）(V)（3）因为（），(V)是的不变子空间（），(V)，V ，且=+（）（），（）(V)，（（））=0，（（））=（）（）（（））=（（+））=（（）+（））=（（））=（）()=0，()=（）τσγτσαβτσασβτβστγτσγσττσ⇒=（（））=（（+））=（（）+()）=（）从而（）=（）11212120,s s s i i σασλααασλααααασλαασααλααααα==+=i+1i i+1i i+1i i+112s i 四（20）设是数域P 上的向量空间V 的一个线性变换，是属于特征值的特征向量，向量组，，……满足关系（-E ）=，i=1，2 ?… s-1,其中E 是恒等变换证明：，， ?… 线性无关证明：因为（-E ）=所以（），i=1，2 ?… s-1设k + k + ?… + k 即 k 1121111111111111111120()0()()0,00,0,ss s i i s s i i i i s s si i i i i i s i i s So σααασασαλααλαλααααααα-+=--+==-===-===+=⇒++=⇒+==⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑12s 1i+11i+1i+1i i+1i i+123s-1k + k + ?… + k k k i=1，2 ?… s-1k k k k k 由于 k k k + k + ?… + k 1212111211120()00000000s s s s σααααααααααααααα-=======⇒====23s-134s-2s s 12s-1s-1s-112s k + k + ?… + k 重复上述过程可得k + k + ?… + k 继续重复上述过程，我们有k ，因为显然不为，所以k 从而我们有k + k + ?… + k 再继续上面步骤，可得k k 由归纳法得k k ?… + k 因此，，…… 线性无关21,231,212(20),122224242||0122224(2)(7)02422,72(0,1,1),(2,0,1)E A λλλλλλξξ-⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪-⎝⎭-=---=-+=-==-===222123123121323五用正交线性替换三元二次型f(x ,x ,x )=x -2x -2x -4x x +4x x +8x x 为标准型并给出所用的正交线性替换.解:设A 为二次型矩阵,A=令即对应于的特征向量为对31122211132221237(1,2,2)(0,1,1)()11(2,,)(,)22(1,2,2)02111221122200020007)()''227C C AC X CYCY A CY Y C ACY y y y λξααξαξαααα=-=-=-=-=-=-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪'= ⎪⎪-⎝⎭=''==+-3123应于的特征向量为正交化令从而令从而令则f(x ,x ,x )=X AX=(****(15),,()()1,1()()1,()()1,0,0A B n r A r B n n r A r B n so r r because AA A E BB B E A B ==->==-======⇒******六设为两个阶方阵其中齐次线性方程组AX=0与BX=0同解,证明:A 的非零列与B 的非零列的非零列成比例,其中A ,B 分别是A,B 的伴随矩阵.证明:since A B 的列向量是AX=0的解,的列向量是BX=0的解For,AX=0与BX αβαβ⇒**=0同解设是A 的非零列,是B 的非零列=k,,((),)(,()),:(,())((),)(0,)0()()...............................................(1),(),(V V V and V σταβσαβατβστασσαατβσαββατστβτβ⊥⊥⊥∈=∀∈⇒===⇒∈⇒⊆∀∈⇒七(15)设,是n 维欧式空间V 的线性变换,对任意都有证明的核等于的值域的正交补证明:ker , so,()=0ker ,())0((),)(,())0()0()....................................................................(2)(1)(2)()V According and WeCanSeeV τβσβββτβσββστστσ⊥⊥=⇒==⇒=⇒∈⇒⊆=ker ,ker ker12112211111112(15)(1),(),()[]((),())1(),(),,,0,0,0.:(1),0()0()()()()0(2),(M P n n f x g x P x f x g x A f M B g M W W W ABX AX BX c W W A f M AB f M g M g M f M W W W W W Wbecause αααααααα>∈======∀∈∈=⇒=⇒===⇒∈⇒⊆⊆⇒+⊆12八设是数域上的阶方阵且分别是方程组的解空间,证明:证明同样W W (),())1,,(),()[]()()()()1()()()(),0,0,()0,()0(()()()())0{0}(3)sin ,,dim()dim(),{0}dim(f x g x so u x v x P x u x f x v x g x u M f M v M g M E A B f M g M u M f M v M g M E ce W so W Also αααααααα=∃∈+=⇒+=∀∈⋂==⇒==⇒+=⇒=⇒⋂=+⊆+≤⋂=⇒12121212121W W W W W W W W W W W )dim()dim()dim()dim()dim()....................................................(1),()()()dim()dim()dim()dim()dim()dim().........................W Still r A r B n r AB n n n n W W +=+⇒+≤+≤+⇒-+-≤+-⇒+≥212121212W W W W W W W W W ...........................(2),(1)(2),dim()dim()dim(){0}{0}From and W +=⋂=⇒⋂=121212W W also,W W W W1(10),..........(,(1,2..........)(())()(n V n i n στστστσσστσστλσαλατασταστατσα-⇒===2i i i i i i i i 九设是数域P 上的n 维线性空间,,是V 的线性变换,有n 个互异的特征值,证明:与可交换的充分必要条件是:是E,,的线性组合,其中E 是恒等变换.证明:因为=,设是的个互异的特征值,是属于的特征向量则也是的特征向量事实上对于每个有222(((((),)1,(1,2..........),(),(1,2..........),.........),..........),.....i i i n n V V i n u V u u i n λλτσατλαλταταλατταλλσααααααλτααα∈==∃∈==⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O i i i i i i i i i i i 1211n 1)=))=)=)从而由于互异,所以dim(故也是的特征向量)从而使于是有(((2111),.........)1121212 (1)..............................................n n n n n u u u n n n x x x u x x x u x x x u αααλλλλλλλ---⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭++=++=++=O 121n (考虑方程组111222n n n由于系数行列式（）{11211121121121()0(1.........,(1,2..........)..................n n i j i i j nn n n n i in i n i i a a u i n a a u a a λλλλλλλλλλλλααεσασατα--≤<≤---=-≠'++==++=++∏L L L L L L L112n n 12n i i i i i i 互异）则方程组有唯一解，设为（a ,a ......a )则a 即（a ）得（a （）（））=（）由于12121,.................,..........n n i n i n V a a ααατεσασατσσσ--++12是的一组基，因此=a （）（）所以是E,,的线性组合2005年真题1、（20分）设A,B均为n阶方阵,A中的所有元素均为1,B中的除元素为1外,其余元素均为0.问A,B是否等价?是否合同?是否相似?为什么?2、（20分）设A=。
