高等数学课后习题答案--第七章
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（1） u =
1 ; sin x ⋅ sin y
（2） u = ln(1 − x 2 − y 2 ); （3） u = ln
1 . ( x − a ) + ( y − b) 2
2
【解】. (1) 在 x ≠ kπ 且 y ≠ kπ 时函数连续; (2) x 2 + y 2 < 1 时连续; (3) 除了点
(a, b) 外都连续.
5.下列映射 f : ( x, y ) a (u, v) 在 R 2 的哪个子集上是连续的？
（1） u = x 2 − y 2 , v =
1 ; x − y2
2
（2） u =
x y v = , . x2 + y2 x2 + y2 (2) x = y = 0 外连续.
【答案】 (1) | x |≠| y | 外连续;
⎛ ( x − b )2 ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 4 a t ⎝ ⎠
a2
1 ( x − b) e ∂u ( x, t ) = − 4 at πt ∂x
( x −b ) 2 4 a 2t
,
− ∂ 2 u ( x, y ) 1 =− e a 2 ∂x 8a 3 πt 5
2
(− x 2 + 2bx + 2a 2 t − b 2 )
⎡ （4） u = sin 2 x + sin ⎢( y − 1) ln tan ⎣
【解】(1)
x ⎤ ⎛π ⎞ ⎥ 在 ⎜ , 1⎟ 处的 u ′ x。 y⎦ ⎝4 ⎠
6 1 12 6 6 ,− ; ; (2) − ,− , 12 36 18 36 3
(3) (3 cos 6 − 2 sin 6)e −2 , (4 cos 6)e −2 , (−5 sin 6)e −2 ,
（4）
x2 y2 z2 . ( x , y , z ) →( 0, 0 , 0 ) x 2 + y 2 + z 2 lim
8 【答案】 (1) ln 2 ; (2) 0; (3) − ; 5
(4) 0.
3. 讨论下列函数在原点 O（0，0）处是否连续？ ⎧1, xy = 0, （1） z = ⎨ ⎩0, xy ≠ 0;
⎧ sin( x 3 + y 3 ) , x 3 + y 3 ≠ 0, ⎪ 3 3 （2） z = ⎨ x + y ⎪0, x 3 + y 3 = 0; ⎩
132
⎧ sin( x 3 + y 3 ) , x2 + y2 ≠ 0 ⎪ 2 2 （3） z = ⎨ x + y ⎪ x 2 + y 2 = 0. ⎩0, 【答案】 (1) 不连续; (2) 不连续; (3) 连续. 4、指出下列函数的连续范围
（3） z = ln( x + x 2 − y 2 ); （4） z = xe − y + ye − x ; y 2 y （5） z = arctan 2 ; （6） z = ∫ e t dt. x x 2 【答案】 (1) (2axy + 2bx)dx + ax dy ; (2) 4 tan( x 2 + y 2 ) sec 2 ( x 2 + y 2 )( xdx + ydy ) ; 1 ydy (3) dx − ; (4) (e − y − ye − x )dx + (e − x − xe − y )dy ; (5) 2 2 2 2 2 2 x −y x − y (x + x − y )
(2) z ′ x = −
y 1 + , x2 y
z ′y =
1 y , z ′y = , (4) y y y y 2 x cos sin x sin cos x x x x xy xy +1 ′ z′ ln x . x = x y (ln x + 1) , z y = x
1 x − ,(3) z ′ x = − x y2
135
11、证明：函数 u ( x, t ) =
1 2a πt
e
−
( x −b ) 2 4 a 2t
满足热传导方程
∂u ∂ 2u = a2 2 。 ∂t ∂x
【解】
− ∂u ( x, t ) 1 =− e ∂t 8a 3 πt 5
( x −b ) 2 4 a 2t
(− x 2 + 2bx + 2a 2 t − b 2 )
(4) 9、设函数
x ln y ln y (ln y − 1) x ln y (ln y ln x + 1) x ln y ln x(ln x − 1) , . , xy x2 y2
⎧ x2 − y2 , x 2 + y 2 ≠ 0, ⎪ xy f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ x 2 + y 2 = 0. 0, ⎩ ′′ (0,0) ≠ f yx ′′ (0,0). 试求 f x′ (0, y ) 及 f y′ ( x,0) ，并证明 f xy
【答案】 【答案】
(1) 不可微; (2) 不可微.
6、用全微分求下列函数在指定点的近似值
（1） 20 − x 2 − 7 y 2 , (1.95,1.08); 【答案】 (1) 2.834; (2) -3.285 （2） ln( x − 3 y ), (6.9,2.06) .
7、测得一矩形的长和宽分别为 20cm 和 12cm，可能的最大测量误差为 0.1cm， 试用全微分估计由测量值计算出的矩形面积的最大误差. 【解】 S = xy ， dS = ydx + xdy = 12 × 0.1 + 20 × 0.1 = 3.2 (cm) . ′ ′′ ′′ 8、求下列函数的二阶偏导数， u ′ xx , u xy , u yy .
14. 计算下列映射的导数： ⎛x+ y ⎞ ⎟ （1） f ( x, y ) = ⎜ ⎜ x 2 + y 2 ⎟; ⎝ ⎠
⎛ u cos v ⎞ ⎟ ⎜ （2） g (u , v) = ⎜ u sin v ⎟. ⎟ ⎜v ⎠ ⎝
⎛ dx ⎞ ⎛ dx + dy ⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ df = J , 【解】 (1) J = ⎜ ⎜ dy ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎜ 2x 2 y ⎟ ⎟; ⎝ ⎠ ⎝ 2 xdx + 2 ydy ⎠ ⎝ ⎠
(
)
−
n 2
,
2 1 2 2 2 n − n 2
′ u′ xi xi = ( −2 + n) nx (x + L + x
2ห้องสมุดไป่ตู้i 2 1
n 2 − 2 −1 n
)
+ ( x + x + L + x ) ( 2 − n)
于是成立
′ ′′ ′′ u′ x1 x1 + u x2 x2 + L + u xn xn = 0 . 13、设映射 f 为 ( x, y ) T a (u, v) T ，其中的对应关系由下列函数组定义，试求出 f 的 Jacobi 矩阵及微分：
【解】
f x′ (0, y ) = lim
∆x →0
f (0 + ∆x, y ) − f (0, y ) ⎧− y, =⎨ ∆x ⎩ 0,
y≠0 , y=0
⎧ x, x ≠ 0 ′′ (0,0) = −1 , f yx ′′ (0,0) = 1 . 类似 f y′ ( x,0) = ⎨ . 于是 f xy 0 , x = 0 ⎩ t ∂ 2u ∂ 2u 10、设 u = 2 cos 2 ( x − ) ，证明： 2 2 + = 0. 2 ∂x∂t ∂t 1 1 1 1 2 ′′ = sin 2 ( x − t ) − cos 2 ( x − t ) , u ′ ′ 【提示】 u tt t ) + 2 cos 2 ( x − t ) . xt = −2 sin ( x − 2 2 2 2
§2 全微分与偏导数 习 题
1. 求下列函数的各个一阶偏导数：
（1） z = x 3 y + 3x 2 y − xy 3 ； （3） z = ln tan （2） z =
y x + ； x y
y ； x
（4） z = x xy 。
133
2 3 3 2 2 ′ 【答案】 (1) z ′ x = 3 x y + 6 xy − xy , z y = x + 3 x − 3 xy ;
⎛ cos⎜ ⎜ ( y − 1) ln tan ⎝ (4) u ' x = sin 2 x + x⎞ ⎟( y − 1) sec 2 y⎟ ⎠ x y x y
, u' x ( π 4 ,1) = 1 .
xy tan 3. 求下列函数的全微分： （1） z = ax 2 y + bx 2 ;
（2） z = tan 2 ( x 2 + y 2 );
《高等数学》习题参考资料 第三篇 多元函数微积分 第七章 多元函数微分学 §1 多元函数的极限与连续 习 题
1. 当 ( x, y ) → (0,0) 时，下列函数的极限是否存在？若存在，求出其极限 （1）
x 3 + xy 2 ; x2 + y2
x2 y2 +1 −1 x2 + y2
2 2
（2）
x2 + y2 x2 + y2 +1 −1
2− n 2 2 12、证明： n 元函数 u = ( x12 + x 2 + L + xn ) 2 满足方程 ′ ′′ ′′ u′ (n > 2) . x1 x1 + u x2 x2 + L + u xn xn = 0 2 2 【解】 u ′ xi = ( 2 − n) x i x1 + L + x n
1 ; sin x ⋅ sin y
（2） u = ln(1 − x 2 − y 2 ); （3） u = ln
1 . ( x − a ) + ( y − b) 2
2
【解】. (1) 在 x ≠ kπ 且 y ≠ kπ 时函数连续; (2) x 2 + y 2 < 1 时连续; (3) 除了点
(a, b) 外都连续.
5.下列映射 f : ( x, y ) a (u, v) 在 R 2 的哪个子集上是连续的？
（1） u = x 2 − y 2 , v =
1 ; x − y2
2
（2） u =
x y v = , . x2 + y2 x2 + y2 (2) x = y = 0 外连续.
【答案】 (1) | x |≠| y | 外连续;
⎛ ( x − b )2 ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 4 a t ⎝ ⎠
a2
1 ( x − b) e ∂u ( x, t ) = − 4 at πt ∂x
( x −b ) 2 4 a 2t
,
− ∂ 2 u ( x, y ) 1 =− e a 2 ∂x 8a 3 πt 5
2
(− x 2 + 2bx + 2a 2 t − b 2 )
⎡ （4） u = sin 2 x + sin ⎢( y − 1) ln tan ⎣
【解】(1)
x ⎤ ⎛π ⎞ ⎥ 在 ⎜ , 1⎟ 处的 u ′ x。 y⎦ ⎝4 ⎠
6 1 12 6 6 ,− ; ; (2) − ,− , 12 36 18 36 3
(3) (3 cos 6 − 2 sin 6)e −2 , (4 cos 6)e −2 , (−5 sin 6)e −2 ,
（4）
x2 y2 z2 . ( x , y , z ) →( 0, 0 , 0 ) x 2 + y 2 + z 2 lim
8 【答案】 (1) ln 2 ; (2) 0; (3) − ; 5
(4) 0.
3. 讨论下列函数在原点 O（0，0）处是否连续？ ⎧1, xy = 0, （1） z = ⎨ ⎩0, xy ≠ 0;
⎧ sin( x 3 + y 3 ) , x 3 + y 3 ≠ 0, ⎪ 3 3 （2） z = ⎨ x + y ⎪0, x 3 + y 3 = 0; ⎩
132
⎧ sin( x 3 + y 3 ) , x2 + y2 ≠ 0 ⎪ 2 2 （3） z = ⎨ x + y ⎪ x 2 + y 2 = 0. ⎩0, 【答案】 (1) 不连续; (2) 不连续; (3) 连续. 4、指出下列函数的连续范围
（3） z = ln( x + x 2 − y 2 ); （4） z = xe − y + ye − x ; y 2 y （5） z = arctan 2 ; （6） z = ∫ e t dt. x x 2 【答案】 (1) (2axy + 2bx)dx + ax dy ; (2) 4 tan( x 2 + y 2 ) sec 2 ( x 2 + y 2 )( xdx + ydy ) ; 1 ydy (3) dx − ; (4) (e − y − ye − x )dx + (e − x − xe − y )dy ; (5) 2 2 2 2 2 2 x −y x − y (x + x − y )
(2) z ′ x = −
y 1 + , x2 y
z ′y =
1 y , z ′y = , (4) y y y y 2 x cos sin x sin cos x x x x xy xy +1 ′ z′ ln x . x = x y (ln x + 1) , z y = x
1 x − ,(3) z ′ x = − x y2
135
11、证明：函数 u ( x, t ) =
1 2a πt
e
−
( x −b ) 2 4 a 2t
满足热传导方程
∂u ∂ 2u = a2 2 。 ∂t ∂x
【解】
− ∂u ( x, t ) 1 =− e ∂t 8a 3 πt 5
( x −b ) 2 4 a 2t
(− x 2 + 2bx + 2a 2 t − b 2 )
(4) 9、设函数
x ln y ln y (ln y − 1) x ln y (ln y ln x + 1) x ln y ln x(ln x − 1) , . , xy x2 y2
⎧ x2 − y2 , x 2 + y 2 ≠ 0, ⎪ xy f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ x 2 + y 2 = 0. 0, ⎩ ′′ (0,0) ≠ f yx ′′ (0,0). 试求 f x′ (0, y ) 及 f y′ ( x,0) ，并证明 f xy
【答案】 【答案】
(1) 不可微; (2) 不可微.
6、用全微分求下列函数在指定点的近似值
（1） 20 − x 2 − 7 y 2 , (1.95,1.08); 【答案】 (1) 2.834; (2) -3.285 （2） ln( x − 3 y ), (6.9,2.06) .
7、测得一矩形的长和宽分别为 20cm 和 12cm，可能的最大测量误差为 0.1cm， 试用全微分估计由测量值计算出的矩形面积的最大误差. 【解】 S = xy ， dS = ydx + xdy = 12 × 0.1 + 20 × 0.1 = 3.2 (cm) . ′ ′′ ′′ 8、求下列函数的二阶偏导数， u ′ xx , u xy , u yy .
14. 计算下列映射的导数： ⎛x+ y ⎞ ⎟ （1） f ( x, y ) = ⎜ ⎜ x 2 + y 2 ⎟; ⎝ ⎠
⎛ u cos v ⎞ ⎟ ⎜ （2） g (u , v) = ⎜ u sin v ⎟. ⎟ ⎜v ⎠ ⎝
⎛ dx ⎞ ⎛ dx + dy ⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ df = J , 【解】 (1) J = ⎜ ⎜ dy ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎜ 2x 2 y ⎟ ⎟; ⎝ ⎠ ⎝ 2 xdx + 2 ydy ⎠ ⎝ ⎠
(
)
−
n 2
,
2 1 2 2 2 n − n 2
′ u′ xi xi = ( −2 + n) nx (x + L + x
2ห้องสมุดไป่ตู้i 2 1
n 2 − 2 −1 n
)
+ ( x + x + L + x ) ( 2 − n)
于是成立
′ ′′ ′′ u′ x1 x1 + u x2 x2 + L + u xn xn = 0 . 13、设映射 f 为 ( x, y ) T a (u, v) T ，其中的对应关系由下列函数组定义，试求出 f 的 Jacobi 矩阵及微分：
【解】
f x′ (0, y ) = lim
∆x →0
f (0 + ∆x, y ) − f (0, y ) ⎧− y, =⎨ ∆x ⎩ 0,
y≠0 , y=0
⎧ x, x ≠ 0 ′′ (0,0) = −1 , f yx ′′ (0,0) = 1 . 类似 f y′ ( x,0) = ⎨ . 于是 f xy 0 , x = 0 ⎩ t ∂ 2u ∂ 2u 10、设 u = 2 cos 2 ( x − ) ，证明： 2 2 + = 0. 2 ∂x∂t ∂t 1 1 1 1 2 ′′ = sin 2 ( x − t ) − cos 2 ( x − t ) , u ′ ′ 【提示】 u tt t ) + 2 cos 2 ( x − t ) . xt = −2 sin ( x − 2 2 2 2
§2 全微分与偏导数 习 题
1. 求下列函数的各个一阶偏导数：
（1） z = x 3 y + 3x 2 y − xy 3 ； （3） z = ln tan （2） z =
y x + ； x y
y ； x
（4） z = x xy 。
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2 3 3 2 2 ′ 【答案】 (1) z ′ x = 3 x y + 6 xy − xy , z y = x + 3 x − 3 xy ;
⎛ cos⎜ ⎜ ( y − 1) ln tan ⎝ (4) u ' x = sin 2 x + x⎞ ⎟( y − 1) sec 2 y⎟ ⎠ x y x y
, u' x ( π 4 ,1) = 1 .
xy tan 3. 求下列函数的全微分： （1） z = ax 2 y + bx 2 ;
（2） z = tan 2 ( x 2 + y 2 );
《高等数学》习题参考资料 第三篇 多元函数微积分 第七章 多元函数微分学 §1 多元函数的极限与连续 习 题
1. 当 ( x, y ) → (0,0) 时，下列函数的极限是否存在？若存在，求出其极限 （1）
x 3 + xy 2 ; x2 + y2
x2 y2 +1 −1 x2 + y2
2 2
（2）
x2 + y2 x2 + y2 +1 −1
2− n 2 2 12、证明： n 元函数 u = ( x12 + x 2 + L + xn ) 2 满足方程 ′ ′′ ′′ u′ (n > 2) . x1 x1 + u x2 x2 + L + u xn xn = 0 2 2 【解】 u ′ xi = ( 2 − n) x i x1 + L + x n
